氣體分子熱運動速率和能量的統計分布規(guī)律

氣體分子熱運動速率和能量的統計分布規(guī)律第一頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.1氣體分子的速率分布律1.速度分布率和速率分布率有何區(qū)別？2.速率分布函數的意義是什么？3.什么是最概然速率？第二頁，共七十二頁，2022年，8月28日一、統計規(guī)律1.統計規(guī)律的概念(1).伽爾頓板實驗(2).統計規(guī)律

在一定條件下，大量偶然事件存在一種必然的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱為統計規(guī)律。A.統計規(guī)律只能通過大量偶然事件的整體效果體現出來，對少數事件不適用。(3).統計規(guī)律的特點B.統計規(guī)律與系統所處的宏觀條件有關。C.統計規(guī)律總是伴有“漲落”。第三頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.統計規(guī)律的數學描述(1).概率：大量偶然事件中，出現某一結果的可能性所有結果的概率和等于1，即概率滿足歸一化條件。(2).物理量的統計平均值

一般說來，某次測量值與統計平均值之間存在的偏離，這種偏離就是漲落。第四頁，共七十二頁，2022年，8月28日

氣體分子熱運動的一個重要特征是分子間存在頻繁的碰撞，分子在各時刻分子速度的大小和方向完全是偶然的，無規(guī)律的。

然而在平衡態(tài)下，就大量分子而言，分子的速率分布卻遵循一個確定的統計規(guī)律。即1859年提出的麥克斯韋速率分布定律。

第五頁，共七十二頁，2022年，8月28日條件：理想氣體，平衡態(tài)（熱動平衡）宏觀：微觀：各分子不停運動且頻繁碰撞，對大量分子整體而言，氣體分子按速率分布具有確定規(guī)律。二、氣體分子的速率分布律1.速率分布函數第六頁，共七十二頁，2022年，8月28日

設有一定量的氣體，分子總數為N，在

~+d區(qū)間內的分子數為dN，dN/N就是該區(qū)間內的分子數占總分子數的百分比，也是分子速率出現在

~+d

區(qū)間內的概率。與的函數有關，且跟d

成正比?！Q為麥克斯韋速率分布函數式中：m是氣體分子的質量,k是玻耳茲曼常數。1）當氣體處在溫度為T的平衡態(tài)時：其中表示在速率附近單位速率間隔內的分子數占總分子數的比率。第七頁，共七十二頁，2022年，8月28日12f()o2）在1

~

2區(qū)間內的分子數占總分子數的比率。第八頁，共七十二頁，2022年，8月28日3）整個曲線下的面積,即這一關系式稱為速率分布函數f()的歸一化條件。即分子速率在0~間的概率是1。第九頁，共七十二頁，2022年，8月28日幾個常用特殊積分公式：第十頁，共七十二頁，2022年，8月28日二、麥克斯韋速率分布律從速度分布可以推導出速率分布：設有一定量的理想氣體，分子總數為N，粒子速度在x,y,z三個方向的分量分別為x,y,z（1）dNvx代表x方向速度在x~x+dx區(qū)間內的分子數，dNvx/N就是該區(qū)間內的分子數占總分子數的百分比，也是一個分子在此dvx出現的概率。粒子在不同的x

附近區(qū)間dvx出現的概率不同，用分布函數g(vx)表示在單位vx區(qū)間粒子出現的概率：第十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日

平衡態(tài)時，容器內各處粒子數密度n相同，粒子朝各個方向運動的概率相同，所以y,z方向速度分布應該有相同形式的分布函數：（2）由獨立概率相乘原理，粒子出現在x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz的概率為：F就是速度分布函數第十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日（3）由于粒子在任何方向上運動的概率相等，所以F應該與速度的方向無關，應該是速度的大小的函數。所以，取-是因為速度為無窮大的粒子為0（4）由概率的歸一性求得常數C：第十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日所以，麥克斯韋速度分布：轉化成球坐標：麥克斯韋速度分布：第十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日（4）由速度分布到速率分布：即球坐標速度分布中與θ，φ無關，對θ，φ積分就可得到速率分布（5）確定α，由前面的壓強公式和理想氣體狀態(tài)方程：所以：所以：速度分布率：

速率分布律：第十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日1.麥克斯韋速率分布函數f()的物理意義

f()表示：在速率附近的單位速率區(qū)間內的分子數占總分子數的百分比?；蚍肿铀俾食霈F在附近的單位速率區(qū)間內的概率概率密度。

—在速率區(qū)間

~

+d內的分子數占總分子數的百分比。或分子速率出現在

~+d區(qū)間內的概率。由第十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.麥克斯韋速率分布曲線

