自動控制原理版第一章控制系統(tǒng)概述

§1-1 從20紀(jì)40年代起。特別是第二次世界以來，由于工業(yè)活動的發(fā)展軍事技術(shù)上的需要，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展十分迅速。自動控制作為一門專門學(xué)科，也得到了迅速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用。自動控制，就是在沒有人參與的情況下，通過控制器或者控制裝置來控制機器或者設(shè)備等物理裝置，使得機器設(shè)備的受控物理量按照希望的規(guī)律變化，達(dá)到控制的目的。自動控制技術(shù)不僅廣泛應(yīng)用于工業(yè)控制中，在軍事、農(nóng)業(yè)、航空、航海、核能利用、制導(dǎo)等領(lǐng)域也發(fā)揮著重要作用。例如在工業(yè)控制中，對壓力、溫度、流量、濕度、配料比等的控制，都廣泛采用了自動控制技術(shù)。對于高溫、高壓、劇毒等對人身體健康危害很大的場合，自動控制更是必不可少的。在軍事和空間技術(shù)方面，宇宙飛船準(zhǔn)確地飛行和返回地面、人造按預(yù)定軌道飛行、準(zhǔn)確地目標(biāo)等，自動控制更具有十分重要的意義?！蹲詣涌刂圃怼肥亲詣涌刂频幕A(chǔ)理論，是一門理論性較強的工程科學(xué)。本課程的主要任務(wù)是研究與討論控制系統(tǒng)的一般規(guī)律，從而設(shè)計出合理的自動控制系統(tǒng)，滿足工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和各種工程上的需要。自動控制理論的發(fā)展與應(yīng)用，不僅改善了勞動條件，把人類從繁重的勞動中解放出來，而且由于自動控制系統(tǒng)能以某種最佳方式運行，因此可以提高勞動生產(chǎn)率，提高產(chǎn)品質(zhì)量，節(jié)約能源，降低成本。自動控制理論的應(yīng)用是實現(xiàn)工業(yè)、農(nóng)業(yè)、國防等方面科學(xué)技術(shù)現(xiàn)代化的有利工具。自本學(xué)科創(chuàng)建以來，自動控制理論得到了充分的發(fā)展，必定會在未來得到更為廣泛的應(yīng)用。§1-2系統(tǒng)的定義十分廣泛。在自動控制領(lǐng)域，系統(tǒng)指由內(nèi)部互相聯(lián)系的部件按照一定規(guī)律組成，能夠完成一定功能的有機整體。1-1(a)、(b)兩圖開環(huán)控制是最簡單的一種控制方式。它的特點是，控制量與輸出量之間僅有前向通路，而沒有反饋通路。也就是說，輸出量不能對控制量產(chǎn)生影響。由于開環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、容易、成本低、不存在穩(wěn)定性問，因此應(yīng)用于許多控制設(shè)備中。開環(huán)控制系統(tǒng)的缺點是：控制精度取決于組成系統(tǒng)的元件的精度，因此對元器件的要求比較高。由于輸出量不能反饋回來影響控制量，所以輸出量受擾動信號的影響比較大，系統(tǒng)能力差。根據(jù)上述特點，開環(huán)控制方式僅適用于輸入量已知、控制精度要求不高、擾動作用不大的情況。開環(huán)控制系統(tǒng)一般是根據(jù)經(jīng)驗來比較圖1-1中閉環(huán)控制系統(tǒng)與開環(huán)控制系統(tǒng)，很容易發(fā)現(xiàn)它們的區(qū)別。閉環(huán)控制系統(tǒng)不僅有一條從輸入

+

通過一個測量變送元件反饋到輸入

上述系統(tǒng)的輸出量通過測量變送元件返回到系統(tǒng)的輸入端，并和系統(tǒng)的輸入量作比較的過程就稱為反饋。如果輸入量和反饋量相減則稱為負(fù)反饋，反之，若二者相加，則稱為正反饋?？刂葡到y(tǒng)中一般采用負(fù)反饋方式。輸入量與反饋量之差稱為偏差信號。出量的控制或者調(diào)節(jié)，所以系統(tǒng)的輸出量能夠自動地給定量，減小誤差，提電示意圖。圖1-3是是直流電動機轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制示意圖。在圖1-2中，電動機帶動負(fù)載以一定的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動。當(dāng)調(diào)節(jié)電位器的滑臂位置時，可以改變功率放大器的輸入電壓，從而改變電

電動機負(fù)載在這個系統(tǒng)中，電位器滑臂的分壓值是系統(tǒng)的輸入量，放大器作為控制器，電動機是受控對象，電動機的轉(zhuǎn)速是系統(tǒng)的輸出量。當(dāng)外界有擾動時，即使輸入量沒有變化，輸出量也會改變。這種開環(huán)控制系統(tǒng)的輸出轉(zhuǎn)速在負(fù)載擾動影響下不可能穩(wěn)定在希望的數(shù)值上，所以開環(huán)控制系統(tǒng)不能作到自動調(diào)節(jié)，控制的精度是比較低的。為了實現(xiàn)系統(tǒng)的自動控制，提高控制精度，可以改變控制方法，增加反饋回路來構(gòu)成閉環(huán)控制系統(tǒng)。1-3 載基礎(chǔ)上，增加了一個由測速發(fā)動機構(gòu)成的反饋回路，檢測輸出轉(zhuǎn)速的變化作差值運算后，再經(jīng)過控制器(功率放大器)來控制電動機的轉(zhuǎn)速，可以

當(dāng)系統(tǒng)受到負(fù)載擾動作用時，如果負(fù)載增大，則電動機的轉(zhuǎn)速降低，測速發(fā)電機的端電壓減小，功率放大器的輸入電壓增加，電動機的電樞電壓上升，使得電動機的轉(zhuǎn)速增加。如果負(fù)載減小，則電動機轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)的過程與上述過程相反。這樣，消除或綜上所述，閉環(huán)控制系統(tǒng)的自動控制或者自動調(diào)節(jié)作用是基于輸出信號的負(fù)反饋作用而產(chǎn)生的，所以經(jīng)典控制理論的主要研究對象是負(fù)反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)，研究目的是得到它的一般規(guī)律，從而可以設(shè)計出符合設(shè)計要求的，滿足實際需要的，性能優(yōu)良的控制系統(tǒng)。§1-3自動控制系統(tǒng)的組成及定義自動控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖1-4所示。以圖為例來介紹自動控制系統(tǒng)的組成部

++b

n

控制系統(tǒng)的一些常用術(shù)受控對象是指被控制的裝置或者設(shè)備(如電動機、車床等)，有時也指受控的物理量。受控物理量的變化過程稱為受控過程。例如化學(xué)反應(yīng)過程、水泥窯爐的生產(chǎn)過程等，一般用符號o表示。參考輸入(設(shè)定值系統(tǒng)的給定輸入信號，或者稱為希望值，一般用符號r表示。施加給受控對象的信號，使受控對象按照一定的規(guī)律運行，一般用符號u表示?？刂葡到y(tǒng)的輸出，即受控的物理量，一般用符號c表示。系統(tǒng)的參考輸入信號與反饋信號之差稱為偏差，是控制系統(tǒng)中的一個重要參數(shù)，擾動信號外界或者系統(tǒng)內(nèi)部影響系統(tǒng)輸出的干擾信號。外部的擾動稱為外擾，它是系統(tǒng)的一個輸入量。內(nèi)部的擾動稱為內(nèi)擾，也可以等價為系統(tǒng)的一個輸入量。在設(shè)計控制系統(tǒng)時要采取一定的方法來減少或者消除它的影響。一般用符號n表示。前向通路從輸出端到輸入端的反方向通路。對于一個復(fù)雜系統(tǒng)，前向通路及反饋通路都不止一條。控制系統(tǒng)的組雖然實際當(dāng)中的系統(tǒng)復(fù)雜多樣，但是它們都是以典型的系統(tǒng)為基礎(chǔ)的。一個典型的控制系統(tǒng)由以下幾部分組成。在常規(guī)儀表控制中用它來產(chǎn)生參考輸入或者設(shè)定值。設(shè)定值既可以由手動操作設(shè)定也可以由自動裝置給定。參考輸入的值根據(jù)實際情況而定，其類型與變送器的類型相一致。在當(dāng)前的計算機控制中，參考輸入或者設(shè)定值一般可以由計算機給出，因此沒有的定值元件。控制接收偏差信號或者輸入信號，通過一定的控制規(guī)律給出控制量，送到執(zhí)行元件。如常規(guī)控制儀表(電動儀表，氣動儀表)、可編程邏輯控制器(PLC)、工業(yè)控制計算機等都屬于控制器。執(zhí)行元件有時控制器的輸出可以直接驅(qū)動受控對象。但是大多數(shù)情況下受控對象都是大功率級的，控制信號與受控對象功率級別不等。另外控制信號一般是電信號，而受控對象的輸入信號多是其它形式的非電物理量，物理量綱不等。因此控制器的輸出不能直接驅(qū)動受控對象。兩者之間實現(xiàn)功率級別轉(zhuǎn)換或者物理量綱轉(zhuǎn)換的裝置稱為執(zhí)行元件，又常稱為執(zhí)行機構(gòu)或者執(zhí)行器。常見的執(zhí)行元件有步進電動機、電磁閥、氣動1-4測量變送元件又稱傳感器，用于檢測受控對象的輸出量，如溫度、壓力、流量、位置轉(zhuǎn)速等非電量，并變換成標(biāo)準(zhǔn)信號(一般是電信號)后作為反饋量送到控制器。例如各種壓力傳感器、流量傳感器、差壓變送器、測速發(fā)電機等。比較元件自動控制系統(tǒng)的分類自動控制系統(tǒng)的形式是多種多樣的，按照不同的分類方法可以分成不同的類型。實際系統(tǒng)可能是幾種方式的組合。前面已經(jīng)介紹過開環(huán)控制系統(tǒng)與閉環(huán)控制系統(tǒng)，這是按照控制原理來分類的。下面再介紹自動控制系統(tǒng)的另外幾種主要分類方法。恒值控制系統(tǒng)與隨動控制系當(dāng)系統(tǒng)的參考輸入為恒值或者波動范圍很小，系統(tǒng)的輸出量也要求保持恒定，這隨動控制系統(tǒng)又稱伺服控制系統(tǒng)，其參考輸入值不斷地變化，而且變化規(guī)律未知。控制的目的是使得系統(tǒng)的輸出量能夠準(zhǔn)確地輸入量的變化。隨動控制系統(tǒng)常用于軍事上對于機動目標(biāo)的，例如系、塔自穩(wěn)系統(tǒng)等。線性系統(tǒng)與非線性系當(dāng)系統(tǒng)在輸入信號u1ty1t，當(dāng)系統(tǒng)在輸入信號u2的作用下產(chǎn)生系統(tǒng)的輸出y2(t)，如果滿足系統(tǒng)的輸入信au1(t)bu2

