【北師大版】高三數(shù)學一輪課時作業(yè)【44】

匠心文檔，專屬精選。課時作業(yè)44立體幾何中的向量方法(二)一、選擇題(每題5分，共40分)．·天水模擬已知二面角α－－β的大小是π1(2014)l3直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為()2πB.πA.33ππC.2D.6分析：∵m⊥α，n⊥β，∴異面直線m，n所成的角的補角與二面角α－l－β互補．π又∵異面直線所成角的范圍為(0，2]，π∴m，n所成的角為3.答案：B2．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中點，G是DD1中點，1F是BC上一點且FB＝4BC，則GB與EF所成的角為()A．30°B．120°C．60°D．90°分析：如圖建立直角坐標系D－xyz，設DA＝1，由已知條件，得113→1→G(0,0，2)，B(1,1,0)，E(1,1，2)，F(xiàn)(4，1,0)，GB＝(1,1，－2)，EF＝(－114，0，－2)匠心教育文檔系列1匠心文檔，專屬精選。→→→，→〉＝GB·EF＝，則→⊥→cos〈GBEF0GBEF.→→|GB||EF|答案：D3．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()1030A.10B.10215310C.10D.10分析：建立坐標系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．→＝－，→＝－，〈→，→〉＝BC1(1,0,2)AE(1,2,1)cosBC1AE

→→BC1·AE＝→→|BC1||AE|

3010.匠心教育文檔系列2匠心文檔，專屬精選。30因此異面直線BC1與AE所成角的余弦值為10.答案：B4．(2013·山東，4)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側棱與底面垂直，體積為9，底面是邊長為3的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，4則PA與平面ABC所成角的大小為()5ππA.12B.3ππC.4D.6分析：如圖，設P0為底面ABC的中心，連結PP0，由題意知|PP0|為直三棱柱的高，∠PAP0為PA與平面ABC所成的角，S△ABC＝1×(3)2·sin60°2＝343.∵三棱柱的體積V＝9，4∴33·0＝9，∴|PP0＝又0為底面ABC的中心，則|AP0|4|PP|4|3.P2等于正△ABC高的3，3又易知△ABC的高為2，匠心教育文檔系列3匠心文檔，專屬精選。23∴|AP0|＝3×2＝1.|PP0|3π在Rt△PAP0中，tan∠PAP0＝|AP0|＝1＝3，∴∠PAP0＝3，應選B.答案：B5．(2012·西，陜5)如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()55A.5B.3253C.5D.5分析：設CB＝1，則CA＝CC1＝2，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，1，→→＝(－2,2,1)，1＝(0,2，－1)，AB1B(0,2,1)BC→，→→→1＝4－1＝3，∵|BC1＝1＝，1·|5|AB|3BCAB→→〉＝∴cos〈BC1，AB1

→→BC1·AB1＝→→|BC1||AB1|

355×3＝5，應選A.答案：A6．(2014·南昌月考)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1→→)的中點，則sin〈CM，D1〉的值為(N14A.9B.95匠心教育文檔系列4匠心文檔，專屬精選。22C.95D.3分析：設正方體的棱長為2，以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標系→(如圖)，可知CM＝(2，－2,1)，→→→1→→45D1N＝(2,2，－1)，cos〈CM，D1N〉＝－9，sin〈CM，D1N〉＝9.答案：B7．(2014·東北八校一模，9)已知三棱錐D－ABC的三個側面與底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，則以BC為棱，面BCD與面BCA所成的二面角的余弦值為()A.3B.1331C．0D．－2分析：取BC中點E，連AE、DE，可證BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED為二面角A－BC－D的平面角．又AE＝ED＝2，AD2，∴∠AED＝90°，應選C.答案：C8．(2014·山西臨汾一模，7)以下列圖，點P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，則PB與AC所成的角是()匠心教育文檔系列5匠心文檔，專屬精選。A．90°B．60°C．45°D．30°分析：將其還原成正方體ABCD－PQRS，明顯PB∥SC，△ACS為正三角形，∴∠ACS＝60°.答案：B二、填空題(每題5分，共15分)9．若平面α的一個法向量為n＝(4,1,1)，直線l的一個方向向量為a＝(－2，－3,3)，則l與α所成角的正弦值為________．匠心教育文檔系列6匠心文檔，專屬精選。n·a分析：cos〈n，a〉＝|n||a|－822＝－411＝32×33.又l與α所成角記為θ，11即sinθ＝|cos〈n，a〉|＝33.11答案：3310.以下列圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是________．分析：建立以下列圖的空間直角坐標系．匠心教育文檔系列7匠心文檔，專屬精選。設AB＝BC＝AA1＝2，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，→→＝(2,0,2)，則EF＝(0，－1,1)，BC1→→∴EF·BC1＝2，∴〈→，→〉＝cosEFBC1∴EF和BC1所成角為

