2016-2017學年河北省保定市定州市九年級(上)期中數學試卷

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2016-2017學年河北省保定市定州市九年級(上)期中數學試卷

一、選擇題(本大題共12個小題；每小題3分，共36分，在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的)

1.點P(5,-3)關于原點的對稱點是()

A.(5,3)B.(-3,5)C.(-5,3)D.(3,-5)

2.方程(x+3)(x-2)=0的解是()

Xi=3,X2=2B.Xi=-3,X2=2

C.Xi=3,x2=-2D.Xi=-3,X2=-2

3.在拋物線y=2x2-3x+l上的點是()

A.(0,-1)B.(y,0)C.(-1,5)D.(3,4)

4.在下列二次函數中，其圖象對稱軸為x=-2的是()

A.y=(x+2)2B.y=2x2-2C.y=-2x2-2D.y=2(x-2)2

5.將下列圖形繞其對角線的交點順時針旋轉90。，所得圖形一定與原圖形重合的

是()

A.平行四邊形B.矩形C.正方形D.菱形

6.如圖，點A,B,C,P在。。上，CD±OA,CE±OB,垂足分別為D,E,Z

DCE=40°,則/P的度數為()

P

A.140°B.70℃.60°D.40°

7.如圖，在正方形ABCD中，E為DC邊上的點，連接BE,將aBCE繞點C順時針

方向旋轉90。得到ADCF,連接EF,若NBEC=60。，則NEFD的度數為()

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8.二次函數y=ax?+bx+c(a#0)的圖象如圖所示，下列結論正確的是()

A.a<0B.b2-4ac<0

C.當-lVx<3時，y>0D.--=1

2a

9.兩年前生產某藥品的成本是5000元，現在生產這種藥品的成本是3000元，設

該藥品成本的年平均下降率為x,則下面所列方程中正確的是()

A.5000(1-2x)=3000B.3000(l+2x)=5000

C.3000(1+x)2=5000D.5000(1-x)2=3000

10.若點0是等腰AABC的外心，且NBOC=60。，底邊BC=2,則AABC的面積為

()

A.2+73B.C.2+^^2-愿D.4+2后￡2-我

11.設A(-2,yi),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=-(x+1)?+a上的三

點，則yi,丫2,丫3的大小關系為()

A.yi>y2>y3B.yi>y3>y2c.y3>y2>yiD.y3>yi>y2

12.已知拋物線y=ax?+bx和直線y=ax+b在同一坐標系內的圖象如圖，其中正確的

是()

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二、填空題（本大題共6個小題；每小題3分，共18分，把答案寫在題中橫線

±）

13.把一元二次方程3x?+l=7x化為一般形式是.

2

14.已知方程x-3x+l=0的兩個根是xi，X2,則：XiX2-Xi-x2=.

15.二次函數y=x?+bx+c的圖象上有兩點（3,4）和（-5,4）,則此拋物線的對

稱軸是直線x=.

16.如圖，CD是。。的直徑，弦ABJ_CD,若/AOB=100。，則NABD=.

17.拋物線y=2x2+8x+m與x軸只有一個公共點，則m的值為

18.如圖，兩條拋物線丫[=-梟2+1],V2=-呆2-1與分別經過點（-2,0）,

（2,0）且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為一.

三、解答下列各題（本題有8個小題，共66分）

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19.(12分)用適當的方法解一元二次方程：

(1)X2+3X-4=0

(2)3x(x-2)=2(2-x)

(3)(x+8)(x+1)=-12.

20.(6分)如圖所示，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為(4,2)和

(3,0),將aOAB繞原點。按逆時針方向旋轉90。到△OAB.

(1)畫出△OA'B'；

(2)點A的坐標為；

(3)求BB'的長.

21.(6分)如圖AB是。。的直徑，C是。。上的一點，若AC=8cm,AB=10cm,

ODLBC于點D,求BD的長.