ay1(t)by2aba(tb(t。這樣的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系信號均是連續(xù)時間函數(shù)u(t)與y(t)來表示，則稱為連續(xù)時間系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號與輸出信號均以離散時間量u(T)與y(T)來表示，則稱為離散時間系統(tǒng)。注意，兩種類型信號之間的等價是有條件的，因此兩類系統(tǒng)之間的等價也是有條件的，兩類1-5tttT

nT相對于實際的離散時間系統(tǒng)。在數(shù)字化與計算機制的時代，是將連續(xù)時間系統(tǒng)等價為離散時間系統(tǒng)來分析與研究的，這樣可以方便地利用計算機作為控制器來1-6單輸入-單輸出系統(tǒng)與多輸入-多輸出系 除了以上提到的分類方法外，自動控制系統(tǒng)還有其他的分類方法，如集中參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)、確定性系統(tǒng)與隨機控制系統(tǒng)等。自動控制系統(tǒng)的設(shè)計自動控制系統(tǒng)的設(shè)計方法根據(jù)實際情況的不同而不同。首先自動控制系統(tǒng)的設(shè)計對自動控制系統(tǒng)對于一個控制系統(tǒng)首要的要求是系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。否則系統(tǒng)無法正常工作，甚至毀壞設(shè)備，造成重大損失。直流電動機的失磁、發(fā)射的失控、運動機械的增幅振蕩等都屬于系統(tǒng)不穩(wěn)定。在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提之下，要求系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能要好。系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能是由相應(yīng)的性能指標(biāo)來描述的，這在后面的章節(jié)中再詳細(xì)展開來敘述。在此，對于系統(tǒng)的的性能要求可以定性地簡要概括為響應(yīng)動作要快，動態(tài)過程平穩(wěn)，值要準(zhǔn)確。1-7tt響應(yīng)平t (c)準(zhǔn)確性1-7圖(a)顯示了給定恒值信號時，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的快速性。圖(b)說明了給定恒值信號時，系統(tǒng)的響應(yīng)能夠很快穩(wěn)定在穩(wěn)態(tài)值附近與在穩(wěn)態(tài)值附近上下波動的兩種比較情況。圖(c)說明了等速率變化信號的系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應(yīng)能否準(zhǔn)確地輸入信號。能夠準(zhǔn)確地的系統(tǒng)，就沒有誤差或者誤差很小，否則，誤差就大。上述的基本要求只是定性的描述。在設(shè)計一個控制系統(tǒng)或者一個控制系統(tǒng)自動控制系統(tǒng)的設(shè)計原自動控制系統(tǒng)設(shè)計的目的是要保證系統(tǒng)的輸出在給定性能要求的基礎(chǔ)上輸入信號，并且要有一定的能力。由于對系統(tǒng)的要求不同，實際中系統(tǒng)的設(shè)計可能會是復(fù)雜多樣，但是自動控制系統(tǒng)的設(shè)計大體上可以歸結(jié)為以下幾個步驟。首先要了解系統(tǒng)的工作原理，分析系統(tǒng)的性能。系統(tǒng)的分析是在描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上來進行的，利用系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就可以將系統(tǒng)分析的工作轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來研究與討論。如何得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，屬于系統(tǒng)的建模問題，在本書中主要利用解析法，即基于物理學(xué)的定律來得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。其它得到數(shù)學(xué)模型的方法還有實驗法等。有了描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就可以用數(shù)學(xué)方法來具體分析一個自動控制系統(tǒng)了。在系統(tǒng)分析中，利用各種系統(tǒng)分析方法可以得到系統(tǒng)的運動規(guī)律和系統(tǒng)的運動性能。采用什么分析方法來分析一個自動控制系統(tǒng)？如何來評價系統(tǒng)的性能？如何加以系統(tǒng)設(shè)計的任務(wù)就是尋找一個能夠?qū)崿F(xiàn)所要求性能的自動控制系統(tǒng)。設(shè)計系統(tǒng)時，要找出影響系統(tǒng)性能的主要因素，確定控制量和被控制量。然后根據(jù)要求確定采取什么樣的控制規(guī)律來改進系統(tǒng)的性能。例如比例控制、比例-微分-積分控制等。要確定和選用合理的控制裝置例如控制器、執(zhí)行器、工控機等。設(shè)計過程并不是一次就設(shè)計工作完成以后，可以利用計算機把數(shù)學(xué)模型在各種信號及擾動作用下的響應(yīng)進試分析，確定所設(shè)計的系統(tǒng)性能是否符合要求，并且加以修正使其進一步完善，以尋求達(dá)到最佳的控制效果。仿真的方法有除了算法仿真之外，還有半物理仿真以及物理仿真。其中算法仿真的費用是最低的，而物理仿真的費用最高。可以根據(jù)實際需要來決定仿真實驗選用什么樣的方式。系統(tǒng)仿真工作完成之后，就可以進入樣機制作階段了。對于制作的樣機，還要進行反復(fù)的實驗調(diào)試，直至滿足設(shè)計要求為止。從上面敘述的設(shè)計步驟可以得出，一個自動控制系統(tǒng)的設(shè)計，是一個復(fù)雜和反復(fù)的過程，在本書中，重點從理論上探討、研究自動控制系統(tǒng)的分析問題和系統(tǒng)的設(shè)計§1-4早在經(jīng)典控制理論學(xué)科形成之前，反饋控制的思想，和應(yīng)用負(fù)反饋來實現(xiàn)自動控制的系統(tǒng)已經(jīng)在實際中得到了應(yīng)用。圖1-8飛行飛行方到了第二次時期，由于工業(yè)技術(shù)發(fā)展的需要和的需要，在其它相 跡分析法兩大系統(tǒng)分析工具配之以數(shù)學(xué)解析方法的時域分析法，構(gòu)成了經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)。在此期間，也產(chǎn)生了一些非線性系統(tǒng)的分析方法，如相平面法和描述函數(shù)法等，及樣統(tǒng)分方。在階較突的應(yīng)有射隨系，在經(jīng)典控制理論的研究中，所使用的數(shù)學(xué)工具主要是線性微分方程和基于拉研究的對象和范圍有限，還不能解決許多控制中的復(fù)雜問題，如時變參數(shù)問題、多變量、強耦合問題等。盡管如此，經(jīng)典控制理論學(xué)科的形成，對于第二次以來控制學(xué)科的發(fā)展起到了推動作用。經(jīng)典控制理論在工業(yè)控制和軍事技術(shù)中的廣泛應(yīng)用，推動了現(xiàn)代科現(xiàn)代控制理論發(fā)展階段從50現(xiàn)代控制理論使用的數(shù)學(xué)工具主要是狀態(tài)空間法。研究對象更為廣泛。如現(xiàn)代控制理論的發(fā)展與計算機硬件科學(xué)與軟件科學(xué)的飛速發(fā)展是同時代的，一是使得計算機科學(xué)的發(fā)展擴大了其用武之地。二是借助于計算機技術(shù)，空間技術(shù)、我國在現(xiàn)代控制理論方面的主要成就除了航天方面的火箭發(fā)射控制技術(shù)之外，較為突出的還有人口模型與口控制問題。這是人文社會科學(xué)與工程技術(shù)科學(xué)相結(jié)合的研究成果，該項研究成果協(xié)助我國實現(xiàn)了中國的短期、中期、長期人口控制智能控制理論研究階段智能控制理論的研究是建立在現(xiàn)代控制理論的發(fā)展和其它相關(guān)學(xué)科的發(fā)展基礎(chǔ)之上的。