浙江省杭州市八中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期周末自

第11-頁(yè)浙江杭州八中2023屆上學(xué)期高三數(shù)學(xué)周末自測(cè)卷十一第I卷〔選擇題〕一、單項(xiàng)選擇題1．集合，那么的真子集個(gè)數(shù)為〔〕A.B.C.D.2．設(shè)，是虛數(shù)單位，那么“〞是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)〞的〔〕A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.即不充分也不必要條件3．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，設(shè),，，那么,,的大小關(guān)系是〔〕A.B.C.D.4．在數(shù)列中，，，那么的值為〔〕A.B.5C.D.5．函數(shù)的圖象大致為〔〕A.B.C.D.6．現(xiàn)有六支足球隊(duì)參加單循環(huán)比賽〔即任意兩支球隊(duì)只踢一場(chǎng)比賽〕，第一周的比賽中，各踢了場(chǎng)，各踢了場(chǎng)，踢了場(chǎng)，且隊(duì)與隊(duì)未踢過(guò)，隊(duì)與隊(duì)也未踢過(guò)，那么在第一周的比賽中，隊(duì)踢的比賽的場(chǎng)數(shù)是〔〕A.B.C.D.7．設(shè)函數(shù)，假設(shè)方程恰好有三個(gè)根，分別為，那么的值為〔〕A.B.C.D.8．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為2，粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某四棱錐的三視圖，那么該四棱錐的外接球的外表積為〔〕A.B.C.D.9．函數(shù)假設(shè)，且函數(shù)存在最小值，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為〔〕A.B.C.D.10．雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線上一點(diǎn)，為雙曲線C漸近線上一點(diǎn)，，均位于第一象限，且，，那么雙曲線的離心率為〔〕A.B.C.D.第II卷〔非選擇題〕二、填空題11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作?九章算術(shù)?有如下問(wèn)題：“今有蒲〔水生植物名〕生一日，長(zhǎng)三尺；莞〔植物名，俗稱水蔥、席子草〕生一日，長(zhǎng)一尺．蒲生日自半，莞日自倍．問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等？〞意思是：今有蒲生長(zhǎng)1日，長(zhǎng)為3尺；莞生長(zhǎng)1日，長(zhǎng)為1尺．蒲的生長(zhǎng)逐日減半，莞的生長(zhǎng)逐日增加1倍．假設(shè)蒲、莞長(zhǎng)度相等，那么所需的時(shí)間約為_____日．〔結(jié)果保存一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，〕-10212.隨機(jī)變量的分布列，其中那么=，=.13．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．〔1〕；〔2〕假設(shè)，那么．14.集合是同一坐標(biāo)平面內(nèi)一些點(diǎn)組成的集合，假設(shè),且,那么原點(diǎn)到直線的距離是，集合所表示的區(qū)域的最大面積.15．向量，滿足，，那么的最小值是_______，與夾角的余弦值的最大值是_______.16.有4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，那么不同的排法共有種〔用數(shù)字作答〕．17.平面直角坐標(biāo)系中，橢圓左、右焦點(diǎn)分別是，焦距為，假設(shè)曲線:滿足對(duì),與至多2個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓的離心率的范圍是.三、解答題18．〔本小題總分值14分〕函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.(Ⅰ)求常數(shù)的值;(Ⅱ)在中,角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為,假設(shè),,面積為,求邊長(zhǎng).19．如圖,在四棱錐中,點(diǎn)是棱上一點(diǎn),且,底面是正方形,△為正三角形,平面與平面交于直線,且平面⊥平面.(1)求證:∥平面；(2)求直線與平面所成角的大小.〔第19題圖〕(此題總分值15分)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(1－x)＋eq\r(1＋x). (1)求函數(shù)f(x)的值域； (2)當(dāng)實(shí)數(shù)x∈[0,1]，證明：f(x)≤2－eq\f(1,4)x2.21．〔此題總分值15分〕拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．〔1〕當(dāng)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)，求面積的最大值．22.〔此題總分值15分〕設(shè)函數(shù)．?dāng)?shù)列滿足，．〔1〕證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；〔2〕證明：；〔3〕設(shè)，整數(shù)，證明：．浙江杭州八中2023屆上學(xué)期高三數(shù)學(xué)周末自測(cè)卷十一參考答案1．B【解析】因?yàn)閽佄锞€的圖象與直線的圖象，有兩個(gè)交點(diǎn)，所以有兩個(gè)元素，故的真子集個(gè)數(shù)為，應(yīng)選B.2．B【解析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么，解得，所以是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件，應(yīng)選B．3．C【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的周期為，那么，，因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，所以，應(yīng)選C．4．B【解析】在數(shù)列中，，所以，所以是以為周期的周期數(shù)列，因?yàn)?，?yīng)選B．5．C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，由，可得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，再由，可得，且在上為單調(diào)遞增函數(shù)，應(yīng)選C．6．D【解析】依據(jù)題意：踢了場(chǎng)，隊(duì)與隊(duì)未踢過(guò)，那么C隊(duì)參加的比賽為：；D踢了場(chǎng)，隊(duì)與隊(duì)也未踢過(guò)，那么D隊(duì)參加的比賽為：；以上八場(chǎng)比賽中，包含了隊(duì)參加的兩場(chǎng)比賽，分析至此，三隊(duì)參加的比賽均已經(jīng)確定，余下的比賽在中進(jìn)行，已經(jīng)得到的八場(chǎng)比賽中，A,B各包含一場(chǎng)，那么在中進(jìn)行的比賽中，，各踢了2場(chǎng)，即余下的比賽為：，綜上可得，第一周的比賽共11場(chǎng)：，，那么隊(duì)踢的比賽的場(chǎng)數(shù)是.此題選擇D選項(xiàng).7．D【解析】由題意，那么，畫出函數(shù)的大致圖象，如下圖，由圖可得，當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)根，由得；由得，由圖可知，與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱；點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以，所以，應(yīng)選D．點(diǎn)睛：此題考查了正弦函數(shù)的圖象，以及正弦函數(shù)的圖象及對(duì)稱性的應(yīng)用，考查了整體思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，有關(guān)問(wèn)題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定，再根據(jù)周期，求出，最后再利用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)坐標(biāo)滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時(shí)根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點(diǎn)，如對(duì)稱軸或曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.8．C【解析】根據(jù)三視圖得出，該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐，正方體的棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，最大的側(cè)面積為，應(yīng)選C．9．A【解析】由分段函數(shù)的解析式可得：，即：，結(jié)合函數(shù)有最小值可得：，據(jù)此可得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.此題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．10．D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線上的一點(diǎn)，為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點(diǎn)，且,點(diǎn)在直線上，并且，那么，，設(shè)，那么，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，應(yīng)選D．點(diǎn)睛：此題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．11．2.6解析：設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列，其前項(xiàng)和；莞長(zhǎng)度組成等比數(shù)列，其前項(xiàng)和；那么，化簡(jiǎn)得，得，即：12.；1解析：解得，，故13．；解析：〔1〕由及正弦定理得，從而，〔2〕由〔1〕知，假設(shè)，那么，所以14.1；解析：原點(diǎn)到直線的距離，所以是單位圓的切線上的點(diǎn)組成的集合，集合所表示的區(qū)域的最大面積。15．1；解析：設(shè)向量的夾角為，，所以，所以所以，解得；.16.432解析：數(shù)字之和為10的情況有4，4，1，1；4，3，2，1；

