2016年文科數(shù)學(xué)考綱專題解讀考點題組訓(xùn)練：第2部分函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題二函數(shù)概念及其基本性質(zhì)含答案

專題二函數(shù)概念及其基本性質(zhì)

考綱專題解讀

:考點分布i[考點分頻I考綱內(nèi)容命題趨勢I

內(nèi)容探究：1高考中常以基本初等函數(shù)為載體，與不等、

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素.會求一整

4“4

荷單函數(shù)的定義域和值域；了n或饗合才直語數(shù)的定義域、值域、解析式的求法以及分

1.函數(shù)及其表示

映射的格念.段函數(shù)的求值等問題.

,5年35考

2.在實際情境中.會根據(jù)不同的需2.以基本初等語數(shù)為或體，與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，考查函數(shù)單

要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法.調(diào)性的判斷、函數(shù)單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的求法.

44

列表法.II析法)表示的數(shù)

3曲敏的奇偶他、同期怏、單調(diào)性的集合應(yīng)用是高考的

2.函數(shù)的單調(diào)性與

3.了儡簡單的分段函數(shù).并能簡單

最值熱點.

*5年19考應(yīng)用.

形式探究：本專題在高考中多以選擇粉、填空題的形式

4.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最

考查函數(shù)的定義域、分段函數(shù)求值及函數(shù)的奇偶性與周

…白小值及其幾何意義；結(jié)合具體函

期性.分值為5分,屬中低檔flh與不等式、方程等培

3.函數(shù)的奇偶性與數(shù).了解函數(shù)奇偶性的含義.

周期性■r5年34考5會.運用由數(shù)圖象理II和研究的數(shù)合.以解答■的形式考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，分值為

的性質(zhì).12分左右,屬于中檔H

考點題組訓(xùn)練

函數(shù)及其表示束哀束第?

IJ

第，1生試真題

A組新題速遞

1.(2015?湖北，6,易)函數(shù)｛x)=q二百+ig匚丹心的定義域為()

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)U(3,6]

’4一|x|N0,

【答案】C要使函數(shù)有意義，則<:一-7—>0,

x~3

、xW3,

解得2VxW4且xW3,

所以定義域為(2,3)U(3,4].

2,xWl,

2.(2015?課標(biāo)I,10,中)已知函數(shù)/(x)=t:：且/⑷

I—10g2(x+1),X>1,

=—3,則/(6—a)=()

75

-

--

A.4B.4

【答案】A若/(a)=2"T—2=-3,a?。；若。>1,得一log2(a+

7

1)=—3,解得a=7,所以/(6—a)=/(-1)=一彳，選A.

3x~b,x<1,(,5、、

3.(2015?山東，10,中)設(shè)函數(shù)/(x)=.、，若ff2=4,則

12,I

b=()

7

A.1B.oQ

31

C-4D2

【答案】D/島)=沁若|-6V1,即b>|時，3仔-。-b=4,解得b

=[，不符合題意，故舍去；若5一g1,即反孤，得2(-6=4,解得b=\.

OZZZZ

故選D.

思路點撥：先計算出/(|)的值，再根據(jù)/(得)的取值范圍進行討論，最后解

方程求得6的值.

[1,x>0,

4.(2015?湖北，7,中)設(shè)x￡R,定義符號函數(shù)sgnx={0,x=0,貝lj()

l-l,x<0.

A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|

C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx

【答案】D當(dāng)xVO時，x|sgnx|=x<0,排除A；

xsgn|x|=x<0,排除B；

|x|sgnx=-|x|,排除C,故選D.

5.(2015?浙江，12,易)已知函數(shù),6則{/(—2))=

x+—x-6,x>l,

，Hx)的最小值是.

【解析】?/./(-2)=4,

???/(/(-2))=/(4)=

當(dāng)xWl時，j[x)=x2,

求得/(X)min=0.

當(dāng)x>1時，/(x)=x+一一622乖一6,當(dāng)且僅當(dāng)x=#時取“=”.

x

???一X)min=2#-6<0.

丁./(x)的最小值是2#-6.

