2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題19排列、組合、二項(xiàng)式定理教學(xué)案理

專題19排列、組合、二項(xiàng)式定理1.排列、組合與二項(xiàng)式定理每年交替考查，主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏易.2.排列、組合試題具有一定的靈活性和綜合性，常與實(shí)際相結(jié)合，轉(zhuǎn)化為根本的排列組合模型解決問題，需用到分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想.3.與二項(xiàng)式定理有關(guān)的問題比擬簡(jiǎn)單，但非二項(xiàng)問題也是今后高考的一個(gè)熱點(diǎn)，解決此類問題的策略是轉(zhuǎn)化思想.1．兩個(gè)重要公式(1)排列數(shù)公式A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)組合數(shù)公式C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．2．三個(gè)重要性質(zhì)和定理(1)組合數(shù)性質(zhì)①C＝(n，m∈N*，且m≤n)；②C＝(n，m∈N*，且m≤n)；③C＝1.(2)二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn，其中通項(xiàng)Tr＋1＝Can－rbr.(3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)①C＝C，C＝C，…，C＝C；②C＋C＋C＋…＋C＝2n；③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.考點(diǎn)一排列與組合例1．【2023課標(biāo)II，理6】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12種B．18種C．24種D．36種【答案】D【變式探究】【2023年高考四川理數(shù)】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為〔A〕24〔B〕48〔C〕60〔D〕72【答案】D【解析】由題意，要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，那么個(gè)位數(shù)應(yīng)該為1或3或5，其他位置共有種排法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，應(yīng)選D.【變式探究】(2023·四川，6)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個(gè) B．120個(gè) C．96個(gè) D．72個(gè)解析由題意，首位數(shù)字只能是4，5，假設(shè)萬位是5，那么有3×A＝72個(gè)；假設(shè)萬位是4，那么有2×A個(gè)＝48個(gè)，故40000大的偶數(shù)共有72＋48＝120個(gè)．選B.答案B考點(diǎn)二排列組合中的創(chuàng)新問題例2．用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出假設(shè)干個(gè)球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展開式1＋a＋b＋ab表示出來，如：“1〞表示一個(gè)球都不取、“a〞表示取出一個(gè)紅球、而“ab〞那么表示把紅球和藍(lán)球都取出來．依此類推，以下各式中，其展開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)別的紅球、5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出假設(shè)干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)解析分三步：第一步，5個(gè)無區(qū)別的紅球可能取出0個(gè)，1個(gè)，…，5個(gè)，那么有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)種不同的取法；第二步，5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球都取出或都不取出，那么有(1＋b5)種不同取法；第三步，5個(gè)有區(qū)別的黑球看作5個(gè)不同色，從5個(gè)不同色的黑球中任取0個(gè)，1個(gè)，…，5個(gè)，有(1＋c)5種不同的取法，所以所求的取法種數(shù)為(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，應(yīng)選A.答案A【變式探究】設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個(gè)數(shù)為()A．60 B．90 C．120 D．130答案D考點(diǎn)三二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)例3．【2023年高考北京理數(shù)】在的展開式中，的系數(shù)為__________________.〔用數(shù)字作答〕【答案】60.【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式可知，的系數(shù)為?！咀兪教骄俊?2023·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A．10 B．20 C．30 D．60解析Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C(x2＋x)3y2的第r＋1項(xiàng)為CCx2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系數(shù)為CC＝30.答案C考點(diǎn)四二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)例4．【2023年高考四川理數(shù)】設(shè)i為虛數(shù)單位，那么的展開式中含x4的項(xiàng)為〔A〕－15x4〔B〕15x4〔C〕－20ix4〔D〕20ix4【答案】A【解析】二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，令，得，那么展開式中含的項(xiàng)為，應(yīng)選A.【變式探究】(2023·湖南，6)的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為30，那么a＝()A. B．－ C．6 D．－6解析的展開式通項(xiàng)Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx－r，令－r＝，那么r＝1，∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，應(yīng)選D.答案D考點(diǎn)五二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例5．