(3.1)-第2章群近世代數(shù)

近世代數(shù)(ContemporaryAbstractAlgebra)2群的定義及例子群的基本性質(zhì)第2章群(Groups)

第2章群E.Galois,French,1811-1832主要貢獻(xiàn)：用群論思想研究方程公式解，伽羅瓦理論;尺規(guī)作出正k邊形k=22^t+1；解決古代三大作圖難題中的兩個：不能任意三等分角，倍立方不可能群論發(fā)展歷史3群論思想創(chuàng)始人4

一、群的定義及例子1、二元運(yùn)算

(BinaryOperation)定義：集合G的一個

二元運(yùn)算

是指

G×G

到G

的一個映射?.通常,記?((a,b))為a?b.集合G的二元運(yùn)算確保G中任意二元有序?qū)梢粋€G的新元素.這一條件通常稱為“封閉性”(closure).設(shè)?是集合G

上一個二元運(yùn)算,T

是G

的子集.若對任意的s,t∈T,都有s?t∈T,則稱?

在T

上是封閉的.群的定義及例子5

例:

通常的+,－,×都是Z,Q,R,C上二元運(yùn)算,但÷不是.例:

÷是Q*,

R*,

C*上二元運(yùn)算,但不是Z*上的二元運(yùn)算.

本書固定記號:Zn={0,1,2,3,…,n-1}例:

通常+,×

在modn

下都是Zn上的二元運(yùn)算.群的定義及例子6

2.群(Group)定義：設(shè)G

為非空集合,帶有一個二元運(yùn)算?(稱為乘法，為方便，記

a

?b=ab)，且滿足下面三個條件:

(1)結(jié)合律:

(2)單位元:(3)逆元:此時,稱

G

為一個關(guān)于該乘法的群.群的定義及例子7

設(shè)G為一個群,如果對任意的a,b∈G,都有ab=ba,則稱G是交換群(Abeliangroup),否則為非交換群(non-Abeliangroup).這里用“Abelian”，而不是“Commutative”是為紀(jì)念挪威數(shù)學(xué)家Abel.群的定義及例子N.H.Abel,Norway,1802-1829主要貢獻(xiàn)：用群論思想：證明五次及以上方程無公式解;建立阿貝爾群理論；生活極度貧寒，成功后柏林大學(xué)聘任其為教授，通知到達(dá)時病逝8

群的定義及例子3.群例兩點(diǎn)說明：接下來將給出一些群的例子，這些例子將貫穿本課程，用于解釋所學(xué)定理。為更好的理解這些例子，請讀者自行補(bǔ)齊證明細(xì)節(jié)。例1Z,Q,R,C對普通加法均成群.其中,0為單位元,

a的逆元為–a.(交換群)例2

Z

對普通乘法不成群.逆元？(non-example)先看兩個與數(shù)集有關(guān)的例子.9

群的定義及例子3.群例例3

令F表示集合Q,R,C

或Zp.集合F上的所有行列式為1

的2階矩陣對矩陣乘法構(gòu)成一個非交換群,稱為F上的

特殊線性群(speciallineargroup)

,記為SL(2,F).例4

同上.

集合F上所有2階可逆矩陣對矩陣乘法構(gòu)成一

個非交換群,稱為F上的一般線性群(generallinear

group)

,記為GL(2,F).再看兩個由矩陣構(gòu)成的非交換群的例子.10

例9(常用結(jié)論)在modn下,集合{1,2,…,n-1}對乘法成群的充要條件是n

為素數(shù).群的定義及例子例8(常用結(jié)論)在modn

下,集合U(n)={x∈Z|0<x<n,(x,n)=1}對乘法成群(只需驗(yàn)證乘法封閉,Ex0-19).例7在mod4下,集合{0,1,2,3}對乘法不成群.例6在modn

下,集合Zn={0,1,…,n-1}(n≥1)對加法成群.下面給出有限群的幾個例子.例5

集合{1,-1,i,-i}對復(fù)數(shù)乘法成群.本次課到此結(jié)束謝謝！12群的定義及例子群的基本性質(zhì)第2章群(Groups)

第2章群13

定理2.1

G

的單位元唯一,常記為e

或1.

令G表示一個群.先來證明如下三個定理.證：設(shè)e1,e2為G的兩個單位元,則e1=e1e2=e2.

證:設(shè)b,c為a的兩個逆元,

ab=e=ac.由消去率可知b=c.定理2.3

其逆元唯一,記為a-1.二、群的基本性質(zhì)群的基本性質(zhì)定理2.2G中左(右)消去律成立:證：假設(shè)ab=ac.則存在a的逆元

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群的基本性質(zhì)群中元素的方冪定義：設(shè)n為一個整數(shù),對任意的g∈G.若n>0,則；若n=0,則g0=e；若n<0,則gn=(g-1)|n|.元素的方冪運(yùn)算法則：對任意整數(shù)m,n,gmgn=gm+n,(gm)n=gmn.但一般地，對任意的a,b∈G,(ab)n≠anbn.(在D4中,令a=R90,b=D,n=2)盡管，如此我們有如下定理.定理2.4(Socks-ShoesProperty)(證明略)