【答案】276-6

B組經(jīng)典回顧

1.(2014?山東，3,易)函數(shù)/(x)=-廣,：的定義域為()

A/log2x-l

A.(0,2)B.(0,2]

C.(2,+8)D.[2,+8)

【答案】C要使函數(shù)有意義，

log2%—1>0,

須滿足解得x>2.

x>0,

(1,x>0,

2.(2012?福建，9,中)設(shè)/(x)={0,x=0,[1,x為有理數(shù)，

g(x)=',0,x為無理數(shù)，則煙"))

[—1,x<0?

的值為()

A.1B.0C.-1D.n

【答案】B因為“為無理數(shù)，所以g(n)=0,故_Ag(加))=火0)=0.

方法點撥：分段函數(shù)求值的關(guān)鍵是分清自變量所在的區(qū)間所對應(yīng)的函數(shù)解析

式，復(fù)合函數(shù)求值要由里到外逐層求值.

'2X,x>0,

3.(2011?福建，8,中)已知函數(shù)/)=J,,若人0+41)=0,則實數(shù)

+1,xWO.

?的值等于()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A依題意，Xa)=-/(l)=-2,=-2,

V2v>0,.'.aWO,.?./(a)=a+l=—2,故。=-3,故選A.

思路點撥：首先由/(。)+/(1)=0,求/(a)的值，再根據(jù)人a)的值判斷出火a)對

應(yīng)的解析式，求出a的值.

4.(2014?浙江,7,中)已知函數(shù)/)=x3+/+bx+c,且0勺(-1)=/(一2)

=/(—3)W3,則()

A.cW3B.3<cW6C.6<cW9D.c>9

【答案】C由已知得/(—1)=-1+a—b+c=/(—2)=-8+4a—2b+c,

所以3a—b=7.①

/(—l)=-l+a—b+c=/(—3)=-27+9a—3b+c,所以4a—b=13.②

聯(lián)立①②解得a=6,b=ll,

所以段)=/+6工2+llx+c.

又0</(-1)W3,即0<c—6W3,

：.6<c^9.

思路點撥：首先由火-1)=人-2)=<-3),用待定系數(shù)法求出a,b的值，再

利用不等關(guān)系求出c的取值范圍.

5.(2013?陜西，10,難)設(shè)田表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實數(shù)x,

有()

「.H

A.[―x]=—[x]B.x+]=[x]

C.[2x]=2[x]D.[x]+x+；=[2x]

【答案】D(特殊值排除法)取x=L5,貝那一1.5]=-2,-[1.5]=-1,

排除A；取x=1.6,貝ij1.6+!=[2.1]=2,[1.6]=1,排除B；[2XL6]=[3.2]=3,

2[1.6]=2,排除C.故選D.

6.(2013?浙江，11,易)已知函數(shù)/(乃二也二?.若火0=3,則實數(shù)。=.

【解析】由/(a)=3,得[a-1=3,解得a=10.

【答案】10

ejx<l,

7.(2014?課標(biāo)I,15,中)設(shè)函數(shù)兀c)=<I則使得小)W2成立的x

、x3,x2l,

的取值范圍是.

[x<\,x"l'fx<l,[x^l,

【解析】/(x)〈2=J.]或J1=>1VI11或1<2心<1或

[eW2wW21xWln2+l[xW8

1WxW8=>xW8.

【答案】(-8,8]

第?步提能力、

考向1求函數(shù)的定義域

常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求

(1)分式函數(shù)中分母不等于零.

(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.

(3)一次函數(shù)，二次函數(shù)的定義域均為R.

(4)y=x°的定義域是{x|xW0}.

(5?=/(a>0且aW1),y=sinx,y=cosx定義域均為R.

(6)y=log?x(a>0月.aW1)的定義域為(0,+°°).

(7?=tanx的定義域為xWA”十三，左ez]

□0EI01(1)(2013?山東，5)函數(shù)_/(x)=Nl-2'十不云的定義域為()

A.(-3,0]B.(-3,1]

C.(一8,—3)U(—3,0]D.(-8,-3)U(-3,1]

(2)(2014?廣東佛山模擬，13)已知/(/一1)的定義域為[0,3],則函數(shù)尸/(X)

的定義域為.

l'l-2'^O,

【解析】(1)由題意知彳解得-3<xW0,所以函數(shù)小)的定義域

x+3>0,

為(-3,0].