3，3，2，2；

取出的卡片數(shù)字為4，4，1，1時(shí)；有種不同排法；取出的卡片數(shù)字為3，3，2，2時(shí)；有種不同排法；取出的卡片數(shù)字為4，3，2，1時(shí)；每個(gè)數(shù)字都有兩種不同的取法，那么有種不同排法；

所以共有種不同排法17.解析：曲線:的圖像最低點(diǎn)為，隨著從到變化時(shí)，當(dāng)為橢圓上這兩個(gè)點(diǎn)和時(shí)，為臨界點(diǎn)；所以只要在處的切線的斜率，既滿足題意，而過(guò)的切線方程為，所以，所以18．【答案】解:(1) …4分因?yàn)?所以所以當(dāng)即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上取到最大值此時(shí),,得……7分(2)因?yàn)?所以,即,解得(舍去)或………9分因?yàn)?,所以.………10分因?yàn)槊娣e為,所以,即.②由①和②解得………12分因?yàn)?所以……14分19．〔此題15分〕答案：〔1〕見解析；〔2〕〔1〕∵底面是正方形,∴.又平面,平面.∴∥平面.………………〔5分〕又平面與平面交于直線,∴∥,又平面,?平面,∴∥平面.…………〔7分〕〔2〕延伸平面與棱交于點(diǎn),∴為的中點(diǎn),∴是棱的中點(diǎn).…………〔9分〕又,那么直線與平面所成角的大小等于直線與平面所成角的大小,…………………〔11分〕∵平面⊥平面,⊥,∴⊥平面,∴平面⊥平面,∵△為正三角形,∴⊥,∴⊥平面∴∠為直線與平面所成的角,又∠=,∴直線與平面所成角的大小為.…〔15分〕20.〔15分〕解(1)函數(shù)f(x)的定義域是[－1,1]， ∵f′(x)＝eq\f(\r(1－x)－\r(1＋x),2\r(1－x2))， 當(dāng)f′(x)>0時(shí)，解得－1<x<0， 當(dāng)f′(x)<0時(shí)，解得0<x<1， ∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(－1,0)上單調(diào)遞增，…………4分 ∴f(x)min＝f(1)＝f(－1)＝eq\r(2)，f(x)max＝f(0)＝2，…………7分 ∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇eq\r(2)，2]． (2)證明：設(shè)h(x)＝eq\r(1－x)＋eq\r(1＋x)＋eq\f(1,4)x2－2，x∈[0,1]，h(0)＝0， ∵h(yuǎn)′(x)＝－eq\f(1,2)(1－x)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(1＋x)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)x ＝eq\f(1,2)xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(2,\r(1－x2)\r(1＋x)＋\r(1－x))))，10分 ∵eq\r(1－x2)(eq\r(1＋x)＋eq\r(1－x))＝eq\r(1－x2)·eq\r(2＋2\r(1－x2))≤2， ∴h′(x)≤0. ∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減， …………13分 又h(0)＝0，∴h(x)≤h(0)＝0， ∴f(x)≤2－eq\f(1,4)x2. …………15分21．〔此題15分〕答案：〔1〕；〔2〕16〔1〕當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去，得，………〔2分〕所以線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，又點(diǎn)在直線上，故的坐標(biāo)為.………………〔5分〕〔2〕設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，消去可得，.設(shè)，那么，…………〔7分〕且.聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去可得，所以，…………………〔9分〕所以，即直線過(guò)點(diǎn)，……………〔11分〕所以的面積，又………………