廣東省深圳市海濱中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

廣東省深圳市海濱中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則3x+4y的最小值是

A．13

B．15

C．20

D．28參考答案：A題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題以及目標(biāo)函數(shù)的最值等，難度中等。作出不等式組的可行域，如圖中的陰影部分所示，根據(jù)圖形結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=3x+4y可知當(dāng)取點(diǎn)A（3，1），z的最小值為3×3+4×1=13，故選A；2.已知sin2α=?，α∈，則sinα＋cosα=(

)

A.－

B.

C.－ D.參考答案：B3.“a〉0”是“”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A略4.如圖，半徑為的扇形的圓心角為，點(diǎn)在上，且，若，則(

).（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A5.數(shù)列為等差數(shù)列，滿足，則數(shù)列前項(xiàng)的和等于（）A．

B．21

C．42

D．84參考答案：B.試題分析：∵等差數(shù)列，∴，∴，∴，故選B.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).6.有6名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽，他們的編號(hào)分別是1—6號(hào)，得第一名者將參加全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽.今有甲，乙，丙，丁四位老師在猜誰將得第一名，甲猜：4號(hào)，5號(hào)，6號(hào)都不可能；乙猜：3號(hào)不可能；丙猜：不是1號(hào)就是2號(hào)；丁猜：是4號(hào)，5號(hào)，6號(hào)中的某一個(gè).以上只有一個(gè)人猜對(duì)，則他應(yīng)該是（

）A．甲

B．乙

C．丙 D．丁參考答案：A若甲猜對(duì)，當(dāng)?shù)谝幻麨?號(hào)時(shí)，則乙、丙、丁都猜錯(cuò)；若乙猜對(duì)，由于只有一個(gè)猜對(duì)，則丙猜錯(cuò)，即1,2,3都不可能，那么丁就猜對(duì)了，不符合題意；若丙猜對(duì)，則乙也猜對(duì)了，不符合題意；若丁猜對(duì)，則乙也猜對(duì)了，不符合題意；所以只有一個(gè)人猜對(duì)，應(yīng)該是甲。故選A。

7.已知，，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A. B. C. D.參考答案：B【分析】由對(duì)數(shù)的單調(diào)性可得a＞2＞b＞1，再根據(jù)c＞1，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，判斷b＞c，從而得到a、b、c的大小關(guān)系.【詳解】解：由于，，，可得，綜合可得，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式是解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問題的基礎(chǔ)和前提.8.已知，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．參考答案：9.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，，則（

）

A、

B、

C、

D、1參考答案：C10.已知命題p：函數(shù)f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期為π；命題q：若函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，則f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱．則下列命題是真命題的是(

)A．p∧qB．p∨qC．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）參考答案：B考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：分別判定命題p，q的真假性，利用復(fù)合命題站真假之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．解答： 解：函數(shù)f（x）=|sin2x﹣|=|2sin2x﹣1||cos2x|，∵cos2x的周期是π，∴函數(shù)f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期為，即命題p是假命題．若若函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，則f（﹣x+1）=f（x+1），即f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，∴命題q為真命題，則p∨q為真命題，其余為假命題，故選：B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題真假之間的關(guān)系，利用條件先判定命題p，q的真假是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)實(shí)數(shù)x?y滿足約束條件，則z=2x+3y的最大值為．參考答案：26考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．

專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域（陰影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得，即A（4，6）．此時(shí)z的最大值為z=2×4+3×6=26，故答案為：26點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．12.若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為

．參考答案：20略13.用鐵皮制作一個(gè)無蓋的圓錐形容器，已知該圓錐的母線與底面所在的平面所成角為，容器的高為10cm，制作該容器需要

cm2的鐵皮

參考答案：略14.已知?jiǎng)t的值等于．

參考答案：略15.若向量，滿足，，且，的夾角為，則

，

．參考答案：，，所以。16.已知函數(shù)，且，則對(duì)于任意的，函數(shù)總有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的概率是