(2)：0WxW3,???0WW9,

-1Wx?-1<8,

函數(shù)y=於)的定義域是[-1,8].

【答案】(1)A(2)[-1,8]

【點撥】解題(1)的關(guān)鍵是正確利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式1-2,20;

解題(2)的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)定義域的概念及函數(shù)的三要素.

歷感國囹函數(shù)定義域的求法

(1)給出解析式的函數(shù)的定義域是使解析式中各個部分都有意義的自變量的

取值集合，在求解時，要把各個部分自變量的限制條件列成一個不等式組，這個

不等式組的解集就是這個函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域要寫成集合或者區(qū)間的形

式.

(2)對于實際問題中求得的函數(shù)解析式，在確定定義域時，除了要考慮函數(shù)

解析式有意義外，還要使實際問題有意義.

(3)抽象函數(shù)的定義域

求抽象函數(shù)的定義域，要看清內(nèi)、外層函數(shù)之間的關(guān)系.

①若已知函數(shù)加)的定義域為口,切，則復(fù)合函數(shù)Hg(x))的定義域由aWg(x)Wb

求出；

②若已知函數(shù)Xg(x))的定義域為[a,b],則危)的定義域為g(x)在xe[a,b]

時的值域.

><注意

(1)求定義域時對于解析式先不要化簡；

(2)求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式.

國國皿窗(1)(2015?山西大同質(zhì)檢，5)已知函數(shù)/(x)的定義域為(0,2],則函

數(shù),於曲公)的定義域為()

A.[-1,+°°)B.(-1,3]

C.郃,3)D.(0,75)

(2)(2013?安徽，11)函數(shù)歹=ln(l+3+qi=？的定義域為.

(1)【答案】B根據(jù)題意，得0<4干<2,即0<x+l<4,解得一1<XW3,

故選B.

1+-x>o,

(2)【解析】由題意得ji—f'o,解得(KxWL

/于0,

【答案】(0,1]

考向2求函數(shù)的解析式

(1)函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖象法.

(2)函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方法，對于不是y=/(x)的形式，可根據(jù)

題目的條件轉(zhuǎn)化為該形式.

(3)求函數(shù)的解析式時，一定要注意函數(shù)的定義域的變化，特別是利用換元

法求出的解析式，不注明定義域往往導(dǎo)致錯誤.

口國EII32(1)(2014?陜西，10)如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段

與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則

該函數(shù)的解析式為()

1,1

A.y=2x~2X2~x

B.夕=/3+y—3x

C.-*-x

1,1

D.y—^x32—2x

(2)(2013?安徽，14)定義在R上的函數(shù)段)滿足次x+l)=賀x).若當(dāng)OWxWl

時，/(X)=x(1—x),則當(dāng)一1WxW0時，/(X)-.

(3)(2014?山東青島模擬，13)已知/(x)+2fg)=x(xW0),則/(x)=.

【解析】(1)(待定系數(shù)法)設(shè)該函數(shù)解析式為火x)=a?+bx2+cx+d,則f(x)

=3ax~+2bx+c,

1

-

Q=2

7'(o)=d=0,

1

6-

角

日

/(2)=8a+4"2c+d=0,刀

于

由題意知《“,、牛2

f(0)=c=-1,

c=-

、/(2)=12a+4b+c=3,d

=O

(2)(代入法)：-IWXWO,?..OWx+1W1

???/(X)=g/(x+1)=1(x+1)[1-(x+1)]

=-/(x+1).

2人X)=?

f(x)+2

X

12

解得力幻=_亨+石.

1I?

【答案】(1)A(2)—/(x+1)(3)—工

【點撥】解題⑴的關(guān)鍵是設(shè)出三次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax3+bx2+cx+

"(a#0),然后根據(jù)題目條件，確定參數(shù)的值；解題(2)的關(guān)鍵是將所求函數(shù)解析

式的定義域向已知函數(shù)解析式的定義域轉(zhuǎn)化；解題(3)的關(guān)鍵是變換得到一個關(guān)

于/(X)和/Q為未知數(shù)的新的方程，通過解方程組求出兀0的解析式?

