北京市2023年中考數(shù)學試卷

北京市2023年中考數(shù)學試卷2023年北京市中考數(shù)學試卷一、選擇題〔此題共30分，每題3分〕1．〔3分〕如下圖，點P到直線l的距離是〔〕A．線段PA的長度 B．線段PB的長度 C．線段PC的長度 D．線段PD的長度2．〔3分〕假設代數(shù)式有意義，那么實數(shù)x的取值范圍是〔〕A．x=0 B．x=4 C．x≠0 D．x≠43．〔3分〕如圖是某個幾何體的展開圖，該幾何體是〔〕A．三棱柱 B．圓錐 C．四棱柱 D．圓柱4．〔3分〕實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應點的位置如下圖，那么正確的結論是〔〕A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．b+c＞05．〔3分〕以下圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是〔〕A． B． C． D．6．〔3分〕假設正多邊形的一個內角是150°，那么該正多邊形的邊數(shù)是〔〕A．6 B．12 C．16 D．187．〔3分〕如果a2+2a﹣1=0，那么代數(shù)式〔a﹣〕?的值是〔〕A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．38．〔3分〕下面的統(tǒng)計圖反映了我國與“一帶一路〞沿線局部地區(qū)的貿易情況．2023﹣2023年我國與東南亞地區(qū)和東歐地區(qū)的貿易額統(tǒng)計圖〔以上數(shù)據(jù)摘自?“一帶一路〞貿易合作大數(shù)據(jù)報告〔2023〕?〕根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，以下推理不合理的是〔〕A．與2023年相比，2023年我國與東歐地區(qū)的貿易額有所增長B．2023﹣2023年，我國與東南亞地區(qū)的貿易額逐年增長C．2023﹣2023年，我國與東南亞地區(qū)的貿易額的平均值超過4200億美元D．2023年我國與東南亞地區(qū)的貿易額比我國與東歐地區(qū)的貿易額的3倍還多9．〔3分〕小蘇和小林在如圖1所示的跑道上進行4×50米折返跑．在整個過程中，跑步者距起跑線的距離y〔單位：m〕與跑步時間t〔單位：s〕的對應關系如圖2所示．以下表達正確的選項是〔〕A．兩人從起跑線同時出發(fā)，同時到達終點B．小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小蘇前15s跑過的路程大于小林前15s跑過的路程D．小林在跑最后100m的過程中，與小蘇相遇2次10．〔3分〕如圖顯示了用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌嶒灥慕Y果．下面有三個推斷：①當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上〞的次數(shù)是308，所以“釘尖向上〞的概率是0.616；②隨著實驗次數(shù)的增加，“釘尖向上〞的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“釘尖向上〞的概率是0.618；③假設再次用計算機模擬實驗，那么當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上〞的概率一定是0.620．其中合理的是〔〕A．① B．② C．①② D．①③二、填空題〔此題共18分，每題3分〕11．〔3分〕寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)：．12．〔3分〕某活動小組購置了4個籃球和5個足球，一共花費了435元，其中籃球的單價比足球的單價多3元，求籃球的單價和足球的單價．設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，依題意，可列方程組為．13．〔3分〕如圖，在△ABC中，M、N分別為AC，BC的中點．假設S△CMN=1，那么S四邊形ABNM=．14．〔3分〕如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點，=．假設∠CAB=40°，那么∠CAD=．15．〔3分〕如圖，在平面直角坐標系xOy中，△AOB可以看作是△OCD經(jīng)過假設干次圖形的變化〔平移、軸對稱、旋轉〕得到的，寫出一種由△OCD得到△AOB的過程：．16．〔3分〕圖1是“作直角三角形的外接圓〞的尺規(guī)作圖過程：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圓．作法：如圖2．〔1〕分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點；〔2〕作直線PQ，交AB于點O；〔3〕以O為圓心，OA為半徑作⊙O．⊙O即為所求作的圓．請答復：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是．三、解答題〔此題共72分，第17題-26題，每題5分，第27題7分，第28題7分，第29題8分〕解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．〔5分〕計算：4cos30°+〔1﹣〕0﹣+|﹣2|．18．〔5分〕解不等式組：．19．〔5分〕如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．求證：AD=BC．20．