2018版數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第1部分重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)4等差數(shù)列、等比數(shù)列文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGEPAGE11學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)（四)等差數(shù)列、等比數(shù)列［建議A、B組各用時(shí)：45分鐘]［A組高考達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．已知等比數(shù)列｛an}的公比為－eq\f（1，2）,則eq\f（a1＋a3＋a5，a2＋a4＋a6）的值是()A．－2 B．－eq\f（1,2）C。eq\f（1,2） D．2A［由題意可知eq\f(a1＋a3＋a5，a2＋a4＋a6)＝eq\f（a1＋a3＋a5，－\f(1，2)a1＋a3＋a5）＝－2.]2．已知數(shù)列{an｝是等差數(shù)列，且a7－2a4＝6，a3＝2，則公差d【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024055】A．2eq\r（2) B．4C．8 D．16B[法一：由題意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a7－2a4＝a1＋6d－2a1＋3d＝6，,a3＝a1＋2d＝2，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－6，,d＝4。））法二：在公差為d的等差數(shù)列{an}中,am＝an＋（m－n）d(m，n∈N*)．由題意得a3＝2,a7－2a4＝a3＋4d－2（a3＋d）＝6,解得d3．（2017·三湘名校聯(lián)盟三模)在我國(guó)明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類(lèi)大全》中，有一道數(shù)學(xué)名題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增；共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)頂層幾盞燈?"（“倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增）根據(jù)此詩(shī)，可以得出塔的頂層和底層共有（)A．3盞燈 B．192盞燈C．195盞燈 D．200盞燈C[由題意設(shè)頂層的燈盞數(shù)為a1，則有S7＝eq\f（a11－27，1－2）＝381，解得a1＝3,∴a7＝a1×26＝3×26＝192，∴a1＋a7＝195。故選C。]4．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝b1＝3，an＋1－an＝eq\f（bn＋1，bn）＝3，n∈N*.若數(shù)列｛cn}滿足cn＝ban，則c2016＝()A．92015 B．272015C．92016 D．272016D[由已知條件知｛an}是首項(xiàng)為3,公差為3的等差數(shù)列．?dāng)?shù)列{bn｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，∴an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n，∴c2016＝33×2016＝272016，故選D。］5．(2017·湖北六校聯(lián)考）在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，則Sn＝aeq\o\al（2,1）－aeq\o\al（2，2）＋aeq\o\al(2,3)－aeq\o\al(2,4)＋…＋aeq\o\al（2，2n－1）－aeq\o\al(2,2n）等于()A。eq\f(1,3）（2n－1) B。eq\f（1,5)（1－24n)C。eq\f（1，3）（4n－1) D。eq\f(1,3）（1－2n)B［在數(shù)列{an}中，由a1＝1，an＋1＝2an，可得an＝2n－1，則Sn＝aeq\o\al（2，1）－aeq\o\al（2，2）＋aeq\o\al(2，3)－aeq\o\al（2,4)＋…＋aeq\o\al（2,2n－1)－aeq\o\al（2，2n)＝1－4＋16－64＋…＋42n－2－42n－1＝eq\f(1－－42n，1－－4)＝eq\f(1,5）（1－42n）＝eq\f（1,5）(1－24n)．故選B。]二、填空題6．（2017·合肥二模)已知eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(\f（1，an)）)是等差數(shù)列，則a1＝1，a4＝4，則a10＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024056】－eq\f（4，5)［設(shè)eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f（1，an)））的公差為d,由a1＝1，a4＝4得，3d＝eq\f(1,a4）－eq\f（1，a1）＝－eq\f（3,4），所以d＝－eq\f(1,4)，從而eq\f（1，a10)＝eq\f（1，a1）＋9d＝－eq\f（5，4），故a10＝－eq\f(4,5）。]