&圖國囹求函數(shù)解析式的常見方法

(1)代入法：將g(x)代入/(X)中的X,即得到/(g(x))的解析式.

(2)構(gòu)造法：已知./(〃(x))=g(x),求Xx)的問題，往往把右邊的g(x)整理構(gòu)造成

只含/?(x)的式子，用x將6(x潛換.

(3)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，根據(jù)函數(shù)類型

設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出待定系數(shù)即可.

(4)換元法：已知/(//(x))=g(x),求/(x)時，往往可設(shè)//(x)=3從中解出x,代

入g(x)進行換元，求出/⑺的解析式，再將/替換為X即可.

(5)函數(shù)方程法：已知/U)滿足某個等式，這個等式除義x)是未知量外，還有

其他未知量，如八一x)、/(J，則可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，

通過解方程組求出/(X).

目國皿目(1)(2014?山東泰安二模，13)已知4x)是二次函數(shù)，且近0)=0,J[x

+1)=/x)+x+1,則｛x)=.

(2)(2015?山東濰坊月考，11)已知/Q+0=/+$+2,則/(X)的解析式為

(3)(2015?安徽黃山模擬，14)已知訓(xùn)x)+yg)=|+l,則函數(shù)｛x)的解析式

為?

(1)[解析】設(shè)/(X)=ax+hx+c(aWO),

由7(0)=0知c=0，Xx)="2+bx.

又因為/(x+1)=/(x)+x+1,

所以a(x+I)2+b(x+1)=ax2++x+1,

即ax2+(2a+b)x+a+b=a/+(b+l)x+1,

‘2a+b=b+1,

所以，

a+b=1.

解得a=b=：.

…121

故危)=2X+2X,

【答案】|x2+|x

(2)【解析】把解析式按自變量x+;進行變形，則

/(D=")d)+2=C+￡|2一3卜2.

令，='+：,貝LW-2或看22,得

火。=?￡2-3)+2=戶一3什2,所以")=1-3工+2,工6(-8,-2]U[2,+

8).

【答案】/(x)=?-3x+2,xW(—8,-2]U[2,+8)

(3)【解析】x用《代替，則有MQJ+”(X)=2X+1,

「小)+5劇=|+1,

由此可得J

M?+V(x)=2x+l,

消去/第"—(/0).

531

【答案】/(x)=F—藐+g(xWO)

考向3分段函數(shù)及其應(yīng)用

1.分段函數(shù)的相關(guān)概念

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)法則不同而分別用兒個不同的

式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的

是一個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)

的值域的并集.

2.解決分段函數(shù)問題的注意事項

分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是兒個函數(shù)，處理分段函數(shù)問題時，首先確定自變

量的取值屬于哪個區(qū)間，再選取相應(yīng)的對應(yīng)法則，離開定義域討論分段函數(shù)是毫

無意義的.

?注意

分段函數(shù)是為了研究問題的需要而進行的分類討論，相當(dāng)于求“并集”，不

可與方程組或不等式組的求“交集”相混淆.

2x3,x<0,

口國E1C33(1)(2013?福建，13)已知函數(shù)於)={JT則

—tanx,

[X2+2X+2,XWO,

(2)(2014?浙江，15)設(shè)函數(shù)/(x)=2八

{—X,x>0.

若/(/(〃))=2，貝iJ〃=.

【解析】(iy=-tany=-l<0,

-V({T-J=X-I)=2X(-I)3=-2.

(2)若a>0,貝1j(a)=~a2<0,

??派))=42/+2,

由以a))=2,得/-2/+2=2,

解得“=啦(舍負(fù)).

若aWO,則火0=/+2。+2=(。+1)2+1>0,

?■?./(/(?))=-(/+2a+2)2<0=2.

綜上，a=\[2.

【答案】(1)一2(2)啦

【點撥】解題(1)的思路是根據(jù)自變量的取值代入不同的解析式；解題(2)

要注意分類討論思想的應(yīng)用.

歷胸危囹分段函數(shù)兩種題型的求解策略

(1)根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值

首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.

(2)已知函數(shù)值(或函數(shù)值的范圍)求自變量的值(或范圍)

應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值(或范圍)是

否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.

