第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)文稿演示文稿

第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)文稿演示文稿第一頁，共二十頁。（優(yōu)選）第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)演示文稿第二頁，共二十頁。

量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y)，即

⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、協(xié)方差2.簡單性質(zhì)⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義第三頁，共二十頁。

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨(dú)立，Cov(X,Y)=0.3.計(jì)算協(xié)方差的一個簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即第四頁，共二十頁。D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系特別地第五頁，共二十頁。協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn)，對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù)

.第六頁，共二十頁。二、相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)

.定義:

設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時，記

為

.第七頁，共二十頁?？紤]以X的線性函數(shù)a+bX來近似表示Y，以均方誤差e=E{[Y-(a+bX)]2}來衡量以a+bX近似表示Y

的好壞程度:e值越小表示a+bX

與Y的近似程度越好.

用微積分中求極值的方法，求出使e

達(dá)到最小時的a,b相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的緊密程度的量.第八頁，共二十頁。

=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X第九頁，共二十頁。

這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X這一逼近的剩余是若0<|

|<1,|

|的值越接近于1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;||的值越接近于0,Y與X的線性相關(guān)程度越弱.E[(Y-L(X))2]=D(Y)(1-

)第十頁，共二十頁。方差的非負(fù)性第十一頁，共二十頁。Y與X有嚴(yán)格線性關(guān)系;若可見,第十二頁，共二十頁。，Cov(X,|Y)=0，事實(shí)上，X的密度函數(shù)例1

設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=cosX,不難求得3若

=0，Y與X無線性關(guān)系;X與Y之間沒有線性關(guān)系并不表示它們之間沒有關(guān)系。即X和Y不相關(guān).但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系.第十三頁，共二十頁。3不相關(guān)與獨(dú)立性若X與Y獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)，但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨(dú)立.但對下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)第十四頁，共二十頁。第十