〔5分〕數(shù)學家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，那么所容兩長方形面積相等〔如下圖〕〞這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補〞原理復原了?海島算經(jīng)?九題古證．〔以上材料來源于?古證復原的原理?、?吳文俊與中國數(shù)學?和?古代世界數(shù)學泰斗劉徽?〕請根據(jù)該圖完成這個推論的證明過程．證明：S矩形NFGD=S△ADC﹣〔S△ANF+S△FGC〕，S矩形EBMF=S△ABC﹣〔+〕．易知，S△ADC=S△ABC，=，=．可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．21．〔5分〕關于x的一元二次方程x2﹣〔k+3〕x+2k+2=0．〔1〕求證：方程總有兩個實數(shù)根；〔2〕假設方程有一根小于1，求k的取值范圍．22．〔5分〕如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E為AD的中點，連接BE．〔1〕求證：四邊形BCDE為菱形；〔2〕連接AC，假設AC平分∠BAD，BC=1，求AC的長．23．〔5分〕如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=〔x＞0〕的圖象與直線y=x﹣2交于點A〔3，m〕．〔1〕求k、m的值；〔2〕點P〔n，n〕〔n＞0〕，過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x﹣2于點M，過點P作平行于y軸的直線，交函數(shù)y=〔x＞0〕的圖象于點N．①當n=1時，判斷線段PM與PN的數(shù)量關系，并說明理由；②假設PN≥PM，結合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍．24．〔5分〕如圖，AB是⊙O的一條弦，E是AB的中點，過點E作EC⊥OA于點C，過點B作⊙O的切線交CE的延長線于點D．〔1〕求證：DB=DE；〔2〕假設AB=12，BD=5，求⊙O的半徑．25．〔5分〕某工廠甲、乙兩個部門各有員工400人，為了解這兩個部門員工的生產技能情況，進行了抽樣調查，過程如下，請補充完整．收集數(shù)據(jù)從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工，進行了生產技能測試，測試成績〔百分制〕如下：甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807040整理、描述數(shù)據(jù)按如下分數(shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù)：成績x人數(shù)部門40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲0011171乙〔說明：成績80分及以上為生產技能優(yōu)秀，70﹣﹣79分為生產技能良好，60﹣﹣69分為生產技能合格，60分以下為生產技能不合格〕分析數(shù)據(jù)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：部門平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲78.377.575乙7880.581得出結論：a．估計乙部門生產技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為；b．可以推斷出部門員工的生產技能水平較高，理由為．〔至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性〕26．〔5分〕如圖，P是所對弦AB上一動點，過點P作PM⊥AB交于點M，連接MB，過點P作PN⊥MB于點N．AB=6cm，設A、P兩點間的距離為xcm，P、N兩點間的距離為ycm．〔當點P與點A或點B重合時，y的值為0〕小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究．下面是小東的探究過程，請補充完整：〔1〕通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表：x/cm0123456y/cm02.02.32.10.90〔說明：補全表格時相關數(shù)值保存一位小數(shù)〕〔2〕建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象．〔3〕結合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當△PAN為等腰三角形時，AP的長度約為cm．27．〔7分〕在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2﹣4x+3與x軸交于點A、B〔點A在點B的左側〕，與y軸交于點C．〔1〕求直線BC的表達式；〔2〕垂直于y軸的直線l與拋物線交于點P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，與直線BC交于點N〔x3，y3〕，假設x1＜x2＜x3，結合函數(shù)的圖象，求x1+x2+x3的取值范圍．28．〔7分〕在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動點〔與點B、C不重合〕，連接AP，延長BC至點Q，使得CQ=CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M．