2023年二次根式知識點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題大全

二次根式1．二次根式:式子（≥0）叫做二次根式。2．最簡二次根式:必須同時(shí)滿足下列條件：⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式;⑵被開方數(shù)中不含分母;⑶分母中不含根式。3.同類二次根式：二次根式化成最簡二次根式后,若被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式。（＞0）（＞0）（＜0）0（=0）；(１）()2=（≥0）；（２)５.二次根式的運(yùn)算：(1)因式的外移和內(nèi)移：假如被開方數(shù)中有的因式可以開得盡方,那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；假如被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式,再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．（2)二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式.(３)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，將被開方數(shù)相乘(除),所得的積(商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式.＝·(a≥0,b≥0）；(b≥０，a＞0）．(4）有理數(shù)的加法互換律、結(jié)合律，乘法互換律及結(jié)合律，乘法對加法的分派律以及多項(xiàng)式的乘法公式,都合用于二次根式的運(yùn)算．【典型例題】（2)、平方法當(dāng)時(shí),=1\＊ＧB3①假如,則;=２\＊GB３②假如，則。例1、比較與的大小。例2、比較與的大小。(３）、分母有理化法通過度母有理化,運(yùn)用分子的大小來比較。例3、比較與的大小。(4)、分子有理化法通過度子有理化，運(yùn)用分母的大小來比較。例4、比較與的大小。(５)、倒數(shù)法例5、比較與的大小。（6）、媒介傳遞法適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的媒介值,運(yùn)用傳遞性進(jìn)行比較。例6、比較與的大小。（7）、作差比較法在對兩數(shù)比較大小時(shí),經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：=１\＊GＢ3①;=2\＊ＧB3②例７、比較與的大小。(8)、求商比較法它運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0,b>0時(shí),則:=１＼*GＢ3①;=2\*GB3②例8、比較與的大小。二次根式的概念和性質(zhì)１.判斷題(對的打“∨”，錯(cuò)的打“×”）（1）()2＝-()；(2)=-()（３)(-）2=-(）;(４）（２)2＝２×=1（）２．下面的計(jì)算中，錯(cuò)誤的是（）Ａ．=±0.0３B．±=±0.０7Ｃ.=0．15D.-=-0.１3３.下列各式中一定成立的是(）A.=+=3+4＝7B．=-C.(-）2=D．=1-=4．(）２-=＿_(dá)_＿_(dá)___；5.+(－)2=＿_(dá)_____＿．６．[-]·-6;7.數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡:-│１-a│=_＿_(dá)_＿_(dá)_.8．計(jì)算：+=＿_(dá)_____．9．--()210、－｜-|＋12．+13.二次根式的乘除練習(xí)題填空:二次根式的乘法法則用式子表達(dá)為____＿_(dá)____二次根式的除法法則用式子表達(dá)為__＿_(dá)_＿_(dá)___把分母中的＿＿_(dá)化去，叫做分母有理化．將式子分母有理化后等于______＿_(dá)_(4）成立的條件是____＿_(dá)＿＿_(dá)成立的條件是_＿_(dá)____＿_(dá)(６）成立的條件是＿_(dá)_＿_(dá)__＿_(dá)（7)化簡:(８）計(jì)算:1．下列運(yùn)算對的的是()A．()2=-5B．(－）2=-5C.-=５D.=52．下面的計(jì)算中,對的的是（）A．=0.1;B.-=-０.０3;C．±=±１3;D.＝－4３.下列命題中,錯(cuò)誤的是（）A.假如=５,則x=５;Ｂ．若a（ａ≥0)為有理數(shù)，則是它的算術(shù)平方根C．