電磁場(chǎng)也電磁波課件之恒定磁場(chǎng)分析

電磁場(chǎng)也電磁波課件之恒定磁場(chǎng)分析第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日?

分界面上的折射定律例分析鐵磁媒質(zhì)與空氣分界面上磁場(chǎng)的折射情況。解：當(dāng)兩種媒質(zhì)均勻、各向同性，且分界面無(wú)自由電流線(xiàn)密度只要鐵磁物質(zhì)側(cè)的不與分界面平行，則在空氣側(cè)的可認(rèn)為近似與分界面垂直。第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日解：例試判斷能否表示為一個(gè)恒定磁場(chǎng)？可以表示為恒定磁場(chǎng)不可以表示恒定磁場(chǎng)第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日解：例設(shè)平面是兩種媒質(zhì)的分界面。在處媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為；在處，媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為。設(shè)已知分界面上無(wú)面電流，且安/米，求，和。第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日3.矢量磁位（Magneticvectorpotential）已知矢量磁位與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系為矢量磁位與電位不同，它沒(méi)有任何物理意義，僅是一個(gè)計(jì)算輔助量。當(dāng)電流分布未知時(shí)，必須利用邊界條件求解恒定電磁場(chǎng)的方程。為此，需要導(dǎo)出矢量磁位應(yīng)該滿(mǎn)足的微分方程。已知，那么單位：T/m（特斯拉/米）求得可見(jiàn)，矢量磁位滿(mǎn)足矢量泊松方程。在無(wú)源區(qū)中，，則上式變?yōu)橄率鍪噶坷绽狗匠?/p>

第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日在直角坐標(biāo)系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解為三個(gè)坐標(biāo)分量的標(biāo)量方程。磁矢量泊松方程的解為為常矢量第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日同理磁矢位的邊界條件第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日利用矢量磁位計(jì)算磁通十分簡(jiǎn)便。磁通計(jì)算已知磁通表達(dá)式為，那么再利用斯托克斯定理，得第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例

求小圓環(huán)電流矢量磁位和磁場(chǎng)。解設(shè)半徑為a，電流為I。取圓柱坐標(biāo)系，環(huán)平面位于xy

平面內(nèi)，環(huán)心為坐標(biāo)原點(diǎn)。由對(duì)稱(chēng)性，場(chǎng)與無(wú)關(guān)，取P點(diǎn)為場(chǎng)點(diǎn)。yzxa'第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)，求得考慮到小電流環(huán)的磁矩代入磁矢位公式，得第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日4.標(biāo)量磁位因此，無(wú)源區(qū)中磁感應(yīng)強(qiáng)度可以表示為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，令

因，由上式得

在無(wú)源區(qū)中，因，得。可見(jiàn)，無(wú)源區(qū)中磁感應(yīng)強(qiáng)度

是無(wú)旋的。式中標(biāo)量m

稱(chēng)為標(biāo)量磁位?？梢?jiàn)，標(biāo)量磁位滿(mǎn)足拉普拉斯方程。這樣，根據(jù)邊界條件，求解標(biāo)量磁位滿(mǎn)足的拉普拉斯方程，可得標(biāo)量磁位，然后即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度。注意，標(biāo)量磁位的應(yīng)用僅限于無(wú)源區(qū)。標(biāo)量磁位的邊界條件第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日基本方程

邊界條件

矢量磁位泊松方程無(wú)源區(qū)，拉普拉斯方程

方程的解邊界條件標(biāo)量磁位邊界條件恒定磁場(chǎng)第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日與回路電流I交鏈的磁通稱(chēng)為回路電流I的磁通鏈，以

表示，令與I的比值為L(zhǎng)，即5.電感

在線(xiàn)性媒質(zhì)中，單個(gè)閉合回路電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度與回路電流

I成正比，因此穿過(guò)回路的磁通也與回路電流

I成正比。式中L

稱(chēng)為回路的電感，單位為H（亨利）。由該定義可見(jiàn)，電感又可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。單個(gè)回路的電感僅與回路的形狀、尺寸及周?chē)劫|(zhì)有關(guān)，與回路中電流無(wú)關(guān)。注意，磁通鏈與磁通不同，磁通鏈?zhǔn)侵概c某電流交鏈的磁通。自感電感有自感與互感之分，通過(guò)磁鏈來(lái)定義它們。第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)若交鏈N次，則磁通鏈增加N倍；若部分交鏈，則必須給予適當(dāng)?shù)恼劭?。因此，與N匝回路電流I交鏈的磁通鏈為=N。那么，由N