〔1〕假設∠PAC=α，求∠AMQ的大小〔用含α的式子表示〕．〔2〕用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關系，并證明．29．〔8分〕在平面直角坐標系xOy中的點P和圖形M，給出如下的定義：假設在圖形M上存在一點Q，使得P、Q兩點間的距離小于或等于1，那么稱P為圖形M的關聯(lián)點．〔1〕當⊙O的半徑為2時，①在點P1〔，0〕，P2〔，〕，P3〔，0〕中，⊙O的關聯(lián)點是．②點P在直線y=﹣x上，假設P為⊙O的關聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍．〔2〕⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點A、B．假設線段AB上的所有點都是⊙C的關聯(lián)點，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍．2023年北京市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題〔此題共30分，每題3分〕1．〔3分〕〔2023?北京〕如下圖，點P到直線l的距離是〔〕A．線段PA的長度 B．線段PB的長度 C．線段PC的長度 D．線段PD的長度【分析】根據(jù)點到直線的距離是垂線段的長度，可得答案．【解答】解：由題意，得點P到直線l的距離是線段PB的長度，應選：B．【點評】此題考查了點到直線的距離，利用點到直線的距離是解題關鍵．2．〔3分〕〔2023?北京〕假設代數(shù)式有意義，那么實數(shù)x的取值范圍是〔〕A．x=0 B．x=4 C．x≠0 D．x≠4【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可求出x的范圍；【解答】解：由代數(shù)式有意義可知：x﹣4≠0，∴x≠4，應選〔D〕【點評】此題考查分式有意義的條件，解題的關鍵是正確理解分式有意義的條件，此題屬于根底題型．3．〔3分〕〔2023?北京〕如圖是某個幾何體的展開圖，該幾何體是〔〕A．三棱柱 B．圓錐 C．四棱柱 D．圓柱【分析】側面為三個長方形，底邊為三角形，故原幾何體為三棱柱．【解答】解：觀察圖形可知，這個幾何體是三棱柱．應選：A．【點評】此題考查的是三棱柱的展開圖，考法較新穎，需要對三棱柱有充分的理解．4．〔3分〕〔2023?北京〕實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應點的位置如下圖，那么正確的結論是〔〕A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．b+c＞0【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置關系，可得a，b，c，d的大小，根據(jù)有理數(shù)的運算，絕對值的性質，可得答案．【解答】解：由數(shù)軸上點的位置，得a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．A、a＜﹣4，故A不符合題意；B、bd＜0，故B不符合題意；C、|a|＞4=|d|，故C符合題意；D、b+c＜0，故D不符合題意；應選：C．【點評】此題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用數(shù)軸上點的位置關系得出a，b，c，d的大小是解題關鍵．5．〔3分〕〔2023?北京〕以下圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是〔〕A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故本選項正確；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤．應選A．【點評】此題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩局部折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩局部重合．6．〔3分〕〔2023?北京〕假設正多邊形的一個內角是150°，那么該正多邊形的邊數(shù)是〔〕A．6 B．12 C．16 D．18【分析】根據(jù)多邊形的內角和，可得答案．【解答】解：設多邊形為n邊形，由題意，得〔n﹣2〕?180°=150n，解得n=12，應選：B．【點評】此題考查了多邊形的內角與外角，利用內角和公式是解題關鍵．7．〔3分〕〔2023?北京〕如果a2+2a﹣1=0，那么代數(shù)式〔a﹣〕?的值是〔〕A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】根據(jù)分式的減法和乘法可以化簡題目中的式子，然后對a2+2a﹣1=0變形即可解答此題．【解答】解：〔a﹣〕?===a〔a+2〕=a2+2a，∵a2+2a﹣1=0，∴a2+2a=1，∴原式=1，應選C．【點評】此題考查分式的化簡求值，解答此題的關鍵是明確分式化簡求值的方法．8．〔3分〕〔2023?北京〕下面的統(tǒng)計圖反映了我國與“一帶一路〞沿線局部地區(qū)的貿易情況．2023﹣2023年我國與東南亞地區(qū)和東歐地區(qū)的貿易額統(tǒng)計圖〔以上數(shù)據(jù)摘自?“一帶一路〞貿易合作大數(shù)據(jù)報告〔2023〕?