江蘇省蘇州市新區(qū)第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

江蘇省蘇州市新區(qū)第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量,,若,則(

)A.1

B.

C.

D.－1

參考答案：D2.設(shè)全集，集合，，則=（） A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.設(shè)命題p：?n∈N，3n≥n2+1，則￢p為（）A．?n∈N，3n＜n2+1 B．C．?n∈N，3n≤n2+1 D．參考答案：B【考點(diǎn)】全稱命題．【分析】根據(jù)已知中的原命題，結(jié)合全稱命題否定的定義，可得答案．【解答】解：∵命題p：?n∈N，3n≥n2+1，∴命題￢p為，故選：B【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全稱命題的否定，掌握全稱命題否定的定義，是解答的關(guān)鍵．4.已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x－2)在[0，2]上是單調(diào)減函數(shù)，則 （

） A.f(－1)＜f(2)＜f(0) B．f(－1)＜f(0)＜f(2) C.f(2)＜f(－1)＜f(0) D．f(0)＜f(－1)＜f(2)參考答案：D5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別F1，F(xiàn)2，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線C在第一象限交于點(diǎn)P，且,則雙曲線的離心率為

A.

B.

C.

D.2

參考答案：A6.由曲線，直線所圍成封閉的平面圖形的面積為 （

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B7.過雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F向其一條漸近線作垂線l，垂足為A，l與另一條漸近線交于B點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為(

)A．2 B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先由=2，得出A為線段FB的中點(diǎn)，再借助于圖象分析出其中一條漸近線對應(yīng)的傾斜角的度數(shù)，找到a，b之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．【解答】解：如圖過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，延長FA與另一條漸近線交于點(diǎn)B．所以FB⊥OA，又因?yàn)?2，所以A為線段FB的中點(diǎn)，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．故∠2+∠3=90°=3∠2?∠2=30°?∠1=60°?=．∴=3，e2==4?e=2．故選A．【點(diǎn)評】本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，同時(shí)考查平面向量的共線定理的運(yùn)用，屬于中檔題．8.已知函數(shù)，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象．關(guān)于函數(shù)g(x)，下列說法正確的是（

）A.函數(shù)g(x)是奇函數(shù)B.函數(shù)g(x)圖象關(guān)于直線對稱C.其當(dāng)時(shí)，函數(shù)g(x)的值域是[－1,2]D.函數(shù)g(x)在上是增函數(shù)參考答案：C【分析】先根據(jù)圖象變換得解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)判斷選擇.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，得到，所以函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是；函數(shù)在單調(diào)遞減，不是增函數(shù)，故選C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換以及余弦函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析判斷求解能力，屬基礎(chǔ)題.9.若函數(shù)是偶函數(shù)，則A.

B.

C.

D.或參考答案：D因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以,所以，,所以，選D.10.已知函數(shù)為偶函數(shù)(0＜θ＜π)其圖象與直線y＝2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的最小值為π，則

（

）A．ω＝2，θ＝

B．ω＝，θ＝C．ω＝，θ＝

D．ω＝2，θ＝參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關(guān)于函數(shù)(x∈R)，有下列命題：（1）y=f(x)的表達(dá)式可改寫為y=4cos(2x-);（2）y=f(x)是以2π為最小正周期的周期函數(shù)；（3）y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(—,0)對稱;（4）y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=—對稱;其中正確的命題序號是_____．參考答案：略12.若函數(shù)f(x)=在(0，3)上單調(diào)遞增，則a∈

。參考答案：答案:

13.在樣本的頻率分布直方圖中，共有5個(gè)小長方形，若中間一個(gè)小長方形的面積等于其余4個(gè)小長方形面積和的，且樣本容量為50，則中間一組的頻數(shù)為___________.參考答案：略14.已知函數(shù)y=sinx+sin（x-）

（1）f（x）的最小正周期為_____________．

（2）f（x）的最大值是_____________．參考答案：（1）（2）略15.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）曲線（為參數(shù)），若以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則該曲線的極坐標(biāo)方程是

．參考答案：考點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的互化，普通方程與極坐標(biāo)方程的互化16.設(shè)，則________，________.參考答案：；

