2023秋九年級數(shù)學上冊第1章特殊的平行四邊形單元檢測題（新版）北師大版

2023秋九年級數(shù)學上冊第1章特殊的平行四邊形單元檢測題（新版）北師大版?第1章特殊的平行四邊形?單元測試卷一、選擇題：〔每題3分，共36分〕1．以下判定正確的選項是()A．對角線互相垂直的四邊形是菱形B．兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形C．四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形D．一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形2．以下說法中，錯誤的選項是()A．平行四邊形的對角線互相平分B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．菱形的對角線互相垂直D．對角線互相垂直的四邊形是菱形3．以下命題原命題與逆命題都是真命題的是()A．矩形的對角線相等B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C．矩形有一個內(nèi)角是直角D．對角線互相垂直且平分的四邊形是矩形4．既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，且只有兩條對稱軸的四邊形是()A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．兩條對角線相等的平行四邊形一定是()A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形6．如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，那么OH的長等于()A．3.5 B．4 C．7 D．147．順次連接矩形四條邊的中點，所得到的四邊形一定是()A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形8．如圖，以正方形ABCD的對角線AC為一邊作菱形AEFC，那么∠FAB=()A．30° B．45° C．22.5° D．135°9．如圖，點E為正方形ABCD對角線BD上一點，且BE=BC，那么∠DCE的度數(shù)為()A．30° B．22.5° C．15° D．45°10．如圖：長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖的方式折疊，使點B與點D重合．折痕為EF，那么DE長為()A．4.8 B．5 C．5.8 D．611．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，假設(shè)兩個小正方形的面積分別為S1、S2，那么S1+S2的值為()A．16 B．17 C．18 D．1912．如圖，正方形ABCD的面積為4，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，那么這個最小值為()A．2 B．3 C． D．二、填空題〔每題3分，共12分〕13．菱形的周長為40cm，兩個相鄰角度數(shù)比為1：2，那么較短的對角線長為__________，面積為__________．14．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，假設(shè)CF=1，F(xiàn)D=2，那么BC的長為__________．15．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的動點，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，那么PE+PF=__________．16．如圖，菱形ABCD的周長為24cm，∠A=120°，E是BC邊的中點，P是BD上的動點，那么PE﹢PC的最小值是__________．三、解答題：17．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，BE∥AC，CE∥DB．求證：四邊形OBEC是矩形．18．，如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC，ED=AF．求證：四邊形AEDF是菱形．19．：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，且BE=DF．求證：∠AEF=∠AFE．20．：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，〔1〕求證：四邊形ADCE為矩形；〔2〕當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．21．：如圖，在△ABC中，AB=AC，D是的BC邊的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E、F．〔1〕求證：DE=DF；〔2〕只添加一個條件，使四邊形EDFA是正方形，并給出證明．22．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于點E，求OE的長．23．，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G．〔1〕求證：△BCE≌△DCF；〔2〕求CF的長；〔3〕如圖2，在AB上取一點H，且BH=CF，假設(shè)以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標系，問在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？假設(shè)存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標；假設(shè)不存在，說明理由．北師大新版九年級上冊?第1章特殊的平行四邊形?單元測試卷一、選擇題：〔每題3分，共36分〕1．以下判定正確的選項是()A．對角線互相垂直的四邊形是菱形B．兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形C．四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形D．一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形【考點】多邊形．【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案．【解答】解：A、對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形，故A錯誤；B、兩條對角線相等且平分且互相垂直的四邊形是正方形，故B正確；C、四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形，故C正確；D、一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形可能是平行四邊形、可能是等腰梯形，故D錯誤；應(yīng)選：B．【點評】此題考查了多邊形，熟記平行四邊形的判定與性質(zhì)、特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．以下說法中，錯誤的選項是()A．平行四邊形的對角線互相平分B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．