泰勒展開式與超越不等式在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 精講（解析版）

泰勒展開式與超越不等式在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：利用超越不等式比較大小高頻考點(diǎn)二：利用對(duì)數(shù)型超越放縮證明不等式高頻考點(diǎn)三：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式第一部分：知第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1、泰勒公式形式：泰勒公式是將一個(gè)在處具有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于的次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)的方法.若函數(shù)在包含的某個(gè)閉區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間上任意一點(diǎn)，成立下式：其中：表示在處的階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項(xiàng)，是的高階無(wú)窮小量.2、麥克勞林(Maclaurin)公式雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取的特殊結(jié)果，由于麥克勞林公式使用方便，在高考中經(jīng)常會(huì)涉及到.3、常見函數(shù)的麥克勞林展開式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4、兩個(gè)超越不等式：（注意解答題需先證明后使用）4.1對(duì)數(shù)型超越放縮：（）上式（1）中等號(hào)右邊只取第一項(xiàng)得：結(jié)論①用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②對(duì)于結(jié)論②左右兩邊同乘“”得，用替換“”得：（）結(jié)論③4.2指數(shù)型超越放縮：（）上式（2）中等號(hào)右邊只取前2項(xiàng)得：結(jié)論①用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②當(dāng)時(shí)，對(duì)于上式結(jié)論②結(jié)論③當(dāng)時(shí)，對(duì)于上式結(jié)論②結(jié)論④第二部分：典第二部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：利用超越不等式比較大小1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】先用導(dǎo)數(shù)證明這兩個(gè)重要的不等式①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，函數(shù)遞減，函數(shù)遞增故時(shí)函數(shù)取得最小值為0故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，函數(shù)遞增，函數(shù)遞減，故時(shí)函數(shù)取得最大值為0，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”故故選：C2．（2021·安徽·毛坦廠中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)，，，（其中自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，，所以在上遞增，在上遞減，所以，即.令，則，，，考慮到，可得，即，化簡(jiǎn)得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，故時(shí)，排除A，B.下面比較a，b大小，由得，，故.所以.故選:D3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，即，所以，所以，即，又，所以，由，所以，所以，即，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用經(jīng)典不等式可得.4．（2022·河南洛陽(yáng)·高二期末（文））下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）①，；②；③．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故③錯(cuò)誤；故選：C5．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，給出以下結(jié)論，正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③存在無(wú)窮多個(gè),使；④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】，,，則單調(diào)遞增且大于0，所以單調(diào)遞增，所以，即故①正確；令，則，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以，即.因?yàn)?，且，，故②正確；，，，由歸納法可知，，故不存在無(wú)窮多個(gè),使，故③錯(cuò)誤；由得，，累加可得：可知④正確.故選：B.7．（2022·安徽·六安一中高二開學(xué)考試）已知成等比數(shù)列，且，若，則A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè),則,令,則,令,則,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,則,即,所以,故,又成等比數(shù)列,且,設(shè)其公比為,則,即,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)中的不等式在數(shù)列中的應(yīng)用,以及等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),屬于中檔題.導(dǎo)數(shù)中存在著一些常用的不等式結(jié)論,學(xué)生可以盡可能掌握.高頻考點(diǎn)二：利用對(duì)數(shù)型超越放縮證明不等式1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)＝，對(duì)?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)證明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).【答案】(1)a＝1，增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(3)證明見解析(1)由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.于是f′(x)＝－1＝，當(dāng)x(0，1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞).(2)由(1)知x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即f(x1)的最大值為0，由題意知：對(duì)?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，只需f(x)max≤g(x)max.∵g(x)＝，（等號(hào)成立）∴只需，解得.(3)證明：要證明(nN*，n≥2).只需證，只需證.由(1)當(dāng)x(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，f(x)＝lnx－x＋1≤0，即lnx≤x－1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，，，所以＝，∴.2．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.【答案】(1)見解析(2)證明見解析(1)當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)由（1）可知，令，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故故，，故即3．（2022·陜西咸陽(yáng)·二模（文））已知函數(shù).(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)由題意得：定義域?yàn)?