〕根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，以下推理不合理的是〔〕A．與2023年相比，2023年我國與東歐地區(qū)的貿易額有所增長B．2023﹣2023年，我國與東南亞地區(qū)的貿易額逐年增長C．2023﹣2023年，我國與東南亞地區(qū)的貿易額的平均值超過4200億美元D．2023年我國與東南亞地區(qū)的貿易額比我國與東歐地區(qū)的貿易額的3倍還多【分析】利用折線統(tǒng)計圖結合相應數(shù)據(jù)，分別分析得出符合題意的答案．【解答】解：A、由折線統(tǒng)計圖可得：與2023年相比，2023年我國與東歐地區(qū)的貿易額有所增長，正確，不合題意；B、由折線統(tǒng)計圖可得：2023﹣2023年，我國與東南亞地區(qū)的貿易額2023年后有所下降，故逐年增長錯誤，故此選項錯誤，符合題意；C、2023﹣2023年，我國與東南亞地區(qū)的貿易額的平均值為：〔3632.5+4003.0+4436.5+4803.6+4718.7+4554.4〕÷6≈4358，故超過4200億美元，正確，不合題意，D、∵4554.4÷1368.2≈3.33，∴2023年我國與東南亞地區(qū)的貿易額比我國與東歐地區(qū)的貿易額的3倍還多，應選：B．【點評】此題主要考查了折線統(tǒng)計圖，利用折線統(tǒng)計圖獲取正確信息是解題關鍵．9．〔3分〕〔2023?北京〕小蘇和小林在如圖1所示的跑道上進行4×50米折返跑．在整個過程中，跑步者距起跑線的距離y〔單位：m〕與跑步時間t〔單位：s〕的對應關系如圖2所示．以下表達正確的選項是〔〕A．兩人從起跑線同時出發(fā)，同時到達終點B．小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小蘇前15s跑過的路程大于小林前15s跑過的路程D．小林在跑最后100m的過程中，與小蘇相遇2次【分析】通過函數(shù)圖象可得，兩人從起跑線同時出發(fā)，小林先到達終點，小蘇后到達終點，小蘇用的時間多，而路程相同，根據(jù)速度=，根據(jù)行程問題的數(shù)量關系可以求出甲、乙的速度，所以小蘇跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根據(jù)圖象小蘇前15s跑過的路程小于小林前15s跑過的路程，兩人相遇時，即實線與虛線相交的地方有兩次，即可解答．【解答】解：由函數(shù)圖象可知：兩人從起跑線同時出發(fā)，先后到達終點，小林先到達終點，故A錯誤；根據(jù)圖象兩人從起跑線同時出發(fā)，小林先到達終點，小蘇后到達終點，小蘇用的時間多，而路程相同，根據(jù)速度=，所以小蘇跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B錯誤；根據(jù)圖象小蘇前15s跑過的路程小于小林前15s跑過的路程，故C錯誤；小林在跑最后100m的過程中，兩人相遇時，即實線與虛線相交的地方，由圖象可知2次，故D正確；應選：D．【點評】此題主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力，要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論．10．〔3分〕〔2023?北京〕如圖顯示了用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌嶒灥慕Y果．下面有三個推斷：①當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上〞的次數(shù)是308，所以“釘尖向上〞的概率是0.616；②隨著實驗次數(shù)的增加，“釘尖向上〞的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“釘尖向上〞的概率是0.618；③假設再次用計算機模擬實驗，那么當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上〞的概率一定是0.620．其中合理的是〔〕A．① B．② C．①② D．①③【分析】根據(jù)圖形和各個小題的說法可以判斷是否正確，從而可以解答此題．【解答】解：當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上〞的次數(shù)是308，所以此時“釘尖向上〞的可能性是：308÷500=0.616，但“釘尖向上〞的概率不一定是0.616，故①錯誤，隨著實驗次數(shù)的增加，“釘尖向上〞的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“釘尖向上〞的概率是0.618．故②正確，假設再次用計算機模擬實驗，那么當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上〞的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③錯誤，應選B．【點評】此題考查利用頻率估計概率，解答此題的關鍵是明確概率的定義，利用數(shù)形結合的思想解答．二、填空題〔此題共18分，每題3分〕11．〔3分〕〔2023?北京〕寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)：π．【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義即可．【解答】解：寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)：π，故答案為：π．