菱形的對角線互相垂直D．對角線互相垂直的四邊形是菱形【考點】菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行四邊形和菱形的性質(zhì)對各個選項進行分析從而得到最后答案．【解答】解：根據(jù)平行四邊形和菱形的性質(zhì)得到ABC均正確，而D不正確，因為對角線互相垂直的四邊形也可能是梯形，應(yīng)選：D．【點評】主要考查了平行四邊形和特殊平行四邊形的特性，并利用性質(zhì)解題．平行四邊形根本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分．菱形的特性是：四邊相等，對角線互相垂直平分．3．以下命題原命題與逆命題都是真命題的是()A．矩形的對角線相等B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C．矩形有一個內(nèi)角是直角D．對角線互相垂直且平分的四邊形是矩形【考點】命題與定理．【分析】分別寫出四個命題的逆命題，再判斷是否是真命題即可．【解答】解：A、矩形的對角線相等，逆命題是對角線相等的四邊形是矩形，錯誤；B、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，逆命題是矩形的對角線互相平分且相等，正確；C、矩形有一個內(nèi)角是直角，逆命題是有一個內(nèi)角是直角的四邊形是矩形，錯誤；D、對角線互相垂直且平分的四邊形是矩形，錯誤．應(yīng)選B．【點評】此題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；題設(shè)與結(jié)論互換的兩個命題互為逆命題；正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題；經(jīng)過推論論證得到的真命題稱為定理．4．既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，且只有兩條對稱軸的四邊形是()A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有4條對稱軸；矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有2條對稱軸；菱形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有2條對稱軸．應(yīng)選D．【點評】此題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩局部沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．5．兩條對角線相等的平行四邊形一定是()A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形【考點】矩形的判定．【分析】根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，直接得出答案即可．【解答】解：因為對角線相等的平行四邊形是矩形．應(yīng)選：A．【點評】此題考查了特殊平行四邊形的判定，需熟練掌握各特殊平行四邊形的特點是解題關(guān)鍵．6．如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，那么OH的長等于()A．3.5 B．4 C．7 D．14【考點】菱形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等求出AB，菱形的對角線互相平分可得OB=OD，然后判斷出OH是△ABD的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OH=AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周長為28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵H為AD邊中點，∴OH是△ABD的中位線，∴OH=AB=×7=3.5．應(yīng)選：A．【點評】此題考查了菱形的對角線互相平分的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．7．順次連接矩形四條邊的中點，所得到的四邊形一定是()A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形【考點】中點四邊形．【分析】因為題中給出的條件是中點，所以可利用三角形中位線性質(zhì)，以及矩形對角線相等去證明四條邊都相等，從而說明是一個菱形．【解答】解：連接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四邊形EFGH為菱形．應(yīng)選B．【點評】此題考查了菱形的判定，菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分．8．如圖，以正方形ABCD的對角線AC為一邊作菱形AEFC，那么∠FAB=()A．30° B．45° C．22.5° D．135°【考點】菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】由正方形的性質(zhì)得對角線AC平分直角，因為菱形的對角線平分所在的角，所以∠FAB為直角的．【解答】解：因為AC為正方形ABCD的對角線，那么∠CAE=45°，又因為菱形的每一條對角線平分一組對角，那么∠FAB=22.5°，應(yīng)選：C．【點評】此題主要考查了正方形、菱形的對角線的性質(zhì)．9．如圖，點E為正方形ABCD對角線BD上一點，且BE=BC，那么∠DCE的度數(shù)為()A．30° B．22.5° C．15° D．45°【考點】正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】由正方形的性質(zhì)得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根據(jù)BE=BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根據(jù)∠DCE=∠BCD﹣∠BCE即可求出答案．【解答】解：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=67.5°，∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCE=90°﹣67.5°=22.5°，應(yīng)選B．【點評】此題主要考查對正方形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能根據(jù)這些性質(zhì)求出∠DCE的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵，題型較好，難度適中．10．如圖：長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖的方式折疊，使點B與點D重合．折痕為EF，那么DE長為()A．4.8 B．5 C．5.8 D．6【考點】翻折變換〔折疊問題〕．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】注意發(fā)現(xiàn)：在折疊的過程中，BE=DE，從而設(shè)BE即可表示AE，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解．