GCT數(shù)學(xué)需記憶部分整理1

第一章算術(shù)

本章正點(diǎn)內(nèi)客

數(shù)的概念.數(shù)字的運(yùn)算技巧，敗列求和.數(shù)蛆的平均值.分效比大小.算術(shù)應(yīng)用16

§1.1數(shù)的概念及運(yùn)算

1.自然數(shù)和整數(shù)

自然?60.1.2.3.…

整效，….-3,-2.-1.0.1.2,3.—

X5Hft?幡*位-1-不均分成著千份，表示這卷呵一份?UL傷峋販叫做分?jǐn)?shù).

文分?jǐn)?shù)：如;弓等.

201

微分?jǐn)?shù)：如彳.5.不拇.

---_-1.3_.aa-￥lb,a

帶分?jǐn)?shù)：4?nl—.2—^ff.Z—=---=Z+—.

2,Jbbb

外效相除、JA兩個(gè)裝相比，暫可取用分?jǐn)?shù)示：a+b=a:b=:(b#0).

b

左=筌=皆SwO./nxO).

bbmb

茄

的分和通分r

3.<Nft>第?位”廣￥均分成10份.100份.1000份.….我示這■的一份m幾借是十分之幾、百

分之幾、千分之幾、…的數(shù)叫做小效.

育網(wǎng)小數(shù)，如520036,-1.6等

無(wú)限刪壞小數(shù)：如11666….2.171717-.-0.3333….等

無(wú)照不用環(huán)小數(shù)：＜01-72=1.41421.--/r=3.14159--?=2.71828.-等

4.百分?jǐn)?shù)：表示百分之幾的數(shù).如25%.97%呼.

表示一個(gè)數(shù)。占一個(gè)數(shù)6的百分之幾可用百分?jǐn)?shù)I^-xlOO%.這稱(chēng)為。與5的百分比.

b

5.正駐數(shù)的觸觸

若a=kb目無(wú)是跳數(shù).則彌6整除且稱(chēng)。是占的儕數(shù).6是。的妁效或因效).

幾個(gè)正維數(shù)的公共的信徽稱(chēng)為它們的公儕數(shù).這幾個(gè)效的所*公倍數(shù)中最小晌一個(gè)稱(chēng)為最小公

儕效.

幾個(gè)正整數(shù)的公共的約效林為它WJ的公約數(shù).這幾個(gè)數(shù)的所有公的致中餐大的一個(gè)稱(chēng)為?大公

的數(shù).

如果兩個(gè)正整數(shù)的公約數(shù)只有1,則稱(chēng)它們互庾(互素).

注：(1)如果一個(gè)正整數(shù)的約數(shù)只有】和它自己，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))：不是質(zhì)數(shù)的正整

數(shù)林為合數(shù)：每個(gè)合數(shù)都可以分解為質(zhì)因敗的次零的篥積.

(2)分子和分母互索的分?jǐn)?shù)稱(chēng)為最筒分?jǐn)?shù).

6.偶數(shù)和奇數(shù)：能被2整除的整數(shù)稱(chēng)為偶數(shù)；不能被2整除的整數(shù)稱(chēng)為奇數(shù).0是偶數(shù).

7.數(shù)列

(1)數(shù)列的概念：可，生,…,。”,…

(2)等差數(shù)列

對(duì)于數(shù)列如果存在常數(shù)由使。皿-4=d.("=L2.…)?西稱(chēng)該數(shù)列

為等差數(shù)列，d稱(chēng)為公差.

等差數(shù)列的一般形式：q,q+d,+Id,o)-?"(w—1)</,---

等差室列的前〃項(xiàng)和：S.="(/￡4)=岫

(3)等比數(shù)列

若數(shù)列q.%.…,4,…滿(mǎn)足，存在常數(shù)q，0.使巴也=q,("=L1…).則稱(chēng)加5為等比

數(shù)列，g稱(chēng)為公比.

等比數(shù)列的一般形式：a?qq,qq)…，a『,-

等比數(shù)列的前力獨(dú)和公式：q=l時(shí)，S.=〃4：gwl時(shí)，S.=ar=22=匯幽二

L—q\—q

(4)三個(gè)更要公式

1+2+3+…+一=

2

「+2,+3、…+/=-n(n+l)(2n+l)

6,

]+q+g：+…+寸='甲.