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，，0.8080080008…〔每兩個8之間依次多1個0〕等形式．12．〔3分〕〔2023?北京〕某活動小組購置了4個籃球和5個足球，一共花費了435元，其中籃球的單價比足球的單價多3元，求籃球的單價和足球的單價．設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，依題意，可列方程組為．【分析】根據(jù)題意可得等量關系：①4個籃球的花費+5個足球的花費=435元，②籃球的單價﹣足球的單價=3元，根據(jù)等量關系列出方程組即可．【解答】解：設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，由題意得：，故答案為：．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系．13．〔3分〕〔2023?北京〕如圖，在△ABC中，M、N分別為AC，BC的中點．假設S△CMN=1，那么S四邊形ABNM=3．【分析】證明MN是△ABC的中位線，得出MN∥AB，且MN=AB，證出△CMN∽△CAB，根據(jù)面積比等于相似比平方求出△CMN與△CAB的面積比，繼而可得出△CMN的面積與四邊形ABNM的面積比．最后求出結論．【解答】解：∵M，N分別是邊AC，BC的中點，∴MN是△ABC的中位線，∴MN∥AB，且MN=AB，∴△CMN∽△CAB，∴=〔〕2=，∴=，∴S四邊形ABNM=3S△CMN=3×1=3．故答案為：3．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理；熟練掌握三角形中位線定理，證明三角形相似是解決問題的關鍵．14．〔3分〕〔2023?北京〕如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的點，=．假設∠CAB=40°，那么∠CAD=25°．【分析】先求出∠ABC=50°，進而判斷出∠ABD=∠CBD=25°，最后用同弧所對的圓周角相等即可得出結論．【解答】解：如圖，連接BC，BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°，∵=，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25°，∴∠CAD=∠CBD=25°．故答案為：25°．【點評】此題考查的是圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，直角三角形的性質，解此題的關鍵是作出輔助線．15．〔3分〕〔2023?北京〕如圖，在平面直角坐標系xOy中，△AOB可以看作是△OCD經(jīng)過假設干次圖形的變化〔平移、軸對稱、旋轉〕得到的，寫出一種由△OCD得到△AOB的過程：△OCD繞C點順時針旋轉90°，并向左平移2個單位得到△AOB．【分析】根據(jù)旋轉的性質，平移的性質即可得到由△OCD得到△AOB的過程．【解答】解：△OCD繞C點順時針旋轉90°，并向左平移2個單位得到△AOB〔答案不唯一〕．故答案為：△OCD繞C點順時針旋轉90°，并向左平移2個單位得到△AOB．【點評】考查了坐標與圖形變化﹣旋轉，平移，對稱，解題時需要注意：平移的距離等于對應點連線的長度，對稱軸為對應點連線的垂直平分線，旋轉角為對應點與旋轉中心連線的夾角的大?。?6．〔3分〕〔2023?北京〕圖1是“作直角三角形的外接圓〞的尺規(guī)作圖過程：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圓．作法：如圖2．〔1〕分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點；〔2〕作直線PQ，交AB于點O；〔3〕以O為圓心，OA為半徑作⊙O．⊙O即為所求作的圓．請答復：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線；90°的圓周角所對的弦是直徑；圓的定義．．【分析】由于90°的圓周角所對的弦是直徑，所以Rt△ABC的外接圓的圓心為AB的中點，然后作AB的中垂線得到圓心后即可得到Rt△ABC的外接圓．【解答】解：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；90°的圓周角所對的弦是直徑．故答案為到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一直線；90°的圓周角所對的弦是直徑；圓的定義．【點評】此題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種根本作圖的根底上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和根本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉根本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的根本性質把復雜作圖拆解成根本作圖，逐步操作．三、解答題〔此題共72分，第17題-26題，每題5分，第27題7分，第28題7分，第29題8分〕解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．〔5分〕〔2023?北京〕計算：4cos30°+〔1﹣〕0﹣+|﹣2|．【分析】首先利用二次根式的性質以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質分別化簡得出答案．