12×22＝2，60°.答案：60°11．(2012·大綱全國，16)三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長和側棱長都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為________．分析：由∠BAA1＝∠CAA1＝60°可得四邊形BCC1B1為正方形．把底面ABC補成菱形ABCD、把底面A1B1C1補成菱形A1B1C1D1，即把三棱柱補成平行六面體ABCD－A1B1C1D1，則∠B1AD1為異面直線AB1與BC1所成的角．不如設棱長為2，則AD1＝BC1＝22，AB1＝B1D16＝23，由余弦定理可得cos∠B1AD1＝6.匠心教育文檔系列8答案：

匠心文檔，專屬精選。66三、解答題(共3小題，每題15分，共45分．解答寫出必需的文字說明，證明過程或演算步驟)12.1已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝2AB，N為AB上一點，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點．(1)求證：CM⊥SN；(2)求SN與平面CMN夾角的大?。猓涸OPA＝1，以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，匠心教育文檔系列9匠心文檔，專屬精選。軸建立空間直角坐標系如圖．111則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，2)，N(2，0,0)，S(1，2，0)．→1(1)證明：CM＝(1，－1，2)，→＝(－1，－1，0)，SN22因為→→＝－1＋1＋＝，CM·SN0022因此CM⊥SN.→＝(－1，1,0)，設a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，(2)NC2→1＝0，x－y＋z＝0，·2aCM則即→＝0，1·－2x＋y＝0.aNC令x＝2，得a＝(2,1，－2)．1→－1－22因為|cos〈a，SN〉|＝|2|＝2，3×2匠心教育文檔系列10匠心文檔，專屬精選。即SN與平面CMN夾角的正弦值為22.因此SN與平面CMN夾角為45°.13．(2012·新課標全國)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝1BC＝2AA1，D是棱AA1的中點，DC1⊥BD.(1)證明：DC1⊥BC.(2)求二面角A1－BD－C1的大?。猓?1)由題設知，三棱柱的側面為矩形．因為D為AA1的中點，故DC＝DC1.1又AC＝2AA1，可得DC2＋DC2＝CC2，11而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，匠心教育文檔系列11匠心文檔，專屬精選。因此DC1⊥平面BCD.BC平面BCD，故DC1⊥BC.(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，則BC⊥平面ACC1A1，因此CA，CB，CC1兩兩互相垂直．→→以C為坐標原點，CA的方向為x軸的正方向，|CA為單位長，建|立以下列圖的空間直角坐標系C－xyz.由題意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．則→＝，－，→＝，－，→＝－．A1D(0,01)BD(11,1)DC1(1,0,1)設n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，則匠心教育文檔系列12匠心文檔，專屬精選?！?，－＋＝，·nBDxyz0→即＝0，z＝0.·1nAD可取n＝(1,1,0)．同理，設m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，則→＝0，m·BDx－y＋z＝0，即可取m＝(1,2,1)．→－x＋y＝0.m·DC1＝0.n·m3從而cos〈n，m〉＝|n|·|m|＝2.故二面角A1－BD－C1的大小為30°.14．(2012·全國)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一點，PE＝2EC.(1)證明：PC⊥平面BED；(2)設二面角A－PB－C為90°，求PD與平面PBC所成角的大?。猓?1)以A為坐標原點，射線AC為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz.匠心教育文檔系列13匠心文檔，專屬精選。42設C(22，0,0)，D(2，b,0)，此中b>0，則P(0,0,2)，E(3，0，23)，B(2，－b,0)．→→22→22于是PC＝(22，0，－2)，BE＝(3，b，3)，DE＝(3，－b，3)，→→→→＝0，從而PC·＝0，PC·BEDE故PC⊥BE，PC⊥DE.又BE∩DE＝E，因此PC⊥平面BDE.→＝，→＝，－．(2)AP(0,0,2)AB(2b,0)設m＝(x，y，z)為平面PAB的法向量，則→→m·AP＝0，且m·AB＝0，即2z＝0且2x－by＝0，令x＝b，則m＝(b，2，0)．設n＝(p，q，r)為平面PBC的法向量，則匠心教育文檔系列14匠心文檔，專屬