牛頓迭代應(yīng)用

牛頓迭代應(yīng)用第一頁，共十八頁，2022年，8月28日例1平方根算法收斂性分析令思考:如果迭代初值x0

為負(fù)數(shù)是否也收斂？第二頁，共十八頁，2022年，8月28日例2*.采用迭代法計(jì)算，取x0=7(k=0，1，2，……)若xk具有n位有效數(shù)字，求證xk+1具有2n位有效數(shù)字。

Ex2：對是否都有這一性質(zhì)?第三頁，共十八頁，2022年，8月28日

例3

應(yīng)用牛頓迭代法于方程

x3–a=0,導(dǎo)出求立方根的迭代公式,并討論其收斂階。解：令

f(x)=x3–a，則牛頓迭代公式

故立方根迭代算法二階收斂第四頁，共十八頁，2022年，8月28日例4.設(shè)a

為正實(shí)數(shù),試建立求1/a

的牛頓迭代公式,要求在迭代公式中不含除法運(yùn)算,并考慮迭代公式的收斂。xn+1=xn(2–axn)，(n=0，1，2……)所以,當(dāng)|1–ax0|<1時(shí)，迭代公式收斂。

解:建立方程利用牛頓迭代法，得1–axn+1=(1–axn)2

整理，得第五頁，共十八頁，2022年，8月28日應(yīng)用:設(shè)取X0=1,遞推公式牛頓迭代設(shè)第六頁，共十八頁，2022年，8月28日例5

用牛頓迭代法求解非線性方程組第七頁，共十八頁，2022年，8月28日分別取初值(1,0),(2,2),牛頓迭代法計(jì)算數(shù)據(jù)如下

n xn

yn

xn

yn0 1 0 2 21 1.0625 0.1250 1.6458 1.58332 1.0673 0.1391 1.5570 1.41633 1.0673 0.1392 1.5465 1.39174 1.0673 0.1392 1.5463 1.3912第八頁，共十八頁，2022年，8月28日手機(jī)位置的三點(diǎn)定位法已知三個(gè)基站的位置

P1(x1,

y1)P2(x2,

y2)P3(x3,

y3)手機(jī)位置

Q(x,y)？？已測得Q到點(diǎn)P1、P2以及P3的距離d1,d2和d3d1d2d3Q第九頁，共十八頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型

其中，

矩陣表示

第十頁，共十八頁，2022年，8月28日例1已知三個(gè)接收站位置數(shù)據(jù)及手機(jī)距離數(shù)據(jù)PkxkykdP1104033.5P2501040P31005060x=40.9500y=47.5625直接法定位第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日非線性超定方程組方程組局部線化第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日線性超定方程組超定方程組最小二乘解初值修正高斯-牛頓迭代第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日非線性方程組初值選取:第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日高斯-牛頓迭代法53.333341.292141.080641.082341.082441.0824········33.333349.471349.304949.298649.298349.2983········x=40.824y=49.2983比較直接法結(jié)果x=40.9500y=47.5625第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日牛頓迭代法的收斂域問題:

用牛頓迭代法求解復(fù)數(shù)方程

z3–1=0，該方程在復(fù)平面上三個(gè)根分別是z1=1選擇中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，邊長為2的正方形內(nèi)的任意點(diǎn)作初始值，進(jìn)行迭代，把收斂到三個(gè)根的初值分為三類，并分別標(biāo)上不同顏色（例如紅、黃、藍(lán)）。對充分多的初始點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，繪出牛頓迭代法對該方程的收斂域彩色圖。

第十六頁，共十八頁，2022年，8月28日收斂到z1的牛頓迭代初值點(diǎn)集合收斂到z2的牛頓迭代初值點(diǎn)集合收斂到z3的