匝回路組成的線(xiàn)圈的電感為自感計(jì)算的一般步驟：外自感內(nèi)自感第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)例設(shè)傳輸線(xiàn)的長(zhǎng)度為，試求圖示兩線(xiàn)傳輸線(xiàn)的自感。解：總自感內(nèi)自感解法一總自感為解法二設(shè)第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日與回路電流I1交鏈的磁通鏈?zhǔn)怯蓛刹糠执磐ㄐ纬傻?，其一是I1本身產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈11，另一是電流I2在回路l1中產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈12。那么，與電流I1交鏈的磁通鏈1為互感0zyxI2I1同理，與回路電流I2交鏈的磁通鏈為在線(xiàn)性媒質(zhì)中，比值，，及均為常數(shù)。令式中L11稱(chēng)為回路l1的自感，M12稱(chēng)為回路l2對(duì)l1的互感。第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日同理定義式中L22稱(chēng)為回路l2的自感，M21稱(chēng)為回路l1對(duì)l2的互感。將上述參數(shù)L11，L22，M12及M21代入前式，得可以證明，在線(xiàn)性均勻媒質(zhì)中

因?yàn)榭梢詫?dǎo)出任意兩個(gè)回路之間的互感公式為

考慮到，所以由上兩式可見(jiàn)，第十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日若

與處處保持垂直，則互感。因此，在電子電路中，如果需要增強(qiáng)兩個(gè)線(xiàn)圈之間的耦合，應(yīng)彼此平行放置；若要避免兩個(gè)線(xiàn)圈相互耦合，則應(yīng)相互垂直。

互感可正可負(fù)，其值正負(fù)取決于兩個(gè)線(xiàn)圈的電流方向，但電感始終應(yīng)為正值。若處處保持平行，則互感M值達(dá)到最大。若互磁通與原磁通方向相同時(shí)，則使磁通鏈增加，互感應(yīng)為正值；反之，若互磁通與原磁通方向相反時(shí)，則使磁通鏈減少，互感為負(fù)值。討論：第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)與矩形線(xiàn)圈之間的互感。設(shè)線(xiàn)圈與導(dǎo)線(xiàn)平行，周?chē)劫|(zhì)為真空，如圖示。abdrrD0I1I2zS2解建立圓柱坐標(biāo)系，令z

軸方向與電流I1一致，則I1產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為與線(xiàn)圈電流I2

交鏈的磁通鏈21為若線(xiàn)框電流如圖所示的順時(shí)針?lè)较?，則與方向相同。那么求得若線(xiàn)圈電流為逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)，則

與反向，M21為負(fù)。但在任何線(xiàn)性媒質(zhì)中，M21=M12。第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日第一步，維持為零，使由零增大到；第二步，維持不變，使由零增大到。6.磁場(chǎng)的能量

若在回路中加入外源，回路中產(chǎn)生電流。在電流建立過(guò)程中，回路中產(chǎn)生的反磁通企圖阻礙電流增長(zhǎng)，為了克服反磁通產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)，外源必須作功。由此可見(jiàn)，磁場(chǎng)具有能量。若電流變化非常緩慢，可以不計(jì)輻射損失，則外源輸出的能量全部?jī)?chǔ)藏在回路電流周?chē)拇艌?chǎng)中。根據(jù)外源在建立磁場(chǎng)過(guò)程中作的功即可計(jì)算磁場(chǎng)能量。兩個(gè)電流回路真空中兩個(gè)回路與,它們的電流分別為與。設(shè)開(kāi)始時(shí)電流為零，最終電流分別為與。第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日維持電流不變，使在時(shí)間內(nèi)增加，則兩回路的磁鏈分別有增量和，在該兩回路中分別的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和。使電流由零增大到，外源所作之功為在回路中也必須加電壓（）以維持為零。因此要使在時(shí)間內(nèi)改變，必須在回路中加電壓（）。有增量時(shí)，周?chē)拇艌?chǎng)有所改變，和兩回路的磁鏈就分別有增量和，在該兩回路中分別的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和。在時(shí)間內(nèi)，外源需作功在時(shí)間內(nèi)，兩個(gè)回路所需之功分別為第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日使不變，并使電流由零增大到，外源需作的總功為建立整個(gè)回路系統(tǒng)需作之功為即兩個(gè)電流回路系統(tǒng)儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量改寫(xiě)對(duì)于N個(gè)電流回路，磁場(chǎng)能量為若已知各個(gè)回路的電流及磁通鏈，由上式即可計(jì)算這些回路共同產(chǎn)生的磁場(chǎng)能量。