【解答】解：設(shè)DE=xcm，那么BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，在RT△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=〔10﹣x〕2+16．解得：x==5.8〔cm〕．應(yīng)選C．【點評】此題考查了翻折變換的知識，解答此題的關(guān)鍵是掌握翻折前后對應(yīng)線段相等，另外要熟練運用勾股定理解直角三角形．11．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，假設(shè)兩個小正方形的面積分別為S1、S2，那么S1+S2的值為()A．16 B．17 C．18 D．19【考點】勾股定理．【分析】由圖可得，S2的邊長為3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答．【解答】解：如圖，設(shè)正方形S1的邊長為x，∵△ABC和△CDE都為等腰直角三角形，∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，∴AC=BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD==2，∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面積為EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M為AN的中點，∴S2的邊長為3，∴S2的面積為3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．應(yīng)選B．【點評】此題考查了勾股定理，要充分利用正方形的性質(zhì)，找到相等的量，再結(jié)合三角函數(shù)進行解答．12．如圖，正方形ABCD的面積為4，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，那么這個最小值為()A．2 B．3 C． D．【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)．【專題】幾何圖形問題．【分析】由于點B與D關(guān)于AC對稱，所以連接BE，與AC的交點即為P點．此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為4，可求出AB的長，從而得出結(jié)果．【解答】解：連接BD，與AC交于點F．∵點B與D關(guān)于AC對稱，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最?。哒叫蜛BCD的面積為4，∴AB=2．又∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值為2．應(yīng)選：A．【點評】此題主要考查軸對稱﹣﹣最短路線問題，要靈活運用對稱性解決此類問題．二、填空題〔每題3分，共12分〕13．菱形的周長為40cm，兩個相鄰角度數(shù)比為1：2，那么較短的對角線長為10cm，面積為50cm2．【考點】菱形的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)可求得菱形的邊長及其兩內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)勾股定理可求得其對角線的長，根據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半求得其面積．【解答】解：根據(jù)可得，菱形的邊長AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：BO==5，∴BD=2BO=10〔cm〕，那么S菱形ABCD=×AC×BD=×10×10=50〔cm2〕；故答案為：10cm，50cm2．【點評】此題考查的是菱形的面積求法及菱形性質(zhì)的綜合．菱形的面積有兩種求法〔1〕利用底乘以相應(yīng)底上的高〔2〕利用菱形的特殊性，菱形面積=×兩條對角線的乘積．14．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，假設(shè)CF=1，F(xiàn)D=2，那么BC的長為．【考點】翻折變換〔折疊問題〕；矩形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】首先過點E作EM⊥BC于M，交BF于N，易證得△ENG≌△BNM〔AAS〕，MN是△BCF的中位線，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求得GN=MN，由折疊的性質(zhì)，可得BG=3，繼而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的長．【解答】解：過點E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四邊形ABME是矩形，∴AE=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，在△ENG和△BNM中∵，∴△ENG≌△BNM〔AAS〕，∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中點，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．故答案為：2．【點評】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．15．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的動點，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，那么PE+PF=．【考點】矩形的性質(zhì)．【分析】連接PO，過D作DM⊥AC于M，求出AC、DM，根據(jù)三角形面積公式得出PE+PF=DM，即可得出答案．【解答】解：連接PO，過D作DM⊥AC于M，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB=CD=5，AD=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OD，由勾股定理得：AC=13，∴OA=OD=6.5，∵S△ADC=×12×5=×13×DM，∴DM=，∵SAOD=S△APO+S△DPO，∴AO×PE+OD×PF=×AO×DM，∴PE+PF=DM=，故答案為：．【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DM長和得出PE+PF=DM．16．如圖，菱形ABCD的周長為24cm，∠A=120°，E是BC邊的中點，P是BD上的動點，那么PE﹢PC的最小值是3．【考點】軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)．【專題】探究型．【分析】先求出菱形各邊的長度，作點E關(guān)于直線BD的對稱點E′，連接CE′交BD于點P，那么CE′的長即為PE﹢PC的最小值，由菱形的性質(zhì)可知E′為AB的中點，由直角三角形的判定定理可得出△BCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的長．