所謂智能，全稱人工智能，是基于人腦的思維、推理決策功能而言的，早已超早在幾十年前，控制理論專家就提出了大系統(tǒng)理論和專家系統(tǒng)的概念。大系統(tǒng)理論提出了系統(tǒng)的復(fù)雜性與可控性之間的關(guān)系問題，即隨著系統(tǒng)越來越復(fù)雜，系統(tǒng)就越來越難以控制。而專家系統(tǒng)則建立了基于知識來獲得決策的模式。這些問題都促進專家學(xué)者們進一步去探討更次的控制問題。智能控制理論的研究以人工智能的研究為方向，引導(dǎo)人們?nèi)ヌ接懽匀唤绺鼮樯羁痰倪\動機理。當(dāng)前主要的研究方向有自適應(yīng)控制理論研究、模糊控制理論研究、人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)研究以及渾沌理論研究等，并且有許多研究成果產(chǎn)生?；蛘卟煌耆蕾囉谙到y(tǒng)數(shù)學(xué)模型的自適應(yīng)控制器、模糊控制器等工業(yè)控制產(chǎn)品；超大規(guī)模集成電路(VLSI)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算機已經(jīng)運行；宇航專家應(yīng)用渾沌控制理論，將一顆將要報廢的人造，僅利用其自身殘存的，成功地其發(fā)射到了火星等等。智能控制理論的研究與發(fā)展，在信息與控制學(xué)科研究中注入了蓬勃的生命力，啟 什么是系統(tǒng)？什么是受控對象？什么什么是自動控制？對于人類活動有什么意義什么是反饋？什么是負(fù)反饋開環(huán)控制系統(tǒng)是怎樣控制的？試舉例來說閉環(huán)控制系統(tǒng)是怎樣實現(xiàn)控制作用的？試舉例來說自動控制系統(tǒng)主要是由哪幾大部分組成的？各組成部分都有些什么為什么說采用了輸出信號的負(fù)反饋可以提高系統(tǒng)“引進負(fù)反饋可以降低對前向通路中元器件的精度要求”對自動控制系統(tǒng)的基本要求是什么？試舉例來說實際生活中振蕩現(xiàn)象是絕對不允許的嗎？試舉出希望維持等幅振蕩實際生活中希望系統(tǒng)的運動都有些什么樣的類型？舉例說試敘述汽車駕駛時，駕駛員方向盤時的閉環(huán)控制過程試敘述電冰箱中溫度控制系統(tǒng)的控制溫度過試敘述在帆船駕駛中，駕駛員是如何聯(lián)合控制風(fēng)帆轉(zhuǎn)角與舵角來實現(xiàn)保持航向不變的控制。在飛機的飛行時，的輸入信號是什么樣的信號試敘述雜技節(jié)目“頂桿”的運動與控制過試敘述騎自行車時的閉環(huán)控制過家用電器中，有哪些是應(yīng)用反饋控制原理來進行走機器人可以模擬人的行走，試大致分解人的行走控制過試大致敘述人在伸手取物時的運動與控制過第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法有許多類型的控制系統(tǒng)。如物理學(xué)中的力學(xué)系統(tǒng)，它是以牛頓力學(xué)為基礎(chǔ)的機械運動系統(tǒng)?；蛘叻俏锢韺W(xué)系統(tǒng)，如現(xiàn)代化企業(yè)管理系統(tǒng)。有工程技術(shù)方面的控制系統(tǒng)，如電動機轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，也有人文社科方面的控制系統(tǒng)，如中國的人口控制系統(tǒng)。本書主要以物理學(xué)系統(tǒng)為研究對象，來研究自動控制理論的基本問題。一個物理系統(tǒng)，作為知識表達(dá)，首先要采用適當(dāng)?shù)拿枋龇椒▉砻枋鏊?。通常采用的方法是?shù)學(xué)描述方法，或者稱為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型作為描述系統(tǒng)的專業(yè)語言，由于簡捷、方便、通用等許多優(yōu)點而得到廣泛應(yīng)用。由上所述，在研究一個控制系統(tǒng)的時候，首先要建立該控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。例如，在控制一個加熱爐時，希望控制的物理量是加熱爐的溫度，而加熱爐溫度的變化是由控制加熱源來決定的，兩者之間運動關(guān)系的數(shù)學(xué)描述就稱為該物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。一旦得到了描述系統(tǒng)運動的數(shù)學(xué)模型，就可以采用數(shù)學(xué)分析的方法來研究該系統(tǒng)的運動規(guī)律了。一般情況下，一個動力學(xué)系統(tǒng)的運動受到物理學(xué)基本定律的支配，可以表現(xiàn)為描述其因果關(guān)系的微分方程。如力學(xué)系統(tǒng)，可以由牛頓定律寫出運動的微分方程。電學(xué)系統(tǒng)的微分方程，則可以由電壓定律或者電流定律的約束來寫出。通常所說的系統(tǒng)的運動，就是對系統(tǒng)施加控制也就是輸入控制信號，來得到系統(tǒng)輸出變量隨時間的變化規(guī)律也就是系統(tǒng)的輸出響應(yīng)信號。系統(tǒng)運動的數(shù)學(xué)描述，就是在給定輸入信號和初始條件下，求解微分方程而得到微分方程的解。這樣，微分方程就是用于描述物理系統(tǒng)運動的一種數(shù)學(xué)模型。另外，基變換的傳遞函數(shù)和基于信號流通關(guān)系的動控制系統(tǒng)的微分方程可以通過解析法或者實驗法獲得。所謂解析法，就是依據(jù)描述系統(tǒng)運動規(guī)律的運動定律來得到微分方程的方法，這些運動定律以運動方程式確定了變量之間的約束，元件端口信號之間的約束等。而實驗法，則是基于系統(tǒng)輸入輸出的實驗數(shù)據(jù)來得到系統(tǒng)的微分方程。雖然為了便于分析與理解，在本章中主要講述的是解析法，而實驗法也是建立或者檢驗系統(tǒng)數(shù)學(xué)模的一種重要?？刂葡到y(tǒng)的運動是復(fù)雜的，因此，微分方程的表現(xiàn)形式也是多樣的。如線性的與非線性的，定常系數(shù)的與時變系數(shù)的，集中參數(shù)的與分布參數(shù)的等等。本書主要目的是討論自動控制理論的基本問題，因此，以描述單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為主。關(guān)于非線性系統(tǒng)的研究，在本章中給出線性化的基本概念，另外在第七章中專門講述非線性控制系統(tǒng)分析的基本方法。研究控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的目的是為了得到系統(tǒng)的運動規(guī)律，這可以通過求解描述系統(tǒng)的運動方程，以時間解的方式來表現(xiàn)。另外，在許多情況下，例如線性定常系統(tǒng)，當(dāng)它的數(shù)學(xué)模型一旦確定，其時間解也就隨之確定了。也就是說，為了簡化系統(tǒng)的分析，有時僅僅依賴于描述系統(tǒng)的運動方程就可以了?！?-1y(n)(t) y(n1)(t)ay(t)a bu(m)(t) u(m1)(t)b(t)b n (2-

ay(i)(t)bu(j)(t)，其中a n (2-i

j

iib,j0,1,2,,j階次nm。如上所述，線性定常系統(tǒng)的微分方程可以描述為輸出信號的各階導(dǎo)數(shù)y(i)(t)i0,1,2,n與輸入信號的各階導(dǎo)數(shù)ujtj0,1,2,m設(shè)系統(tǒng)的輸入為x1ty1t)，系統(tǒng)的輸入為x2t時，系統(tǒng)的輸出為y2(t)。如果滿足系統(tǒng)的輸入為x(t)ax1(t)bx2

y(t)ay1(t)by2 (2-aibj采用解析法求取系統(tǒng)的運動方程時，一般的方法是根據(jù)物理系統(tǒng)的運動定律來列電學(xué)系統(tǒng)在電學(xué)系統(tǒng)中，所需遵循的是元件約束和網(wǎng)絡(luò)約束。在元件約束中，假定只考慮集中參數(shù)的線性約束。而對于網(wǎng)絡(luò)約束，按照網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湓恚梢圆捎迷S多種方法來得到運動方程，在此只考慮電網(wǎng)絡(luò)的基本約束。元件約束電路分析中的基本線性元件有三種，電阻R、電容C和電感L，它們的V-I關(guān)系必須遵循廣義歐姆定律，如圖2-1所示。RuR(t)RiR (2-C1u(t)iC1 u(t)LdiL (2-網(wǎng)絡(luò)約束

ue(t)uii(t)

