電磁場也電磁波課件之恒定磁場分析

電磁場也電磁波課件之恒定磁場分析第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日?

分界面上的折射定律例分析鐵磁媒質(zhì)與空氣分界面上磁場的折射情況。解：當兩種媒質(zhì)均勻、各向同性，且分界面無自由電流線密度只要鐵磁物質(zhì)側(cè)的不與分界面平行，則在空氣側(cè)的可認為近似與分界面垂直。第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日解：例試判斷能否表示為一個恒定磁場？可以表示為恒定磁場不可以表示恒定磁場第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日解：例設(shè)平面是兩種媒質(zhì)的分界面。在處媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為；在處，媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為。設(shè)已知分界面上無面電流，且安/米，求，和。第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日3.矢量磁位（Magneticvectorpotential）已知矢量磁位與磁感應(yīng)強度的關(guān)系為矢量磁位與電位不同，它沒有任何物理意義，僅是一個計算輔助量。當電流分布未知時，必須利用邊界條件求解恒定電磁場的方程。為此，需要導(dǎo)出矢量磁位應(yīng)該滿足的微分方程。已知，那么單位：T/m（特斯拉/米）求得可見，矢量磁位滿足矢量泊松方程。在無源區(qū)中，，則上式變?yōu)橄率鍪噶坷绽狗匠?/p>

第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日在直角坐標系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解為三個坐標分量的標量方程。磁矢量泊松方程的解為為常矢量第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日同理磁矢位的邊界條件第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日利用矢量磁位計算磁通十分簡便。磁通計算已知磁通表達式為，那么再利用斯托克斯定理，得第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日例

求小圓環(huán)電流矢量磁位和磁場。解設(shè)半徑為a，電流為I。取圓柱坐標系，環(huán)平面位于xy

平面內(nèi)，環(huán)心為坐標原點。由對稱性，場與無關(guān)，取P點為場點。yzxa'第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日根據(jù)，求得考慮到小電流環(huán)的磁矩代入磁矢位公式，得第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日4.標量磁位因此，無源區(qū)中磁感應(yīng)強度可以表示為一個標量場的梯度，令

因，由上式得

在無源區(qū)中，因，得?？梢姡瑹o源區(qū)中磁感應(yīng)強度

是無旋的。式中標量m

稱為標量磁位?？梢?，標量磁位滿足拉普拉斯方程。這樣，根據(jù)邊界條件，求解標量磁位滿足的拉普拉斯方程，可得標量磁位，然后即可求出磁感應(yīng)強度。注意，標量磁位的應(yīng)用僅限于無源區(qū)。標量磁位的邊界條件第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日基本方程

邊界條件

矢量磁位泊松方程無源區(qū)，拉普拉斯方程

方程的解邊界條件標量磁位邊界條件恒定磁場第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日與回路電流I交鏈的磁通稱為回路電流I的磁通鏈，以

表示，令與I的比值為L，即5.電感

在線性媒質(zhì)中，單個閉合回路電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度與回路電流

I成正比，因此穿過回路的磁通也與回路電流

I成正比。式中L

稱為回路的電感，單位為H（亨利）。由該定義可見，電感又可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。單個回路的電感僅與回路的形狀、尺寸及周圍媒質(zhì)有關(guān)，與回路中電流無關(guān)。注意，磁通鏈與磁通不同，磁通鏈是指與某電流交鏈的磁通。自感電感有自感與互感之分，通過磁鏈來定義它們。第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日設(shè)若交鏈N次，則磁通鏈增加N倍；若部分交鏈，則必須給予適當?shù)恼劭邸Ｒ虼?，與N匝回路電流I交鏈的磁通鏈為=N。那么，由N

匝回路組成的線圈的電感為自感計算的一般步驟：外自感內(nèi)自感第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日設(shè)例設(shè)傳輸線的長度為，試求圖示兩線傳輸線的自感。解：總自感內(nèi)自感解法一總自感為解法二設(shè)第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日與回路電流I1交鏈的磁通鏈是由兩部分磁通形成的，其一是I1本身產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈11，另一是電流I2在回路l1中產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈12。那么，與電流I1交鏈的磁通鏈1為互感0zyxI2I1同理，與回路電流I2交鏈的磁通鏈為在線性媒質(zhì)中，比值，，及均為常數(shù)。令式中L11稱為回路l1的自感，M12稱為回路l2對l1的互感。第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日同理定義式中L22稱為回路l2的自感，M21稱為回路l1對l2的互感。將上述參數(shù)L11，L22，M12及M21代入前式，得可以證明，在線性均勻媒質(zhì)中

因為可以導(dǎo)出任意兩個回路之間的互感公式為

考慮到，所以由上兩式可見，第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日若

與處處保持垂直，則互感。因此，在電子電路中，如果需要增強兩個線圈之間的耦合，應(yīng)彼此平行放置；若要避免兩個線圈相互耦合，則應(yīng)相互垂直。

互感可正可負，其值正負取決于兩個線圈的電流方向，但電感始終應(yīng)為正值。若處處保持平行，則互感M值達到最大。若互磁通與原磁通方向相同時，則使磁通鏈增加，互感應(yīng)為正值；反之，若互磁通與原磁通方向相反時，則使磁通鏈減少，互感為負值。討論：第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日例計算無限長直導(dǎo)線與矩形線圈之間的互感。設(shè)線圈與導(dǎo)線平行，周圍媒質(zhì)為真空，如圖示。abdrrD0I1I2zS2解建立圓柱坐標系，令z