【解答】解：∵菱形ABCD的周長為24cm，∴AB=BC==6cm，作點E關(guān)于直線BD的對稱點E′，連接CE′交BD于點P，那么CE′的長即為PE﹢PC的最小值，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分線，∴E′在AB上，由圖形對稱的性質(zhì)可知，BE=BE′=BC=×6=3，∵BE′=BE=BC，∴△BCE′是直角三角形，∴CE′===3，故PE﹢PC的最小值是3．【點評】此題考查的是軸對稱﹣最短路線問題及菱形的性質(zhì)、直角三角形的判定定理，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出圖形是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題：17．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，BE∥AC，CE∥DB．求證：四邊形OBEC是矩形．【考點】矩形的判定；菱形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形OBEC是平行四邊形，根據(jù)菱形性質(zhì)求出∠AOB=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可．【解答】證明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四邊形OBEC是平行四邊形，又∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴平行四邊形OBEC是矩形．【點評】此題考查了菱形性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定的應(yīng)用，主要考查學生的推理能力．18．，如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC，ED=AF．求證：四邊形AEDF是菱形．【考點】菱形的判定；角平分線的定義；平行線的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】由易得四邊形AEDF是平行四邊形，由角平分線和平行線的定義可得∠FAD=∠FDA，那么可求得AF=DF，故可證明四邊形AEDF是菱形．【解答】證明：∵AD是△ABC的角平分線∴∠EAD=∠FAD∵DE∥AC，ED=AF∴四邊形AEDF是平行四邊形∴∠EAD=∠ADF∴∠FAD=∠FDA∴AF=DF∴四邊形AEDF是菱形．【點評】此題主要考查菱形的判定、角平分線的定義和平行線的性質(zhì)．此題運用了菱形的判定方法“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形〞．19．：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，且BE=DF．求證：∠AEF=∠AFE．【考點】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等邊對等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】證明：∵ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE．【點評】此題利用了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角求解．20．：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，〔1〕求證：四邊形ADCE為矩形；〔2〕當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．【考點】矩形的判定；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的判定．【專題】證明題；開放型．【分析】〔1〕根據(jù)矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，CE⊥AN，AD⊥BC，所以求證∠DAE=90°，可以證明四邊形ADCE為矩形．〔2〕根據(jù)正方形的判定，我們可以假設(shè)當AD=BC，由可得，DC=BC，由〔1〕的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形．【解答】〔1〕證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四邊形ADCE為矩形．〔2〕當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四邊形ADCE為矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴當∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．【點評】此題是以開放型試題，主要考查了對矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，及角平分線的性質(zhì)等知識點的綜合運用．21．：如圖，在△ABC中，AB=AC，D是的BC邊的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E、F．〔1〕求證：DE=DF；〔2〕只添加一個條件，使四邊形EDFA是正方形，并給出證明．【考點】正方形的判定．【分析】〔1〕連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD是∠BAC的角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF；〔2〕添加∠BAC=90°，根據(jù)三角形是直角的四邊形是矩形可得四邊形AFDE是矩形，再由條件DF=DE可得四邊形EDFA是正方形．【解答】解：〔1〕連接AD，∵AB=AC，D是的BC邊的中點，∴AD是∠BAC的角平分線，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE；〔2〕添加∠BAC=90°，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AFD=∠AED=90°，∴四邊形AFDE是矩形，∵DF=DE，∴四邊形EDFA是正方形．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及正方形的判定，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)．22．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于點E，求OE的長．【考點】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】矩形對角線相等且互相平分，即OA=OD，根據(jù)∠AOD=60°可得△AOD為等邊三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E為OD的中點，即可求OE的值．【解答】解：∵對角線相等且互相平分，∴OA=OD∵∠AOD=60°