概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章統(tǒng)計(jì)量的分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章統(tǒng)計(jì)量的分布第一頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)量是樣本的不含任何未知數(shù)的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布。由于正態(tài)總體是最常見(jiàn)的總體，因此這里主要討論正態(tài)總體下的抽樣分布.由于這些抽樣分布的論證要用到較多的數(shù)學(xué)知識(shí)，故在本節(jié)中，我們主要給出有關(guān)結(jié)論，以供應(yīng)用.第二頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日正態(tài)總體樣本均值的分布設(shè)總體，是的一個(gè)樣本,則樣本均值服從正態(tài)分布U—分布第三頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日概率分布的分位數(shù)(分位點(diǎn))使P{X≥x}=，定義對(duì)總體X和給定的(0<<1)，若存在x，則稱(chēng)x為X分布的上側(cè)分位數(shù)或上側(cè)臨界值.如圖.xoyxP{X≥x}=若存在數(shù)1、2，使P{X≥1}=P{X≤2}則稱(chēng)1、2為X分布的雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.oyx21第四頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值的特例當(dāng)X的分布關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，則稱(chēng)為X分布的雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.如圖.若存在使yxO第五頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日U—分布的上側(cè)分位數(shù)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量U～N(0,1)和給定的，上側(cè)分位數(shù)是由：P{U≥u}=即P{U<u}=1-(u)=1-確定的點(diǎn)u.如圖.(x)xOu例如，=0.05，而P{U≥1.645}=0.05所以，u0.05=1.645.第六頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日U—分布的雙側(cè)分位數(shù)的點(diǎn)u/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.如圖.u/2可由P{U≥u/2}=/2對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量U～N(0,1)和給定的，稱(chēng)滿足條件P{|U|≥u/2}=即(u

/2)=1-

/2反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到，P{U≥1.96}=0.05

/2例如，求u0.05/2，得u0.05/2=1.96(x)Ou/2

/2-u/2

/2x第七頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中，常取0.1、0.05、0.01.常用到下面幾個(gè)臨界值：u0.05=1.645，u0.01=2.326u0.05/2=1.96，u0.01/2=2.575第八頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日

數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布除正態(tài)分布外，還有三個(gè)非常有用的連續(xù)型分布，即

2分布t

分布F分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的三大分布(都是連續(xù)型).它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系.！在本章中特別要求掌握對(duì)正態(tài)分布、

2分布、t分布、F分布的一些結(jié)論的熟練運(yùn)用.它們是后面各章的基礎(chǔ).第九頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日——分布

定義設(shè)總體，是的一個(gè)樣本,則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，分布的密度函數(shù)為第十頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日01357911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10圖5-4f(y)其圖形隨自由度的不同而有所改變.2分布表(附表3(P254)).分布密度函數(shù)的圖形第十一頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日滿足的數(shù)為

2分布的上分位數(shù)或上側(cè)臨界值，其幾何意義見(jiàn)圖5-5所示.其中f(y)是

2-分布的概率密度.f(y)xO圖5-5顯然，在自由度n取定以后，的值只與有關(guān).例如，當(dāng)n=21，=0.05時(shí)，由附表3(P254)可查得，32.67即2分布的上分位數(shù)第十二頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日2分布的雙側(cè)分位數(shù)把滿足的數(shù)稱(chēng)為

2分布的雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.見(jiàn)圖.f(x)xO圖6-4顯然，為

2分布的上分位數(shù).為

2分布的上分位數(shù).如當(dāng)n=8,=0.05時(shí)，2.1817.53第十三頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日2分布的數(shù)學(xué)期望與方差（補(bǔ)充）設(shè)

2～

2(n)，則E(

2)=n，D(

2)=2n.2分布的可加性設(shè)且相互獨(dú)立，則第十四頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自正態(tài)總體X～N(

，

2)的樣本，則證明由已知，有Xi～N(

，

2)且X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，則且各相互獨(dú)立，由定義5.3得(P111第五題要用到此結(jié)論.)第十五頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日

定理5.1設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體

X～N(

，

2)的樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨(dú)立；(2)(5.8)(5.8)式的自由度為什么是n-1？從表面上看，是n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和，但實(shí)際上它們不是獨(dú)立的，它們之間有一種線性約束關(guān)系：=0這表明，當(dāng)這個(gè)n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量中有n-1個(gè)取值給定時(shí)，剩下的一個(gè)的取值就跟著唯一確定了，故在這n項(xiàng)平方和中只有n-1項(xiàng)是獨(dú)立的.所以(5.8)式的自由度是n-1.第十六頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日

定理5.1設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體

X～N(

，

2)的樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨(dú)立；(2)(5.8)與以下補(bǔ)充性質(zhì)的結(jié)論比較：性質(zhì)設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自正態(tài)總體X～N(

