廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期第一階段檢測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

第第頁深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期第一階段考試高一數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所?故選：B2.設(shè)命題：，，則以下描述正確的是（）A.為假命題，是“，”B.為假命題，“，”C.為真命題，是“，”D.為真命題，是“，”【答案】B【解析】【分析】通過取特殊值，使得是有理數(shù)，所以為假命題【詳解】當(dāng)時(shí)，，與，矛盾，所以，，所以為假命題而是，故選：B3.已知，則函數(shù)的解析式是（）A. B.（且）C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)換元法求解析式即可.【詳解】解：由題知且，令，則（且），∴（且），∴（且）．故選：B．4.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【詳解】，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），所以的最小值為，故選C.考點(diǎn)：基本不等式【名師點(diǎn)睛】基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍．如果條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進(jìn)行求解．5.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是1，則m的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用配方法可得,則,,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可判斷的范圍【詳解】由題,,因?yàn)?,且對稱軸為,所以,因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值是5,最小值是1,所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查已知二次函數(shù)最值求參數(shù)問題,屬于基礎(chǔ)題6.若關(guān)于的方程在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分離參數(shù)為，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．【詳解】由題意在內(nèi)有解，，時(shí)，，時(shí)，，所以．故選：A．7.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，若至少存在一組使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得，即求，利用基本不等式，可解得，進(jìn)而得到，進(jìn)而可求解.【詳解】至少存在一組使得成立，即，又由兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，，故有，解得，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C.8.關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分類討論一元二次不等式的解，根據(jù)解集中只有一個(gè)整數(shù)，即可求解.【詳解】由得，若，則不等式無解．若，則不等式的解為，此時(shí)要使不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)解，則此時(shí)個(gè)整數(shù)解為，則．若，則不等式的解為，此時(shí)要使不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)解，則此時(shí)個(gè)整數(shù)解為，則．綜上，滿足條件的的取值范圍是故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9.若a，b，，則下列命題正確的是（）A.若且，則 B.若，則C.若且，則 D.【答案】BCD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，故A錯(cuò)誤；對于B，等價(jià)于，又，故成立，故B正確；對于C，因?yàn)榍遥缘葍r(jià)于，即，成立，故C正確；對于D，等價(jià)于，成立，故D正確.故選：BCD.10.下面命題正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.“”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件C.設(shè)，則“”是“且”的充分不必要條件D.“”是“”的必要不充分條件【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)一元二次方程中根的個(gè)數(shù)和根與系數(shù)的關(guān)系，即可判斷B選項(xiàng)；由“”，則不一定有“且”，即可判斷C選項(xiàng)；若，則或，結(jié)合必要不充分條件的定義，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：對于A，根據(jù)必要不充分條件的定義，可知A正確；對于B，若，則，所以一元二次方程有兩個(gè)根，且一正一負(fù)根，若一元二次方程有一正一負(fù)根，則，則，故B正確；對于C，若“”，則不一定有“且”，而若“且”，則一定有“”，所以“”是“且”的必要不充分條件，故C不正確；對于D，若，則或，則若“”，則不一定有“”，而“”時(shí)，一定有“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：ABD.11.下面結(jié)論正確的是（）A.若，則的最大值是B.函數(shù)的最小值是2C.函數(shù)（）的值域是D.，且，則的最小值是3【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式求最值判斷ABD，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C．【詳解】時(shí)，．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，從而的最大值是，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，但無實(shí)數(shù)解，因此等號不能取得，2不是最小值，B錯(cuò)；時(shí)，，，因?yàn)椋詴r(shí)，，時(shí)，，時(shí)，．所以值域是，C正確；，且，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值是4－1＝3，D正確．故選：ACD．12.已知，，且，則（）A.的取值范圍是B.的取值范圍是C.的最小值是3D.的最小值是【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可求得，判斷A;將變形為結(jié)合基本不等式，判斷B；由整理得到結(jié)合基本不等式可判斷C,D.【詳解】對于A，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，解得，即，A錯(cuò)誤；對于B,由，,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，得，所以,又，所以，B正確；對于C,由，，，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立,但，所以．（等號取不到）,故C錯(cuò)誤；對于D，由C的分析知：，,,，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，D正確，故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知集合A＝，B＝，且9∈(A∩B)，則a的值為________．【答案】5或－3【解析】【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系列方程，再代入驗(yàn)證，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?∈(A∩B)，所以9∈A，即2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3.當(dāng)a＝5時(shí)，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合題意；當(dāng)a＝3時(shí)，A＝，a－5＝1－a＝－2，B中有元素重復(fù)，不符合題意，舍去；當(dāng)a＝－3時(shí)，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合題意，綜上所述，a＝5或a＝－3.