(2-(2-電路，寫出以ui為輸入，uo為輸出的微分方程。ue(t)ui有uR(t)uC(t)ui

即Ri(t)uc(t)ui因為電容電流為i(t

duC

RCduC(t)u(t)u

TTduC(t)

(t)ui

(2-(2-TuCuC

(2-解對于回路L1有uR1uC1

uC1uR2uC2

uR2R2

1uC11

i2 idtCC C2綜合上述方程組，消去中間變量i1,i2,uC1，得到以ui為輸入，uo為輸出的微分2RCRCd (RCRCRCRCRCd

112

dt 1 2 1 T1d

T2R2C2,T3

(2-TT o(TTT ou

12dt dt (2-T1T2uo(T1T2T3)uouo力學(xué)系統(tǒng)機械平移運動的位移x為輸出的運動方程。解由加速度定 d2

kk－彈性系數(shù)f

maFmdt FFkFf

d2

FkFff

2-4移系mdt2kx

dtd2mdt2

dxkxFi

(2-機械旋轉(zhuǎn)運動dJdt 2-5械旋轉(zhuǎn)系其 J轉(zhuǎn)動慣量，旋轉(zhuǎn)角速度，其中，M 作用力

JdfMJdtfM (2-Mf，輸出變量是旋轉(zhuǎn)角速度Mf

d Jdt2fdtM (2-復(fù)合系統(tǒng)電 2-7流電動機系2-6為常數(shù)時，產(chǎn)生常數(shù)值的勵磁電流f，從而主磁通也為常數(shù)。忽略旋轉(zhuǎn)粘滯系數(shù)fa，則可以寫出各平衡方程如下。(直流電動機的詳細(xì)內(nèi)容，可以參閱電力拖動有關(guān)書籍。)LdIaRIE (2-a a Ua-電動機的電樞電壓Ra-電樞繞組的電阻()；La-電樞繞組的電感(H)；Ea-電樞繞組的感應(yīng)電動勢(V)Ea (2-方程中，ke-電動勢常數(shù)，由電動機的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定(VsJadtMa (2-aaMa-電動ML-折合阻力矩(Nm)。Makc方程中，kc-電磁轉(zhuǎn)矩常數(shù)，由電動機的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定(Nm/A)

(2-將上述四項方程聯(lián)立，因為空載下的阻力力矩很小，略去MLLdIaRIEa

a EaJd (2- a Makc消去中間變量Ia、EaMa，得到輸入為電樞電壓Ui

，輸出為轉(zhuǎn)軸角速度JLd JR a a k dt 組的電感La，則可以得到一階線性微分方JaRadk (2- §2-2在建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型過程中，所研究的并不都是線性系統(tǒng)，其中有許多是非線性系統(tǒng)，因而也就不能用上一節(jié)所敘述的線性微分方程來描 例如導(dǎo)磁材料的磁飽和特性如圖2-8IB

2-8磁材料的飽當(dāng)考慮激磁電流為常數(shù)Ia時，可以在Ia鄰域作切線如圖所示。從物理意義上可以認(rèn)為，如果激磁電流I在Ia鄰域小范圍內(nèi)變化時，則磁場密度B也在小范圍內(nèi)線性變化。從其函數(shù)關(guān)系來看，如果在工作點附近有小的電流變化，則磁通的變化可以用一條直線來近似原來的變化關(guān)系。因此滿足微變條件時，在固定工作點鄰域非線性系統(tǒng)的運動過程可以由線性運動過程來代替。對非線性系統(tǒng)作線性化時，步驟如下：首先確定系統(tǒng)輸入輸出之間的函數(shù)關(guān)系yx在工作點x0鄰域?qū)xy(x)y(x)

1d)(x )

(xx)2

x

2!dtd

x

(2-y(x)y(x)

[ (xx (2-

x 當(dāng)(xx0很小很小時，有y(x)y(x0很小很小，寫出增量式為xx (2-yy(x)y(x0令

(2-dk0dt[y(

x

(2-即在工作點 鄰域，將曲線斜率視為常數(shù)。寫為增量方y(tǒng)k0yk0

(2-(2-2-6] 圖2-9整流調(diào)速裝置 圖2-10晶閘管特性曲UDUDU0

其中 為理想空載整流電壓值UD0U0

ldhUDUD0KldhUDUD00K

d[U

cos

sin

UDUD解(1

2-11擺運動示意擺球質(zhì)量為m，擺長為l；設(shè)擺角為，則運動弧長為ldm(ldt2)mgsin

(2-式中，

h

(l

(2-ldtdmldt

ldmgsin(2-(2-初始條件(t0) tt，則該系統(tǒng)的運動就唯一確定0方程在00

(2-1 (2- (2-則其線性化系數(shù)k1

dd

d，dt

ddt

d mldt2ldtmg (2- =-圖可見，在原點附近，用 =-2-12擺系統(tǒng)的線性化關(guān)系在不同的工作點鄰域，可以得到不同的線性化方程。例如，在鄰域的切線 ，相應(yīng)地線性化系數(shù)k為-1，則在該點處，線性化方d2lmldt

mg (2-2-13不可導(dǎo)性使得其泰勒級數(shù)展開式在工作點鄰域的切線 -

2-13質(zhì)非線性關(guān)f(x,y，如果滿足在工作點鄰域的連續(xù)、可導(dǎo)條件，點表現(xiàn)在非線性函數(shù)關(guān)系上就是在不同的工作點，可以獲得斜率不同的切線，所以線性化系數(shù)是各異的。因此對非線性系統(tǒng)作線性化時，一定要先確定其工作點，這樣求得的線性化方程才是正確的。一個非線性系統(tǒng)在工作點鄰域的線性化方程，應(yīng)滿足其函數(shù)關(guān)系的變化是在小范圍的。否則，誤差將會很大。因為線性化方程是增量方程，以變量來表示，所以當(dāng)增量范圍過大時，不滿足線性化條件?！?-3F(s)0

f(t) (2-s (2-因為F(s)sF(s)是復(fù)變函數(shù)。L[f(t)]F(s)0

f(t) (2-L1[F(s)]f(t)1F(s) (2-2jcsjsj(t)

tt

(2-0(t)dt

(2-L[(t)](t)estdt(t)dt (2- 單位脈沖函數(shù)的積分單位脈沖函數(shù)可以通過極限方法得2-141a，脈沖的高度為，面積a為11

1 2-14位脈沖函

t度a趨于無窮小時，高 趨于無a大，單個方波脈沖演變成理想的單位脈沖函數(shù)。在坐標(biāo)圖上經(jīng)常將單位脈沖函數(shù)(t由單位脈沖函數(shù)(t的定義可知，其面積積分的上下限是從0-到0+的。因此在求它的拉氏變換時，拉氏變換的積分下限也必須是0-。由此，特別指明拉氏變換定義式中的積分下限是0-是有實際意義的。所以，關(guān)變換的積分下限根據(jù)應(yīng)用的實際情況就0-，0，0+三種情況。t=0

f(t)

tt

(2-t0f(t) (2- 2-15位階躍信

00L[1(t)]1estdtse00

(2- d1(t)階躍信號的導(dǎo)數(shù)在t0處有脈沖函數(shù)存在，所以單位階躍信號的拉氏變換，其積分下限規(guī)定為0-。{f(t){

t

t

02-16位斜坡信f(t)t

(2-bbbudv bbba得

s0

[te

dt]

(2-f(t)et t (2- L[et]etestdt

e(s)tdt

s(2- 2-17數(shù)信1L[ejt]

s

(2-

s s sj(sj)(sj)s22s22js2ejtcostj

(2-(2- L[ejt]L[costjsint]

(2-s2

s2

L[sint]s2 (2-sL[cost]s2 (2-表2-1常用函數(shù)的 象函數(shù)F原函f11(t21s31t41 t(n51se6(st7s2sin8ss2cos9(sa)2eatsins(sa)2eatcoss2shss2ch(sa)2eatshs(sa)2eatch拉氏變換的一些基本定理f1t)f2t分別有其拉氏變換F1s)F2s)L[af1(t)bf2(t)]aF1(s)bF2 (2-f(t)F(sL[f(t)]esF

