2019年數(shù)學(xué)高考試題(附答案)

2019年數(shù)學(xué)高考試題(附答案)一、選擇題1．在復(fù)平面內(nèi)，為原點，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若點關(guān)于直線的對稱點為點，則向量A．C．對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()B．D．2．4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的概率是（）A．B．C．D．3．右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入分別為14,18，則輸出的（）A．0B．2C．4D．144．展開式中的系數(shù)為（）A．15B．20C．30D．355．在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為A．10B．11C．12D．156．在△A．中，為邊上的中線，為的中點，則B．C．D．7．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次,在第一次正面向上的條件下,第二次反面向上的概率為()A．B．C．D．8．已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則的取值范圍是（）A．C．B．D．9．A．B．C．D．10．在△中，是邊中點，角的對邊分別是，若，則△的形狀為（）A．直角三角形B．鈍角三角形C．等邊三角形D．等腰三角形但不是等邊三角形.11．下列函數(shù)中，最小正周期為，且圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)是（）A．C．B．D．12．已知非零向量與滿足且，則的形狀是（）A．三邊均不相等的三角形B．等腰直角三角形C．等邊三角形D．以上均有可能二、填空題13．已知曲線在點處的切線與曲線相切,則a=．14．在中，角的對邊分別為，，，且為銳角，則面積的最大值為________.15．在平行四邊形ABCD中，，邊AB，AD的長分別為2和1，若M，N分別是邊BC，CD上的點,的取值范圍是_________．且滿足，則16．冪函數(shù)y=xα,當(dāng)α取不同的正數(shù)時,在區(qū)間[0,1]上它們的圖像是一族美麗的曲線(如圖).設(shè)點A(1,0),B(0,1),連接AB,線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y=xα,y=xβ的圖像三等分,即有BM=MN=NA,那么,αβ等于_____.17．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為▲18．從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）19．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.現(xiàn)有拋物線，如圖一平行于軸的光線射向拋物線，經(jīng)兩次反射后沿平行軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為4，則該拋物線的方程為__________．20．如圖，已知P是半徑為2，圓心角為的一段圓弧AB上一點，_______．，則的最小值為三、解答題21．設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.（1）求點P的軌跡方程；（2）設(shè)點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.22．已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標(biāo)方程.23．一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字，，，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為，，.（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數(shù)字，，不完全相同”的概率.24．已知函數(shù)（1）若函數(shù).，求的極值；（2）證明：.（參考數(shù)據(jù)：）25．如圖所示，在四面體PABC中，PC⊥AB，點D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點，求證：(1)DE∥平面BCP；(2)四邊形DEFG為矩形．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．A解析：A【解析】【分析】首先根據(jù)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，得到點A的坐標(biāo)，結(jié)合點A與點B關(guān)于直線對稱得到點B的坐標(biāo)，從而求得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，得到結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，點關(guān)于直線的對稱點為，所以向量故選A．【點睛】對應(yīng)的復(fù)數(shù)為．該題是一道復(fù)數(shù)與向量的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是掌握復(fù)數(shù)在平面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示.2．B解析：B【解析】試題分析：由題意知本題是一個古典概型概率的計算問題．從這4張卡片中隨機抽取2張，總的方法數(shù)是種，數(shù)學(xué)之和為偶數(shù)的有兩種，所以所求概率為，選．考點：古典概型．3．B解析：B【解析】【分析】【詳解】由a=14，b=18，a＜b，則b變?yōu)?8﹣14=4，由a＞b，則a變?yōu)?4﹣4=10，由a＞b，則a變?yōu)?0﹣4=6，由a＞b，則a變?yōu)?﹣4=2，由a＜b，則b變?yōu)?﹣2=2，由a=b=2，則輸出的a=2．故選B．4．C解析：C【解析】【分析】利用多項式乘法將式子展開,根據(jù)二項式定理展開式的通項即可求得的系數(shù).【詳解】根據(jù)二項式定理展開式通項為則則展開式的通項為展開式中的項為則展開式中的系數(shù)為故選:C【點睛】本題考查了二項定理展開式的應(yīng)用,指定項系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.5．B解析：B【解析】【分析】【詳解】由題意知與信息第一類：與信息第二類：與信息至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有有一個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同有個；個；第三類：與信息沒有位置上的數(shù)字相同有個，由分類計數(shù)原理與信息故選B．至多有兩個數(shù)字對應(yīng)位置相同的共有個，6．