【解答】解：原式=4×+1﹣2+2=2﹣2+3=3．【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．18．〔5分〕〔2023?北京〕解不等式組：．【分析】利用不等式的性質，先求出兩個不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①式得x＜3；由②式得x＜2，所以不等式組的解為x＜2．【點評】此題考查解不等式組；求不等式組的解集，要遵循以下原那么：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．19．〔5分〕〔2023?北京〕如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．求證：AD=BC．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質得到∠ABC=C=72°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到結論．【解答】證明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC交AC于點D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，∴AD=BD=BC．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質和判定，掌握等邊對等角是解題的關鍵，注意三角形內角和定理的應用．20．〔5分〕〔2023?北京〕數(shù)學家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，那么所容兩長方形面積相等〔如下圖〕〞這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補〞原理復原了?海島算經(jīng)?九題古證．〔以上材料來源于?古證復原的原理?、?吳文俊與中國數(shù)學?和?古代世界數(shù)學泰斗劉徽?〕請根據(jù)該圖完成這個推論的證明過程．證明：S矩形NFGD=S△ADC﹣〔S△ANF+S△FGC〕，S矩形EBMF=S△ABC﹣〔S△AEF+S△FCM〕．易知，S△ADC=S△ABC，S△ANF=S△AEF，S△FGC=S△FMC．可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．【分析】根據(jù)矩形的性質：矩形的對角線把矩形分成面積相等的兩局部，由此即可證明結論．【解答】證明：S矩形NFGD=S△ADC﹣〔S△ANF+S△FGC〕，S矩形EBMF=S△ABC﹣〔S△ANF+S△FCM〕．易知，S△ADC=S△ABC，S△ANF=S△AEF，S△FGC=S△FMC，可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．故答案分別為S△AEF，S△FCM，S△ANF，S△AEF，S△FGC，S△FMC．【點評】此題考查矩形的性質，解題的關鍵是靈活運用矩形的對角線把矩形分成面積相等的兩局部這個性質，屬于中考?？碱}型．21．〔5分〕〔2023?北京〕關于x的一元二次方程x2﹣〔k+3〕x+2k+2=0．〔1〕求證：方程總有兩個實數(shù)根；〔2〕假設方程有一根小于1，求k的取值范圍．【分析】〔1〕根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，可得△=〔k﹣1〕2≥0，由此可證出方程總有兩個實數(shù)根；〔2〕利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2=k+1，根據(jù)方程有一根小于1，即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．【解答】〔1〕證明：∵在方程x2﹣〔k+3〕x+2k+2=0中，△=[﹣〔k+3〕]2﹣4×1×〔2k+2〕=k2﹣2k+1=〔k﹣1〕2≥0，∴方程總有兩個實數(shù)根．〔2〕解：∵x2﹣〔k+3〕x+2k+2=〔x﹣2〕〔x﹣k﹣1〕=0，∴x1=2，x2=k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范圍為k＜0．【點評】此題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的關鍵是：〔1〕牢記“當△≥0時，方程有兩個實數(shù)根〞；〔2〕利用因式分解法解一元二次方程結合方程一根小于1，找出關于k的一元一次不等式．22．〔5分〕〔2023?北京〕如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E為AD的中點，連接BE．〔1〕求證：四邊形BCDE為菱形；〔2〕連接AC，假設AC平分∠BAD，BC=1，求AC的長．【分析】〔1〕由DE=BC，DE∥BC，推出四邊形BCDE是平行四邊形，再證明BE=DE即可解決問題；〔2〕在Rt△ACD中只要證明∠ADC=60°，AD=2即可解決問題；【解答】〔1〕證明：∵AD=2BC，E為AD的中點，∴DE=BC，∵AD∥BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=DE，∴四邊形BCDE是菱形．