§1.2比例及其性質(zhì)

1.兩敦相除.稱(chēng)為這兩個(gè)數(shù)的比：a:b=a*b=

0

2.若兩個(gè)比a:bOc:d相等，則稱(chēng)等式a:b=c:d（或：=:）為比例式，簡(jiǎn)稱(chēng)比例.其中以

bd

d稱(chēng)為比例外項(xiàng).A。稱(chēng)為比例內(nèi)項(xiàng).特別地.若?=時(shí)稱(chēng)/A（?成比例，且稱(chēng)b為比例中

bc

項(xiàng).

3.比例的性質(zhì)

切果；=則如下等式成立,

ba

<1)ad-bei

b

bac

a+b_c+d

(3)（合比定理）

a-bc-d

-----=-----（分比定理）

bd

a+br+d

(5)（合分比定理）

a-bc-d

4.正比例與反比例

若），=fcv<Ep2-=Jr>.（i*0,土為常數(shù)），則稱(chēng),，與X成正比例:

X

若>=:<即個(gè)，=上），（R=0.*為常數(shù)），則稱(chēng)〉與X成反比例.

注：上稱(chēng)為比例系數(shù).

第二章實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)和代數(shù)式

本章主要內(nèi)容

實(shí)景的鐳構(gòu).絕對(duì)tfi&其性質(zhì)，豆款的毓含時(shí)表示,復(fù)效的鎮(zhèn)及改性質(zhì).顯效的共怩及其運(yùn)算:

姿式，分式及及運(yùn)算，因式分解.

§2.1實(shí)數(shù)

整數(shù)：正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、零

正、負(fù)有限小數(shù)

非整數(shù)的分?jǐn)?shù)①或）

1正、負(fù)無(wú)限循環(huán)小數(shù)

無(wú)限不循環(huán)小敷.to：V?=1.41421.*=3.14159.e=2.71828.

注*（1）琴整It的有理數(shù)可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式：有理數(shù)總可表示為已的形式.

q

<2）母根號(hào)的數(shù)未必是無(wú)理數(shù)：無(wú)理數(shù)不一定帶根號(hào).

2、數(shù)軸：加定r坐標(biāo)原點(diǎn)和單位長(zhǎng)度的右向直城.實(shí)數(shù)一數(shù)軸上的點(diǎn).

3.實(shí)數(shù)的運(yùn)算：+.-、x、一四則運(yùn)算,索方.開(kāi)方:

運(yùn)尊律：交換律（減法例外）、結(jié)合律.分配律

o>0

4,處對(duì)值：a

a<0

性質(zhì)：(1)|aR(h

(2)|o+b!<|fl|+bl|

(3)|o-6a|-1&i

(4)|f|b:

⑸姓=去0=0)

\b\b

(6)設(shè)k20.財(cái)aRtoa2k或aW-Jn

a<k<=>-k<a<k.

§2.2復(fù)數(shù)

1.復(fù)數(shù)的概念?z=a+ib,其中a,6是實(shí)數(shù)，分別稱(chēng)為賣(mài)90虞?，稱(chēng)為也單位.

注，

*i,『=-Li'=T,；"=L尸=i,產(chǎn)=-1,產(chǎn)=T，產(chǎn)=1.

★當(dāng)6=0時(shí).工成為實(shí)數(shù)；當(dāng)a=0時(shí).二是虛數(shù).

*z=a+ib的共覲復(fù)數(shù)：E=a-ib.

*復(fù)敷二=a+ib的模：”|z|=JaW,

b

幅用：6=aictan一?幅角主值ax”W[0,2<).

a

2、第R的三種表示：z=a+zb=r(cos^+?sin^)=.

相互轉(zhuǎn)換關(guān)系：r=|z|='Ja2+fr:,tan^=—.a=rcos^.b=rsind.

3、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

(1)加、減、集、除,

(a+bi)士(c+di)=(a±c)+(b士d)i

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)_ac+bdJc-ad：

(c+di)c2+d'+c'+d”

(2)柔、除、罌、開(kāi)方運(yùn)算的指數(shù)表示和三角表示

設(shè)=虱月

H==r(cos5+isind),4=%*85+ism4),z2=r2e^=^(cos5,+i5m^2)?M

*罕2=與弓/4F>=野[cola+與+f“ma+a)]

*iL=5/4F>=5[cos(g-a)+isin(&-ft)]

Z?Rr2

★z"-rH^=r"[co$n^+z$mn^]

.r~--廣?“廠「8+2k笈8+2k冗、A1八

*VHz=z"=r"e11=V*>[cos-------------Fisin------------1(k=0.1,--n-1)

nnT

(3)關(guān)于模和帽角

也卜㈤叫同唱"小膽小zf；

arg(-1z,)=argr1+argz2,arg(^-)=arg二1一arg五；

4

,■、,Txargz+2^

arg(二?)=川arg二，arg(z*)=—------?

n

4,復(fù)數(shù)的共蛻運(yùn)算：

<1)而=人

(2)若wwR.Wjr=z?

