用二分法求方程的近似解

用二分法求方程的近似解第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日1.函數(shù)有零點嗎？你怎樣求其零點？2.對于高次多項式方程，在十六世紀已找到了三次和四次方程的求根公式，但對于高于4次的方程，類似的努力卻一直沒有成功.到了十九世紀，根據(jù)阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois）的研究，人們認識到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式，即不存在用四則運算及根號表示的一般的公式解．同時，即使對于3次和4次的代數(shù)方程，其公式解的表示也相當復雜，一般來講并不適宜作具體計算．因此對于高次多項式函數(shù)及其它的一些函數(shù)，有必要尋求其零點的近似解的方法.提出問題第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日思考1:有12個大小相同的小球，其中有11個小球質量相等，另有一個小球稍重，用天平稱幾次就可以找出這個稍重的球？

思考2:已知函數(shù)在區(qū)間(2，3)內有零點，你有什么方法求出這個零點的近似值？知識探究(一)：二分法的概念第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日思考3:怎樣計算函數(shù)在區(qū)間（2，3）內精確到0.01的零點近似值？

區(qū)間（a，b）

中點值mf（m）的近似值精確度|a-b|（2，3）2.5-0.0841（2.5，3）2.750.5120.5（2.5，2.75）2.6250.2150.25（2.5，2.625）2.56250.0660.125（2.5，2.5625）2.53125-0.0090.0625（2.53125，2.5625）2.5468750.0290.03125（2.53125，2.546875）2.53906250.010.015625（2.53125，2.5390625）2.535156250.0010.007813第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日思考4:上述求函數(shù)零點近似值的方法叫做二分法，那么二分法的基本思想是什么？

提示：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日思考1:求函數(shù)f(x)的零點近似值第一步應做什么？思考2:為了縮小零點所在區(qū)間的范圍，接下來應做什么？

提示：確定區(qū)間[a,b]，使f(a)f(b)<0

提示：求區(qū)間的中點c，并計算f(c)的值

知識探究(二)：用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日思考3:若f(c)=0說明什么？若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0，則分別說明什么？若f(c)=0

，則c就是函數(shù)的零點；

若f(a)·f(c)<0

，則零點x0∈(a,c)；若f(c)·f(b)<0

，則零點x0∈(c,b).提示：

第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日思考4:若給定精確度ε，如何選取近似值？

提示：當|m—n|<ε時，區(qū)間[m，n]內的任意一個值都是函數(shù)零點的近似值.思考5：對下列圖象中的函數(shù)，能否用二分法求函數(shù)零點的近似值？為什么？xyoxyo第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日考點一：二分法的概念理論遷移[例1]下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是(

)第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日[精解詳析]

利用二分法求函數(shù)零點，必須滿足零點兩側函數(shù)值異號．在B中，不滿足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零點.因為A、C、D中零點兩側函數(shù)值異號，故可采用二分法求零點．[答案]

B第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日1．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，函數(shù)f(x)的變號零點個數(shù)為 (

)A．0

B．1C．4 D．3解析：由圖可知，圖象與x軸有4個公共點，有3個穿過x軸，所以共有4個零點，其中有3個變號零點．答案：D第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日2．下面關于二分法的敘述，正確的是 (

)A．用二分法可求所有函數(shù)零點的近似值B．用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數(shù)點后的任一位C．二分法無規(guī)律可循D．只有在求函數(shù)零點時才用二分法答案：B第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日3．用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內的零點時，需要的條件是 (

)①f(x)的圖像在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.A．①② B．①③C．①④ D．①②③答案：A第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日[例2]用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1,1.5]內的一個零點(精確度0.01)．考點二：用二分法求函數(shù)零點的近似值[精解詳析]

經(jīng)計算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函數(shù)在[1,1.5]內存在零點x0.取(1,1.5)的中點x1＝1.25，經(jīng)計算f(1.25)<0.因為f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．如此繼續(xù)下去，如下表：第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日區(qū)間中點值中點函數(shù)近似值(1,1.5)1.25－0.30(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125－0.05(1.3125,1.375)1.343750.08(1.3125,1.34375)1.3281250.01(1.3125,1.328125)1.3203125－0.02第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日

因為|1.328125－1.3203125|＝0.0078125<0.01，所以函數(shù)f(x)＝x3－x－1精確度為0.01的一個近似零點可取為1.328125.第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日[一點通]1．用二分法求函數(shù)的零點應遵循的原則首先要選好計算的初始區(qū)間，這個區(qū)間既要包含所求的零點，又要使其長度盡量??；其次要根據(jù)給定的精確度，及時檢驗所得區(qū)間端點的差的絕對值是否小于精確度(精確到給定的精確度)，以決定是停止還是繼續(xù)計算．

2．用二分法求函數(shù)的零點的近似值，可借助于計算器完成計算.在計算時可用表格或數(shù)軸清晰地描述逐步縮小零點所在的區(qū)間的過程.在區(qū)間長度小于精確度ε的時候，運算結束，區(qū)間內的任意一點都可作為函數(shù)零點的近似值．第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日4．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次計算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一個零點x0∈________，第二次應計算__________．以上橫線應填的內容分別為 (

)A．(0,0.5)

f(0.25) B．(0,1)

f(0.25)C．(0.5,1)

f(0.75) D．(0,0.5)

f(0.125)解析：因為f(0)<0，f(0.5)>0，故x0∈(0,0.5).依二分法，第二次應計算f(0.25)．答案：A第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日5．證明方程6－3x＝2x在區(qū)間(1,2)內有唯一實數(shù)解，并求出這個實數(shù)解(精確度0.1)．證明：設函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又∵f(x)是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6在區(qū)間(1,2)內有唯一的零點，則方程6－3x＝2x在區(qū)間(1,2)內有唯一實數(shù)解．第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日設該解為x0，則x0∈(1,2).取x1＝1.5，則f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)．取x2＝1.25，則f(1.25)≈0.13>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)．取x3＝1.125，則f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0.第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日∴x0∈(1.125,1.25)．取x4＝1.1875，則f(1.1875)≈－0.16<0，f(1.1875)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.1875,1.25)．∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，∴可取x0＝1.25，則方程的一個實數(shù)解近似可取為1.25.第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日[例3](10分)從某水庫閘房(設為A)到防洪指揮部(設為B)的電話線路發(fā)生了故障．這是一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多．每查一個點，就要爬一次電線桿子.10km長，大約有200多根電線桿子呢！想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半.算一算，要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50m～100m之間，要查多少次？考點三：二分法的實際應用第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日[精解詳析](1)如圖所示，他首先從中點C檢查，用隨身帶的話機向兩端測試時，假設發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段；再到BC段中點D查，這次若發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段；再到CD段中點E查……(5分)第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日[一點通]二分法的思想在實際生活中應用十分廣泛.二分法不僅可用于線路、水管、煤氣管道故障的排查等，還能用于實驗設計、資料查詢、資金分配等．第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日6．某產(chǎn)品中含有某種貴重金屬，當含貴重金屬的比例達到某一指標時，產(chǎn)品符合要求．現(xiàn)已知生產(chǎn)出的含16%貴重金屬的產(chǎn)品質量符合要求．問：貴重金屬的比例是否可以更少一些，使得產(chǎn)品質量仍然符合要求？(精確到0.0