A解析：A【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加，下一步應(yīng)用法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.點睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運算.7．C解析：C【解析】【分析】由題意，求得【詳解】的值，再由條件概率的計算公式，即可求解.記事件A表示“第一次正面向上”,事件B表示“第二次反面向上”,則P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故選C.【點睛】本題主要考查了條件概率的計算，其中解答中認(rèn)真審題，熟記條件概率的計算公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．D解析：D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性特點，兩段函數(shù)在各自的定義域內(nèi)均單調(diào)遞增，同時要考慮端點處的函數(shù)值.【詳解】要使函數(shù)在R上為增函數(shù)，須有在上遞增，在上遞增，所以，解得.故選D.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想的靈活運用，求解時不漏掉端點處函數(shù)值的考慮.9．C解析：C【解析】【分析】由，利用兩角和的正弦公式以及特殊角的三角函數(shù)，化簡即可.【詳解】．故選C．【點睛】三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向．10．C解析：C【解析】【分析】【詳解】解答：由已知條件得；根據(jù)共面向量基本定理得：∴△ABC為等邊三角形。故答案為：等邊三角形。11．B解析：B【解析】【分析】首先選項C中函數(shù)的周期為,故排除C,將,故排除C,將,代入A,B,D求得函數(shù)值,而函數(shù),代入A,B,D求得函數(shù)值為在對稱軸處取最值,即可求出結(jié)果.【詳解】先選項C中函數(shù),而函數(shù)的周期為在對稱軸處取最值.故選:.【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期性、對稱性,難度較易.12．C解析：C【解析】【分析】和分別表示向量垂直，可知和向量方向上的單位向量，表示平分線所在的直線與【詳解】為等腰三角形，再由可求出，即得三角形形狀。由題的，∵，∴平分線所在的直線與垂直，∴為等腰三角形.又，∴，∴，故為等邊三角形.故選：C【點睛】本題考查向量的幾何意義和三角形角平分線的性質(zhì)，以及求兩個向量的夾角，是一道中檔難度的綜合題。二、填空題13．8【解析】試題分析：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為所以切線方程為；曲線的導(dǎo)函數(shù)的為因與該曲線相切可令當(dāng)時曲線為直線與直線平行不符合題意；當(dāng)時代入曲線方程可求得切點代入切線方程即可求得考點：導(dǎo)函數(shù)的運用【方法點睛】解析：8【解析】試題分析：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)，所以切線方程為；曲線的導(dǎo)函數(shù)的為，因與該曲線相切，可令時，曲線為直線，與直線平行，不符合題意；當(dāng)時，代入曲線方程可求得切點，代入切線方程即可求得.考點：導(dǎo)函數(shù)的運用.【方法點睛】求曲線在某一點的切線，可先求得曲線在該點的導(dǎo)函數(shù)值，也即該點切線的斜率值，再由點斜式得到切線的方程，當(dāng)已知切線方程而求函數(shù)中的參數(shù)時，可先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)的值等于切線的斜率，這樣便能確定切點的橫坐標(biāo)，再將橫坐標(biāo)代入曲線（切線）得到縱坐標(biāo)得到切點坐標(biāo)，并代入切線（曲線）方程便可求得參數(shù)．14．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得從而利用三角形面積公式可得結(jié)果【詳解】因為又所以又為銳角可得因為所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立即即當(dāng)時面積的最大值為故答案為【點睛】本題主解析：【解析】【分析】由，，利用正弦定理求得.，再由余弦定理可得，利用基本不等式可得【詳解】因為，從而利用三角形面積公式可得結(jié)果.，又，所以因為，又為銳角，可得.，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，即當(dāng)時，面積的最大值為.故答案為.【點睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.15．【解析】【分析】畫出圖形建立直角坐標(biāo)系利用比例關(guān)系求出的坐標(biāo)然后通過二次函數(shù)求出數(shù)量積的范圍【詳解】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系則設(shè)則所以因為二次函數(shù)的對稱軸為：所以時故答案為：【點睛】本題考查向量解析：【解析】【分析】畫出圖形，建立直角坐標(biāo)系，利用比例關(guān)系，求出圍．，的坐標(biāo)，然后通過二次函數(shù)求出數(shù)量積的范【詳解】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，則，，，，所以，，，因為，二次函數(shù)的對稱軸為：，所以時，．故答案為：【點睛】本題考查向量的綜合應(yīng)用，平面向量的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，考查計算能力，屬于中檔題．16．【解析】【分析】由條件得MN則結(jié)合對數(shù)的運算法則可得αβ=1【詳解】由條件得MN可得即α=loβ=lo所以αβ=lo·lo=1【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì)對數(shù)的運算法則及其應(yīng)用等知識意在考查學(xué)生解析：【解析】【分析】由條件,得M【詳解】,N,N,則,結(jié)合對數(shù)的運算法則可得αβ=1.由條件,得M,可得,即α=lo,β=lo.所以αβ=lo·lo=1.【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)的運算法則及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.17．1：8【解析】考查類比的方法所以體積比為1∶8解析：1：8【解析】考查類比的方法，，所以體積比為1∶8.18．