(3)zt±z2=彳±T2：

(4)"斗

⑸:升暫C#o)：

(6)z-T=fzpj

(7)設(shè)工=。+加,Mz+z=2a：z-z=2bi.

3、復(fù)平面及復(fù)數(shù)的幾何表示

注：G-z"的幾何意義：復(fù)數(shù)耳馬在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)馬與馬間的跑離?

§2.3代數(shù)式

1.單項(xiàng)式：形如3,-|x,x4,xy,-5xyz2等.

2多項(xiàng)式：若干單項(xiàng)式之和.<n：1+x4x>+(-2x),犬+4戶(hù)+2等.

3.整式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式的統(tǒng)稱(chēng).

4.分式：兩個(gè)整式相除.即形如空?的式子(g(x)=O)稱(chēng)為分式，其中f(x)、g(x)都為整式.

5.常用公式?

(a+bf=a'+2ab+b?

(._?=，_2ab+『

a2-b2=(a+b)(a-b)

(a+by=a3+3/b+3ab?+b3

(。-與3=/-3。，+3帥2-9

M+b，=(a+b)(a?-ab+b')

a--b，=(a—b)(a~+ab+b~)

§2」補(bǔ)充閱讀

一、多項(xiàng)式的因式分解

因式分解定理:實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式%K+qL+…,總可以分解成若干個(gè)一次和二次實(shí)系數(shù)

因式的橐枳.其中的二次因式不能再分解因式：復(fù)系數(shù)n次多項(xiàng)式總可以分解成刀個(gè)一次復(fù)系數(shù)因

式的乘積.

(1)公式法：

例？41珞g-b)$-，一方分籍因式.

解：(。+33---/=(。+防3-(/+力)

=(a+bY-(a+b)(--ab^b2)

=(a-r&)[(a*+2ah+h,)-(a*-oh+fe2)]

=3ab(a+b)

⑵求根公式法：針對(duì)G^+b%+c的分解因式，對(duì)方程Q3+far+c=0使用求根公式：

-b+Jb、--b-\b2-4ac

Xi=；，X2~：，

2a2a

則ax'+fcr+c=a(x-xt)(x-x2).

例2.4.2將X，—x?-1+2x分解因式.

解：x4-x2-1+2x=x4-(x-1)J=(x2-x+l)(xl+x-1),因/+工一1=0有兩個(gè)根:

J5-I-A+l

X=-----,x=-------.而x?-x+l=0無(wú)根(判別式b'-4ac<0),故

22

?^=(x2-x+lXx-.

2

⑶十字相乘法：針對(duì)ar'+bx+c.若它可改寫(xiě)為ata2x+(atc2+a2c})x+cxc2,則

ax2+bx+c=(^jX+CjXajX+Cj)

實(shí)現(xiàn)方式：按下列格式試探

a\ci+a2ci=b?

例L4.3分解因式：①2x2+5x-3@x2-3x+2

1+3

解：①丁一二1_..?.2X2+5X-3=(X+3)(2X-1).

-1+6=5

1-2

②V,)J一■7,：.X2-3X+2=(X-2)(X-1).注：也可用求根公式法.

-1+(-2)=-3

?)配方法：

W2.4.4x,-2x-8=(x-l),-9=(x-l-3Xx-l+3)=(x-4Xx+2).

(5)觀察法：

例2.4.5分解因式?x5+x2-3x-3

解：觀察知x=-l是x'+x2-3x-3=0的根.故/+/-3X-3中含有因式(x+1).

利用帶余除法.用x+1除x'+x'-3x-3,得：

原式=(x+l)(x2-3)=(x+l)(x-"Xx+73).

(6)移項(xiàng)結(jié)合法8

例2.4.6x3+Z-x-1=x'-x+x2-l=x(x：-l)+(x：-l)=(x+1乂/-D=(x+l)3(x-1)?

(7)堵減項(xiàng)法、拆項(xiàng)法

例L&7分解因式,①xJ2x-4：②x3+5M+7x+3.

解：①xJ-2x-4=x3-2x2+2x2-2x-4=x2(x-2)-i-2(x2-x-2)

=x2(x-2)+2(x-2Xx+1)=(x-2)(x2+2x+2).