(2-2-18號的時間延遲[例2-8]周期鋸齒波信號如圖2-19所示，試求該信拉氏變換為F1(s時，應(yīng)用拉氏變換的延遲定理，得到周F(s)F(s)eTsF(s)e2TsF

2-19齒波信 1F(s)(1eTse2Ts)1

11

1 20.251

0

10.5se025se0F(s) e025s 11F(s) s 1e0

10.5se0s2(1e05sf(t)F(s

L[etf(t)]F(s(2-f(t在時間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在變換域就成為坐標(biāo)平移。當(dāng)時間函數(shù)帶有指數(shù)項因子時，利用拉氏變換的衰減定理，可以簡化其拉氏變換的求取計算。2-9]f(tetsintL[sint] s2L[etsint] (s)2f(t)F(s，f(t)f(t)各階導(dǎo)數(shù)的拉d f(t)]sF(s)f(0) (2-d L[dt2f(t)]s2F(s)sf(0)f (2-nL[dn

f(t)]

F(s)

f(0)

f(0)f(n1) (2-f(0)f(0)f(n1)(0)則ddL[dt

f(t)] (2-f(t)]s2F (2-L[ddt

f(t)]snF

(2-

L[f(t)]f(t)estdtF0bbbudv bbb 令uf v1ddu f(t)]dt dvest則f(t) dt1estf

1est[df 0 1f(0)1L[df(t)]F Ldf(t)]sF(s)f[f(t)F(sL[f(t)dt]1F(s)1f (2- tf1(0)ftf(t)t=0f(t)F(s，且在t0f(0f(0)limsF證明由微分定理令s即可證得。

(2-f(0)limsF

F(s)

1sf(t)F(sf(f()limsF

(2-兩邊對s0

[df(t)]estdtsF(s)f0 s0

[

f(t)] dtlim[sF(s)f因為lim

lim

[ f(t)]e

dt

[ f(t)]dt

f

f()f

s00

0

lim[sF(s)f(0)]limsF(s)f f()limsFf1t)f2t分別有拉氏變換F1s)F2s)tf(t)f()

0

(2-t

f1(t)f2 (2-L[0f1(t)f2()d]L[f1(t)f2(t)]F1(s)F2

(2-表2-2 1L[Af(t)]AF2L[af1(t)bf2(t)]aF1(s)bF23L[eatf(t)]F(s4L[f(t)]esF5L[df(t)]sF(s)fL[d2f(t)]s2F(s)sf(0)fdtd L[nf(t)]snF(s)snkf(k1) k(k dk (0) f(t)dtk t6L[f(t)dt]1F(s)1f(1) 7f(0)lim8f()limsF9tL[f()]aFaL[t(t)f()d]F(s)Ff0 拉氏反變換拉氏變換將時域函數(shù)f(t)變換為復(fù)變函數(shù)F(s)，相應(yīng)地它的逆運算可以將復(fù)變函數(shù)F(s)變換回原時域函數(shù)f(t)。拉氏變換的逆運算稱為拉斯反變換，簡稱拉氏反變換。由復(fù)變函數(shù)積分理論，拉氏反變換的計算為f(t)L1[F(s)]

cjF(s)c

(2-上式所指明的拉氏反變換，由于是復(fù)變函數(shù)的積分，計算復(fù)雜，一般很少采用。所以已知F(s)f(tf(t)s的有理分式。因此，可以將F(s分解為一系列的有理分式Fi(s)之和，再利用拉氏變換表確定出所有的有理分式項Fi(s所對應(yīng)的時域函數(shù)fi(t)，合成時域函數(shù)f(t)。上述過程遵循的是拉氏變換 bsm sm1bsF(s) (2- sn sn1 sn2as A(s0其所有的解si,i1,2稱為F(s)的極點。這樣F(sF(s) (ss1)(ss2)(ssna1a2s

s

snF1(s)F2(s)Fn(s)Fi由復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理，可以確定F(s)的各分解式Fi(snn

(2-(2-A(s)0F(s)

F(s)C1C2

(2-s s siCi[F(s)(ssi)]i

(2-為復(fù)變函數(shù)F(s)對于極點ssiinif(t)

C (2-ss5s

f(t)解將F(s)sF(s)s25s

s(s2)(s

C1s

ssC1[F(s)(s2)]s2s3s2sss

C2[F(s)(s3)]s3

s32

F(s)s2s f(t)L1[F(s)]L1[s2A(s)0

s

]e2tF(s)

s

(ss (s

(ss s

(2-式中，與單根s1相對應(yīng)的系數(shù)C1的求法與前述相同。與重根s2相對應(yīng)的各系C2i,i1,2m，由留數(shù)定理可得計算如2C2m[F(s)(ss)m]s2

(2-2 d[F(s)(ss)m (2- d

[F(s)(ss) (m1)! s11122 m1s22f(t)L1[F

L[(ss)m]

(m1)! Cest tm1est 2(m1)tm2estCtestCest2 (m (m

(2-2-11]求F(s解F(s)

ss(s3)(s

f(t)F(s)C1s

s

(s

C31s系數(shù)C1，C2，分別對應(yīng)單根s10，s232 s0 2C2[F(s)(s3)]s32系數(shù)C32，C31分別對應(yīng)二重根s3

s23

[F(s)(s1)2

s1

ss(sss(s d[F(s)(s1)2

s

dss(s

F(s)21(1 [(1 (3)1

3 12s

2(s 4sf(t)21(t)1e3t1tet33A(s)0

共軛復(fù)數(shù)根時，可以將其作為單根(互不相同)來看待。但是在分解時，涉及到復(fù)數(shù)運算，而且分解之后，還要進行合并，才可以與拉氏變換表相對應(yīng)。所以計算煩 L[sint]

s2

L[etsint]

(s)2

sL[cost]

cost] s2

(s)2上述變換對的分母都是共軛復(fù)數(shù)形式的二次三項式，相對應(yīng)的反變換均為正余弦型的。所以，除了可以按照單根情況計算外，還可以按照下述例題的計算步驟進行計算。2-12]已知F(s

s29ss26s

f(t)3sF(s)1s26s3ss26s

3s(s26s32)(34323s(s3)2

3(s3)103(s3)252

s(s3)2

2 (s3)2

L1[1]

s(s3)25(s3)2

]e3tcos]e3tsinf(t)(t)3e3tcos5t2e3tsin拉氏變換法求解微分方程列出控制系統(tǒng)的微分方程之后，就可以求解該微分方程，利用微分方程的解來分析系統(tǒng)的運動規(guī)律。微分方程的求解方法，可以采用數(shù)學(xué)分析的方法來求解，也可以采用拉氏變換法來求解。采用拉氏變換法求解微分方程是帶初值進行運算的，許多情電壓信號ui(t5V，電容的初始電壓uc(0)1V時，分別求時間解uc(t。解RC電路的微分方

2-20RC濾波電RCduC

uC

ui L[RCduC uC(t)]L[ui

RCL[duC(t)L[u(t)]L[u RC[sUC(s)uC(0)]UC(s)Ui將R10K，C10，U(s)5

0.1uC(0)ss

U(s)0.1uC(0)s s(0.1sU(s) uC(t)51(t)5e10t5[1(t)e10t0.1s UC(s)s(0.1s1) u(t)51(t)4e10t5[1(t)4e10t

t ty(t)2y(t)2y(t)輸入信號u(t)，初始條件為y(0)0 2-21響y(0)0，求系統(tǒng)的輸 解方程兩邊作拉氏變換得[s2Y(s)sy(0)y(0)]2[sY(s)y(0)]2Y(s) s22s2 Y(s)(s22s1)1 (s1)21y(t)etsin§2-4傳遞函數(shù)是在變換域來描述系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。是以參數(shù)來表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的，因此又稱為系統(tǒng)的參數(shù)模型。前面已經(jīng)講述了線性定常系統(tǒng)的微分方程描述。它是一種時域描述，也就是說，是以時間t的時間解，也就獲得了系統(tǒng)的運動規(guī)律。但是，基于時域的微分方程用于控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計中，在使用上有諸多不便，如系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)不明確、微分方程求解麻煩等，進而去尋求在應(yīng)用上更為方便的數(shù)學(xué)描述方法。傳遞函數(shù)是基變換而得到的。拉氏變換將域函數(shù)變換為復(fù)頻域函數(shù)，簡化了函數(shù)。將時域的微分、積分運算，簡化為代數(shù)運算?；谏鲜鰞煞N簡化，進而將系統(tǒng)在時域的微分方程描述簡化為變換域的傳遞函數(shù)描述。這樣，許多在時域中的問題分析，就可以方便地在復(fù)頻域中來進行了。傳遞函數(shù)的定義y(n) y(n1)aaybu(m) u(m1)bb n