〔2〕解：連接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴AB=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，在Rt△ACD中，∵AD=2，∴CD=1，AC=．【點評】此題考查菱形的判定和性質、直角三角形斜邊中線的性質、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是熟練掌握菱形的判定方法，屬于中考常考題型．23．〔5分〕〔2023?北京〕如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=〔x＞0〕的圖象與直線y=x﹣2交于點A〔3，m〕．〔1〕求k、m的值；〔2〕點P〔n，n〕〔n＞0〕，過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x﹣2于點M，過點P作平行于y軸的直線，交函數(shù)y=〔x＞0〕的圖象于點N．①當n=1時，判斷線段PM與PN的數(shù)量關系，并說明理由；②假設PN≥PM，結合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍．【分析】〔1〕將A點代入y=x﹣2中即可求出m的值，然后將A的坐標代入反比例函數(shù)中即可求出k的值．〔2〕①當n=1時，分別求出M、N兩點的坐標即可求出PM與PN的關系；②由題意可知：P的坐標為〔n，n〕，由于PN≥PM，從而可知PN≥2，根據(jù)圖象可求出n的范圍．【解答】解：〔1〕將A〔3，m〕代入y=x﹣2，∴m=3﹣2=1，∴A〔3，1〕，將A〔3，1〕代入y=，∴k=3×1=3，〔2〕①當n=1時，P〔1，1〕，令y=1，代入y=x﹣2，x﹣2=1，∴x=3，∴M〔3，1〕，∴PM=2，令x=1代入y=，∴y=3，∴N〔1，3〕，∴PN=2∴PM=PN，②P〔n，n〕，點P在直線y=x上，過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x﹣2于點M，M〔n+2，n〕，∴PM=2，∵PN≥PM，即PN≥2，∴0＜n≤1或n≥3【點評】此題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，解題的關鍵是求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，此題屬于根底題型．24．〔5分〕〔2023?北京〕如圖，AB是⊙O的一條弦，E是AB的中點，過點E作EC⊥OA于點C，過點B作⊙O的切線交CE的延長線于點D．〔1〕求證：DB=DE；〔2〕假設AB=12，BD=5，求⊙O的半徑．【分析】〔1〕欲證明DB=DE，只要證明∠DEB=∠DBE；〔2〕作DF⊥AB于F，連接OE．只要證明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE==，由此求出AE即可解決問題．【解答】〔1〕證明：∵AO=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵BD是切線，∴OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∴∠OBE+∠EBD=90°，∵EC⊥OA，∴∠CAE+∠CEA=90°，∵∠CEA=∠DEB，∴∠EBD=∠BED，∴DB=DE．〔2〕作DF⊥AB于F，連接OE．∵DB=DE，AE=EB=6，∴EF=BE=3，OE⊥AB，在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，∴DF==4，∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，∴∠AOE=∠DEF，∴sin∠DEF=sin∠AOE==，∵AE=6，∴AO=．∴⊙O的半徑為．【點評】此題考查切線的性質、勾股定理、垂徑定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．25．〔5分〕〔2023?北京〕某工廠甲、乙兩個部門各有員工400人，為了解這兩個部門員工的生產技能情況，進行了抽樣調查，過程如下，請補充完整．收集數(shù)據(jù)從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工，進行了生產技能測試，測試成績〔百分制〕如下：甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807040整理、描述數(shù)據(jù)按如下分數(shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù)：成績x人數(shù)部門40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲0011171乙1007102〔說明：成績80分及以上為生產技能優(yōu)秀，70﹣﹣79分為生產技能良好，60﹣﹣69分為生產技能合格，60分以下為生產技能不合格〕分析數(shù)據(jù)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：部門平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲78.377.575乙7880.581得出結論：a．估計乙部門生產技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為240；b．可以推斷出甲或乙部門員工的生產技能水平較高，理由為①甲部門生產技能測試中，平均分較高，表示甲部門員工的生產技能水平較高；②甲部門生產技能測試中，沒有技能不合格的員工，表示甲部門員工的生產技能水平較高．