22.(8分)已知關于x的方程x?+2x+a-2=0.

(1)若該方程有兩個不相等的實數根，求實數a的取值范圍；

(2)當該方程的一個根為1時;求a的值及方程的另一根.

23.(8分)用長為20cm的鐵絲，折成一個矩形，設它的一邊長為xcm,面積為

ycm2.

(1)求出y與x的函數關系式.

(2)當邊長x為多少時，矩形的面積最大，最大面積是多少？

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24.（8分）已知二次函數y=：x2-3x+4.

（1）將其配方成y=a（x-k）2+h的形式，并寫出它的圖象的開口方向、頂點坐

標、對稱軸.

（2）畫出圖象，指出y<0時x的取值范圍.

（3）當0WxW4時，求出y的最小值及最大值.

JAI

25.（8分）如圖，點0是等邊AABC內一點，ZAOB=110°,ZBOC=a,將△BOC

繞點C按順時針方向旋轉60。得△ADC,連接0D.

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當a=150。時，試判斷aAOD的形狀，并說明理由.

26.（10分）如圖，一小球從斜坡。點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數丫=

-x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數y=￡x刻畫.

（1）請用配方法求二次函數圖象的最高點P的坐標；

（2）小球的落點是A,求點A的坐標；

（3）連接拋物線的最高點P與點。、A得△POA,求△POA的面積；

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(4)在0A上方的拋物線上存在一點M(M與P不重合)，△MOA的面積等于△

POA的面積.請直接寫出點M的坐標.

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2016-2017學年河北省保定市定州市九年級(上)期中數

學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共12個小題；每小題3分，共36分，在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的)

1.點P(5,-3)關于原點的對稱點是()

A.(5,3)B.(-3,5)C.(-5,3)D.(3,-5)

【考點】關于原點對稱的點的坐標.

【分析】利用兩點關于原點對稱，橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數求出即

可.

【解答】解：W的相反數是-5,-3的相反數是3,

.,.點P(5,-3)關于原點的對稱點的坐標為(-5,3),

故選：C.

【點評】此題主要考查了兩點關于原點對稱的坐標的特點：兩點關于原點對稱，兩

點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，用到的知識點為：a的相反數為-

a.

2.方程(x+3)(x-2)=0的解是()

A.Xi=3,X2=2B.XI=-3,X2=2C.XI=3,X2=-2D.Xi=-3,x2=-2

【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先觀察再確定方法解方程.根據左邊乘積為。的特點應用因式分解法.

【解答】解：根據題意可知：x+3=0或x-2=0；即x1=-3,X2=2.故選B.

【點評】此題較簡單，只要同學們明白有理數的乘法法則即可，即兩數相乘等于

0,那么其中一個數必然等于0.

3.在拋物線y=2x2-3x+l上的點是()

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A.(0,-1)B.(-i-,0)C.(-1,5)D.(3,4)

【考點】二次函數圖象上點的坐標特征.

【分析】分別計算出自變量為0、-1、3所對應的函數值，然后根據二次函數

圖象上點的坐標特征進行判斷.

【解答】解：當x=0時，y=2x2-3x+l=l；

當x=3時，y=2x2-3x+l=2X—-3X4+1=0；

242

當x=-l時，y=2x2-3x+l=2Xl+3+l=6；

當x=3時，y=2x2-3x+l=2X9-3X3+1=10；

所以點(/，0)在拋物線y=2x2-3x+l上，點(0,-1)、(-1,5)>(3,

4)不在拋物線y=2x2-3x+l上.

故選B.

【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足

其解析式.

4.在下列二次函數中，其圖象對稱軸為x=-2的是()

A.y=(x+2)2B.y=2x2-2C.y=-2x2-2D.y=2(x-2)2

【考點】二次函數的性質.

【分析】根據二次函數的性質求出各個函數的對稱軸，選出正確的選項.