(2-iib,i0,1,,my(0)y(0)y(n1)(0)u(0)u(0)u(m1)(0)(sn sn1asa)Y(s)(bsm sm1bsb)U

(2-(2- 得到輸出信號的拉氏變換Y(s)bsm sm1bsY(s) 0U

(2-sn sn1as (2- 則有輸出信號拉氏變換Y(s與輸入信號拉氏變換U(s)Y

bsm sm1bsU

as1a (2- Y G(s) U sn sn1as

，nm(2-Y(s)G(s)U (2-傳遞函數(shù)只適用于線性定常系由于傳遞函數(shù)是基變換，將原來的線性常系數(shù)微分方程從時域變換至復(fù)頻傳遞函數(shù)是在零初始條件之下定義因此，表示了在系統(tǒng)內(nèi)部沒有任何能量條件下的系統(tǒng)描述。即：Y(s)G(s)U(s)。如果系統(tǒng)內(nèi)部有能量，將會產(chǎn)生系統(tǒng)在非零初始條件下的疊Y(s)G(s)U(s)V求傳遞函數(shù)Uc(s)Ui當(dāng)uc(0)0,uc(0)0時，寫出輸出響應(yīng)Uc(s)。

(2- C解(1)

d2u du

2-22RLC網(wǎng) uc(t)uidt L[u(t)]U(s)，L[duc(t)]

d2u

]sUc L[u(t)]Udt G(s)Uc(s) Ui LCs2RCs(2)當(dāng)uc(0)0,uc(0)0LC[s2U(s)su(0)uc(0)]RC[sU(s)u(0)]U(s)U

[LCs2RCs1]Uc(s)Ui(s)LCuc(0)s[LCuc(0)RCuc輸出響應(yīng)的拉氏變換Uc(sU(s) U(s)LCuc(0)s[LCuc(0)RCuc LCs2RCs 即

LCs2RCsUc(s)G(s)Ui(s)VV(s)LCuc(0)s[LCuc(0)RCucLCs2RCs傳遞函數(shù)是可以有量綱其物理單位由輸入、輸出的物理量的量綱來確定。如力學(xué)系統(tǒng)其傳遞函數(shù)的物理單位可以為[米]/[牛]，也就是作用力產(chǎn)生位移的剛度系數(shù)。電壓引起的電流響應(yīng)其物理單位為[安培]/[伏特]，也就是復(fù)數(shù)導(dǎo)納。當(dāng)然，如果輸入輸出為相同的物理單位，傳遞函數(shù)就沒有物理單位。傳遞函數(shù)表示的關(guān)傳遞函數(shù)只表示了系統(tǒng)的端口關(guān)系，不明顯表示系統(tǒng)內(nèi)部部件的信息。明顯表示[例2-16]對于圖2-22所示RLC網(wǎng)絡(luò)，試求傳遞函數(shù)Uc(s)和Ic 解由例2-15Uc(s)UiG(s)Uc(s)

Ui Ui

Ui

LCs2RCsd2u du uc(t)uidt u(t) i CIc(s)UiIG(s)Ic(s)IUi

LCs2RCs傳遞函數(shù)是描述線性定常系統(tǒng)的參數(shù)Y bsm sm1bsG(s) (2-U sn sn1as sm次分子多項式可以分解為m個因子(szj),j0,1,,m，對應(yīng)于復(fù)變函數(shù)的m個零點szj,j1,2,m；nn個因子(spii0,1,n，對nspii1,2,,n；因此可以將傳遞函數(shù)以復(fù)變函數(shù)的零G(s)K(sz1)(sz2)(szm(sp1)(sp2)(spn

(2- szj,j1,2,,spi,i1,2,,

n傳遞函數(shù)的信息關(guān)確定了輸入信號U(s)與輸出信號Y(s)之間的傳遞關(guān)系信息，因之稱其為傳遞函數(shù)。也就是說在何種輸入信號下，經(jīng)過該傳遞關(guān)系產(chǎn)生何種輸出，因此在數(shù)學(xué)上Y(s為U(s式(2-98)的分母多項式描述了系統(tǒng)的固有特性，也就是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性。如系統(tǒng) 出Y(s響應(yīng)于輸入信號U(s)各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，因此線性組合方式不同，則系統(tǒng)

f2

f22-23學(xué)系統(tǒng)的輸入特

my(t)(f1f2)y(t)ky(t)F(tY(s)

ms2(f1f2)s

my(t)(f1f2)y(t)ky(t)f1x(t)Y(s) f1s X ms2(ff)s 由兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以看出，其分母多項式相同，因此，系統(tǒng)的固有特性是相同的。但是兩個系統(tǒng)的分子多項式是不同的，因此，兩個系統(tǒng)與外界聯(lián)系的作用特1m的作用力F(t)2x(t)，位移量x(t)f1和彈簧km，m控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)復(fù)數(shù)線性元件的復(fù)數(shù)阻抗是依據(jù)線性元件的V-I關(guān)系而成立的。時域上的關(guān)系所遵循的是歐姆定律，在變換域中也有相同的形式?？梢园褟?fù)數(shù)阻抗所遵循的V-I關(guān)系稱為uR(t)RiRUR(s)RZR(s)

(2-1電 u(t) i1 1U(s) I Z(s)UC(s) (2- IC 電 u(t)L UL(s)LsILZ(s)UL(s) (2-LILL2-18]RLC網(wǎng)絡(luò)如圖，試采用復(fù)數(shù)阻抗法求取該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解由復(fù)數(shù)阻抗法可以寫出分壓為 Ui Z(s)U(s)ZR(s)ZL(s)ZC Ui 1U

RLs1Cs G(s)

Uo(s)

2-24RLC網(wǎng)Ui LCs2RCs2-19]PI2-25G(s)。解反相輸入的運算放大器其運算關(guān)系如圖2-26所示，即G(s)UO(s)ZfUi

Zi

(2- ZiZf

C -+

+圖2-25PI運算有源網(wǎng) 圖2-26反相運算有源網(wǎng)

Z(s)

Zi(s)R31Cs

2 2

1

R3CsG(s)Uo(s)Zf(s)(R2 Zi R1R3Cs典型環(huán)節(jié)控制系統(tǒng)通常是由若干基本部件組合構(gòu)成的，這些基本部件又稱為典型環(huán)節(jié)。掌K K運算關(guān)系 uo(t)KuiG(s)Uo(s)Ui(s)K(2-max，變阻器所加電壓為V，所以其靈敏度為V

2-27阻器式角位移KV，(V/

2

UsKVG(s)Us(s)解直流測速發(fā)電機是一種轉(zhuǎn)角檢測裝置，它的輸出端電壓正比于轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)角速度，其靈敏度為Ke[伏特秒]， EsKe G(s)Es(s) 2-

1 1

u(t)u1 1G(s)Uo(s) (2-Ui [例2-22]液位系統(tǒng)如圖2-29所示，寫出其傳遞函數(shù)。

Q

HD VH2-29位系統(tǒng)示意

(Q1Q2

HD(Q1Q2)dt

H 1D1 G(s)Q(s)

u(t)dui G(s)Uo(s)sUi(s)

(2-式中的，稱為微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，它表示了微分速率大小2-23]2-21

Es(s)sG(s)Es(s)K 1Ts1Ts Tduo uo(s)ui

G(s)Uo(s)Ui

1Ts

(2-式中的T稱為慣性環(huán)節(jié)的時1T2s21T2s22Ts

d2u duT u(t)udt G(s)Uo(s) (2-Ui T2s22Ts式中的兩個參數(shù)：T和是系統(tǒng)的特征參數(shù)，在后面的課程中要講到。前述的單擺系統(tǒng)、RLC串聯(lián)電路，都是二階振蕩環(huán)節(jié)。e- e-

uo(t)ui(tUo(s)esUiG(s)Uo(s)esUi(s)

(2- 圖2-30帶有延遲環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)系統(tǒng)傳遞函一個控制系統(tǒng)，不管結(jié)構(gòu)如何復(fù)雜，一般是由前面所述的基本環(huán)節(jié)組合構(gòu)成的。既然可以寫出各基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)了，那么，在符合信號流通的約束關(guān)系關(guān)系之下，將各基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)按照相應(yīng)的關(guān)系組合，再消去中間變量就可以得到控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在變換域中，這種組合是代數(shù)方程組。因此，對于各基本環(huán)節(jié)，可以直接使用它控制量，即輸入信號，給定轉(zhuǎn)速r所對應(yīng)的電壓Ur，被控制量，即輸出信號，電動機的旋轉(zhuǎn)角速度。 JE-Kr