化簡的結(jié)果是－3D．在直角三角形中,若兩條直角邊分別是，2,那么斜邊長為54．計(jì)算+|-11|－,對的的結(jié)果是()A．-11Ｂ.11C．2２Ｄ．-2２５.(－)２-+=________；6．=________.7.-(２)２=______＿_(dá)＿＿.８.比較大?。叮達(dá)____7．（填“>”，“＝”，“<”號）9.數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡:│－a-1│-2＝＿_(dá)___＿_(dá)_．１0．=_______＿．11．計(jì)算:+＋＋…+=___＿_(dá)_．1２．假如＋│b-2│=０,求以a、ｂ為邊長的等腰三角形的周長.1、判斷題：下列運(yùn)算是否對的.(）（1)（)（2)（)（３)（)(4）（)（５）（）（６）（)（7）(）（8)1、運(yùn)用乘法分派律進(jìn)行簡樸的根式運(yùn)算.例1計(jì)算(1)(２)(２)(3)2、比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。容^下列兩個(gè)數(shù)的大小（１）與（2)與1、與2、與3、與４、與３、二次根式的乘除混合運(yùn)算.（1）(2)（2)4、運(yùn)用分母有理化進(jìn)行計(jì)算.化簡分析:當(dāng)分母里二次根式的被開方數(shù)都相差1時(shí),假如分母有理化后則變?yōu)椋被?1，就可將原式變?yōu)椴缓帜傅亩胃剑伎碱}：計(jì)算二次根式的加減1.若與是同類二次根式，則a=＿_(dá)___＿_(dá)，ｂ=＿_(dá)＿_(dá)___.2.在,，,中能與進(jìn)行加減合并的根式有_＿_(dá)＿_(dá)_＿＿_(dá)．３．計(jì)算：+＝＿_(dá)___＿_(dá)_＿．4．已知長方形的長和寬分別為，，則它的周長是___＿_(dá)_＿_(dá)．５.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:a2－4=_＿_(dá)_____＿.6.+與+大小關(guān)系是_________．7．下列根式中與其他三個(gè)不同類的是（）A．B.C．D.8．下列各組二次根式中，可以進(jìn)行加減合并的一組是(）A.與B．與C．與2Ｄ.18與9．下列根式合并過程對的的是()A.2－-=2B．a(chǎn)+b=a+bC．5+＝ａ+D.-=10．計(jì)算:++-的值是（）A．+５Ｂ.＋8C．6+D.1２+1１．若5+=６，則y值為（)Ａ．B．１Ｃ.２D．312．一個(gè)等腰三角形的兩邊分別為２，3，則這個(gè)三角形的周長為(）A．3+4B．6+2Ｃ．6+4D．3＋4或6+２1３．計(jì)算:(1)2+3(2）5＋－７(3)++-+(4）＋６a－３a2假如△ＡBC的三邊a=7,b=4，c=2,求周長P．鞏固練習(xí)1.下列根式中,與是同類二次根式的是（）A．B．C.D．2.下面說法對的的是（）Ａ.被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式B.與是同類二次根式C.與不是同類二次根式D．同類二次根式是根指數(shù)為２的根式3.與不是同類二次根式的是（）A．B．C.D．4.下列根式中，是最簡二次根式的是()A.B.C.D.★5．若,則化簡的結(jié)果是(）Ａ.Ｂ．C.３D．-3★6.若的整數(shù)部分為,小數(shù)部分為，則的值是(）A.Ｂ.Ｃ.1D.37.下列式子中對的的是()A.B.C.D.8.在中,與是同類二次根式的是。9.若最簡二次根式與是同類二次根式,則。1０.一個(gè)三角形的三邊長分別為，則它的周長是cm。11.若最簡二次根式與是同類二次根式,則。12.已知,則。13.已知，則?！?4．。15．計(jì)算：⑴.⑵．⑶.⑷.★16.計(jì)算及化簡:⑴.⑵.★１7.已知：為實(shí)數(shù),且，化簡:。二次根式的混合運(yùn)算一、填空1、計(jì)算:２、化簡:=,=。3、二次根式故意義時(shí)的的范圍是__＿＿_(dá)＿。４、若,則ｘ的范圍是。5、一個(gè)等腰直角三角形的腰長為4,則這個(gè)等腰三角形的面積為。6、代數(shù)式的最大值是_＿_(dá)_____＿_(dá)。7、計(jì)算:，=。8、把的根號外的因式移到根號內(nèi)得。９.若+故意義,則=____＿_(dá)_.1０.若是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是＿＿＿_(dá)＿_(dá)__．11.分母有理化：(1)=_________;(2）=__＿_(dá)＿_(dá)_＿；(３)=__＿_(dá)＿_(dá).1２.