【解答】解：y=(x+2)2的對稱軸為x=-2,A正確；

y=2x2-2的對稱軸為x=0,B錯誤；

y=-2x2-2的對稱軸為x=0,C錯誤；

y=2(x-2)2的對稱軸為x=2,D錯誤.

故選:A.

【點評】本題考查的是二次函數的性質，正確求出二次函數圖象的對稱軸是解題的

關鍵.

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5.將下列圖形繞其對角線的交點順時針旋轉90。，所得圖形一定與原圖形重合的

是（）

A.平行四邊形B.矩形C.正方形D.菱形

【考點】旋轉對稱圖形.

【分析】根據旋轉對稱圖形的性質，可得出四邊形需要滿足的條件，結合選項即可

得出答案.

【解答】解：由題意可得，此四邊形的對角線互相垂直、平分且相等，則這個四邊

形是正方形.

故選：C.

【點評】本題主要考查了旋轉對稱圖形旋轉的最小的度數的計算方法，把一個圖形

繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這

個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角.

6.如圖，點A,B,C,P在。。上，CD±OA,CE_LOB,垂足分別為D,E,Z

DCE=40°,則NP的度數為（）

【考點】圓周角定理.

【分析】先根據四邊形內角和定理求出NDOE的度數，再由圓周角定理即可得出

結論.

【解答】解：???CDLOA,CE±OB,垂足分別為D,E,ZDCE=40°,

AZDOE=180°-40°=140°,

.,.NP=g/DOE=70°.

2

故選B.

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【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周

角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵.

7.如圖，在正方形ABCD中，E為DC邊上的點，連接BE,將4BCE繞點C順時針

方向旋轉90。得到ADCF,連接EF,若NBEC=60。，則NEFD的度數為（）

A.10°B.15℃.20°D.25°

【考點】旋轉的性質；正方形的性質.

【分析】由旋轉前后的對應角相等可知，ZDFC=ZBEC=60°；一個特殊三角形4

ECF為等腰直角三角形，可知NEFC=45。，把這兩個角作差即可.

【解答】解：:△BCE繞點C順時針方向旋轉90。得到ADCF,

.*.CE=CF,ZDFC=ZBEC=60",ZEFC=45°,

.,.ZEFD=60°-45°=15°.

故選：B.

【點評】本題考查旋轉的性質和正方形的性質：旋轉變化前后，對應線段、對應角

分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.要注意旋轉的三要素：①定點-旋轉中

心；②旋轉方向；③旋轉角度.

8.二次函數y=ax2+bx+c（a#0）的圖象如圖所示，下列結論正確的是（）

A.a<0B.b2-4ac<0

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C.當-l<x<3時，y>0D.-2=1

2a

【考點】二次函數圖象與系數的關系.

【分析】根據二次函數的圖象與系數的關系對各選項進行逐一分析即可.

【解答】解：A、?.?拋物線的開口向上，.?.a>0,故選項A錯誤；

B、?拋物線與x軸有兩個不同的交點，.?.△=b2-4ac>0,故選項B錯誤；

C、由函數圖象可知，當-1VXV3時，y<0,故選項C錯誤；

D、,拋物線與x軸的兩個交點分別是(-1,0),(3,0),.,.對稱軸x=-

聯二故選項D正確.

2a2

故選D.

【點評】本題考查的是二次函數的圖象與系數的關系，能利用數形結合求解是解答

此題的關鍵.

9.兩年前生產某藥品的成本是5000元，現在生產這種藥品的成本是3000元，設

該藥品成本的年平均下降率為X,則下面所列方程中正確的是()

A.5000(1-2x)=3000B.3000(l+2x)=5000

C.3000(1+x)2=5000D.5000(1-x)2=3000

【考點】由實際問題抽象出一元一次方程.

【分析】等量關系為：2年前的生產成本X(1-下降率)2=現在的生產成本，把

相關數值代入計算即可.