Erm所以滑動端的輸出電壓Ur正比于給定轉(zhuǎn)速r，算Ur(s)Krr (2-的旋轉(zhuǎn)角速度。靈敏度為

KTC，單位：[伏特UTC(s)KTC (2-比較單元將給定信號與實際信號比較，得出差值信號，也就是負(fù)反饋。該系統(tǒng)是將Ur與UC串聯(lián)反極性相聯(lián)接來實現(xiàn)的。

e(s)Ur(s)UTC (2-

U1(s)K1 (2-執(zhí)行單元是一個直流伺服電動機SD，輸入為電壓U1，輸出為轉(zhuǎn)角SD，去驅(qū)動滑臂變阻器的滑臂轉(zhuǎn)動。因為滑臂變阻器的滑臂阻力矩很小，可視伺服電動機SD運行s(TSDs1)SD(s)KSDU1式中，TSDSD的機電時間常數(shù)，KSDSD的增益常數(shù)器

(2- i，傳遞關(guān)系為變比系 i

1(s) 1 215)變阻器也是一個比例環(huán)節(jié)，變阻器滑動臂的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)換為可控硅調(diào)功器觸發(fā)角調(diào)節(jié)電壓US，傳遞系數(shù)為S。

US(s)KS (2-可控硅調(diào)功器供出可調(diào)電壓，以驅(qū)動直流電動機旋轉(zhuǎn)。輸入信號為觸發(fā)角調(diào)節(jié)電壓US，Ua。

Ua(s)KaUS (2-直流電動機接受電樞電壓Ua，輸出角速度，驅(qū)動負(fù)載轉(zhuǎn)動。(TMs1)(s)KMUa(s)KLML (2-式中：TM電動機的機電常數(shù)KM電動機的增益常數(shù)ML負(fù)載力矩KL負(fù)載力矩常 Ur(s)Krr UTC(s)KTC e(s)Ur(s)UTC U(s)K s(Ts1) (s) U (s)i

US(s)KS Ua(s)KaUS (Ts1)(s)KU(s)KM (2- 消去各中間變量：Ur(s，UTC(se(s，U1s，SD(s(s，US(s)，Ua(s)，根據(jù)疊加原理，令負(fù)載ML為零就可以得到以給定角速度r為輸入量，以電K1KSDKSKK1KSDKSKaKM1iSDs(TSDs1)(TMs1)K1KSDKSKaKM1iSD r

(2-MMLrU1UsKMK1KKTMs同理，給定角速度r為零可以得到負(fù)載擾動ML作用下的傳

K

sMG(s) MML

s

s1)

1

(2-§2-5動態(tài)結(jié)構(gòu)圖s結(jié)構(gòu)圖上可以表示出系統(tǒng)的一些中間變量或者系統(tǒng)的內(nèi)部信息。這一點不同于僅符合端口關(guān)系的傳遞函數(shù)。結(jié)構(gòu)圖與代數(shù)方程組等價。因此可以通過結(jié)構(gòu)圖化簡的方法消去中間變量，化簡代數(shù)方程組，將結(jié)構(gòu)圖化為最簡方塊，即一個方塊，來求得控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。結(jié)構(gòu)圖的建立1111解設(shè)一個中間變量為電容C1的電壓Ux，采用復(fù)數(shù)阻抗法順序?qū)懗龈魉阕哟鷶?shù)方程和Ui(s)Ux(s)UR11

+

11RUR1(s)R1

II(s)I2(s)

I I 11XI(s)11X

UUX(s)UO(s)UR2 +Uo1UR2(s) I21I(s) U

12O12O將各基本環(huán)節(jié)的方塊按照信號流 通方向連接起來就可以得到如圖2-33所示的系統(tǒng)方塊圖。至于以U為輸入，以Uo為輸出的傳遞函數(shù)的獲得，可以化簡上述代數(shù)方程組得結(jié)構(gòu)圖化簡變2-34示。由圖可見，環(huán)節(jié)串聯(lián)的結(jié)果是，兩個方塊合并成為一個

環(huán)節(jié)傳輸?shù)拇鷶?shù)和，如圖2-35所示。由圖可見，環(huán)節(jié)并聯(lián)化簡的結(jié)果是，兩條通路合并成為一條通路，減少了通路條

2-34節(jié)串聯(lián)化++2-35節(jié)并聯(lián)化

++2-36饋回路化

Y(s) 1G(s)H(s)

(2-設(shè)中間變量B(s)E(s)如圖，則有Y(s)G(s)EB(s)H(s)YY(s)G(s)E

E(s)X(s)G(s)[X(s)B(s)]G(s)[X(s)H(s)YG(s)X(s)G(s)H(s)Y[1G(s)H(s)]Y(s)G(s)X

Y(s) 1G(s)

X

2-37加點前 +2-38加點后 X2(s) X2(s)2-39加點互2-40支點前

2-41支點后2-26]RC2-42-+111++解由結(jié)構(gòu)圖可見，該圖只有一條前向通路，三個反饋支路，也就是有三個自閉+++s11TTs2(TTT)s1

G(s)UO(s)U

1TTs2(TTT)s 1 2-5-3梅遜根據(jù)結(jié)構(gòu)圖等效化簡原則，將結(jié)構(gòu)圖化成最簡方塊，可以求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。但是化簡步驟仍然需要一步一步地進行。而采用梅遜化簡結(jié)構(gòu)圖，求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，只需要作少量的計算，就可以將傳遞函數(shù)一次寫出。所以是一種簡捷方便的方法。梅遜是基于信號流圖理論得出的一套計算，用于計算線圖的總傳輸。因結(jié)構(gòu)圖與信號流+++ G2x3-1x41 112-43構(gòu)圖與信從圖中可以看到，支路、支路增益、回路等，兩圖一一對應(yīng)。但是信號流圖上的節(jié)點在結(jié)構(gòu)圖上有一些模糊不清。在此重點強調(diào)：信號流圖上的節(jié)點定義為變量，如12,6所示。這樣，在應(yīng)用梅遜作結(jié)構(gòu)圖化簡時，可以省去信號流圖，直接在結(jié)構(gòu)圖上完成。梅遜梅遜總增益計算ninP (2- 從輸入到輸出的第i條前向通路總增益 i第i條前向通路的式。 特征式的計算為1LaLbLcLdLeLf (2-a

d,e, (2-Lb(2-LdLe (2-d,e,第i條前向通路的式i的計算在特征式中，將與第ipi相接觸的回路各項全部去除后剩下的+++1111解(1)3L11 R1 L11 R2C2 L

11 Cs RC 2回路L LL 1 RCRC112寫出梅 特征式1(LLL) RC RC RC RCRC1 2 2 112從輸入到輸出只有一條前向通路，所以i1p1 121 R1C1sR2C2 RR121寫出各 式因為只有一條前向通路p1，所以只計算1。因為p1與所有回路L1L2L3都公共支路，所以1G(s)P

1

1RRCC11211 RC RC RC RCRC1 2 2 112 RRCCs2(RCRCRC)s121 1 2 1[例2-28]三級RC濾波網(wǎng)絡(luò)如圖2-45所示，試用梅遜法求取網(wǎng)絡(luò)CCCCCC解三級RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如圖-46所+++5

p R3C3SLL L L

6LILIILILIIILIILIIILILVLIIILIVLIVLV，

LL( )( LL

R2C2

1) 1) 1) LL LL1LaLbLcLdLe

d,e, 式

R2C2S R3C3S1

G(s)UO(s)Ui

1R3C3 R2C21R3C3S35R2C2S26RCS

R3C3§2.6一般系統(tǒng)++C(s)G(s前向通路傳遞函數(shù)H(s反饋通路傳遞函數(shù)一般表示單位反饋控制系移出H(s)，再略去前端與回路無關(guān)的方

2-47制系統(tǒng)的一般結(jié)++ ++見圖2-48所示。

2-48制系統(tǒng)的單位反圖2-48R(s)與R(s)的關(guān)系是與反饋無關(guān)的傳輸，更為明顯的是物理量單位的變換，即希望的輸出(給定信號)與實際的輸出為相等的物理量關(guān)系。這樣便于今后開環(huán)傳遞函Gopen(s)G(s)H (2-閉環(huán)傳遞函G(s)Gclose(s)1G(s) (2-系統(tǒng)的輸C(s)時間域誤差與變換域誤

(s)R(s) G(s)1G(s)

(2-e(t)r(t)c(tE(s)R(s)

(2-(2-誤差傳遞函

G(s)C(s)1G(s)

E(s)R(s)

G(s)1G(s)1

R(s)

G(s)1G(s)