，

2)的樣本，則第十七頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日三、t分布定義5.4設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的t分布或?qū)W生氏分布，記作t分布的概率密度函數(shù)為T(mén)

～t(n).其圖形如圖5-6所示(P106)，其形狀類(lèi)似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度的圖形.當(dāng)n較大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.第十八頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)n較大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)n>30時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)就非常接近.但對(duì)較小的n值，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間有較大差異.且P{|T|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X～N(0，1)，即在t分布的尾部比在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的尾部有著更大的概率.t

分布的數(shù)學(xué)期望與方差（補(bǔ)充）設(shè)T～t

(n)，則E(T)=0，D(T)=第十九頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日定理5.2設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體

X～N(

，

2)的樣本，則統(tǒng)計(jì)量證由于與S

2相互獨(dú)立，且由定義5.4得第二十頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日定理5.3設(shè)(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)

分別是來(lái)自正態(tài)總體N(1

，2)和N(2

，2)的樣本，且它們相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量其中、分別為兩總體的樣本方差.(證略).第二十一頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日t分布的上分位數(shù)對(duì)于給定的

(0<

<1)，稱(chēng)滿足條件的數(shù)t(n)為t分布的上分位數(shù)或上側(cè)臨界值，其幾何意義見(jiàn)圖5-7.

f(t)tOt(n)圖5-7第二十二頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日t分布的雙側(cè)分位數(shù)由于t分布的對(duì)稱(chēng)性，稱(chēng)滿足條件的數(shù)t/2(n)為t分布的雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值，其幾何意義如圖5-8所示.f(t)tOt/2(n)

/2

/2-t/2(n)圖5-8第二十三頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日在附表4(P256)中給出了t分布的臨界值表.例如，當(dāng)n=15，=0.05時(shí)，查t分布表得，t0.05(15)=t0.05/2(15)=1.7532.131其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.但當(dāng)n>45時(shí)，如無(wú)詳細(xì)表格可查，可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布代替t分布查t(n)的值.即t(n)≈u，n>45.一般的t分布臨界值表中，詳列至n=30，當(dāng)n>30就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)來(lái)近似.第二十四頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日四、F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義5.5

設(shè)隨機(jī)變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量記作F～F(n1，n2).概率密度函數(shù)其中其圖形見(jiàn)圖5-9.(P108)

第二十五頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)：若X～F(n1，n2)，則～F(n2，n1).F

分布的上分位數(shù)對(duì)于給定的

(0<

<1)，稱(chēng)滿足條件的數(shù)F(n1，n2)為F分布的上分位數(shù)或上側(cè)臨界值，其幾何意義如圖5-7所示.f(y)xO圖5-7F(n1,n2)其中f(y)是F分布的概率密度.第二十六頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日F分布的上分位數(shù)

F(n1,n2)的值可由F

分布表查得.附表5、6、7(P258～P266)分

=0.1、

=0.05、

=0.01給出了F分布的上分位數(shù).當(dāng)時(shí)n1=2,n2=18時(shí)，有F0.01(2,18)=6.01在附表5、6、7中所列的值都比較小，當(dāng)較大時(shí)，可用下面公式查表時(shí)應(yīng)先找到相應(yīng)的值的表.例如，≈0.166第二十七頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日F分布的雙側(cè)分位數(shù)稱(chēng)滿足條件為F分布的雙側(cè)分位數(shù)的或雙側(cè)臨界值.見(jiàn)圖.顯然，為F分布的上分位數(shù)；為F分布的上分位數(shù)；圖6-4f(y)xO

/2

/2第二十八頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日定理5.4

為正態(tài)總體的樣本容量和樣本方差；設(shè)為正態(tài)總體的樣本容量和樣本方差；且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量證明由已知條件知且相互獨(dú)立，由F分布的定義有第二十九頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)幾種常用分布的定義第三十頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日正態(tài)總體樣本均值的分布設(shè)總體，是的一個(gè)樣本,則樣本均值服從正態(tài)分布U—分布第三十一頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日——分布

定義設(shè)總體，是的一個(gè)樣本,則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之平方和服從自由度為n的分布第三十二頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日t—分布定義5.4設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的t分布或?qū)W生氏分布，記作T

～t(n).

t-分布的密度函數(shù)的圖形相似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù).當(dāng)n較大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.第三十三頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義5.5

設(shè)隨機(jī)變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量記作F～F(n1，n2).第三十四頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日例1

設(shè)總體X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？解(1)因?yàn)閄i～N(0,1)，i=1,2,…,n.所以X1-X2～N(0,2)，故～t(2).第三十五頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日例1

設(shè)總體X～N(0,1