四、根式及其運(yùn)算

形如詬的式子稱(chēng)為根式，它也稱(chēng)為數(shù)。的外次方根.

注：《D在實(shí)數(shù)域內(nèi),負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方，一個(gè)正數(shù)開(kāi)偶次方有兩個(gè)方根.其絕對(duì)值相等,正負(fù)號(hào)相

反,一個(gè)數(shù)開(kāi)奇次方只有一個(gè)方根.

(2)正數(shù)的正方根稱(chēng)為算術(shù)根.規(guī)定。的算術(shù)根為0?

<3)方根的性質(zhì)：

2,——，

?yfa=a",Ma"=a",(a>0)

?由丫=a,行=a,(a>0)

?加&=弧.(a>0,b>0)

y[a5

?—f==J-,(a20,b>0)

?(痂*=行，(a>0)

?班二=行，(a>0)

1&

?丁=——，(a>0)

7aa

注：悵式和分式統(tǒng)稱(chēng)為有理式：根式也稱(chēng)為無(wú)理式?存理式和無(wú)理式統(tǒng)稱(chēng)為代數(shù)式.

二、多項(xiàng)式除法

?次多項(xiàng)式：f(x)=GoX"+…(a*0).

帶余除法定理：對(duì)任二實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)和g(x),(f(x)MO).一定存在實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。(外

和R(x),使得

7(x)=2(x)g(x)+R(x).

其中R(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)(可以力零多項(xiàng)式).滿(mǎn)足上式的0(幻和R(x)是唯一的,它們分

別稱(chēng)為用g(x)除以/(X)獲得的商式和余式.

例2.4.8米/(x)=4/+5/-3x-8除以gCr)=/+2x+1的商式和余式.

解：因?yàn)?/p>

4x-3

x2+2x+1)4x'+5x'-3x-8

4x*+8x2+4x

-3?-7x-8

-3x2-6x-3

-x-5

Z.4xJ+5x2-3x-8=(4x+3)(x2+2x+l)+(-x-5).商式：4x-3,余式》-x-5.

以下提到的所有多項(xiàng)式都是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.

注：＜1煞除，當(dāng)余式R(x)=0時(shí).稱(chēng)g(x)整除/(x).記為g(x)/(x).

⑵因式：若h(x)|/(x),稱(chēng)h(x)是/(x)的一個(gè)因式.

⑶一(幻和g(x)的公因式：若力(x)/(X)且Mx)；g(x),則稱(chēng)Mx)是f(幻和g(x)的公因式.

⑹/㈤和g(x)的最大公因式：若6(幻是f(x)和g(x)的公因式,目/'(X)與g(x)的任何因式

林是Mx)的因式，則稱(chēng)Mx)是/(幻和g(x)的呆大公因式.

⑸f(x)和g(x)的最小公借揖一元多項(xiàng)式Mx),使得：

①/(外1吹幻且8(》)13。)‘

②w(x)是滿(mǎn)足①的次數(shù)最小的多項(xiàng)式,則似幻林為f(x)和g(x)的最小公信式.

⑹互質(zhì)：若f(x)和g(x)沒(méi)有非常數(shù)的公因式，則稱(chēng)八外與g(x)互質(zhì)，記為

(/(x),g(x))=l.

三、分式的運(yùn)算

形如錯(cuò)的式子G(x)wO)稱(chēng)力分式，其中f(x)、g(x)都為整式.

注：(I)設(shè)g(x).g式x)都不是*多項(xiàng)式，M

里=里o=/(x)g,(x).

gl(x)g式x)2

⑵如果g(x)|/(x),則噌是一個(gè)整式.

g(x)

(3)約分：〃x)h(x)=fM(h(x)*0).

g(x)b(x)g(x)

U)既的分式：分子與分母無(wú)公因式的分式.

⑸分式的加、減、乘.除運(yùn)算和釣分(見(jiàn)下兩例).

第三章集合、映射和函數(shù)

本章重點(diǎn)內(nèi)容

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性.函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性.常見(jiàn)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，反函數(shù)，復(fù)

合函數(shù)

§3.1函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性

一、單調(diào)性

若函數(shù)A=/(力在其定義域的某個(gè)子集I上滿(mǎn)足j對(duì)當(dāng)時(shí)都有

/(x】)4f(/)(或/(xJcfCrJ),則稱(chēng)/可在I上是增的數(shù)(嚴(yán)格增的數(shù))：若/(外在I上滿(mǎn)

足&對(duì)▼XiRiEl.當(dāng)月<x?時(shí)都有/(XI)2/(XJ(i^/(x1)>/(Xi)>?附稱(chēng)/(x)在I上是減

函數(shù)(嚴(yán)格減函數(shù))?增函數(shù)和減函敷都稱(chēng)為單調(diào)函數(shù).

