2023年高考數(shù)學一輪復習課時分層訓練30數(shù)列的概念與簡單表示法理北師大版

課時分層訓練(三十)數(shù)列的概念與簡單表示法A組根底達標一、選擇題1．以下數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)C[根據(jù)定義，屬于無窮數(shù)列的是選項A，B，C，屬于遞增數(shù)列的是選項C，D，故同時滿足要求的是選項C.]2．(2023·安徽黃山二模)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N＋)，那么S5＝()A．31 B．42C．37 D．47D[∵an＋1＝Sn＋1(n∈N＋)，即Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N＋)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N＋)，∴數(shù)列{Sn＋1}為等比數(shù)列，其首項為3，公比為2.那么S5＋1＝3×24，解得S5＝47.應選D.]3．把3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫作三角形數(shù)，這是因為以這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖5-1-1)．圖5-1-1那么第6個三角形數(shù)是()【導學號：79140168】A．27 B．28C．29 D．30B[由題圖可知，第6個三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]4．a(chǎn)1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N＋)，那么數(shù)列{an}的通項公式是()A．2n－1 B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))eq\s\up7(n－1)C．n2 D．nD[∵an＝n(an＋1－an)，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n)，∴an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an－2,an－3)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n,n－1)·eq\f(n－1,n－2)·eq\f(n－2,n－3)·…·eq\f(3,2)·eq\f(2,1)·1＝n.]5．數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N＋)，那么該數(shù)列的前2019項的乘積a1·a2·a3·…·a2019＝()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．3 D．－3C[由題意可得，a2＝eq\f(1＋a1,1－a1)＝－3，a3＝eq\f(1＋a2,1－a2)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1＋a3,1－a3)＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋a4,1－a4)＝2＝a1，∴數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列，而2019＝4×504＋3，a1a2∴前2019項的乘積為1504·a1a2二、填空題6．在數(shù)列－1,0，eq\f(1,9)，eq\f(1,8)，…，eq\f(n－2,n2)，…中，0.08是它的第______項．10[令eq\f(n－2,n2)＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，那么(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝eq\f(5,2)(舍去)．所以a10＝0.08.]7．(2023·河北唐山一模)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝eq\f(a1(4n－1),3)，假設a4＝32，那么a1＝________.eq\f(1,2)[∵Sn＝eq\f(a1(4n－1),3)，a4＝32，∴eq\f(255a1,3)－eq\f(63a1,3)＝32，∴a1＝eq\f(1,2).]8．數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，那么an＝__________.【導學號：79140169】eq\f(2,n2－n＋2)[由得，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝n，所以eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝n－1，eq\f(1,an－1)－eq\f(1,an－2)＝n－2，…，eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝1，所以eq\f(1,an)－eq\f(1,a1)＝eq\f(n(n－1),2)，a1＝1，所以eq\f(1,an)＝eq\f(n2－n＋2,2)，所以an＝eq\f(2,n2－n＋2).]三、解答題9．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋1－2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設bn＝an＋an＋1，求數(shù)列{bn}的通項公式．[解](1)當n＝1時，a1＝S1＝22－2＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.因為a1也適合此等式，所以an＝2n(n∈N＋)．(2)因為bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.10．Sn為正項數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N＋)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．[解](1)由Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N＋)，可得a1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,2)a2，解得a2＝2；同理，a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an，①當n≥2時，Sn－1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n.B組能力提升11．(2023·鄭州二次質量預測)設數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，那么a20的值是()A.eq\f(21,5) B．eq\f(22,5)C.eq\f(23,5) D．eq\f(24,5)D[由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因為1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以數(shù)列{nan}是首項為1，公差為5的等差數(shù)列，那么20a20＝1＋19×5，解得a20＝eq\f(24,5)，應選D.]12．(2023·衡水中學檢測)假設數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，那么數(shù)列{an}的前n項和數(shù)值最大時，n的值為()A．6 B．7C．8 D．9B[∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴數(shù)列{an}是以19為首項，－3為公差的等差數(shù)列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.設{an}的前k項和數(shù)值最大，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥0，,ak＋1≤0))k∈N＋，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22－3k≥0，,22－3(k＋1)≤0，))∴eq\f(19,3)≤k≤eq\f(22,3)，∵k∈N＋，∴k＝7.∴滿足條件的n的值為7.]13．在一個數(shù)列中，如果任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫作等積數(shù)列，k叫作這個數(shù)列的公積．數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，那么a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.28[依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.]14．數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋4.(1)假設k＝－5，那么數(shù)列中有多少項是負數(shù)？n為何值時，an有最小值？并求出最小值；(2)對于n∈N＋，都有an＋1>an，求實數(shù)k的取值范圍.【導學號：79140170】[解](1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.因為n∈N＋，所以n＝2,3，所以數(shù)列中有兩項是負數(shù)，即為a2，a3.因為an＝n2－5n＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\