剖析導(dǎo)數(shù)在高考中的考查熱點

剖析導(dǎo)數(shù)在高考中的考查熱點微積分是近代數(shù)學(xué)最偉大的成就，中學(xué)階段把微積分最核心的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容，列為學(xué)習(xí)與考試的要求.由于導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，又有著豐富的實際背景和廣泛的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)也自然成為了歷屆高考考查的熱門之一.縱觀2007年全國各地37份文理卷，有近三分之二的試卷既出現(xiàn)了考查導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識的客觀題，又有考查導(dǎo)數(shù)綜合運用的解答題.在客觀題中，試題主要涉及導(dǎo)數(shù)的計算、求曲線的切線、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值等知識點的簡單運用；在解答題中，試題更體現(xiàn)了對導(dǎo)數(shù)綜合運用較高的能力要求.下面結(jié)合2007年高考數(shù)學(xué)中的解答題，談?wù)剬?dǎo)數(shù)考查時中的幾類主要題型.一、研究函數(shù)性質(zhì)導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)問題的利刃，常用來解決極值、最大（?。┲?、單調(diào)性等三類問題.在求解這些函數(shù)問題時，要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的思想與理解性質(zhì)的基礎(chǔ)上，掌握用導(dǎo)數(shù)方法求解的一般步驟，列表歸納如下：在熟練運用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì)同時，我們要注意比較研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法與初等方法，體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性.點評此題若用初等方法求函數(shù)f（X）的單調(diào)區(qū)間，則十分困難，而采用導(dǎo)數(shù)方法來研究，通過“求導(dǎo)f解不等式f寫單調(diào)區(qū)間”這三步，即可簡捷地完成解答.一般來說，用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)f（X）的最大（?。┲?，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f' （X）,再解f′ （X）=0得到極值點，最后列表分析得出結(jié)論.此題的解法，省了列表的繁瑣，直接依據(jù)單調(diào)性分析極值點的歸屬，并結(jié)合區(qū)間端點值的比較而進行求解.二、證明不等式成立證明不等式的方法有許多，導(dǎo)數(shù)作為研究一些不等式恒成立問題的工具，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用上的新穎性以及導(dǎo)數(shù)思想的重要性.由導(dǎo)數(shù)方法研究不等式時，一般是先構(gòu)造一個函數(shù)，借助對函數(shù)單調(diào)性或最大（?。┲档难芯?，經(jīng)歷某些代數(shù)變形，得到待證明的不等式.綜上可知，當(dāng)x>1時，恒有x>1-ln2x-2alnx+1.點評觀察第二個問題中待證明的不等式，易發(fā)現(xiàn)與函數(shù)f（X）有著同樣般的“相貌”，結(jié)合函數(shù)思想在不等式證明中的作用，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f(x)在(1,十8)上的單調(diào)性及最小值.此道高考題主要考查了導(dǎo)數(shù)的概念與計算，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值和證明不等式的方法，這體現(xiàn)了高考中對綜合運用導(dǎo)數(shù)知識解決問題的能力要求．三、求解參數(shù)范圍給定含有參數(shù)的函數(shù)以及相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，求解參數(shù)的值或范圍，需要我們靈活運用導(dǎo)數(shù)這一工具，對問題實施正確的等價轉(zhuǎn)化，列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式.在此類含參問題的求解過程中，逆向思維的作用尤其重要.例3(2007年全國I卷/文20)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值.(1)求a、b的值；(2)若對于任意的x?綴[0,3],都有f(x)<c2成立，求c的取值范圍.解析(1)f,(x)=6乂2+6己乂+3>因函數(shù)f(x)在x=1及x=2取得極值，則有f'(1)=0,f'(2)=0,即有點評依據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的理論，將極值點轉(zhuǎn)化為方程f'(x)=0的根，由方程思想易求得兩個待定的系數(shù).解第二個問題的方法與前面證明不等式的思路類似,利用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)最大值進行研究，然后將含參不等式恒成立的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式而得到所研究參數(shù)的范圍.四、研究相切問題導(dǎo)數(shù)的幾何意義表現(xiàn)為曲線的切線斜率值，從而利用導(dǎo)數(shù)可求曲線y=f(x)的切線，并進一步將導(dǎo)數(shù)融合到函數(shù)與解析幾何的交匯問題中.解決此類相切問題，一般先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=f,(X),依據(jù)曲線y=f(x)在x=x0的切線斜率為而進行研究.由于切點具有雙重身份，既在切線上，又在函數(shù)圖像上，從而對切點的研究可作為解決問題的紐帶，特別是在不知道具體切點的情況下，常常設(shè)切點坐標(biāo)并聯(lián)立方程組而求解.例4(2007年全國H卷/理22)已知函數(shù)f(x)=x3-x.點評依據(jù)切線的斜率等于切點處的導(dǎo)數(shù)值，易輕松完成第一個問題關(guān)于切線方程的求解；第二個問題所涉及的三條切線，可等價轉(zhuǎn)化為方程有三個實數(shù)根的問題，進一步利用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的研究，可解決方程實數(shù)根個數(shù)的討論.五、解決實踐問題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、生活等實際問題中，常常需要研究一些成本最低、利潤最大、用料最省的問題.我們先把實際情景翻譯為數(shù)學(xué)語言，找出情景中主要的關(guān)系，抽象出具體的數(shù)學(xué)問題，化歸為研究目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲?，從而可利用導(dǎo)數(shù)方法簡捷求解，此類問題稱為優(yōu)化問題.解答此類問題時，需要抓住三個基本步驟：①建立函數(shù)關(guān)系；②求極值點，確定最大（?。┲?；③回歸優(yōu)化方案.例5（2007年北京卷/理19）如右圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為2r,短半軸長為r,計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x,梯形面積為S.（1）求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（2）求面積S的最大值.解析（1）依題意，以AB的中點O為原點建立直角坐標(biāo)系O-xy（如右圖），則點C的橫坐標(biāo)為x.點評解決實際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù).此題以鋼板的切割作為背景，綜合了圓錐曲線的運用.在用導(dǎo)數(shù)工具來研究目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲担矝]有進行列表分析，而是通過對單調(diào)性的分析及端點函數(shù)值的比較，得到目標(biāo)函數(shù)的最大值.由上可知，導(dǎo)數(shù)思想方法具有程序化、易掌握的顯著特點，它是一種有力的工具，可以作為解決函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、函數(shù)在閉區(qū)間上的最大（?。┲档然痉椒?導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用為研究函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖像開辟了新的捷徑，成