或①乙部門生產技能測試中，中位數(shù)較高，表示乙部門員工的生產技能水平較高；②乙部門生產技能測試中，眾數(shù)較高，表示乙部門員工的生產技能水平較高．．〔至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性〕【分析】根據(jù)收集數(shù)據(jù)填寫表格即可求解；用乙部門優(yōu)秀員工人數(shù)除以20乘以400即可得出答案，根據(jù)情況進行討論分析，理由合理即可．【解答】解：填表如下：成績x人數(shù)部門40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲0011171乙1007102a.×400=240〔人〕．故估計乙部門生產技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為240；b．答案不唯一，理由合理即可．可以推斷出甲部門員工的生產技能水平較高，理由為：①甲部門生產技能測試中，平均分較高，表示甲部門員工的生產技能水平較高；②甲部門生產技能測試中，沒有技能不合格的員工，表示甲部門員工的生產技能水平較高．或可以推斷出乙部門員工的生產技能水平較高，理由為：①乙部門生產技能測試中，中位數(shù)較高，表示乙部門員工的生產技能水平較高；②乙部門生產技能測試中，眾數(shù)較高，表示乙部門員工的生產技能水平較高．故答案為：1，0，0，7，10，2；240；甲或乙，①甲部門生產技能測試中，平均分較高，表示甲部門員工的生產技能水平較高；②甲部門生產技能測試中，沒有技能不合格的員工，表示甲部門員工的生產技能水平較高；或①乙部門生產技能測試中，中位數(shù)較高，表示乙部門員工的生產技能水平較高；②乙部門生產技能測試中，眾數(shù)較高，表示乙部門員工的生產技能水平較高．【點評】此題考查了眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)，掌握眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的定義以及用樣本估計總體是解題的關鍵．26．〔5分〕〔2023?北京〕如圖，P是所對弦AB上一動點，過點P作PM⊥AB交于點M，連接MB，過點P作PN⊥MB于點N．AB=6cm，設A、P兩點間的距離為xcm，P、N兩點間的距離為ycm．〔當點P與點A或點B重合時，y的值為0〕小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究．下面是小東的探究過程，請補充完整：〔1〕通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表：x/cm0123456y/cm02.02.32.11.60.90〔說明：補全表格時相關數(shù)值保存一位小數(shù)〕〔2〕建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象．〔3〕結合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當△PAN為等腰三角形時，AP的長度約為2.2cm．【分析】〔1〕利用取點，測量的方法，即可解決問題；〔2〕利用描點法，畫出函數(shù)圖象即可；〔3〕作出直線y=x與圖象的交點，交點的橫坐標即可AP的長．【解答】解：〔1〕通過取點、畫圖、測量可得x=4時，y=1.6cm，故答案為1.6．〔2〕利用描點法，圖象如下圖．〔3〕當△PAN為等腰三角形時，x=y，作出直線y=x與圖象的交點坐標為〔2.2，2.2〕，∴△PAN為等腰三角形時，PA=2.2cm．故答案為2.2．【點評】此題考查圓綜合題、坐標與圖形的關系等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用測量法、圖象法解決實際問題，屬于中考壓軸題．27．〔7分〕〔2023?北京〕在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2﹣4x+3與x軸交于點A、B〔點A在點B的左側〕，與y軸交于點C．〔1〕求直線BC的表達式；〔2〕垂直于y軸的直線l與拋物線交于點P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，與直線BC交于點N〔x3，y3〕，假設x1＜x2＜x3，結合函數(shù)的圖象，求x1+x2+x3的取值范圍．【分析】〔1〕利用拋物線解析式求得點B、C的坐標，利用待定系數(shù)法求得直線BC的表達式即可；〔2〕由拋物線解析式得到對稱軸和頂點坐標，結合圖形解答．【解答】解：〔1〕由y=x2﹣4x+3得到：y=〔x﹣3〕〔x﹣1〕，C〔0，3〕．所以A〔1，0〕，B〔3，0〕，設直線BC的表達式為：y=kx+b〔k≠0〕，那么，解得，所以直線BC的表達式為y=﹣x+3；〔2〕由y=x2﹣4x+3得到：y=〔x﹣2〕2﹣1，所以拋物線y=x2﹣4x+3的對稱軸是x=2，頂點坐標是〔2，﹣1〕．∵y1=y2，∴x1+x2=4．令y=﹣1，y=﹣x+3，x=4．∵x1＜x2＜x3，∴3＜x3＜4，即7＜x1+x2+x3＜8．【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點．解答〔2〕題時，利用了“數(shù)形結合〞的數(shù)學思想，降低了解題的難度．28．〔7分〕〔2023?北京〕在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動點〔與點B、C不重