.參考答案：恒成立。即由幾何概率可得P=17.在△中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，，則________________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R）在x=2處的切線經(jīng)過點(diǎn)（﹣4，2ln2）（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求導(dǎo)，當(dāng)x=2時(shí)，代入f′（x），即可求得a=﹣1，求得點(diǎn)斜式方程，將（﹣4，2ln2）代入點(diǎn)斜式方程，即可求得f′（2），即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意可知（2lnx+）＞m，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)性質(zhì)，求得（2lnx+）最小值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）由f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R），求導(dǎo)f′（x）=+a+，當(dāng)x=2時(shí)，f′（2）=1+a+f′（2），∴a=﹣1，設(shè)切點(diǎn)為（2，2ln2+2a﹣2f′（2）），則切線方程y﹣（2ln2+2a﹣2f′（2））=f′（2）（x﹣2），將（﹣4，2ln2）代入切線方程，2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′（2））=﹣6f′（2），則f′（2）=﹣，∴f′（x）=﹣1﹣=≤0，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；（2）由不等式恒成立，則（2lnx+）＞m，令φ（x）=2lnx+，（x＞0）求導(dǎo)φ′（x）=﹣﹣1=﹣（﹣1）2≤0，∴φ（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，由φ（1）=0，則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，φ（x）＜0，∴（2lnx+）在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0，實(shí)數(shù)m的取值范圍（﹣∞，0]．19.（12分）設(shè)函數(shù)f（θ）=，其中，角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求f（θ）的值；（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）為平面區(qū)域Ω：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f（θ）的最小值和最大值．參考答案：【考點(diǎn)】：任意角的三角函數(shù)的定義；二元一次不等式（組）與平面區(qū)域；三角函數(shù)的最值．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：（Ⅰ）由已知中函數(shù)f（θ）=，我們將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出結(jié)果．（Ⅱ）畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合易判斷出θ角的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)我們即可求出函數(shù)f（θ）的最小值和最大值．解（Ⅰ）由點(diǎn)P的坐標(biāo)和三角函數(shù)的定義可得：于是f（θ）===2

（Ⅱ）作出平面區(qū)域Ω（即△ABC）如圖所示，其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）．因?yàn)镻∈Ω，所以0≤θ≤，∴f（θ）==，且，故當(dāng)，即時(shí)，f（θ）取得最大值2；當(dāng)，即θ=0時(shí)，f（θ）取得最小值1．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查三角函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn+3=3an（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=（n+1）logan，記Tn=++…+，求證：2Tn＜1．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（I）通過令n=1可得首項(xiàng)a1=3，當(dāng)n≥2時(shí)，利用2Sn+3=3an與2Sn﹣1+3=3an﹣1的差可得公比，進(jìn)而可得結(jié)論；（II）通過bn=2n（n+1），分離分母可得=（﹣），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．解答： （I）解：當(dāng)n=1時(shí)，2S1+3=2a1+3=3a1，得a1=3，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn+3=3an

…①2Sn﹣1+3=3an﹣1

…②①﹣②，得：2an=3an﹣3an﹣1，即an=3an﹣1，∴數(shù)列{an}為公比為3，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，∴an=3?3n﹣1=3n（n∈N*）；（II）證明：∵bn=（n+1）log3n=2n（n+1），∴==（﹣），∴Tn=++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜，∴2Tn＜1．點(diǎn)評(píng)：本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的取值范圍，注意解題方法的積累，屬于中檔題．21.已知函數(shù)f(x)＝，試?yán)没境醯群瘮?shù)的圖象，判斷f(x)有幾個(gè)零點(diǎn)，并利用零點(diǎn)存在性定理確定各零點(diǎn)所在的區(qū)間(各區(qū)間長(zhǎng)度不超過1)．參考答案：由f(x)=0，得x-1=-1/2x2+2，令y1=x-1，y2=-1/2x2+2，分別畫出它們的圖象如圖，其中拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，與x軸的交點(diǎn)為(-2,0)、(2,0)，y1與y2的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，從而函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)．由f(x)的解析式知x≠0，f(x)的圖象在(-∞，0)和(0，+∞)略22.（本小題滿分12分）數(shù)列滿足(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案：（1）見解析；（2）

知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差關(guān)系的確定解析：（1）證：由已知可得，

……………3分

即

……………4分所以