【解答】解：設這種藥品成本的年平均下降率是X,根據題意得：

5000(1-X)2=3000,

故選D.

【點評】本題考查一元二次方程的應用；得到2年內變化情況的等量關系是解決

本題的關鍵.

10.若點O是等腰AABC的外心，且NBOC=60。，底邊BC=2,則4ABC的面積為

()

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A.2+V3B.C.2+VWc2-V3D.4+2如虹-行

【考點】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質.

【分析】根據題意可以畫出相應的圖形，然后根據不同情況，求出相應的邊的長

度，從而可以求出不同情況下AABC的面積，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，如右圖所示

存在兩種情況，

當AABC為△A1BCI3寸，連接OB、0C,

?點。是等腰△ABC的外心,且NBOC=60。，底邊BC=2,OB=OC,

.?.△OBC為等邊三角形，OB=OC=BC=2,OA」BC于點D,

.,.CD=1,OD=^22-12=V31

當aABC為aAzBC時，連接OB、OC,

???點0是等腰4ABC的外心，且NBOC=60。，底邊BC=2,OB=OC,

.?.△OBC為等邊三角形,OB=OC=BC=2,OAJBC于點D,

-'-CD=1,OD=^22-12=V3)

，…等”巨鏟厚病，

由上可得，aABC的面積為2-?或2+?,

故選C.

【點評】本題考查三角形的外接圓和外心，等腰三角形的性質，解題的關鍵是明確

題意，找出所求問題需要的條件，利用分類討論的數學思想解答問題.

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11.設A(-2,yi),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=-(x+1)?+a上的三

點，則yI，丫2，丫3的大小關系為()

A.yi>y2>y3B.yi>y3>y2c.y3>y2>yiD.y3>yi>y2

【考點】二次函數圖象上點的坐標特征.

【分析】根據二次函數的對稱性，可利用對稱性，找出點A的對稱點/V,再利用

二次函數的增減性可判斷y值的大小.

【解答】解：：函數的解析式是y=-(x+1)2+a,如右圖，

.,.對稱軸是x=-1,

.?.點A關于對稱軸的點A是(0,yi,

那么點A\B、C都在對稱軸的右邊，而對稱軸右邊y隨x的增大而減小，

于是yi>y2>y3.

【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標的特征，解題的關鍵是能畫出二次函

數的大致圖象，據圖判斷.

12.已知拋物線y=ax?+bx和直線y=ax+b在同一坐標系內的圖象如圖，其中正確的

是()

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【考點】二次函數的圖象；一次函數的圖象.

【分析】本題可先由二次函數圖象得到字母系數的正負，再與一次函數和反比例函

數的圖象相比較看是否一致.逐一排除.

【解答】解：A、由二次函數的圖象可知aVO,此時直線y=ax+b應經過二、四象

限，故A可排除；

B、由二次函數的圖象可知aVO,對稱軸在y軸的右側，可知a、b異號，b>0,

此時直線y=ax+b應經過一、二、四象限，故B可排除；

C、由二次函數的圖象可知a>0,此時直線y=ax+b應經過一、三象限，故C可排

除；

正確的只有D.

故選：D.

【點評】此題主要考查了一次函數圖象與二次函數圖象，應該識記一次函數

y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方

向、對稱軸、頂點坐標等.

二、填空題（本大題共6個小題；每小題3分，共18分，把答案寫在題中橫線

上）

13.把一元二次方程3X2+1=7X化為一般形式是3x2-7x+i=o.

【考點】一元二次方程的一般形式.

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=O（a,b,c是常數且aWO）.

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【解答】解：由3X2+1=7X,得3X2-7X+1=0,

即方程3X2+1=7X化為一元二次方程的一般形式為3x2-7x+i=o.

故答案是：3x2-7x+l=0.