二、奇偶性

若函數(shù)*=力力對(duì)其定義域內(nèi)任意的x都有/(r)=-/(x)，或/(r)=/(x)).則稱(chēng)『(力為奇的

數(shù)(偶函數(shù)).

注：(1)兩個(gè)有公共定義域的奇麗數(shù)的和(差)，仍是奇函數(shù)：兩個(gè)有公共定義域的偶函數(shù)的和

(差)，仍是儡函數(shù)：

(2)兩個(gè)有公共定義域的奇函數(shù)的枳是偶函數(shù)；兩個(gè)有公共定義域的偶函數(shù)的積是假函數(shù)，

<3)有公共定義域的一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)假函數(shù)的枳是奇麗#h

<4)函數(shù)/(X)與一一具有相同的奇偶性；

/U)

三、周期性

若存在非等常數(shù)T,使函數(shù)>，=/(!)在其定義域內(nèi)對(duì)任意的X都有/(x-T)=/(x).則稱(chēng)/(X)為

周期的StT稱(chēng)為函數(shù)/(x)的周期.如果/(X)的所日周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),胤這個(gè)正數(shù)稱(chēng)為了

(X)的最小正周期.

四、函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性

(1)函數(shù)y=〃x)的圖像關(guān)于，軸對(duì)稱(chēng)：/(-x)=f(x)?可見(jiàn)fl麗數(shù)的圖像關(guān)于J“對(duì)稱(chēng)?

(2)函數(shù)1的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：/(-x)=-f(x).可見(jiàn)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)財(cái)林.

(3)若函數(shù)j=f(x)滿(mǎn)足f(a-x)=/(a+x),則其圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng).

<4)若函數(shù))，=〃x)滿(mǎn)足f(a-x)=-/(a+x),則其圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng)。

<5>對(duì)任何函數(shù)j=/C0都有：)=/(a-x)的圖像和j=f(a+x)的圖像關(guān)于>，輛對(duì)冰(見(jiàn)例

玲).

§3.2二次函數(shù)及其性質(zhì)

二次函數(shù)：),=?-+bx+c,(xwR,a=0).

定義域：R:當(dāng)a＞0時(shí).值域?yàn)榘压?=［把心?,70);

、4aJ4a

當(dāng)avO時(shí).值域?yàn)?川＞4把心-1=(-8,生士卜

4aJ4o

S?：±

M小%

當(dāng)，＞0時(shí),圖像為開(kāi)口向上的拗物線.對(duì)林軸x-

2±a4a

當(dāng)，＜0時(shí),圖像為開(kāi)口向下的拋物線,對(duì)彌軸x一

2a4a

|5越大.拋物城的開(kāi)口就越小.

a>Qa<0

圖像/A

開(kāi)口開(kāi)口向上開(kāi)口向下

/b4ac-b2

蕉點(diǎn)坐標(biāo)(“4a

關(guān)于直線3-5對(duì)稱(chēng)

對(duì)稱(chēng)性

當(dāng)x4一"時(shí)，是*通敬*當(dāng)x4-時(shí)，是增函at

單墀性2a2a

當(dāng)xN-烏時(shí)，是堵,敷當(dāng)xN-3時(shí),是減函數(shù).

2a2a

當(dāng)x=一5?時(shí),b

當(dāng)》=一、一時(shí).

鍛大值與2a

最小值

4ac-b24ac-b2

,?94a“”4a

當(dāng)b'-4ac>0時(shí).附物戰(zhàn)與x軸ft兩個(gè)交點(diǎn).它們的橫坐標(biāo)是方程a?-bx+c=O的兩個(gè)實(shí)

?>

當(dāng)b?-4ac=0時(shí),，■線與”軸有一個(gè)交點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)是方程ar?+阮+c=0的■根;

當(dāng)b?-4ac<0時(shí),拋物線與戈軸無(wú)交點(diǎn).

§3.3反函數(shù)

設(shè)函數(shù)＞=/(x),(xeA)的值域是B..如果映射/是AHB上的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，則任給》eB.部

有唯一的xeA.使＞=心.這樣又礴定了BMA的一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為的反的數(shù).

注：

(1)一股來(lái)說(shuō)，反函數(shù)的表法式是從函數(shù)式y(tǒng)=/5)中反解出xiS獲得的另一個(gè)由微式x=g(y).

