2023年人教版初中數(shù)學(xué)第十八章平行四邊形知識(shí)點(diǎn)

第十八章平行四邊形18．1平行四邊形平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形用“□”表達(dá)，讀作“平行四邊形”．平行四邊形ABＣD記作“□ABCD”.18.1.1平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形是中心對稱圖形,對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn).例、已知：□ＡＢCD求證:AD＝BC，AB=DC；∠Ａ=∠C，∠Ｂ=∠D.證明：連接AC，又ＡC是△AＢC和△ＣDA的公共邊,∴△ＡＢC≌△ＣDA，平行四邊形性質(zhì)1：平行四邊形的兩組對邊分別相等.平行四邊形性質(zhì)2:平行四邊形的兩組對角分別相等.例、已知:如圖：□ABCＤ的對角線AC、BD相交于點(diǎn)Ｏ.求證:OＡ＝ＯC，OB＝OD.證明：四邊形ＡＢＣD是平行四邊形∴AＤ=BC，AD∥BC.∴∠1=∠2，∠3=∠４．∴△ＡOD≌△ＣOＢ（ＡSA).∴OＡ＝OＣ,ＯB=ＯＤ.平行線之間的距離定義:若兩條直線互相平行,則其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離,叫做這兩條平行線之間的距離.平行線之間的距離特性1：平行線之間的距離處處相等．平行線之間的距離特性2:夾在兩條平行線之間的平行線段相等.平行四邊形性質(zhì)3：平行四邊形的兩條對角線互相平分.例、如圖，□ABCD中，BD⊥ＡＢ,AB=12ｃm，ＡC=２6cm,求ＡD、BD長．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴ＡＯ=CO=AC，OB=OD．∵ＢD⊥AＢ,∴在Rt△ＡBO中,AB=１2cm,ＡO＝13cm．∴BO=.∴BＤ=２B0＝1０cｍ.∴在Ｒｔ△ABD中,AB=12cm,BＤ＝1０ｃm.∴AD=（cm).例、如圖,在□ABCD中,已知對角線AＣ和ＢD相交于點(diǎn)O，△ＡOB的周長為25,AB=１2,求對角線AC與ＢD的和.解：∵△AOB的周長為２5，∴OA+BＯ+AＢ=25，又AB=12，∴AO+OB=25-1２=１3，∵平行四邊形的對角線互相平分，∴ＡC＋BD＝2ＯA+2ＯＢ＝2（0A＋OＢ)=2×1３＝2618．1.2平行四邊形的鑒定平行四邊形鑒定１:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．平行四邊形鑒定2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．平行四邊形鑒定3：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.平行四邊形鑒定4:兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行四邊形鑒定5：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.中位線:連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.例、如圖,在□ABＣＤ中,已知點(diǎn)E和點(diǎn)Ｆ分別在ＡＤ和BＣ上，且AＥ=CF,連結(jié)CE和ＡF,試說明四邊形AＦCE是平行四邊形.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ＡD//BC，∵點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)Ｆ在BC上，∴AE/／CF,又∵ＡＥ=CＦ,∴四邊形AFCE是平行四邊形.例、如圖，E、F是四邊形ABCD的對角線AＣ上的兩點(diǎn),AF=CＥ,DＦ=BE,DF∥BE.求證:（1）△AFD≌△CＥＢ.（2）四邊形ABCD是平行四邊形．解:（1）∵DF∥BＥ，∴∠ＡＦD=∠CEB．又∵ＡF=CＥ,DF＝BE，∴△ＡＦＤ≌△CＥB.(2)由(1)△AFD≌△CEB知ＡＤ＝BC,∠ＤＡF=∠BCE,∴AＤ∥ＢＣ,∴四邊形ABＣD是平行四邊形.NMFEABCD例、如圖,平行四邊形ABCD中，E、Ｆ為邊ＡD、BC上的點(diǎn),且AE=CＦ，連結(jié)AＦ、ＥC、BE、DF交于MNMFEABCD解:∵四邊形AＢCD是平行四邊形，∴ＡD∥BＣ,AD∥BC又∵AE=ＣＦ，∴ＥD＝FB,四邊形ＡFCE是平行四邊形∴ＡF∥EC．同理：BE∥FD.∴四邊形MＦNE是平行四邊形．18．２特殊的平行四邊形1８.2．1矩形矩形定義1：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形定義2:有三個(gè)角是直角的四邊形叫做矩形矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn),對稱軸是各邊的垂直平分線．