【2023課標(biāo)1，理6】展開式中的系數(shù)為A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C 【變式探究】【2023高考山東理數(shù)】假設(shè)〔ax2+〕5的展開式中x5的系數(shù)是—80，那么實(shí)數(shù)a=_______.【答案】－2【解析】因?yàn)?，所以由，因此【變式探究?2023·陜西，4)二項(xiàng)式(x＋1)n(n∈N＋)的展開式中x2的系數(shù)為15，那么n＝()A．4 B．5 C．6 D．7解析由題意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.答案C1.【2023課標(biāo)1，理6】展開式中的系數(shù)為A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C 【解析】因?yàn)椋敲凑归_式中含的項(xiàng)為，展開式中含的項(xiàng)為，故前系數(shù)為，選C.2.【2023課標(biāo)II，理6】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12種B．18種C．24種D．36種【答案】D3.【2023天津，理14】用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個(gè).〔用數(shù)字作答〕【答案】1080【解析】4.【2023山東，理11】的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)是，那么.【答案】4【解析】由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，令得：，解得．1.【2023高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，那么小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為〔〕〔A〕24〔B〕18〔C〕12〔D〕9【答案】B【解析】由題意，小明從街道的E處出發(fā)到F處最短路徑的條數(shù)為6，再從F處到G處最短路徑的條數(shù)為3，那么小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為，應(yīng)選B.2.【2023年高考四川理數(shù)】設(shè)i為虛數(shù)單位，那么的展開式中含x4的項(xiàng)為〔A〕－15x4〔B〕15x4〔C〕－20ix4〔D〕20ix4【答案】A【解析】二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，令，得，那么展開式中含的項(xiàng)為，應(yīng)選A.3.【2023年高考四川理數(shù)】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為〔A〕24〔B〕48〔C〕60〔D〕72【答案】D4.【2023高考新課標(biāo)3理數(shù)】定義“標(biāo)準(zhǔn)01數(shù)列〞如下：共有項(xiàng)，其中項(xiàng)為0，項(xiàng)為1，且對(duì)任意，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).假設(shè)，那么不同的“標(biāo)準(zhǔn)01數(shù)列〞共有〔〕〔A〕18個(gè)〔B〕16個(gè)〔C〕14個(gè)〔D〕12個(gè)【答案】C【解析】由題意，得必有，，那么具體的排法列表如下：000011111011101101001110110100110100011101101001105.【2023年高考北京理數(shù)】在的展開式中，的系數(shù)為__________________.〔用數(shù)字作答〕【答案】60.【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式可知，的系數(shù)為。6.【2023高考新課標(biāo)1卷】的展開式中,x3的系數(shù)是.〔用數(shù)字填寫答案〕【答案】107.【2023高考天津理數(shù)】的展開式中x2的系數(shù)為__________.(用數(shù)字作答)【答案】－56【解析】展開式通項(xiàng)為，令，，所以的．故答案為－56．8.【2023高考山東理數(shù)】假設(shè)〔ax2+〕5的展開式中x5的系數(shù)是—80，那么實(shí)數(shù)a=_______.【答案】－2【解析】因?yàn)?，所以由，因?.【2023高考江蘇卷】〔本小題總分值10分〕〔1〕求的值；〔2〕設(shè)m，nN*，n≥m，求證：〔m+1〕+〔m+2〕+〔m+3〕+…+n+〔n+1〕=〔m+1〕.【答案】〔1〕0〔2〕詳見解析1．(2023·廣東，12)某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言(用數(shù)字作答)．解析依題兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了A＝40×39＝1560條畢業(yè)留言．答案15602．(2023·北京，9)在(2＋x)5的展開式中，x3的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．解析展開式通項(xiàng)為：Tr＋1＝C25－rxr，∴當(dāng)r＝3時(shí)，系數(shù)為C·25－3＝40.答案403．(2023·天津，12)在的展開式中，x2的系數(shù)為________．解析的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r；當(dāng)6－2r＝2時(shí)，r＝2，所以x2的系數(shù)為C＝.答案1.【2023高考廣東卷理第8題】設(shè)集合，那么集合中滿足條件“〞的元素個(gè)數(shù)為〔〕A.B.C.D.【答案】D【考點(diǎn)定位】計(jì)數(shù)原理2.【2023高考湖北卷理第2題】假設(shè)二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是84，那么實(shí)數(shù)〔〕A.2B.C.1D.【答案】C【解析】因?yàn)?，令，得，所以，解得，?yīng)選C.【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式3.【2023高考湖南卷第4題】的展開式中的系數(shù)是〔〕B.C.5D.20【答案】A【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得第項(xiàng)展開式為,那么時(shí),,所以的系數(shù)為,應(yīng)選A.【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理4.【2023大綱高考理第5題】有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，那么不同的選法共有〔〕A．60種B．70種C．75種D．150種【答案】C．【解析】由可得不同的選法共有，應(yīng)選C．【考點(diǎn)定位】排列組合．5.【2023大綱高考理第13題】的展開式中的系數(shù)為.【答案】70.