已知ｘ=3,y＝4,z=5，那么的最后結(jié)果是_＿_(dá)＿_(dá)__.1３.化簡=＿_(dá)_____＿_(dá).(x≥０）1４．a(chǎn)化簡二次根式號后的結(jié)果是＿_(dá)＿_(dá)_____.15.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式①2ｘ2－2７＝____＿_(dá)__,②4x4－1=_＿＿_(dá)____．42.設(shè)a，b，c為△ABC的三邊長,則+|a＋ｂ－c｜=____＿_(dá)_＿.４3.若0＜a<１，化簡＝＿_(dá)____＿＿，a＝＿_(dá)＿_(dá)_＿＿＿.４６.當(dāng)a<－ｂ<1時(shí)，化簡:的結(jié)果為＿_(dá)___。二、選擇題16、下列各式中不是二次根式的是(）(Ａ）（B）(C）（D)1７、下列運(yùn)算對的的是(）（A）(B)（C）２＋=2（D)1８、下列二次根式中與是同類二次根式的是()（A)（B)（C)(D）１９、化簡的結(jié)果為()(Ａ)–1(B)(C)(D)20、化簡的結(jié)果是()（A)–2(B)2（C)±2（D)４21、使代數(shù)式８故意義的的范圍是(）(A)(B)（C）（D)不存在22、若成立。則x的取值范圍為：（)(Ａ）x≥2（B）x≤３(C）2≤ｘ≤3(D）２＜x<323、若，則的值為:()(A）０（B）1(Ｃ)－1(D）224.使式子故意義的未知數(shù)x有（）個(gè).Ａ.0B．１Ｃ.2D．無數(shù)25．下列各式中、、、、、,二次根式的個(gè)數(shù)是(）.A．４B．3C.２D．１28.若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為cｍ和cm，那么此直角三角形斜邊長是（)Ａ.3cmB．3cｍＣ．9cmD．2７ｃｍ2９.化簡a的結(jié)果是(）.Ａ．B．C.－D．-30.等式成立的條件是（)A.x≥1Ｂ．x≥-１Ｃ．-1≤x≤1D．x≥1或x≤－１31.計(jì)算的結(jié)果是(）A.B．C.Ｄ．32．假如（y>0）是二次根式,那么，化為最簡二次根式是（）.A.（ｙ＞0)B．(y>0)C.（y＞0）D．以上都不對33.把（a-1）中根號外的(ａ-１)移入根號內(nèi)得（）.A．Ｂ.Ｃ.-D．－３４.在下列各式中，化簡對的的是（)A.=３B.=±Ｃ.＝a２D.=x３5．化簡的結(jié)果是(）A.-B．-C．－D.-36.已知ａ=,則a與b的關(guān)系是（）A.a=bB．a(chǎn)＝－bＣ．ａ＝Ｄ.ａ=-3７.計(jì)算(）（＋）-（+)２的結(jié)果是(）A.－7B.－７-２C.－7-4D.－6-43８.當(dāng)ｘ<５時(shí),的值是(）Ａ.x-5Ｂ．5－ｘC．５＋xD.－5－x39．若＝x+3，則x的取值應(yīng)為（）A.x≥3B．x≤3C.ｘ≥-3D.x≤－340.當(dāng)a＜0時(shí)，化簡的結(jié)果是（)A.1B．-1C.０D．-２a4１.已知：x=，y＝,則代數(shù)式x+y的值為(）A.4Ｂ．２Ｃ．D.計(jì)算題10、11、12、13、14、15、1６、3(２－４+3)１７、(1８、(７＋2）21９、（++)(－+)(ｘ＋２+ｙ）÷(＋)21、（x2－ｙ２)÷(+）化簡：(?解答題1、當(dāng)x是多少時(shí),+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)故意義？２、已知ｙ=+＋5,求的值.?3、已知a、b為實(shí)數(shù)，且+2＝b+4，求ａ、b的值.4.若-3≤x≤2時(shí),試化簡│x-2│++。?5．已知，且ｘ為偶數(shù),求（1+x)的值． 6.若ｘ、y為實(shí)數(shù)，且y=，求的值．已知：x=,求x2－x＋1的值.８．已知:ｘ=，y＝+,求的值.9.已知a2+b２－4ａ－2b＋５＝0,求的值.１０.當(dāng)|x－2|<1時(shí)，化簡+|1－x|.11、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:（1）x2－3（２)x4-４(3）2x2-312、當(dāng)x是多少時(shí),+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)故意義？13、已知y＝+＋5，求的值． 14、已知ａ、ｂ為實(shí)數(shù)，且+２＝b+4,求a、b的值．15.若-3≤ｘ≤2時(shí)，試化簡│x－2│++。１6.已知,且ｘ為偶數(shù),求（1+x)的值．１7.若x、y為實(shí)數(shù),且y=,求的值．已知:x＝,求x2-x+1的值．