(a)速率分布特征：速率可取0~

內的一切值；但速率很小和很大的分子所占的百分比較小，中等速率的分子最多。

(b)曲線有一個最大值，對應的速率為—最可幾(概然)速率f()o第十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日

最可幾(概然)速率的物理意義是：在溫度T的平衡態(tài)下，速率在p附近單位速率區(qū)間內的的分子數最多，或者說氣體分子中速率分布在p附近的概率最大。(c)曲線下面積的物理意義f()oA.在

~

+d區(qū)間內的分子數占總分子數的百分比：+d第十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日12f()oB.在1

~

2區(qū)間內的分子數占總分子數的百分比。第十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日of()d面積C.整個曲線下的面積,即這一關系式稱為分布函數f()的歸一化條件。即分子速率在0~間的概率是1。第二十頁，共七十二頁，2022年，8月28日三、用麥克斯韋速率分布函數求平均值

1.最可幾(概然)速率p—與分布函數f()的極大值對應的速率。由極值條件df()/d=0可以得到of()第二十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日將f()代入，完成積分，求得平均速率為2.平均速率

-----分子速率的統計平均值根據統計平均值的計算公式分子速率連續(xù)分布，所以第二十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日3.方均根速率于是方均根速率為第二十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日思考：1.如果溫度T變化，麥克斯韋速率分布曲線如何變化？2.不同種類的氣體處在同一平衡態(tài)下，其麥克斯韋速率分布曲線有何不同？f()oT大T小m大m小第二十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日

解

速率區(qū)間

~+d內的分子數:dN=Nf()d速率區(qū)間1

~2內的分子數:于是速率區(qū)間1

~2

內分子的平均速率為例

(1)求速率區(qū)間1

~

2

內分子的平均速率。

(2)分子速率在1

~

2區(qū)間內的概率。速率區(qū)間1

~2內分子速率之和:dN第二十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日(2)分子速率在1

~2區(qū)間內的概率。例(1)nf()d的物理意義是什么？(n是分子的數密度)(2)寫出速率不大于最可幾速率p的分子數占總分子數的百分比。nf()d—表示單位體積中，速率在

~+d內的分子數。

解

第二十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日

(2)寫出速率不大于最可幾速率p的分子數占總分子數的百分比：

=42.9%

0

~p區(qū)間內的分子數：第二十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日例假定N個粒子的速率分布函數為求(1)歸一化常數C;(2)處在f()>的粒子數。C2oof()解(1)由歸一化條件:第二十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日oof()>C2

所以f()>的粒子數:C2(2)處在f()>

的粒子數:第二十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日例：用麥克斯韋速度分布函數，求單位時間碰到單位面積容器壁上的分子數N及碰壁分子的速率分布函數。解：1）計算dt時間時間內碰到dA面積容器壁上速度在v附近dvxdvydvz區(qū)間的分子數。設z軸方向垂直于dA向外，則打到dA上的分子數為：n為分子數密度，F為麥克斯韋速度分布.除以dtdA，積分可得單位時間內碰撞到單位器壁面積上的分子數為：第三十頁，共七十二頁，2022年，8月28日器壁上有一小孔，單位時間內由單位面積泄出的氣體分子數量，稱為小孔泄流流量。定義泄流速度：所以：2）碰壁分子速率分布函數：單位時間內打到單位面積上速率在v~v+dv之間的分子數：速度分布直角坐標轉為球坐標:泄流出來的分子束的速率分布和容器中分子速率分布是不一樣的！對θ，φ積分,就可以得到：第三十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日泄流出來的分子束速率分布：第三十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日四、統計規(guī)律性和漲落現象統計規(guī)律是對大量偶然事件整體起作用的規(guī)律，是事物整體的本質和必然的聯系，個別事物的特征和偶然聯系退居次要地位。統計規(guī)律的另一個特點是永遠伴隨著漲落現象。任一給定局部范圍內，所觀測到的宏觀量的實際數值與統計平均值直接的偏差。第三十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日布朗運動；第三十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日液體中的臨界乳光現象：透明液體,在接近臨界點時,變得渾濁不透明,呈現一片乳白色.