軸方向與電流I1一致，則I1產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為與線圈電流I2

交鏈的磁通鏈21為若線框電流如圖所示的順時針方向，則與方向相同。那么求得若線圈電流為逆時針方向時，則

與反向，M21為負。但在任何線性媒質(zhì)中，M21=M12。第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日第一步，維持為零，使由零增大到；第二步，維持不變，使由零增大到。6.磁場的能量

若在回路中加入外源，回路中產(chǎn)生電流。在電流建立過程中，回路中產(chǎn)生的反磁通企圖阻礙電流增長，為了克服反磁通產(chǎn)生反電動勢，外源必須作功。由此可見，磁場具有能量。若電流變化非常緩慢，可以不計輻射損失，則外源輸出的能量全部儲藏在回路電流周圍的磁場中。根據(jù)外源在建立磁場過程中作的功即可計算磁場能量。兩個電流回路真空中兩個回路與,它們的電流分別為與。設(shè)開始時電流為零，最終電流分別為與。第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日維持電流不變，使在時間內(nèi)增加，則兩回路的磁鏈分別有增量和，在該兩回路中分別的感應(yīng)電動勢和。使電流由零增大到，外源所作之功為在回路中也必須加電壓（）以維持為零。因此要使在時間內(nèi)改變，必須在回路中加電壓（）。有增量時，周圍的磁場有所改變，和兩回路的磁鏈就分別有增量和，在該兩回路中分別的感應(yīng)電動勢和。在時間內(nèi)，外源需作功在時間內(nèi)，兩個回路所需之功分別為第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日使不變，并使電流由零增大到，外源需作的總功為建立整個回路系統(tǒng)需作之功為即兩個電流回路系統(tǒng)儲存的磁場能量改寫對于N個電流回路，磁場能量為若已知各個回路的電流及磁通鏈，由上式即可計算這些回路共同產(chǎn)生的磁場能量。

第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日回路磁通可用矢量磁位

表示為，因此第j個回路的磁通鏈也可用矢量磁位

表示為尋找磁場能量與場量之間的關(guān)系那么，N個回路周圍的磁場能量又可矢量磁位表示為式中

為周圍回路電流在第j個回路所在處產(chǎn)生的合成矢量磁位。若電流體分布，磁場能量表示為若電流面分布，則磁場能量為第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日7.磁場能量的分布密度已知，代入上式，得若將積分區(qū)域擴大到無限遠處，上式仍然成立。上式第二項為零。式中V

為電流所在的區(qū)域。求得式中V

為磁場所占據(jù)的整個空間。可見，上式中的被積函數(shù)即是磁場能量的分布密度。磁場能量密度為單位第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日例計算同軸線中單位長度內(nèi)的磁場能量。設(shè)同軸線中通過的恒定電流為I

，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的厚度可以忽略，其半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間為真空。解［法一］已知同軸線單位長度內(nèi)的電感為因此，單位長度內(nèi)同軸線中磁場能量為［法二］我們也可以通過磁場密度計算同軸線的磁場能量。已知內(nèi)導(dǎo)體中的磁場強度為

baOc第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日因此內(nèi)導(dǎo)體中單位長度內(nèi)的磁場能量為又知內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁場強度Ho為所以內(nèi)外導(dǎo)體之間單位長度內(nèi)的磁場能量為單位長度內(nèi)同軸線的磁場能量應(yīng)為，此結(jié)果與前式完全相同。通過磁場能量也可計算電感。第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日8.磁場力

安培力式中因此，

對于整個回路l2的作用力那么，由回路電流I1產(chǎn)生的磁場對于電流元的作用力為0zyxI2I1同理，回路電流I2產(chǎn)生的磁場

對于整個回路l1的作用力上述兩式稱為安培定律。第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日兩個回路中的外源作的總功dW應(yīng)該等于磁場廣義力作的功與磁場能量的增量之和，即

設(shè)在電流I1產(chǎn)生的磁場廣義力的作用下，使得回路l2的某一廣義坐標變化的增量為

，同時磁場能量的增量為dWm。下面分為兩種情況：

⑴若電流I1和I2不變，這種情況稱為常電流系統(tǒng)，則磁場能量的增量為兩個回路中外源作的功分別為

為了計算磁場力，類似計算電場力一樣，也可采用虛位移方法，利用能量關(guān)系可以獲得計算磁場力的簡便方式。直接利用前述廣義力和廣義坐標的概念，導(dǎo)出計算磁場力的一般公式。第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日由此可見，兩個回路中的外源作的總功dW為求得常電流系統(tǒng)中的廣義力為即

⑵若各回路中的磁通鏈不變，即磁通未變，這種情況稱為常磁通系統(tǒng)。由于各個回路的磁通未變，因此，各個回路位移過程中不會產(chǎn)生新的電動勢，因而外源作的功為零，即那么，求得常磁通系統(tǒng)中廣義力為注意，廣義力的方向規(guī)定為廣義坐標的增加方向。第二十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日磁場力的應(yīng)用比電場力更為廣泛，而且力量更強。例如，電磁鐵、磁懸浮軸承以及磁懸浮列車等，都是利用磁場