有時(shí)為了明確表示它是,=/(x)的反函數(shù)，形式上將其記為x=/T(j),yeB?因?yàn)榱?xí)慣上用“表

示自變量，故通需將記號(hào)互換.》=/(力的反函數(shù)寫(xiě)為丁=8(幻或形式上記為)=廣|伏)?

(2)嚴(yán)格單調(diào)諭數(shù)必存在反函數(shù).

(3)若g(x)是八口的反函數(shù).則/(x)也是g(x)的反函數(shù).

(4)在綣標(biāo)平面中，函數(shù)y=f3的圖像當(dāng)其反的lky=g(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)秣-

§3.4函數(shù)的復(fù)合

設(shè)有兩個(gè)的數(shù)丁=/(外和y=9(x),用式子Hx)代換函數(shù)表法式/(x)中的“后，將到的

函數(shù)了=/［。00］稱(chēng)為函數(shù)丁=f(M)和〃=@(幻的復(fù)合函數(shù)若函數(shù)J=f(x)的定義域?yàn)?.

則復(fù)合函數(shù)j=/［可幻］的定義域?yàn)椤沟胐x)的取值屬于D*的一切》?

注：(1)兩個(gè)奇函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是奇函數(shù)：兩個(gè)偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是偏函敷；一個(gè)奇函

數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是偶函數(shù).

<2)設(shè)內(nèi)復(fù)合的數(shù)『=(當(dāng)xw(a.b)時(shí)，〃=雙外w(c,d)).如果>=/(“).

“w(c,d)與u=p(x),xe(a.b)有相同的增減性，RI復(fù)合的數(shù)J=/［。(克)］在xw(a,b)±it

如果>=/(“).〃e(c,d)與〃=@(x),xw(a,b)有相反的增減性.則復(fù)合函數(shù)j=f［@(x)］在

xw(a,b)上遞減.

<3)若/(x)和g(x)互為反函數(shù).則/信(工))=工

§3.5補(bǔ)充閱讀

一、集畬

1?集合的概念、有限集、無(wú)限集、空集

2.集合的表示法

?列舉法,M={1,3,5}.N={0,l,2?-}i

?描述法i(*P(x)}.{.v|3<x<5,x€j?,x*4}t

?區(qū)間法：［a.b］={x|aWxWb}.(a,b)={x\a<x<b］,［o,+?)={x|a<x<h}.

3.常用數(shù)集

自然數(shù)集N：整數(shù)集Z：正整數(shù)集不：有理數(shù)集Q：實(shí)數(shù)集R：S?*C.

4.子集、真子集、集合的包含關(guān)系

5.集合的運(yùn)算及其性質(zhì)

集合A與B的交AC|B：集合A與B的并AUB：集合A的樸：QA(或X)?

運(yùn)算性旅

ADA=A,Ap0=0：AUA=A.AU0=A：

5C|A=0,AUA=I：

ADB=BnA>AUB=BUA：

An(Bnc)=(AnB)nc.AU(BUC)=(AUB)UC：

An(BUC)=(AAB)J(AAC),AU(BnC)=(AUB)n(AUC)：

A7TB=AUB.AUB=ArB

二、映射

1.映射的概念

設(shè)A、B是兩個(gè)集合./是A的元素到B的元素的一個(gè)對(duì)應(yīng)法剜.如果在這個(gè)對(duì)應(yīng)法則下A中

每個(gè)元素在B中壽方唯一■定的元素與之財(cái)應(yīng)，財(cái)稱(chēng)對(duì)應(yīng)法則/為從集合A到集合B的一個(gè)映射，

記為fA-B?

例如，A={1,2,3},B={2,3,4},/(x)=x-l是AYB的一個(gè)帙射.

工像，原像：若映射/將元素x時(shí)應(yīng)到>,則稱(chēng)在映量/下》是'的像.而'是j的原像.

3.單射：電fA-B,若對(duì)Yx/wd.只要1二力便有f(x)=fU),(Wif(x)=/(j)必

定x=y),則稱(chēng)/為從A到B的一個(gè)單射.

4.滿(mǎn)射：設(shè)fA-B.若B中每個(gè)元素在一下都有原像(即：VyeB,都存在xwd.使將

f(x)=>)，則稱(chēng)/為從AMB的一個(gè)耦射?

5.雙射(一一映射)：

設(shè)fA-B,若信是單射又是滿(mǎn)射,則稱(chēng)/為從AfJB的一個(gè)雙射.