><注意

當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應(yīng)分類討論.

y/x,x^O,

口司皿國(1)(2012?陜西，11)設(shè)函數(shù)次》)={則曲—4))=

O,x<Q,

2x+a,x<l,

(2)(2011?江蘇，11)已知實數(shù)aWO,函數(shù)/(x)=。，若/(I—a)=/(l

、x2a,x1.

+a),則a的值為.

(1)【解析】./(-4)=Q=16.

又/(16)=班=4,

???./(/(-4))=4.

【答案】4

⑵【解析】①當(dāng)。>0時，1-。<1,1+A1.

這時川-4)=2(1_a)+Q=2_Q,

/(1+6Z)=-(1+a)-2a=-1-3a.

由火1-a)=y(l+Q)得2-a=-1-3a,

3

解得Q=_/,

不符合題意，舍去.

②當(dāng)a<0時，1-a>l,1+。<1.

這時/(I-〃)=-(1-a)-2a=-I-a,

/(I+a)=2(1+Q)+Q=2+3a.

3

由7(]_Q)=/(]+a)得一1一a=2+3Q,解得Q=

3

綜合①②知。的值為-不

3

【答案】-；

第?步J〔過模擬、

1.(2015?江西南昌二模，3)函數(shù)(x—二一1'的定義域為()

A.{x|x>0}B.{x|x》l}

C.{x|x2l或x<0}D.{x[0<xWl}

x(x—1)20,

【答案】B由h得.故選B.

->o,

1

2.（2015?河北秦皇島一模，3）設(shè)函數(shù)y=的定義域為/,B={x\\x

,\/x2-3x—10

一機|<6}且NU8=R,則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.—l<m<4B.—\<m<3

C.l<m<4D.l<m<3

【答案】A由X2-3X—10>0解得x<—2或x>5,所以力={x|x<—2或x>5}.

因為B—{x|lx-/M|<6}={x\—6+m<x<6~\-m},HAU5=R,

—6+加v—2,

所以有，解得一

6+加>5,

lgx,x>0,

3.（2015?四川成都高三月考，5）設(shè)4）=<in.vvn則加—2))的值為()

B.2C.yflOD.—2

【答案】D??,—2W0,.?./(—2)=IO?

.-.y(A-2))=A10-2)=lg10-2=-2.

2',x<0,

4.（2015?安徽合肥三模，6）已知函數(shù)/（x）=/(X-D+1,Q。，則mo?

等于（）

40334031

A.2015B.^—C.2016D.^—

【答案】B由題意知，當(dāng)x?0時，/(x+l)=/(x)+l,.?./(x+1)—/(x)=l,

.7/(2015)=/(l)+2014X1.

135

又人0)=/(_1)+1=5+1=5,人1)=人0)+1=2,

。5.4033

015)=2+2014=-^—.

⑵七，xWl,

5.(2014?遼寧沈陽質(zhì)檢，9)設(shè)函數(shù)兀0=3,貝IJ滿足人x)W2的

J—10g2%?X>1>

X的取值范圍是()

A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+8)D.[0,+00)

xWl,[x>1?

【答案】D/(x)<2=k-或\,Ic=0?l或x>l,故x的

2，W2[1—log2xW2

取值范圍是[0,+°°).

6.(2015?山東濱州二模，8)具有性質(zhì)/(；)=-/(X)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒

x(0<x<1),

負(fù)”變換的函數(shù).下列函數(shù)：?y=x-p?y=x+p③y=<0°1)'中

—~(x>1)

IX

滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是（）

A.①②B.②③C.①③D.只有①

【答案】C(逐項驗證法)對于①，/({!=1—x=—/(x)滿足條件;

對于②，/ex

—X(0<x<l),

(x=l),

對于③，f叫;

(x>1)

滿足/g)=-/u).故③滿足“倒負(fù)”變換，故選C.

7.(2015?云南昆明統(tǒng)一檢測，8)已知函數(shù)0)的定義域為(-8,+oo),如

\yJ2sinxx20,(

果於+2014)=j：(-9)I。那么/12014+旬?/(—7986)=()

A.2014B.4C.1D.黑

【答案】B/(2014+總=啦5吊個=1,

,/(-7986)=/(2014-10000)=1g10000=4,貝(2014+總?./(-7986)=

4.