第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日回路磁通可用矢量磁位

表示為，因此第j個(gè)回路的磁通鏈也可用矢量磁位

表示為尋找磁場(chǎng)能量與場(chǎng)量之間的關(guān)系那么，N個(gè)回路周?chē)拇艌?chǎng)能量又可矢量磁位表示為式中

為周?chē)芈冯娏髟诘趈個(gè)回路所在處產(chǎn)生的合成矢量磁位。若電流體分布，磁場(chǎng)能量表示為若電流面分布，則磁場(chǎng)能量為第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日7.磁場(chǎng)能量的分布密度已知，代入上式，得若將積分區(qū)域擴(kuò)大到無(wú)限遠(yuǎn)處，上式仍然成立。上式第二項(xiàng)為零。式中V

為電流所在的區(qū)域。求得式中V

為磁場(chǎng)所占據(jù)的整個(gè)空間?？梢?jiàn)，上式中的被積函數(shù)即是磁場(chǎng)能量的分布密度。磁場(chǎng)能量密度為單位第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例計(jì)算同軸線(xiàn)中單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量。設(shè)同軸線(xiàn)中通過(guò)的恒定電流為I

，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的厚度可以忽略，其半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間為真空。解［法一］已知同軸線(xiàn)單位長(zhǎng)度內(nèi)的電感為因此，單位長(zhǎng)度內(nèi)同軸線(xiàn)中磁場(chǎng)能量為［法二］我們也可以通過(guò)磁場(chǎng)密度計(jì)算同軸線(xiàn)的磁場(chǎng)能量。已知內(nèi)導(dǎo)體中的磁場(chǎng)強(qiáng)度為

baOc第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日因此內(nèi)導(dǎo)體中單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量為又知內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁場(chǎng)強(qiáng)度Ho為所以?xún)?nèi)外導(dǎo)體之間單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量為單位長(zhǎng)度內(nèi)同軸線(xiàn)的磁場(chǎng)能量應(yīng)為，此結(jié)果與前式完全相同。通過(guò)磁場(chǎng)能量也可計(jì)算電感。第二十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日8.磁場(chǎng)力

安培力式中因此，

對(duì)于整個(gè)回路l2的作用力那么，由回路電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)于電流元的作用力為0zyxI2I1同理，回路電流I2產(chǎn)生的磁場(chǎng)

對(duì)于整個(gè)回路l1的作用力上述兩式稱(chēng)為安培定律。第二十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)回路中的外源作的總功dW應(yīng)該等于磁場(chǎng)廣義力作的功與磁場(chǎng)能量的增量之和，即

設(shè)在電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)廣義力的作用下，使得回路l2的某一廣義坐標(biāo)變化的增量為

，同時(shí)磁場(chǎng)能量的增量為dWm。下面分為兩種情況：

⑴若電流I1和I2不變，這種情況稱(chēng)為常電流系統(tǒng)，則磁場(chǎng)能量的增量為兩個(gè)回路中外源作的功分別為

為了計(jì)算磁場(chǎng)力，類(lèi)似計(jì)算電場(chǎng)力一樣，也可采用虛位移方法，利用能量關(guān)系可以獲得計(jì)算磁場(chǎng)力的簡(jiǎn)便方式。直接利用前述廣義力和廣義坐標(biāo)的概念，導(dǎo)出計(jì)算磁場(chǎng)力的一般公式。第二十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日由此可見(jiàn)，兩個(gè)回路中的外源作的總功dW為求得常電流系統(tǒng)中的廣義力為即

⑵若各回路中的磁通鏈不變，即磁通未變，這種情況稱(chēng)為常磁通系統(tǒng)。由于各個(gè)回路的磁通未變，因此，各個(gè)回路位移過(guò)程中不會(huì)產(chǎn)生新的電動(dòng)勢(shì)，因而外源作的功為零，即那么，求得常磁通系統(tǒng)中廣義力為注意，廣義力的方向規(guī)定為廣義坐標(biāo)的增加方向。第二十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日磁場(chǎng)力的應(yīng)用比電場(chǎng)力更為廣泛，而且力量更強(qiáng)。例如，電磁鐵、磁懸浮軸承以及磁懸浮列車(chē)等，都是利用磁場(chǎng)