【點評】考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+c=O（a,b,c是常數且a/0）特別要注意aWO的條件.這是在做題過程

中容易忽視的知識點.在一般形式中ax?叫二次項，bx叫一次項，c是常數項.其

中a,b,c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項.

2

14.已知方程x-3x+l=0的兩個根是xi，x2,則:xp（2-Xi-X2=-2.

【考點】根與系數的關系.

【分析】根據根與系數的關系得到X1+X2=3,X1X2=1,然后利用整體代入的方法計算

原式的值.

【解答】解：根據題意得XI+X2=3,X1X2=1,

所以XiX2-Xi-x2=xix2-（X1+X2）=1-3=-2.

故答案為-2.

【點評】本題考查了根與系數的關系：若％,X2是一元二次方程ax?+bx+c=O（aW

0）的兩根時，xi+x=-―,XiX=—.

2a2a

15.二次函數y=x，bx+c的圖象上有兩點（3,4）和（-5,4）,則此拋物線的對

稱軸是直線x=-1.

【考點】二次函數的性質.

【分析】根據兩已知點的坐標特征得到它們是拋物線的對稱點，而這兩個點關于直

線x=-1對稱，由此可得到拋物線的對稱軸.

【解答】解：???點（3,4）和（-5,4）的縱坐標相同，

.,.點（3,4）和（-5,4）是拋物線的對稱點，

而這兩個點關于直線x=-1對稱，

...拋物線的對稱軸為直線x=-l.

故答案為-1.

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【點評】本題考查了二次函數的性質：二次函數y=ax2+bx+c(aWO)的頂點坐標是

(一品R)，對稱軸直線-去

16.如圖，CD是。。的直徑，弦ABJ_CD,若/AOB=100°,則NABD=25°

【考點】圓周角定理.

【分析】根據垂徑定理得到俞而，求出NAOD的度數，根據圓周角定理求出N

ABD的度數.

【解答】解：：CD是。。的直徑，弦ABJ_CD,

???AD=BD?

二ZAOD=ZBOD=—ZAOB=50°,

2

AZABD=yZAOD=25",

故答案為：25。.

【點評】本題考查的是圓周角定理和垂徑定理的應用，掌握在同圓或等圓中，同弧

或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵.

17.拋物線y=2x2+8x+m與x軸只有一個公共點，則m的值為8.

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】由拋物線y=2x?+8x+m與x軸只有一個公共點可知，對應的一元二次方程

2x2+8x+m=0,根的判別式4=b2-4ac=0,由此即可得到關于m的方程，解方程即

可求得m的值.

【解答】解：???拋物線與x軸只有一個公共點，

.*.△=0,

Ab2-4ac=82-4X2Xm=0；

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Am=8.

故答案為：8.

【點評】此題主要考查了二次函數根的判別式的和拋物線與x軸的交點個數的關

系.

18.如圖，兩條拋物線yi=-：x2+l，丫2=-32-1與分別經過點（-2,0）,

（2,0）且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為工

【考點】二次函數綜合題.

【分析】把陰影圖形分割拼湊成矩形，利用矩形的面積即可求得答案.

【解答】解：如圖，過丫2=-*2-1的頂點（0,-1）作平行于X軸的直線與y1=

-1x2+l圍成的陰影，

同過點（0,-3）作平行于X軸的直線與丫2=-夕2-1圍成的圖形形狀相同，

故把陰影部分向下平移2個單位即可拼成一個矩形，

因此矩形的面積為4X2=8.

:網Qi-#”

T'JI；

故填8.

【點評】此題主要考查利用二次函數圖象的特點與分割拼湊的方法求不規(guī)則圖形的

面積.

三、解答下列各題（本題有8個小題，共66分）

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19.(12分)(2016秋?定州市期中)用適當的方法解一元二次方程：

(1)X2+3X-4=0

(2)3x(x-2)=2(2-x)

(3)(x+8)(x+1)=-12.

【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】(1)因式分解法求解可得；

(2)因式分解法求解可得；

(3)整理成一般式后，因式分解法求解可得.