8.(2015?河南開封模擬，13)若一次函數(shù)y=/(x)滿足./(/(x))=9x+l,則/(X)

【解析】設(shè)信)=ax+b(aWO),

則/(/(x))=a(ax+b)+b=a2x+ah+b

=9x+1.

=9且。人+力=1,

a=3,fa=-3,

解得|1或|1

P=4[b=~2-

--./(x)=3x+；或/(》)=-3x-

【答案】3x+9或-3x-；

[2\x<0,

9.(2015?黑龍江大慶第二次質(zhì)檢，14)設(shè)函數(shù)人x)=L,c則使加：)

[|k)g2x|,x>0,

=3的X的集合為.

【解析】由題意知，若xWO,貝12*=；,解得x=-1；若x>0,貝力log2x|

=T

解得x=23或x=2—g.

故x的集合為1-1,啦，米.

【答案】｛-1,啦，乎]

第n步八試真題、

A組)新題速遞

1.(2015?陜西，9,易)設(shè)")=x—sinx,則義x)()

A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)

B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

C.是有零點的減函數(shù)

D.是沒有零點的奇函數(shù)

【答案】B段)的定義域為R,

~x—sin(~x)

=-x+sinx=

，函數(shù)｛x)為奇函數(shù).

,:f(x)=1—cosxN0,

?\/(x)在R上為增函數(shù).

?./0)=0,.?.函數(shù)人x)有零點.

故選B.

2.（2015?課標(biāo)n,12,中）設(shè)函數(shù)於）=則1+慟）一號1，則使得兒丫）次2x

-1）成立的x的取值范圍是（）

D「，力序+力

【答案】A易判斷/（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時,/（x）=ln（l+x）一★?.?.?/

12x

（%）=幣+（1+口2>0,???加）在。+8）是增函數(shù)，，不等式可化為川刈>

/（|2x-1|）,BP|x|>|2x—1|>即3x」-4x+lV0,解得1VxVI.

思路點撥：由于/（x）是偶函數(shù)，故先研究x>0的情況，當(dāng)x>0時，/（x）=ln（l

+x）-苦？，利用導(dǎo)數(shù)判斷/（X）在（0，+8）是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為慟進而

求得x的取值范圍.

B組經(jīng)典回顧

1.（2014?北京，2,易）下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是（）

A.y=Q~xB.y=x3

C.y=\nxD.y=\x\

【答案】B選項A,y=er=（J：在R上為減函數(shù)；

選項B,歹=》3在R上為增函數(shù)；

選項C,y=lnx,定義域為（0,+8）,且在（0,十8）上為增函數(shù)；

（x,x20,

選項D,>>=|x|=l八在［0，+8）上為增函數(shù)，在（一8,0）上為減函

Lx,x<0

數(shù).

2.（2014?湖南，4,易）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（一8,0）上單調(diào)遞

增的是()

1,

A./(x)=7B../(x)=?+l

C./)=/D./)二2一、

【答案】A選項A,由于在(-8,0)上單調(diào)遞減，所以/(》)=，在

(-8,0)上單調(diào)遞增；選項B,?v)=*+l是偶函數(shù)但在(-8,0)上單調(diào)遞減；

選項C,yu)=d為奇函數(shù)；選項D,加)=2一、為非奇非偶函數(shù)，綜上選A.

3.(2014?陜西，7,中)下列函數(shù)中，滿足“/(x+y)=/(x)/e)”的單調(diào)遞增函

數(shù)是()

A.危)=/B.J[x}=r

c.於)=?尸D.危)=&y

【答案】B(根據(jù)函數(shù)滿足的條件和函數(shù)性質(zhì)逐一判斷求x)=x3,Xx+y)

=(x+y)3^x3y3,不滿足7(x+y)=/(x)A>),A錯誤.7(x)=3x,y(x+y)=3x+y=3x*3y,

1

滿足_/(x+y)=/(x)/(y),且?)=3”是增函數(shù)，B正確.2,/(x+y)=(x+

,)二不滿足人x+_y)=/(x"),C錯誤.{x)=g)，>/a+y)=g)'

=(；)*(2)J滿足式x+v)=穴x)/(y),但_Ax)=(；)不是增函數(shù)，D錯誤.