?3.5.4(1)A={-2,-1,0,1,2}.B={0,1,13,41,/(x)=f是A到B的一個(gè)映射.但不是一一映射.

(2)A={0,1,2,3,…},B={0,2,4,6,…},/(x)=2x是A到B的一個(gè)一映豺.

三、函敷

1.函數(shù)做念

設(shè)A、B郡是實(shí)數(shù)集R的琴空子集，從A到B的一個(gè)單值映射fA-B稱(chēng)為A到B的函數(shù).

(集合映射角度)

設(shè)“和1是兩個(gè)變■,D是給定的數(shù)集?如果對(duì)VxeD,按照一定的法則f變量》總有一個(gè)

唯一確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)這個(gè)對(duì)應(yīng)法則是一個(gè)函數(shù).記為向?D稱(chēng)為函數(shù)的定義域.x稱(chēng)

為自變量?A稱(chēng)為因變量.(變量對(duì)應(yīng)角度)

注：(1)由于)，=/(?)，有時(shí)也將變量》作為x的函數(shù).或稱(chēng)表法式y(tǒng)=/(x)稱(chēng)為一個(gè)函數(shù).

Q)對(duì)應(yīng)(腴射)/構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)必要條件

?定義域中每個(gè)值在/下都有對(duì)應(yīng)的函數(shù)值：

?定義域中每個(gè)值在/下只能有一個(gè)值.

(3)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域

工兒種常見(jiàn)函數(shù)及耳圖像

vi＞一次的數(shù)(線性函數(shù))：y=av+〃(〃工0).

?定義域：R：值域：R：

?單調(diào)函數(shù)：

?是尺到正的雙射.

?圖像：直線.

注：線性函數(shù)y=av,(awO)稱(chēng)為正比例函數(shù).

k

＜2＞反比例函數(shù)：＞=-.(X*0).及是非事常數(shù).

X

?定義域：4={xXERXW0}=(-8,0)11(0,+8).

?值域：B={y|丁wR,xw0}=(-8,0)U(0,+功.

?是A到B上的雙射，奇函數(shù).

?x柏和J軸是兩條漸近線.

＜4＞嘉函數(shù)：y=xn?

?定義域是使x”有意義的全體實(shí)數(shù)的集合.

?性質(zhì)，

?0M<0

圖像圖像過(guò)點(diǎn)(0,0)和(1,1).圖像過(guò)點(diǎn)Q,D?

當(dāng)力為偶數(shù)時(shí).為偶函數(shù)：'H為負(fù)偶數(shù)比為偶「；'：

奇偶性

當(dāng)力為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù).當(dāng)“為負(fù)奇數(shù)時(shí).為奇函數(shù).

當(dāng)〃為偶敢時(shí)，當(dāng)t1為負(fù)偈數(shù)時(shí).

在區(qū)間(0,8)上是增函數(shù)，而「?間(0.8)上是送酒數(shù)，而

隼調(diào)性11二一工.0)上是減函數(shù),在區(qū)間(7C,0)上是增函數(shù)：

當(dāng)力為奇數(shù)時(shí)，在(T?,8)上當(dāng)討為奇數(shù)時(shí)，在(Y),8)上

是增函數(shù).是減函數(shù).

附：幕的運(yùn)算：

。用=a0.aa0=1(a*0)：

n

(a-0,m、〃eZ*,”>l)ta"=—(a=0,w>0)

an

aa-a：a-ai(a)=at

<5>指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>0,a*1)

?定義域：凡值域：(0,-8)?

?當(dāng)。>1時(shí).是增的數(shù)：Ouavl時(shí)，是被函數(shù).

?圖像過(guò)(0.1)點(diǎn)，漸近線為大軸.

<6>對(duì)數(shù)的數(shù)：y=logj,(a>0,a工1)?

?它是指數(shù)函數(shù)j=a”的反函數(shù).

?定義域：(0,-8)，值域：R

?當(dāng)時(shí).是增函數(shù)：0<。<1時(shí).是減函數(shù)“

?圖像過(guò)(1,0)點(diǎn).新近線為小軸.

附:對(duì)數(shù)的運(yùn)算，

(1)loga(A￡V)=log.M+log,N：=logA/Tog,N?

⑵g借)#

(3)log^P=nlog.A/：G)io&Vi7=-iog.A，；

n

(5)logJ，=?嗚"i(6)logaa=1,41=AZ：

ga

Olog,b=―--.(a>0.b>O.a=Lbh1)；(8)log/=log0b*-

logM

自然對(duì)數(shù)：lnx=log#x?其中e=2.71g2g..