7。設(shè)等比數(shù)列{an｝中，Sn是前n項(xiàng)和，若27a3－a6＝0，則eq\f(S6,S3）＝__________.28［由題意可知，公比q3＝eq\f（a6，a3）＝27，∴eq\f（S6,S3)＝eq\f（1－q6,1－q3)＝1＋q3＝1＋27＝28。］8．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和,則使得Sn達(dá)到最大值的n是________．20[由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a3＝35，a4＝33，故d＝－2，an＝35＋（n－3)×(－2）＝41－2n，易知數(shù)列前20項(xiàng)大于0，從第21項(xiàng)起為負(fù)項(xiàng)，故使得Sn達(dá)到最大值的n是20。］三、解答題9．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足（1－q）Sn＋qan＝1，且q（q－1）≠0.（1)求｛an}的通項(xiàng)公式；（2)若S3，S9，S6成等差數(shù)列,求證:a2,a8，a5成等差數(shù)列．[解](1）當(dāng)n＝1時(shí)，由(1－q）S1＋qa1＝1，得a1＝1． 1分當(dāng)n≥2時(shí)，由(1－q）Sn＋qan＝1,得(1－q)Sn－1＋qan－1＝1，兩式相減得an＝qan－1. 5分又q(q－1）≠0，所以｛an}是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，故an＝qn－1． 6分(2)證明：由（1）可知Sn＝eq\f（1－anq，1－q）， 7分又S3＋S6＝2S9，得eq\f（1－a3q,1－q）＋eq\f（1－a6q，1－q)＝eq\f（21－a9q,1－q）, 9分化簡(jiǎn)得a3＋a6＝2a9，兩邊同除以q得a2＋a5＝2a故a2,a8，a5成等差數(shù)列． 12分10．已知等差數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5.（1)求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式；（2）若Tn＝｜a1|＋|a2｜＋|a3｜＋…＋|an|,求T5的值和Tn的表達(dá)式.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024057】［解]（1)由題知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2a1＋7d＝4，，5a1＋\f(5×4，2）d＝－5，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＝－5，，d＝2，）)故an＝2n－7（n∈N＊). 5分(2)由an＝2n－7<0，得n<eq\f（7，2)，即n≤3，所以當(dāng)n≤3時(shí)，an＝2n－7〈0，當(dāng)n≥4時(shí)，an＝2n－7〉0． 6分易知Sn＝n2－6n，S3＝－9，S5＝－5，所以T5＝－(a1＋a2＋a3）＋a4＋a5＝－S3＋（S5－S3）＝S5－2S3＝13． 8分當(dāng)n≤3時(shí),Tn＝－Sn＝6n－n2；當(dāng)n≥4時(shí)，Tn＝－S3＋（Sn－S3）＝Sn－2S3＝n2－6n＋18。故Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（6n－n2，n≤3,,n2－6n＋18，n≥4。）) 12分[B組名校沖刺］一、選擇題1．(2016·河北五個(gè)一聯(lián)盟）已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且S2＝10,S5＝55，則過(guò)點(diǎn)P（n，an)和Q(n＋2，an＋2)（n∈N*）的直線的斜率是(）【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024058】A．4 B．3C．2 D．1A[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)镾2＝2a1＋d＝10,S5＝eq\f(5，2）(a1＋a5)＝5（a1＋2d）＝55，所以d＝4,所以kPQ＝eq\f（an＋2－an,n＋2－n）＝eq\f（2d,2）＝d＝4，故選A。]2．已知數(shù)列｛an｝滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則logeq\f（1,3）（a5＋a7＋a9）的值是（）A．－5 B．－eq\f（1,5)C．5 D.eq\f（1,5)A［根據(jù)已知得3an＝an＋1，∴數(shù)列｛an}是等比數(shù)列且其公比為3，∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6）×33＝9×33＝35,∴l(xiāng)ogeq\f(1，3）（a5＋a7＋a9）＝logeq\f(1,3)35＝－5.]3．（2017·長(zhǎng)沙二模）我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題：“今有十等人,每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤,持出，中間三人未到者，亦依等次更給，問(wèn)各得金幾何？"