方法點撥：解抽象函數(shù)的有關(guān)試題的關(guān)鍵是對對應(yīng)法則的理解和應(yīng)用，常常

依據(jù)法則特殊化處理，例如采用賦值法，以尋求解題的切入點.

4.(2013?北京，3,中)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞

減的是()

1cr

A.y~~B.y=e

C.y=-1D.y=lg|x|

【答案】C(逐項驗證法)A中_y=：是奇函數(shù)，A不正確；B中_y=e-x=5

X

是非奇非偶函數(shù)，B不正確；C中歹=一/+1是偶函數(shù)且在(0,十8)上是單調(diào)

遞減的，C正確；D中夕=lg|x|在(0,+8)上是增函數(shù)，D不正確.故選C.

5.（2012?遼寧，8,中）函數(shù)y=%2—inx的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（-1,1]B.（0,1]

C.[1,+8）D.（0,+8）

【答案】B（根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于0的解集就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求解）

由題意知，函數(shù)的定義域為（0,+8）,又由y=x—解得0＜xWl,所以函

數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1].

第?步,世能Jj、

考向1確定函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）

單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任

意兩個自變量X],X2

定義當(dāng)修＜念時，都有加1）次切，那

當(dāng)為＜》2時，都有“Q）勺（M），那么就說函

么就說函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是減

數(shù)/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)

函數(shù)

圖象

描述

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

4注意

（1）函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)討論，所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,

必須先求函數(shù)的定義域.

（2）函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的.有的函數(shù)在

其定義域的一個區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一個區(qū)間上不是增函數(shù).例如，函數(shù)y

=x2,當(dāng)xW[0,+8）時是增函數(shù)，當(dāng)x6（-8,0]時是減函數(shù).

（3）一個函數(shù)在不同的區(qū)間可以有不同的單調(diào)性，同一單調(diào)性的區(qū)間用

“和”連接（或用“，”隔開），不能用“U”連接.

□E9EIC]1（1）（2015?浙江金華十校調(diào)研，4）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）

內(nèi)單調(diào)遞減的是()

12

A.y=^~xB.y=x—x

C.y=\nx-xD.y=ex-x

(2)(2014?天津，12)函數(shù)/(x)=lgx2的單調(diào)遞減區(qū)間是.

ax

(3)(2015?廣東佛山聯(lián)考，17,12分)討論函數(shù)八%)=三不4>0)在(一1，1)上

的單調(diào)性.

【解析】⑴對于A,y=:在(0,+8)內(nèi)是減函數(shù)，力=x在(0,+8)內(nèi)

是增函數(shù)，則歹=《-x在(0,+8)內(nèi)是減函數(shù)；B,C,D選項中的函數(shù)在(0,

+8)上的單調(diào)性不確定.故選A.

(2)/(x)的定義域為(-8,o)u(o,+8),夕=ig〃在(0,+8)上為增函數(shù)，u

=丫2在(-8,0)上遞減，在(0,+8)上遞增，故/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞減.

(3)方法一(定義法)：設(shè)-1<X|<X2<1，

則人修)一貝切=4^7-

XI1%21

蘇怎33巖+ax?

(xf-1)(%2"*1)

?(X2-11)(XM2+1)

(X?-1)(%2-1),

?「-1W2V1，

**?X2-Xi>0,X\X2+l>0,(X?-1)(%2-l)>0.

又a>0,-./(X2)>O,

故函數(shù)加)在(-1,1)上為減函數(shù).

方法二(導(dǎo)數(shù)法)：

(ax)r(x2-1)-ax(x2-1)r

/(x)=(T^TT

a(x2-1)-lax1a(-x2-1)a(x2+1)

二(X2-1)2=(X2-1)2="(X2-1)2-

'.,a>0,x€(-1,1),

???/W<0.

???/(x)在(-1,1)上是減函數(shù).

【點撥】題(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性來判斷；解題(2)的關(guān)鍵是利用復(fù)合

函數(shù)“同增異減”的法則來判斷；題(3)利用單調(diào)性的定義或?qū)?shù)來判斷.