常用對(duì)#6lgx=log1cx

第四章代數(shù)方程和簡(jiǎn)單的超越方程

本章重點(diǎn)內(nèi)容

一元二次方程的根的判別、求根公式.根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的慎法.

§4.1一元二次方程

一k防程的形式：ar2+Z>x+c=0.(a^O.arbxeR),

1.解法：ox?+bx+c=0

八、八——、——b+y/b'--6-

(1)公式法:求根公式*x.-------------------.x.=-----------------

2a2a

(2)分解因式法

(3)配方法：(x+卷>=.不乃

二根的網(wǎng)別：劌別式：A=b?-4ac.

若A>0.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根?

b)若A=0.方程有一個(gè)實(shí)根(篁根.兩個(gè)相等實(shí)根),

c)若A<0.方程沒(méi)有實(shí)根(有兩個(gè)共箜復(fù)照).

3.根和系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)：a?+bx+c=0的根演，/滿(mǎn)足:

注：對(duì)于復(fù)系數(shù)一元二次方程,韋達(dá)定理仍然成立.但不艇再用利鑰式來(lái)判斷有無(wú)實(shí)根.

4.二次函數(shù)的圖像和一元二次方程的根

ox:+dx+c=0,設(shè)/(x)=ar?+bx+c.圖像：射物線.

(1)若人-的。>。,y=/(x)的圖*與**才兩個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)橫空標(biāo)是方程的兩個(gè)不

同實(shí)根：

',-4ac=0.j=/(x)的圖像與x*只有一個(gè)交點(diǎn)(初點(diǎn))，切點(diǎn)板坐標(biāo)是方程

的堂根：

(3)若"一4ac<0,y=/(x)的圖像與無(wú)交點(diǎn)，方程無(wú)實(shí)根.

§4.2補(bǔ)充閱讀

一、方程的基本概念,

1.一元方程?/(x)=0

2.打次代數(shù)方程：ak+qL+…=().(a,eR.a0*0)

3超越方程：/(x)=0./(x)不是多項(xiàng)式,如e*-3M=0.tax+cosx=0-

4.方程的根(怵)：滿(mǎn)足方程的x的取值.

二、一元一次方程：ax+b=0?根：x=~-.

a

三、二元一次方程的產(chǎn).

\a2x^b2y=c2

時(shí)，育唯一解：弛一哂.廠?！暌弧眧

當(dāng)。他一生4注。時(shí).即*0x=

哂-她’我-她

qU

g也

解法：(1)消元法：Q)代入法；(3)克萊姆法*a

lr

生a

第五章不等式

本章主要內(nèi)容

不■式的性和基本不■式.一元一次不■式的解法，一元二次不■式的K法.分式不等式的“彼，t

能對(duì)值不等式的解法.■單的無(wú)理不■式的X法.利用函數(shù)的士&和性員解不糠式.

§5.1不等式的基本性質(zhì)

(1)若a>b,b>c，則a>c：

(2)若。>卜則a士c>b±c(ceK)：

(3)若a>b.c>0.WJac>be：若a>b,c<0?^ac<bci

(4)^a>b,c>d?則a+c>b+d：(：l：但未必a-c>b-d)

(5)若a>b>0,c>d>0?則ac>bd：

(6)若a>6>0.IMa">b\(neZ);布(we/)：

(7)|a|>b>0當(dāng)且僅當(dāng)a>b或a<-b：忖<b,(6>0),當(dāng)且僅當(dāng)-fe<a<b.

注：a>b未必|a|>|b|,反之亦然.

§5.2基本不等式

(1)^>0(aeR).當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)等號(hào)成立?

(2)a'+b'22ab(a.beR).當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)等號(hào)成立i

(3)平均值不等式：至22疝，(a20,620)，當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)等號(hào)成立：

推廣：+'+…2曲.&.??0(a；>0u=L2,--■,?)■

n",

(4)%?0時(shí).^^->2

ba

(5)2(烏，

22

(6)三角不等式“同一|叫斗+華回+忖

當(dāng)沖三0時(shí)，右邊等號(hào)成立:當(dāng)abWO時(shí),左邊等號(hào)成立?

對(duì)含有變ft*的不等式,使不等式成立的所有x值構(gòu)成的集合稱(chēng)為該不等式的解票,求

不等式解集的過(guò)程稱(chēng)為解不等式.

§5.3解一元一次不等式

(1)ax+b>0,(a^O).

解法》移項(xiàng)，得ax>-b;當(dāng)a>0時(shí).X>-L,