【解析】【分析】首先想到所選的人中沒有女生有多少種選法再者需要確定從人中任選人的選法種數(shù)之后應(yīng)用減法運算求得結(jié)果【詳解】根據(jù)題意沒有女生入選有種選法從名學(xué)生中任意選人有種選法故至少有位女生入選則不同解析：【解析】【分析】首先想到所選的人中沒有女生，有多少種選法，再者需要確定從人中任選人的選法種數(shù)，之后應(yīng)用減法運算，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，沒有女生入選有種選法，從名學(xué)生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有【點睛】種，故答案是.該題是一道關(guān)于組合計數(shù)的題目，并且在涉及到“至多、至少”問題時多采用間接法，一般方法是得出選人的選法種數(shù)，間接法就是利用總的減去沒有女生的選法種數(shù)，該題還可以用直接法，分別求出有名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運算求解.19．【解析】【分析】先由題意得到必過拋物線的焦點設(shè)出直線的方程聯(lián)立直線與拋物線方程表示出弦長再根據(jù)兩平行線間的最小距離時最短進而可得出結(jié)果【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得：必過拋物線的焦點當(dāng)直線斜率存在時解析：【解析】【分析】先由題意得到再根據(jù)兩平行線間的最小距離時，必過拋物線的焦點，設(shè)出直線最短，進而可得出結(jié)果.的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出弦長，【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得：必過拋物線的焦點，當(dāng)直線由斜率存在時，設(shè)的方程為，，得：，整理得，所以，，；所以當(dāng)直線斜率不存在時，易得；綜上，當(dāng)直線與軸垂直時，弦長最短，又因為兩平行光線間的最小距離為4，最小時，兩平行線間的距離最??；因此，所求方程為.故答案為【點睛】本題主要考查直線與拋物線位置關(guān)系，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理、弦長公式等求解，屬于?？碱}型.20．5﹣【解析】【分析】設(shè)圓心為OAB中點為D先求出再求PM的最小值得解【詳解】設(shè)圓心為OAB中點為D由題得取AC中點M由題得兩方程平方相減得要使取最小值就是PM最小當(dāng)圓弧AB的圓心與點PM共線時PM最解析：5﹣【解析】【分析】設(shè)圓心為O,AB中點為D,先求出，再求PM的最小值得解.【詳解】設(shè)圓心為O,AB中點為D,由題得.取AC中點M，由題得兩方程平方相減得,，要使取最小值，就是PM最小，當(dāng)圓弧AB的圓心與點P、M共線時，PM最小.此時DM=,所以PM有最小值為2﹣，代入求得的最小值為5﹣．故答案為5﹣【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查平面向量的數(shù)量積及其最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題21．（1）；（2）見解析.【解析】【分析】【詳解】試題分析：（1）轉(zhuǎn)移法求軌跡：設(shè)所求動點坐標(biāo)及相應(yīng)已知動點坐標(biāo)，利用條件列兩種坐標(biāo)關(guān)系，最后代入已知動點軌跡方程，化簡可得所求軌跡方程；（2）證明直線過定點問題，一般方法是以算代證：即證，先設(shè)P（m，n），則需證，即根據(jù)條件可得，而，代入即得.試題解析：解：（1）設(shè)P（x，y），M（）,則N（），由得.因為M（）在C上，所以.因此點P的軌跡為.由題意知F（-1,0），設(shè)Q（-3，t），P（m，n），則，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.點睛:定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒成立的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).22．(1)x2+y2-2x-2y-2=0(2)ρsin(θ+)=【解析】(1)∵ρ=2,∴ρ2=4,即x2+y2=4.∵ρ2-2ρcos(θ-)=2,∴ρ2-2ρ(cosθcos+sinθsin)=2.∴x2+y2-2x-2y-2=0.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減,得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x+y=1.化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin(θ+)=.23．（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）所有的可能結(jié)果得“抽取的卡片上的數(shù)字滿足共有”的概率；種，而滿足的共計3個，由此求（2）所有的可能結(jié)果共有種，用列舉法求得滿足“抽取的卡片上的數(shù)字、、完全相同”的共計三個，由此求得“抽取的卡片上的數(shù)字、、完全相同”的概率，再用1減去此概率，即得所求．試題解析：（1）所有的可能結(jié)果共有、種，而滿足的有、共計3個故“抽取的卡片上的數(shù)字滿足（2）所有的可能結(jié)果”的概率為共有種滿足“抽取的卡片上的數(shù)字、、完全相同”的故“抽取的卡片上的數(shù)字、、完全相同”的概率為有、、共計三個所以“抽取的卡片上的數(shù)字、、不完全相同”的概率為考點：獨立事件的概率．【方法點睛】求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對立事件的概率，然后再應(yīng)用公式求解．如果采用方法一，一定要將事件拆分成若干個互斥事件，不能重復(fù)和遺漏；如果采用方法二，一定要找準(zhǔn)其對立事件，否則容易出現(xiàn)錯誤．24．（1）見解析；（2）見證明【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為證ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0，根據(jù)xlnx≤x（x﹣1），問題轉(zhuǎn)化為只需證明當(dāng)x＞0時，ex﹣2x2+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣2x2+x﹣1，（x≥0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】（1），，當(dāng)，，當(dāng)，，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.（2）要證f（x）+1＜ex﹣x2．即證ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0，先證明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，則h′（x）＝易知h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，，故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”，故xl