【解答】解：(1)V(x-1)(x+4)=0,

/.X-1=0或x+4=0,

解得：x=l或x=-4；

(2)V3x(x-2)+2(x-2)=0,

，(x-2)(3x+2)=0,

Ax-2=0或3x+2=0,

解得:x=2或x=-.

(3)整理成一般式可得X2+9X+20=0,

V(x+4)(x+5)=0,

.*.x+4=0或x+5=0,

解得：*=-4或*=-5.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常

用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合

適、簡便的方法是解題的關鍵.

20.如圖所示，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為(4,2)和(3,

0),將△OAB繞原點。按逆時針方向旋轉90。到△OAB.

(1)畫出△OA'B'；

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（2）點A的坐標為（-2,4）

（3）求BB，的長.

【考點】作圖-旋轉變換.

【分析】（1）利用旋轉的性質進而得出對應點坐標求出即可;

（2）利用（1）中所畫圖形得出點A，的坐標；

（3）利用勾股定理得出BB，的長.

【解答】解：（1）如圖所示：△OAB即為所求；

（2）如圖所示：點A，的坐標為：（-2,4）；

故答案為：（-2,4）；

(3)BB/=^32+32=3V2-

故答案為：3a.

【點評】此題主要考查了旋轉變換以及勾股定理，根據題意得出對應點位置是解題

關鍵.

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21.如圖AB是。。的直徑，C是。。上的一點，若AC=8cm,AB=10cm,OD±BC

【考點】圓周角定理；勾股定理；三角形中位線定理.

【分析】由于AB是。。的直徑，根據圓周角定理可得NACB=90。，可得出0D〃

AC；由于AO=OB,則0D是AABC的中位線，即BD=DC=.,而BC的值可由勾股

定理求得，由此得解.

【解答】解：〈AB是。。的直徑，

二ZACB=90°；

VOD1BC,

...OD〃AC,XVAO=OB,

AOD是AABC的中位線，即BD=^fiC；

《△ABC中，AB=10cm,AC=8cm；

由勾股定理，得：BC=］皿2一ACJbcm；

故BD==BC=3cm.

【點評】此題主要考查了圓周角定理、勾股定理、三角形中位線定理等知識，能夠

正確的判斷出BD與BC的關系是解答此題的關鍵.

22.已知關于x的方程x2+2x+a-2=0.

（1）若該方程有兩個不相等的實數根，求實數a的取值范圍；

（2）當該方程的一個根為1時;求a的值及方程的另一根.

【考點】根的判別式；一元二次方程的解；根與系數的關系.

【分析】（1）關于x的方程x2-2x+a-2=0有兩個不相等的實數根，即判別式4

=b2-4ac>0.即可得到關于a的不等式，從而求得a的范圍.

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（2）設方程的另一根為xi，根據根與系數的關系列出方程組，求出a的值和方程

的另一根.

【解答】解：（1）Vb2-4ac=（2）2-4X1X（a-2）=12-4a>0,

解得：a<3.

???a的取值范圍是aV3；

（2）設方程的另一根為xi，由根與系數的關系得：

'l+X[=-2

].x『a-2'

-1

解得：_q，

則a的值是-1,該方程的另一根為-3.

【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△

的關系：

（1）△>（）㈡方程有兩個不相等的實數根；

（2）△=0臺方程有兩個相等的實數根；

（3）△VOS方程沒有實數根.

23.用長為20cm的鐵絲，折成一個矩形，設它的一邊長為xcm,面積為ycrr?.

（1）求出y與x的函數關系式.

（2）當邊長x為多少時;矩形的面積最大，最大面積是多少？

【考點】二次函數的應用.

【分析】（1）已知一邊長為xcm,則另一邊長為（20-2x）.根據面積公式即可

解答.

（2）把函數解析式用配方法化簡，得出y的最大值.