第三十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日光在空氣中的散射現象第三十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日電子管、晶體管和光電管等電子儀器中的電流漲落現象引起的噪聲。第三十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日容器O中產生銀、釷等金屬分子射線，氣體分子處于平衡態(tài)。逸出分子通過壁上狹窄小孔及后續(xù)準直狹縫后可形成一窄束分子射線。為容器中平衡態(tài)下氣體分子的取樣。2.用分子射線實驗驗證麥克斯韋速率分布律一、分子射線第三十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日1934年，我國物理學家葛正權測定鉍（Bi）蒸氣分子的速率分布。二、葛正權實驗鉍分子由S3到達P’處所需要的時間為：在這段時間內，R所轉過的角度為，而弧的長度為：最后得到分子速率：速率較大的分子沉積在離P較近的地方，速率較小的分子沉積在離P較遠的地方。第三十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日三、密勒-庫什實驗1)為了比較精確地測定克斯韋速率分布率，1955年密勒和庫什利用溫度為870K，壓強為0.4256pa的鉈蒸氣源.2)蒸氣源被封閉在一帶有小孔的容器中.蒸氣通過小孔泄漏出來而成為分子束.3)分子束通過一準直孔，經過一速度選擇器后，打到一檢測器上.第四十頁，共七十二頁，2022年，8月28日1）分子安全穿過斜細槽的速度選擇條件：

（2.28）其中為分子通過細槽的時間.提問：大于或者小于這個速度的分子能穿過細槽去嗎？第四十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日2）由于細槽有一定寬度，細槽對圓筒軸線的夾角有一范圍.與此范圍相對應的速度區(qū)間為細槽vdt第四十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日3）由于通過細槽的原子核從蒸汽源逸出的射線中的原子以及蒸汽源內原子的速率分布不同。a.在蒸汽源內速率在區(qū)間內的原子數正比于：c.最后根據麥克斯韋速率分布律，通過細槽到達探測器的原子速率在區(qū)間的原子數應正比于：b.由于速率較大的原子有更多的機會溢出，在相應的速率區(qū)間的原子數還和成正比，因而應正比于：d.原子射線強度最大值出現在：第四十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日1.玻耳茲曼分布律

上一節(jié)討論了麥克斯韋速率分布律，更詳細的分析還應考慮以下兩點：(1)指出分子按速度是如何分布的，即指出速度分量分別在

x

x+dx,

y

y+dy,

z

z+dz區(qū)間內的分子數或百分比是多少。2.3玻耳茲曼分布定律重力場中微粒按高度的分布(2)一般的情況下，如在外力場中的氣體，分子的空間分布是不均勻的，因此還需指出分子按空間位置的分布，即要指出位置坐標分別在xx+dx,yy+dy,zz+dz區(qū)間內的分子數或百分比是多少。第四十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日式中:E=Ek+Ep是分子的總能，C是比例系數，

在溫度為T的平衡態(tài)下,氣體分子處在坐標區(qū)間(xx+dx,yy+dy,zz+dz)和速度區(qū)間(xx+dx,yy+dy,

zz+dz)共同限定的狀態(tài)區(qū)間內的分子數為

玻耳茲曼從理論上導出:這一結論稱為玻耳茲曼分布律。稱為玻耳茲曼因子。第四十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日

設處于能態(tài)E1、E2(E1<E2)上的分子數分別為N1、N2，根據玻耳茲曼分布律，有

由于E2>

E1,所以N2<N1。即：通常溫度下，處于低能態(tài)的分子數總是多于處于高能態(tài)的分子數。也就是說，按統計分布來看，分子總是優(yōu)先占據能量較低的狀態(tài)。這叫正常分布。

第四十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日+

將上式對所有可能的速度積分，可得分子按位置的分布，即分布在區(qū)間(xx+dx,yy+dy,zz+dz)內的分子數:2.重力場中粒子按高度的分布+令第四十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日兩邊除以dV=dxdydz，并將Ep=mgz代入得壓強：

上式稱為等溫氣壓公式。Po=nokT為z=0處的壓強。在坐標區(qū)間(x+dx,y+dy,z+dz)內的分子數為n是高度為z處的分子數密度，n0是高度為z=0處的分子數密度，上式就是重力場中分子或粒子按高度分布的定律。1909年皮蘭實驗驗證這一速度分布規(guī)律。第四十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.4能量均分定理問題：1.什么是自由度?2.單原子分子,雙原子分子和多原子分子的自由度數各為多少?3.什么是能量均分定理?4.氣體的內能是什么?第四十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日模型的改進：