目出國爵判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法

(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，如已知人x),g(x)為增函數(shù)，則一段)為減函數(shù)，

/(x)+g(x)為增函數(shù).

(2)定義法：一般步驟為設(shè)元一作差一變形一判斷符號一得出結(jié)論.其關(guān)鍵

是作差變形，為了便于判斷差的符號，通常將差變成因式連乘(除)或平方和的形

式，再結(jié)合變量的范圍、假定的兩個自變量的大小關(guān)系及不等式的性質(zhì)作出判斷.

(3)圖象法：如果/(x)是以圖象形式給出的，或者/(x)的圖象易作出，則可由

圖象的直觀性確定它的單調(diào)性.

(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.

(5)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則：“同增異減”，即對于y=/(g(x))型的復(fù)合

函數(shù)，可以把它看成由少=/(。和/=g(x)復(fù)合而成的，若它們的單調(diào)性相同，則復(fù)

合后的函數(shù)為增函數(shù)；若它們的單調(diào)性相反，則復(fù)合后的函數(shù)為減函數(shù).

0(2011?江蘇，2)函數(shù)犬x)=log5(2x+l)的單調(diào)增區(qū)間是.

【解析】要使y=log5(2x+1)有意義，則2x+l>0,即而y=log5〃

為(0,+8)上的增函數(shù)，當(dāng)時，〃=2x+1也為R上的增函數(shù)，故原函數(shù)

的單調(diào)增區(qū)間是(-g,+8).

【答案】(_g,+8)

考向2求函數(shù)的最值或值域

1.函數(shù)的最值

(1)最大值：函數(shù)y=/u)的定義域為/,如果存在實數(shù)/滿足以下兩個條件：

①對于任意的Xd1,都有危)WM；②存在超金/,使得_/(xo)=M.那么，我們稱“

是函數(shù)夕=/(x)的最大值.

(2)最小值：函數(shù)丁=段)的定義域為/,如果存在實數(shù)加滿足以下兩個條件：

①對于任意的xe/,都有/(x)2加；②存在刈口，使得/(刈)=加.那么，我們稱加

是函數(shù)y=/(x)的最小值.

4注意

函數(shù)的最值是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，即函數(shù)的值域中最大的一個值

和最小的一個值.

2012x+1+2010

□0E1D2(1)(2015?河南鄭州檢測，5)已知。>0,設(shè)函數(shù)/(x)=-201+1—

(x^[~a,0)的最大值為最小值為N,那么A/+N=()

A.2008B.2009

C.4018D.4022

logir,

2的值域為.

{2X,X<1

x?"I-2xa

(3)(2014?云南昆明模擬，18,12分)已知函數(shù)犬x)=------------,xe[l,+°°).

①當(dāng)時，求函數(shù)人x)的最小值；

②若對任意xW[l,+8),/(X)>0恒成立，試求實數(shù)。的取值范圍.

2012'"1+20102

【解析】⑴由題意得lx)=2012'+1—=2012-2012.t+1.

??)=2012'+1在[-a,a]上是單調(diào)遞增的，

2

:?")=2012-2012'+1在〔-團上是單調(diào)遞增的，

；?"=/(〃)，N=/(_〃)，

22

???M+N=人。)+犬-a)=4024-^17^1-2012"+1=4022.故選D.

(2)當(dāng)xNl時，?x)=log|x是單調(diào)遞減的，

此時，函數(shù)的值域為(-8,0];

當(dāng)x<l時，危)=2、是單調(diào)遞增的，

此時，函數(shù)的值域為(0,2).

綜上，於)的值域是(-8,2).

(3)①當(dāng)時，/Cx)=X+［+2,在口，+8)上為增函數(shù)，故/(x)min=/(l)

=7

=2'

@/(x)=x+-+2,x€［1,+8).

a.當(dāng)a<0時，/(x)在［1,+8)內(nèi)為增函數(shù).

最小值為/(I)=a+3.

要使.危)〉0在xd［l,+8)上恒成立，只需。+3〉0,即。〉一3,所以-3

<aWO.

b.當(dāng)0<aWl時，兀0在口,+8)上為增函數(shù),/(X)min=/(1)=?+3.

所以。+3〉0,?！?3.所以0<aWl.

c.當(dāng)a>1時，/(x