2０．已知:x=,y＝＋，求的值．2１．已知ａ２＋b２-４a-2b+5＝０,求的值.22.當(dāng)｜x-2|＜１時(shí)，化簡＋|1-x｜．【綜合訓(xùn)練】１．化簡：（1）____;（2）_＿_(dá)＿_(dá)（３）__＿＿;（4）___＿;（5）。２.)化簡=_______＿＿。3．計(jì)算的結(jié)果是A.2B.±2Ｃ.-2D.4４.化簡：(1）的結(jié)果是；（2）的結(jié)果是;（3)=；(4）5－2=＿_(dá)＿_(dá)__;（5)＋（5-）=_________；（6）;（7）=________；（8）．5．計(jì)算的結(jié)果是A、6B、C、2Ｄ、６．的倒數(shù)是。7.下列計(jì)算對的的是Ａ.?Ｂ. Ｃ．??Ｄ．8．下列運(yùn)算對的的是A、B、C、D、9．已知等邊三角形ABＣ的邊長為,則ΔABC的周長是_________＿_(dá)_；１0．比較大?。海?。11.使故意義的的取值范圍是.1２.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)故意義,則x的取值范圍是A.x＞-５ B.x<-5? C.x≠-5??D．x≥－513．函數(shù)中,自變量的取值范圍是.14.下列二次根式中,的取值范圍是≥２的是Ａ、ＥQ\Ｒ（,２－x)B、ＥＱ\R(，x+2)Ｃ、EQ\R(,x-2)D、EＱ\Ｒ(,EQ\F(1,ｘ－２))１5.下列根式中屬最簡二次根式的是A.B.Ｃ．D.１6．下列根式中不是最簡二次根式的是A．?B．C. D．1７.下列各式中與是同類二次根式的是A．2?Ｂ． ?C． Ｄ．1８．下列各組二次根式中是同類二次根式的是A.B．Ｃ.Ｄ.1９.)已知二次根式與是同類二次根式，則的α值可以是Ａ、5B、6C、7D、82０.若,則xy的值為A.B．Ｃ.Ｄ.21.若,則．22.如圖,在數(shù)軸上表達(dá)實(shí)數(shù)的點(diǎn)也許是A．點(diǎn)? B．點(diǎn)??Ｃ.點(diǎn)?D．點(diǎn)23.計(jì)算:(1）（２).(4)．先將÷化簡，然后自選一個(gè)合適的x值,代入化簡后的式子求值。25.若,則的取值范圍是A． ?B． C． ?Ｄ．２6.如圖,數(shù)軸上兩點(diǎn)表達(dá)的數(shù)分別為1和,點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)所表達(dá)的數(shù)是??B.?C.? D.鞏固訓(xùn)練２1.1二次根式1.使式子故意義的條件是。2.當(dāng)時(shí),故意義。3.若故意義,則的取值范圍是。4.當(dāng)時(shí)，是二次根式。5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：。6.若,則的取值范圍是。7．已知,則的取值范圍是。8.化簡：的結(jié)果是。9.當(dāng)時(shí)，。1０.把的根號外的因式移到根號內(nèi)等于。11.使等式成立的條件是。1２.若與互為相反數(shù)，則。13.在式子中，二次根式有（）Ａ.２個(gè)Ｂ.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)1４.下列各式一定是二次根式的是（）A.B.C.D.１5.若,則等于（）A.B.C.D.１6.若，則(）A．Ｂ.Ｃ．Ｄ.１7.若,則化簡后為（）A.B.Ｃ.D.１8.能使等式成立的的取值范圍是(）Ａ.B.Ｃ.Ｄ.１９．計(jì)算：的值是（)A．0Ｂ．C.D.或2０．下面的推導(dǎo)中開始犯錯(cuò)的環(huán)節(jié)是(）A.B.Ｃ.D.21.若,求的值。２2.當(dāng)取什么值時(shí),代數(shù)式取值最小,并求出這個(gè)最小值。23.去掉下列各根式內(nèi)的分母：24．已知，求的值。2５.已知為實(shí)數(shù),且,求的值。2１.2二次根式的乘除1.當(dāng),時(shí),。2.若和都是最簡二次根式,則。３.計(jì)算:。4.計(jì)算：。5．長方形的寬為，面積為,則長方形的長約為(精確到0．０１）。6.下列各式不是最簡二次根式的是()A．Ｂ.C.D.７．已知,化簡二次根式的對的結(jié)果為（）Ａ.Ｂ.C．Ｄ.８．對于所有實(shí)數(shù)，下列等式總能成立的是()A.B.C.D.9.和的大小關(guān)系是(）A.Ｂ.C.D.不能擬定10．對于二次根式，以下說法中不對的的是(）A.它是一個(gè)非負(fù)數(shù)B.它是一個(gè)無理數(shù)C．它是最簡二次根式D.它的最小值為３11.計(jì)算：１2.化簡:21.3二次根式的加減１．下列根式中，與是同類二次根式的是（）A.B.C.