【解析】設(shè)的展開式中含的項(xiàng)為第項(xiàng)，那么由通項(xiàng)知．令，解得，∴的展開式中的系數(shù)為．【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理．6.【2023高考北京卷理第13題】把5件不同產(chǎn)品擺成一排，假設(shè)產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰，且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，那么不同的擺法有種.【答案】36【考點(diǎn)定位】排列組合7.【2023高考安徽卷理第13題】設(shè)是大于1的自然數(shù)，的展開式為.假設(shè)點(diǎn)的位置如下圖，那么.【答案】3【解析】由圖易知，那么，即，解得.【考點(diǎn)定位】1.二項(xiàng)展開式的應(yīng)用.8.【2023遼寧高考理第6題】6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的做法種數(shù)為〔〕A．144B．120C．72D．【答案】C【解析】如圖，將6把椅子依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6，故任何兩人不相鄰的做法，可安排：“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”號(hào)位置做熱坐人，故總數(shù)由4=24，應(yīng)選D.【考點(diǎn)定位】排列組合.9.【2023全國(guó)1高考理第13題】的展開式中的系數(shù)為________.〔用數(shù)字填寫答案〕【答案】-20【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理．10.【2023全國(guó)2高考理第13題】的展開式中，的系數(shù)為15，那么a=________.(用數(shù)字填寫答案)【答案】【解析】因?yàn)椋粤?，解得，所?15，解得.【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理11.【2023山東高考理第14題】假設(shè)的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為20，那么的最小值.【答案】2【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理12.【2023四川高考理第2題】在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以含項(xiàng)的系數(shù)為15.選C【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理.13.【2023四川高考理第6題】六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有〔〕A．種B．種C．種D．種【答案】B【解析】最左端排甲，有種排法；最左端排乙，有種排法，共有種排法.選B.【考點(diǎn)定位】排列組合.14.【2023浙江高考理第5題】在的展開式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，那么〔〕A.45B.60C.120D.210【答案】C【解析】由題意可得，應(yīng)選C【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式系數(shù).15.【2023浙江高考理第14題】在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有_____種〔用數(shù)字作答〕【答案】60【解析】不同的獲獎(jiǎng)分兩種，一是有一人獲兩張將卷，一人獲一張，共有，二是有三人各獲得一張，共有，因此不同的獲獎(jiǎng)情況有60種。【考點(diǎn)定位】排列組合.16.【2023重慶高考理第9題】某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，那么同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72B.120C.144D.168【答案】B【考點(diǎn)定位】分類加法計(jì)數(shù)原理17.〔2023·新課標(biāo)I理〕9、設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，假設(shè)13a=7b，那么A、5 B、6 C、7 D、【答案】B；【解析】，，因?yàn)椋獾胢=6.【考點(diǎn)定位】此題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用以及組合數(shù)的計(jì)算，考查學(xué)生的根本運(yùn)算能力.18.〔2023·新課標(biāo)Ⅱ理〕〔5〕〔1+x〕(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，那么=〔A〕-4 〔B〕-3 〔C〕-2 〔D〕-1【答案】D【解析】由題意知：，解得，應(yīng)選D.【考點(diǎn)定位】本小題主要考查二項(xiàng)展開式,二項(xiàng)式定理在高考中主要以小題的形式考查,屬容易題,熟練根底知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵.19.〔2023·浙江理〕14、將六個(gè)字母排成一排，且均在的同側(cè)，那么不同的排法共有________種〔用數(shù)字作答〕【答案】【考點(diǎn)定位】此題考查排列組合知識(shí)點(diǎn)和排列數(shù)的計(jì)算公式，此題采用特殊元素首先考慮的方法解決，注意相鄰問題的捆綁法、不相鄰問題的插空法等常見方法的應(yīng)用；20.〔2023·浙江理〕11、設(shè)二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，那么________。【答案】-10【解析】此題利用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)后，讓的指數(shù)為零，即可求出，然后利用組合數(shù)的公式即可求出答案；此題注意對(duì)的指數(shù)的合并；即由，由得到：，所以，所以填-10；【考點(diǎn)定位】此題二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)即和組合數(shù)的運(yùn)算公式；21.〔2023·天津理〕10.的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】15【解析】由二項(xiàng)展開式可得，=，令解得：，所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為=15.【考點(diǎn)定位】本小題主要考查二項(xiàng)展開式，求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)是二項(xiàng)展開式中重點(diǎn)內(nèi)容之一，要熟練掌握.22.〔2023·上海理〕5．設(shè)常數(shù)，假設(shè)的二項(xiàng)展開式中