故答案為：5或－3【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)元素與集合關(guān)系求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的值為_________．【答案】【解析】【分析】由定義域得一元二次不等式的解，從而由二次不等式的性質(zhì)可得參數(shù)值．【詳解】由題意的解是，所以，解得，，所以．故答案為：．15.若關(guān)于x的二次方程的兩個(gè)根分別為，且滿足，則m的值為______【答案】【解析】【分析】先求出方程有兩根時(shí)的范圍，再由根與系數(shù)關(guān)系將用表示，建立關(guān)于的方程，求解即可.【詳解】關(guān)于x的二次方程有兩個(gè)根，則，，又，即，解得或（舍去），的值為.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，要注意兩根存在的條件，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)，若且，則取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，由已知得出的范圍，及的關(guān)系，把表示為的函數(shù)，然后由二次函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】時(shí)，是增函數(shù)，且，時(shí)，是增函數(shù)，且，如圖，且，則，，由得（負(fù)值舍去），因此，，，，，所以時(shí)，取得最大值，時(shí)，取得最小值，所以的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由根式、分式性質(zhì)求定義域得集合A，根據(jù)已知及集合并運(yùn)算求即可；（2）求，根據(jù)交集結(jié)果，討論、求參數(shù)m的范圍.【小問1詳解】對于集合A：，得，故；當(dāng)時(shí)，所以.【小問2詳解】由或，而，當(dāng)時(shí)，，即滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，可得；綜上，.18.已知命題“，”，命題“，”．（1）若命題是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題和中有且僅有一個(gè)是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)命題是真命題，參變分離，構(gòu)造函數(shù)求最值，得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)命題和中有且僅有一個(gè)是假命題，分別求解命題和是真命題和假命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，按要求即可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】解：當(dāng)命題是真命題，則不等式對滿足的一切恒成立．由，得．設(shè)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，．因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【小問2詳解】解：當(dāng)命題是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，（1）當(dāng)命題是假命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是．…（2）當(dāng)命題假命題時(shí)，則命題“，”是真命題．由，得，，且當(dāng)時(shí)取等號，的最小值是．當(dāng)命題是假命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是．…（3）當(dāng)命題是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是．…（4）當(dāng)命題是真命題且是假命題時(shí)，由（1）、（3），得實(shí)數(shù)的取值范圍是；當(dāng)命題是假命題且是真命題時(shí)，由（2）、（4），得實(shí)數(shù)的取值范圍是；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或．19.（1）已知、、、是實(shí)數(shù)，求證：（2）已知，，，且，求證：【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】對不等式進(jìn)行化簡，利用完全平方公式、基本不等式證明即可；【詳解】證明：（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，對任意實(shí)數(shù)，，，，成立．（2）20.設(shè)函數(shù)．（1）若不等式對于實(shí)數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，解關(guān)于不等式．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）把不等式整理為關(guān)于的不等式，然后利用其在時(shí)恒成立可得關(guān)于的不等關(guān)系從而得結(jié)論；（2）不等式化簡為，然后分類討論求解．【小問1詳解】不等式對于實(shí)數(shù)時(shí)恒成立，即，，顯然，函數(shù)在上遞增，從而得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；【小問2詳解】不等式，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，而，解得，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，當(dāng)，即時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，或，當(dāng)，即時(shí)，或，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.21.某食品公司擬在下一年度開展系列促銷活動，已知其產(chǎn)品年銷量x萬件與年促銷費(fèi)用t萬元之間滿足與成反比例，當(dāng)年促銷費(fèi)用萬元時(shí)，年銷量是1萬件．已知每一年產(chǎn)品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需再投入32萬元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件產(chǎn)品售價(jià)定為：其生產(chǎn)成本的與“平均每件促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的商品正好能銷完．（1）求x關(guān)于t的函數(shù)；（2）將下一年的利潤y（萬元）表示為促銷費(fèi)t（萬元）的函數(shù)；（3）該食品公司下一年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，年利潤最大？（注：利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）【答案】（1）（2）（3）當(dāng)促銷費(fèi)投入7萬元時(shí)，企業(yè)年利潤最大【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可.（2）利用銷售收入減去成本即得利潤.（3）利用基本不等式處理該最值問題.【小問1詳解】由題意：與成反比例，所以設(shè)，將t＝0，x＝1代入，得k＝2，所以.【小問2詳解】當(dāng)年生產(chǎn)x(萬件)時(shí)，年生產(chǎn)成本為：，當(dāng)銷售x(萬件)時(shí)，年銷售收入為：，由題意，生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品正好銷完，且年利潤＝年銷售收入－年生產(chǎn)成本－促銷費(fèi)，所以即：.【小問3詳解】由（2）有：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.所以，，即.所以當(dāng)促銷費(fèi)投入7萬元時(shí)，企業(yè)年利潤最大．22.對任意實(shí)數(shù)a，b，定義函數(shù)，已知函數(shù)，，記．（1）若對于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若，且，求使得等式成立的x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，求在區(qū)間上的最小值．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可得對任意的恒成立，利用根的判別式即可求出取值范圍；（2）整理為，表示出，分類討論即可；（3）由（2）得到