矩形性質(zhì)1：矩形的四個(gè)角都是直角.矩形性質(zhì)2:矩形的對角線相等且互相平分.直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半矩形鑒定1:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.矩形鑒定2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.矩形鑒定3：對角線相等的平行四邊形是矩形.例、如圖,已知AＢ=ＡC，AD=ＡE，DE=BC,且∠BＡD=∠CＡE，求證：四邊形ＢCED是矩形.證明:在△ABD和△ACE中，∴△AＢD≌△ＡCE，∴ＢD＝CＥ，又ＤE=BＣ，∴四邊形ＢCED為平行四邊形.在△ACD和△ABE中，∵AＣ=AB,AB=AE,，∴△ADC≌△ＡEB∴ＣD＝ＢＥ∴四邊形ＢCＥＤ為矩形１8.２.2菱形菱形定義1：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形定義2：四條邊都相等的四邊形叫做菱形.菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形,對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn),對稱軸是對角線所在的直線.菱形性質(zhì)1:菱形的四條邊都相等.菱形性質(zhì)2：菱形的對角線互相垂直平分.菱形性質(zhì)3：菱形的每一條對角線平分一組對角.菱形的面積:菱形的面積等于對角線乘積的一半.推廣：對角線互相垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半.菱形鑒定1:有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.菱形鑒定2:四條邊都相等的四邊形是菱形.菱形鑒定3:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.菱形鑒定4:每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形.18．２.3正方形正方形定義１:有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形．正方形定義2：有一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形.正方形定義3：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)，對稱軸是各邊的垂直平分線和對角線所在的直線．正方形性質(zhì)1：正方形的四個(gè)角都是直角.正方形性質(zhì)2:正方形的四條邊都相等.正方形性質(zhì)3：正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等.正方形鑒定１：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.正方形鑒定２:有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．正方形鑒定3:有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形．正方形鑒定4：對角線垂直平分且相等的四邊形是正方形.例、如圖，四邊形ＡBCD是菱形，對角線AC=8cｍ，BD=6cm,DＨ⊥ＡＢ于H,求:ＤH的長．∵四邊形ABCＤ是菱形,，∴ＡB＝5ｃm,,.例、已知:如圖,菱形ABCD的周長為16cｍ,∠ＡＢＣ＝６0°，對角線ＡＣ和ＢD相交于點(diǎn)O,求AＣ和BD的長.解:∵菱形ＡBＣD的周長為16cm,∴ＡB=BC＝4cm,△AＢＣ是等邊三角形，∴AＣ=4ｃm，∵ＡC,BD互相垂直平分，∴OA=2例、如圖,在正方形ABCD中，P為對角線BＤ上一點(diǎn)，PＥ⊥BC,垂足為E，ＰF⊥CD，垂足為Ｆ，求證:ＥF＝AP證明：連接PC,

∵PE⊥BＣ,PF⊥CD，四邊形AＢCD是正方形，∴∠ＰEC=∠PFC=∠C=90°，∴四邊形PECＦ是矩形,∴PC=ＥＦ,∵Ｐ是正方形ＡＢCD對角線上一點(diǎn),∴ＡＤ＝CD，∠PDA＝∠ＰDC,在△PAＤ和△ＰＣD中,AD=CＤ,∠PDA=∠PDC,PD=PＤ，∴△PAD≌△ＰCＤ,∴PA=ＰC，∴EF＝AP，例、在△ABC中，ＡB=AＣ，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥ＡB，DF⊥AC,垂足分別是E，F(xiàn)．試說明:ＤE=DＦ解:∵AB=AC,∠B＝∠Ｃ

∵DＥ⊥ＡB，DF⊥ＡC

∴∠ＤＥB≌ＤFC=90°

∵D是BC的中點(diǎn)∴ＢD=DC

∴△BDE≌△ＣＤF

∴ＤE=DF.例、如圖,ABCD中，ＡＥ平分∠BA