.【分析】把代入等式中，可以直接求出的值，要想求的值，可以通過的系數(shù)來求，觀察等式的右邊，可以發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)項(xiàng)在和這兩個(gè)展開式中出現(xiàn)，因此先求出展開式中的系數(shù)，讓這個(gè)系數(shù)等于1，即可求出的值，然后求出此時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)，最后再求出展開式中的系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)等式的左邊不含有項(xiàng)，因此有，這樣求出的值.【詳解】把代入等式中，得，即.在等式的右邊只有在這個(gè)展開式中，才會(huì)出現(xiàn)項(xiàng)，它的系數(shù)為：，因此有,此時(shí)，的系數(shù)，展開式中的系數(shù)為，而已知等式的左邊不含有這一項(xiàng)，因此，所以，因此【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式展開式某項(xiàng)系數(shù)問題，觀察等式的特征、取特殊值是解題的關(guān)鍵.17.下列命題中，真命題的序號有________.（寫出所有真命題的序號）①當(dāng)且時(shí)，有；

②函數(shù)的定義域是；

③函數(shù)在處取得極大值；

④若，則.參考答案：③④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t是參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C2的直角坐標(biāo)方程，并指出其表示何種曲線；（2）若曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，即可得出結(jié)論；（2）聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程，利用參數(shù)的幾何意義，即可求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）對于曲線C2有，即，因此曲線C2的直角坐標(biāo)方程為，其表示一個(gè)圓．（2）聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程可得：，∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13，因此sinα=0，|AB|的最小值為，sinα=±1，最大值為8．19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；（Ⅱ）若是奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞減，求不等式的解集.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的定義域；函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的單調(diào)性.B1B3B4

【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）由題意可知：，解得…………3分∴函數(shù)的定義域?yàn)椤?分（Ⅱ）由得≤，∴又∵是奇函數(shù)，

∴……………8分又∵在上單調(diào)遞減，∴………………11分∴的解集為…………………12分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由題意轉(zhuǎn)化為不等式組解之即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式組可得結(jié)果.20.已知函數(shù).（1）求證：對任意實(shí)數(shù)a，都有；（2）若，是否存在整數(shù)k，使得在上，恒有成立？若存在，請求出k的最大值；若不存在，請說明理由.（）參考答案：（1）見證明；（2）見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得，令，再利用導(dǎo)數(shù)即可求得，問題得證。（2）整理得：，令：，由得，對是否大于分類，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)即可證得，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)即可求得，要使不等式恒成立轉(zhuǎn)化成成立，令，利用導(dǎo)數(shù)即可求得，，即可求得，問題得解。【詳解】解：（1）證明：由已知易得，所以令得：顯然，時(shí)，<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；時(shí)，>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增所以令，則由得時(shí)，>0，函數(shù)t（）單調(diào)遞增；時(shí)，<0，函數(shù)t（）單調(diào)遞減所以，即結(jié)論成立.（2）由題設(shè)化簡可得令，所以由=0得①若，即時(shí)，在上，有，故函數(shù)單調(diào)遞增所以②若，即時(shí)，在上，有，故函數(shù)在上單調(diào)遞減在上，有.故函數(shù)在上單調(diào)遞增所以，在上，故欲使，只需即可令由得所以，時(shí)，，即單調(diào)遞減又故【點(diǎn)睛】本題主要考查了轉(zhuǎn)化思想及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，還考查了分類思想及化歸能力，考查計(jì)算能力及觀察能力，屬于難題。21.（本題滿分18分）（文）設(shè)，等差數(shù)列中，，記=，令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式和；（2）求證：；（3）是否存在正整數(shù)，且，使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.參考答案：解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由,.解得，=3，

……………2分

∴

……………4分∵，

∴Sn==.

……………6分

（2）

∴

……………8分

∴

……………10分

（3）由(2)知，

∴，，∵成等比數(shù)列.

∴

……………12分

即

當(dāng)時(shí)，7，=1，不合題意；當(dāng)時(shí)，，=16，符合題意；當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；……………15分

當(dāng)時(shí)，

，則，而，

所以，此時(shí)不存在正整數(shù)m,n,且1<m<n,使得成等比數(shù)列.……………17分

綜上，存在正整數(shù)m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數(shù)列.……………18分[來

另解：

（3）由(2)知，

∴，

∵成等比數(shù)列.∴，

……………12分取倒數(shù)再化簡得

當(dāng)時(shí)，，=16，符合題意；

……………14分，而，所以，此時(shí)不存在正整數(shù)m、n,且1<m<n,使得成等比數(shù)列.……………17分

綜上，存在正整數(shù)m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數(shù)列.

……………18分22.設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于，兩點(diǎn)，且．⑴求的取值范圍；⑵證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；⑶設(shè),若對恒成立，求取值范圍參考答案：解：（1）．若，則，則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾．所以，令，則．當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)減函數(shù)；時(shí)，，是單調(diào)增函數(shù)；于是當(dāng)時(shí)，取得極小值．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)，（），所以，即．此時(shí)，存在；存在，又在R上連續(xù)，故為所求取值范圍.

……4分

（2）因?yàn)閮墒较鄿p得．