【解答】解：（1）已知一邊長為xcm,則另一邊長為（10-x）.

則y=x（10-x）化簡可得y=-x2+10x

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（2）y=10x-x2=-（x2-10x）=-（x-5）2+25,

所以當x=5時，矩形的面積最大，最大為25cm2.

【點評】本題考查的是二次函數的應用，難度一般，重點要注意配方法的運用.

24,已知二次函數y=gx2-3x+4.

（1）將其配方成y=a（x-k）2+h的形式，并寫出它的圖象的開口方向、頂點坐

標、對稱軸.

（2）畫出圖象，指出y<0時x的取值范圍.

（3）當0<xW4時，求出y的最小值及最大值.

【考點】二次函數的三種形式；二次函數的圖象；二次函數的最值.

【分析】（1）把二次函數化為頂點式的形式，進而可得出結論；

（2）根據二次函數的頂點坐標及與x軸的交點坐標畫出函數圖象，根據二次函數

的圖象可直接得出y<0時x的取值范圍；

（3）直接根據二次函數的圖象即可得出結論.

【解答】解：⑴原二次函數可化為：y=1（x-3）2-1；開口方向向上，頂點

坐標（3,-￡■）,對稱軸：直線x=3；

（2）如圖所示，由圖可知，當2Vx<4時，y<0；

（3）當x=0時，y有最大值4,當x=3時，y有最小值

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【點評】本題考查的是二次函數的三種形式，熟知二次函數的頂點式是解答此題的

關鍵.

25.如圖，點。是等邊△ABC內一點，ZAOB=110°,ZBOC=a,將△BOC繞點C

按順時針方向旋轉60。得△ADC,連接0D.

(1)求證：△COD是等邊三角形；

(2)當a=150。時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由.

【考點】旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質.

【分析】(1)由旋轉的性質可知CO=CD,ZOCD=60",可判斷：△COD是等邊三

角形；

(2)由(1)可知NCOD=60°,當a=150°時，ZADO=ZADC-ZCDO,可判斷△

AOD為直角三角形.

【解答】(1)證明：：?將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60。得△ADC,

.".ZOCD=60°,CO=CD,

.?.△OCD是等邊三角形；

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(2)解：△AOD為直角三角形.

理由：???△COD是等邊三角形.

.?.ZODC=60°,

?將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60。得△ADC,

AZADC=ZBOC=a,

.,.ZADC=ZBOC=150°,

ZADO=ZADC-ZCDO=150°-60°=90°,于是^AOD是直角三角形.

【點評】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質，關鍵是

利用旋轉前后，對應邊相等，對應角相等解題.

26.（10分）（2015?佛山）如圖，一小球從斜坡。點處拋出，球的拋出路線可以

用二次函數y=-X2+4X刻畫，斜坡可以用一次函數y=[x刻畫.

（1）請用配方法求二次函數圖象的最高點P的坐標；

（2）小球的落點是A,求點A的坐標；

（3）連接拋物線的最高點P與點0、A得△POA,求△POA的面積；

（4）在0A上方的拋物線上存在一點M（M與P不重合），△M0A的面積等于△

POA的面積.請直接寫出點M的坐標.

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【考點】二次函數綜合題.

【分析】(1)利用配方法拋物線的一般式化為頂點式，即可求出二次函數圖象的

最高點P的坐標；

(2)聯立兩解析式，可求出交點A的坐標；

(3)作PQ_Lx軸于點Q,AB_Lx軸于點B.根據SAPOA=SAPOQ+S△梯脛PQBA-S^BOA，代

入數值計算即可求解；

(4)過P作0A的平行線，交拋物線于點M,連結OM、AM,由于兩平行線之間

的距離相等，根據同底等高的兩個三角形面積相等，可得AMOA的面積等于△

POA的面積.設直線PM的解析式為y=/x+b,將P(2,4)代入，求出直線PM的

'1

1