則在該問(wèn)題中,等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的八等人和九等人兩人所得黃金之和（)A．多eq\f(7，12)斤 B．少eq\f（7，12）斤C．多eq\f(1，6）斤 D．少eq\f（1，6)斤D［設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小構(gòu)成等差數(shù)列{an}，則a1＋a2＋a3＝3a2＝4，a2＝eq\f(4,3)，a7＋a8＋a9＋a10＝2(a8＋a9)＝3，a8＋a9＝eq\f（3,2），則a2－（a8＋a9）＝eq\f(4,3)－eq\f(3,2)＝－eq\f（1，6），∴等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的八等人和九等人兩人所得黃金之和少eq\f(1,6)斤．故選D.]4．(2017·石家莊一模）已知函數(shù)f（x)的圖象關(guān)于x＝－1對(duì)稱,且f（x）在(－1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an｝是公差不為0的等差數(shù)列,且f(a50）＝f（a51），則｛an}的前100項(xiàng)的和為（)【導(dǎo)學(xué)號(hào):04024059】A．－200 B．－100C．0 D．－50B［因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象關(guān)于x＝－1對(duì)稱，又函數(shù)f(x）在(－1，＋∞）上單調(diào),數(shù)列｛an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50）＝f（a51)，所以a50＋a51＝－2,所以S100＝eq\f（100a1＋a100,2）＝50(a50＋a51）＝－100,故選B。]二、填空題5．（2017·廣州二模)在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛an}中,已知a1＝2,aeq\o\al（2，n＋2）＋4aeq\o\al（2，n)＝4aeq\o\al(2,n＋1），則數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式an＝________.6．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若Sk－2＝－4（k〉2），Sk＝0,Sk＋2＝8,則k＝__________.6［由題意,得Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝8，Sk－Sk－2＝ak－1＋ak＝4(k>2),兩式相減，得4d＝4，即d＝1。由Sk＝ka1＋eq\f(kk－1，2）＝0，得a1＝－eq\f（k－1，2),將a1＝－eq\f（k－1,2）代入ak－1＋ak＝4，得－（k－1）＋（2k－3)＝k－2＝4，解得k＝6。］三、解答題7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn＝2n2＋2n。(1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若點(diǎn)(bn，an)在函數(shù)y＝log2x的圖象上,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。［解](1）當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋2n－[2(n－1）2＋2(n－1)]＝4n， 3分當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4＝4×1， 4分所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n． 6分（2)由點(diǎn)（bn，an)在函數(shù)y＝log2x的圖象上得an＝log2bn，且an＝4n， 8分所以bn＝2an＝24n＝16n，故數(shù)列{bn｝是以16為首項(xiàng)，公比為16的等比數(shù)列， 10分所以Tn＝eq\f（161－16n，1－16）＝eq\f（16n＋1－16,15）． 12分8．已知等差數(shù)列｛an}的公差為2,其前n項(xiàng)和為Sn＝pn2＋2n，n∈N＊.(1)求p的值及an；（2）在等比數(shù)列{bn}中，b3＝a1，b4＝a2＋4，若等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證：數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（Tn＋\f(1,6))）為等比數(shù)列．[解]（1)由已知可得a1＝S1＝p＋2，S2＝4p＋4，即a1＋a2＝4p＋4，∴a2＝3p＋2． 2分由已知得a2－a1＝2p＝2，∴p＝1，∴a1＝3，∴an＝2n＋1,n∈N*． 4分（2)證明:在等比數(shù)列｛bn}中,b3＝a1＝3，b4＝a2＋4＝9,則公比為eq\f(b4,b3）＝3。由b3＝b1·32，得b1＝eq\f(1,3），∴數(shù)列｛bn}是以eq\f（1，3）為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列, 7分∴Tn＝eq\f（\f(1，3）1－3n，1－3）＝eq\f（1，6)·（3n－1)， 8分即Tn＋eq\f