；由得：；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)由（1）知：當(dāng)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，即；，，即，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到恒成立問(wèn)題求解和不等式的證明問(wèn)題；證明不等式的關(guān)鍵是能夠充分利用（1）中的結(jié)論，將所證不等式進(jìn)行放縮，從而結(jié)合等比數(shù)列求和的知識(shí)進(jìn)行證明.4．（2022·陜西咸陽(yáng)·二模（理））已知函數(shù).(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)證明：(，).【答案】(1)；(2)證明見解析﹒【解析】(1)，令，則＝，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，單調(diào)遞減，∴，∴；(2)由(1)知，時(shí)，有不等式對(duì)任意恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“＝”號(hào)，∴，恒成立，令(，且)，則，∴，即(，)，∴(，).【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是利用(1)中的結(jié)論，取k＝1時(shí)得到不等式，從而得到x＞1時(shí)，，令，即可構(gòu)造不等式，從而通過(guò)裂項(xiàng)相消法求出的范圍，從而證明結(jié)論.5．（2022·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中且．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)求證：對(duì)任意的且，都有：…．（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，，要證明，即證，即，設(shè)，則，令得，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以，即，故.(3)由（2）可得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），令，，則，故…………，即…，故….【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性，以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，以及數(shù)列和導(dǎo)數(shù)的綜合，屬綜合困難題.6．（2022·內(nèi)蒙古·元寶山平煤高中高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)證明見解析.【解析】(1)因?yàn)椋ǎ?，所以的定義域?yàn)椋?若，則，在上為增函數(shù)；若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當(dāng)時(shí)，由上可知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，有在恒成立，且在上是減函數(shù)，即在上恒成立，令，則，即，且，，即：（，）成立．7．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：；(3)若且，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】(1)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(2)由（1）可得即函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故(3)由（2）可得在上恒成立令，則則故【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決第三問(wèn)時(shí)，關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)得出，進(jìn)而由對(duì)數(shù)的運(yùn)算證明不等式.高頻考點(diǎn)三：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式1．（2022·四川·棠湖中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)為，斜率，.∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為.即.(2)由，得恒成立，令，則，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，即，故的取值范圍是；(3)由（2）知時(shí)，有，所以.①要證，可證，只需證.先證，構(gòu)造函數(shù)，則，由得，由得，∴在上單減，在上單增，∴，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），從而當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，成立.②要證，可證.構(gòu)造函數(shù)，則，由得，由得，∴在上單增，在上單減，故，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），從而當(dāng)時(shí)，.由于，所以，所以，綜上所述，當(dāng)時(shí)，證明：.【點(diǎn)睛】要證明，可通過(guò)證明來(lái)證得.在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的過(guò)程中，主要利用的是導(dǎo)數(shù)的工具性的作用，也即利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求單調(diào)區(qū)間、最值等.2．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，．(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若，求證：．【答案】(1)1(2)證明見解析【解析】(1)設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，不滿足恒成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增．所以的最小值為．即，即．設(shè)，，所以在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故的解只有．綜上，．(2)證明：先證當(dāng)時(shí)，恒成立．令，，所以在（0，1）上單調(diào)遞增，又，所以．所以要證，即證，即證，即證．設(shè)，則，所以在（0，1）上單調(diào)遞減，所以，即原不等式成立．所以當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是先證當(dāng)時(shí)，恒成立，然后將轉(zhuǎn)化為，即證，再構(gòu)造函數(shù)求出其最小值大于零即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題3．（2022·浙江省諸暨市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，(1)當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若且恒成立，求的取值范圍：(3)當(dāng)時(shí)，記，（其中）為在上的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】(1)；(2)；(3)詳見解析.(1)當(dāng)，時(shí)，，，∴，，∴函數(shù)在處的切線方程為；(2)由題意可知，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，故；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，則，∴函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴可得；綜上，的取值范圍為；(3)由上可知，，，對(duì)于函數(shù)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，∴，又，∴，即，由，可得，要證，即證，，也即，設(shè)，即證在上恒成立，∵，∴在上單調(diào)遞增，∴，成立∴，綜上，.4．（2022·新疆昌吉·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)．(1)試比較