]1G(s)H(s) (2-E GE(s)R(s)1G(s) (2-2-6-1一般控制作用2-49+

圖-49中，Go(s)稱為廣義受控對象，即執(zhí)行機構(gòu)或者驅(qū)Gc(s稱為前向控制

2-49向控制結(jié)構(gòu)據(jù)誤差E(s)的變化去構(gòu)造所需的控制去控制廣義受控對象Go(s)由上所述，控制器是一類裝置，它可以執(zhí)行某種控制算法，構(gòu)成一些基本控制作用。KUo(t)KUi

(2-

0G(sUo(s)Ui(sK(2- 2-50例控制器的階積分控制IUiUi(t)

U(t)U1 1

(2-G(s)Uo(s)Ui

2-51分控制器的階(2-其中，T為積分時 t1U(s)K(1)U

(2-

0

Ui(t)階躍階應(yīng)UU sU

U(t)dUi G(s)Uo(s)sUi(s)

(2-Ui(tU斜oUi(tU斜ot響坡 應(yīng)坡響應(yīng)如圖2-53所示。Ui(tUi(t)0 運算關(guān)系 Uo(s)K(1s)Ui

(2-用、I作用與D作用的代數(shù)和。

K

斜率

KK

1

+ Ui(tUi(t)斜率K實際Uo(s)K(1Tss)Ui(s)(2-

各種PID控制器產(chǎn)品。 什么是線性定常系統(tǒng)？線性系統(tǒng)具有什么什么樣的非線性系統(tǒng)不可以用線性化方程來什么是拉氏變換拉氏變換定義式存在的條件是什么？有什么應(yīng)用意義拉氏變換有什么優(yōu)拉氏反變換有哪試敘述拉氏變換的卷積用拉氏變換的終值定理來求時域函數(shù)的終值有什么限制條用拉氏變換的初值定理求得的時域函數(shù)的初值有什么你能夠敘述拉氏變換的時頻關(guān)系嗎？根據(jù)什么為什么說拉氏變換是線性變換拉氏變換的微分定理中的初始條件項有什么實際意義什么是單位脈沖函數(shù)？為什么它的拉氏變換等于拉氏變換法解微分方程有什么優(yōu)什么是傳遞函數(shù)用傳遞函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型來描述系統(tǒng)有些什么傳遞函數(shù)可以表示出哪些信息關(guān)什么是復(fù)數(shù)控制系統(tǒng)通常是由哪些典型環(huán)節(jié)構(gòu)什么叫結(jié)構(gòu)圖？為什么又稱作動態(tài)結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖在應(yīng)用上有些什么優(yōu)什么叫結(jié)構(gòu)圖的化簡結(jié)構(gòu)圖的化簡原則是什么試寫出梅遜的一般表達(dá)式。你能夠逐項解釋嗎試畫出一般控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖你能夠?qū)⒁话惴答伩刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖化為單位反饋系統(tǒng)嗎什么是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)什么是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)試寫出誤差傳遞函數(shù)的表達(dá)試列寫出都有哪些典型控制作用，并寫出它們的傳遞函數(shù) 已知電網(wǎng)絡(luò)如題圖所示，輸入為ui(t)，輸出為uo(t)，試列寫微分方程 電磁鐵的磁拉力計算

S(Fx,i) 隙大小，求出Fx,i)的線性化方程。f(t)的拉氏變換F(s)f(t)0.5(1f(t)e02tf(t)sin(5t3f(t)t2求出題圖所示時間信f(t)的拉氏變換F(s)

ttt0

t - 已知下列拉氏變換F(s)f(t)s2s

F(s)

s23sF(s)s22s1eF(s) 1F(s)1 (a)2c7c5r，rR1(t)，x(0)0,x(0) (b)2c7c50，x(0)x0，x(0)C mf u C C C C ， ， 以及 R2 R2 --+習(xí)題2-下，可以用于測，也可以用于測量物體的加速度，y(ty0(t移。(a)試寫出以y(t)y0(t)傳

fkfk習(xí)題2-++++++++K1

++++ )

+

N2(s)++-

+習(xí)題2-x0x6x1x1x5x2x1x3x432dx3x3

0.5dx5xx x3x5X1(s)G1(s)R(s)G1(s)[G7(s)G8X2(s)G2(s)[X1(s)G6(s)X3X3(s)G3(s)[X2(s)G5C(s)G4(s)X3第三章控制系統(tǒng)的時域分析第二章研究了控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，考查和研究系統(tǒng)的運動規(guī)律和系統(tǒng)的性能稱為系統(tǒng)分析。進而，本章主要是在時域研究系統(tǒng)運動規(guī)律，這通過系統(tǒng)的時域分析，要研究系統(tǒng)運動過程中的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性以及評價它們的依據(jù)。另外，只有穩(wěn)定系統(tǒng)，對于其動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性的研究才是有效的。所§3-1通過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，得到如圖3-1所示的一般系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖表示。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)以傳遞函數(shù)G(s來描述，在輸入信號R(s)的作用下，得到系統(tǒng)的輸出C(s)3-1-1實際系統(tǒng)的輸入信號一般是復(fù)雜的。但是在系統(tǒng)分析時，常采用一些標(biāo)準(zhǔn)信號來考查系統(tǒng)的運動，這并不失一般性，并且在系統(tǒng)分析中作為實驗信號來系統(tǒng)的運動簡單有效。常用的基本實驗信號有如下幾種。

t

(t) t (3- s22s2

(3- (3-2 上述二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中有兩個特征參數(shù)和n 稱為二階系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率，單位為[弧度]/[秒上述二階系統(tǒng)的特征根表達(dá)式中，隨著阻尼比的不同取值，特征根si有不同類型的值，或者說特征根si在s平面上位于不同的位置，共有以下五種情況。01s s s2 0< 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍信號時，便產(chǎn)生系統(tǒng)的時間響應(yīng)c(t)s間響應(yīng)c(t)也就不同。下面分別進行討論。過阻尼運

(3-

(3-22 1G(s) 1 s22s (s1T)(s1T 1其 T1( 21(( 2

(3-(3-C(s)Gc(s) 1 1

(3-bsbs1cs1

(s1T1)(s1T2)ss c(t)L1[C(s)]

1T2T1T2T1

1T1T2T1T2從上述閉環(huán)傳遞函數(shù)Gc(s)來看，系統(tǒng)為過阻尼時，可以等效為兩個一階慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，因此系統(tǒng)有兩個一階慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T1與T2。時間響應(yīng)c(t)由三項分量組成，第一項是穩(wěn)態(tài)項，后面兩項指數(shù)項為暫態(tài)項。因為時間常數(shù)T1與T2均大于零，所以隨著時間趨于無窮大時，后面兩項趨于零，時間響應(yīng)c(t趨于希望的穩(wěn)態(tài)值。過阻尼系統(tǒng)的單位階躍響t沒有超調(diào)量。經(jīng)過調(diào)節(jié)時間之后，響應(yīng)曲線c(t)趨于

響應(yīng)曲線的初始斜率為零。時間響應(yīng)c(t)有兩項暫態(tài)

3-19階過阻尼響應(yīng)曲衰減項有兩個時間常數(shù)T1與T2，但是調(diào)節(jié)時間ts不能用兩個時間常數(shù)T1與T2簡單地來注意到在時間響應(yīng)c(t)的表達(dá)式中，當(dāng)21)1c(t)1e (3-ts3Tts

誤差帶寬度為5% (3-誤差帶寬度為2% (3-臨界阻尼運動

(3-

G(s)

s1,2

n2

(3-(3-C

s22s2 (sn

C(s)G(s)R(s) (3-67) (s)2 (s s nc(t)L1[C(s)]1tentnt號的項，后面兩項為暫態(tài)項。，t

(3-的變化率大于冪函數(shù)的變化率，所以當(dāng)時間tc(t)最終趨于穩(wěn)態(tài)值。如圖3-20所示。單調(diào)增的沒有超調(diào)量。經(jīng)過調(diào)節(jié)時間ts之后，響應(yīng)曲線c(t)趨于穩(wěn)態(tài)值，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤

3-20界阻尼響由響應(yīng)表達(dá)式c(t)的95%，可以得到臨界阻尼情況下的調(diào)節(jié)時間ts5t

(3-n00 (3- (3-1 特征參數(shù)和n的關(guān)系如圖3-21所示。n無阻尼振蕩1d1

在s平面上的位置(3-

11G(s) s22s

(3-C(s)Gc(s) s22ns2 (3- 1 2

(3-

(sn)

(sn)1c(t)L[C(s)]1 n(cosdt sin1d entsin(t (3-d11 d

11 777)8)t趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)c(t趨于穩(wěn)態(tài)值。無阻尼運動當(dāng)阻尼比0s1,2 (3-

t

3-22阻尼響應(yīng)曲