1）推導壓強公式：理想氣體分子-----質點2）討論能量問題：考慮分子內部結構----質點組平動轉動分子內原子間振動3）分子熱運動：4）大量分子系統：各種運動形式的能量分布、平均總能量遵循統計規(guī)律.第五十頁，共七十二頁，2022年，8月28日1.自由度數：描述物體在空間的位置時，需要引入的獨立的坐標的數目，用i表示

2.質點（氣體單原子分子）確定它在空間的位置需3個獨立坐標，故有3個平動自由度

i=3一、氣體分子的自由度

自由度數目

平動

轉動

振動第五十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日3.剛體1）確定質心在空間的位置需3個獨立坐標，故有3個平動自由度t=32）確定過質心的轉動軸（中的兩個）3）剛體繞該軸的轉動的角度r=3總共最多6個自由度i=6第五十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日4.剛性雙原子氣體分子兩原子之間成啞鈴似的結構1)確定它的質心-----3個平動自由度，2)確定連線-----2個轉動自由度；

i=5第五十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日5.非剛性雙原子氣體分子相似為彈簧啞鈴似的結構

1）確定質心---3個平動自由度，

2）確定連線---2個轉動自由度；

3）確定沿連線的振動---1個振動自由度，

i=6非剛性雙原子分子*C第五十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日6.多原子氣體分子(原子數n3)剛性:i=6(3個平動自由度,3個轉動自由度);非剛性：i=3n,其中3個是平動的,3個是轉動的,其余3n-6是振動的。第五十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日氣體分子自由度小結i=3(單原子)5(剛性雙原子)6(非剛性雙原子)6(剛性多原子(n3))3n

(非剛性多原子(n3))特別是對剛性氣體分子，自由度為i=3(單原子)5(剛性雙原子)6(剛性多原子(n3))氣體分子的自由度：第五十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日二、能量按自由度均分定理1.分子的平均平動動能按自由度均分分子的平均平動動能

可見，分子的平均平動動能是均勻地分配在3個自由度上的，或者說每個平動自由度具有相等的平均動能，都為

.第五十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.能量按自由度均分定理分子的總自由度：i=t+r+s

理想氣體的能量按自由度均分，每個自由度上的平均動能都相等，都為.分子的平均總能量：由于一個振動自由度總對應于一個振動勢能與振動動能,故分子不僅有的振動動能,還應有的振動勢能.分子的平均總動能：第五十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日三.理想氣體的內能1.氣體的內能

所有氣體分子的動能、振動勢能以及分子間相互作用勢能的總和.2.理想氣體的內能

理想氣體分子間無相互作用,所以理想氣體的內能是所有分子的動能和振動勢能的總和。

1摩爾理想氣體的內能為如果是剛性理想氣體，則第五十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日M千克理想氣體的內能為如果是剛性理想氣體，則單原子氣體分子剛性雙原子氣體非剛性雙原子氣體剛性多原子氣體第六十頁，共七十二頁，2022年，8月28日例容器內有co2和o2兩種混合氣體，混合氣體的熱力學溫度T=290K,總的內能E=9.64×105J,總質量M=5.4kg，求兩種氣體的質量。解

設co2的質量為M1，o2的質量為M2，則

M1+M2=M總的內能：解得：

M1=2.2kg,M2=3.2kg。視為剛性分子。第六十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日例如圖所示，容器兩邊是同種氣體，左邊的壓強、溫度、體積分別是p1、T1、V，右邊的壓強、溫度、體積分別是p2、T2、V；抽去中間的隔板，讓兩邊的氣體混合(設混合過程中氣體與外界無能量交換)，求平衡時的壓強和溫度。解

因混合過程中氣體與外界無能量交換，所以混合前后氣體的內能不變：又

p1V=v1RT1,p2V=v2RT2P1T1

VP2T2

V......p(2V)=(v1+v2)RT解得：第六十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日例：體積為20.0升的瓶子以速率v=200m/s勻速運動，瓶子中充有質量為100g的氦氣。設瓶子突然停止，且氣體分子全部定向運動的動能都變?yōu)闊徇\動的動能，瓶子與外界沒有熱量交換。求熱平衡后氦氣的溫度、壓強、內能及氦氣分子的平均動能各增加多少？解：氣體分子定向運動的動能內能的增量氦氣分子是單原子分子，i=3,Mmol=4g第六十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日由理想氣體狀態(tài)方程氦氣分子平均動能的增加第六十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日四.理想氣體的熱容熱容：溫度升高（或降低）1度物體吸收（或放出）的熱量叫物體的熱容。2.摩爾熱容：1mol物質溫度升高（或降低）1度物體吸收（或放出）的熱量叫