2021年高考理數(shù) 概率

概率核心考點(diǎn)解—概率考綱解讀里的I，III.()隨機(jī)事件的概率I）古典概型（II）幾何概型（I）離散型隨機(jī)變量及其分布II）離散型隨機(jī)變量的均值與方差I(lǐng)I）條件概率及兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念I(lǐng)

）

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布（II）正態(tài)分布（I）從考查型來看，涉及本知識(shí)點(diǎn)的題目若在選擇題、填空題中出現(xiàn)，則主考查古典概型、幾何概型、條件概率的計(jì)算；若在解答題中出現(xiàn)，則主要考查離散型隨機(jī)變量及其分布、期望與方從考查容來看，主要考查在古典概型或幾何概型下求隨機(jī)事件的概率，條件概率，通過互斥事件、對(duì)立事件考查等可能性事件的概率取值問題，利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求概率，確定離散型隨機(jī)變量的分布狀況，并利用其分布列求該隨機(jī)變量的期望與方差，體現(xiàn)了概率問題的實(shí)際應(yīng)用狀.從考查點(diǎn)來看，概率求值是高考命題的熱點(diǎn)，以古典概型或幾何概型為線，考查隨機(jī)事件的概率解題中常與統(tǒng)計(jì)知識(shí)相結(jié)合考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，需注意知識(shí)的靈活運(yùn)用隨機(jī)事的概率(1)概率與頻率：理解概率與頻率關(guān)知道頻率是指在n次復(fù)試驗(yàn)下，某事件A出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的比值，其隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變.概率是指對(duì)于給定的隨機(jī)事件，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的率穩(wěn)定在某一個(gè)常數(shù)附近，這個(gè)常數(shù)稱為事件A發(fā)的.率值隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率值則是一個(gè)常數(shù)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越多時(shí)頻率值越接近于概率值此時(shí)可以把頻率近似地看做概率精品Word可改歡下載

互事件與對(duì)立事件：由對(duì)立事件的定義可知，對(duì)立事件首先是互斥事件，即兩個(gè)事件是對(duì)立事件，則它們肯定是互斥事件，反過來，當(dāng)兩個(gè)事件是互斥事件時(shí)，這兩個(gè)事件不一定是對(duì)立事(3)隨機(jī)事件的概率的性質(zhì)及其求方法性質(zhì)：p

若件的概率為1，則該事件是必然事件；若事的概率為0，則該事件是不可能事件；若事件的概率為0p

，則該事件是隨機(jī)事隨機(jī)事件概率的求法：(i)將所求事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和件，利用概率的加法公式求解概率；(ii)若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾互斥事件的和事件時(shí)，需要分類太多，而其對(duì)立面的分類較少可慮利用對(duì)立事件的概率公式用正則”的思古典概與幾何概型古概型：(i)試中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；(ii)個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相.古典概型的概率計(jì)算公式：

()

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)

幾概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例.特點(diǎn)：(i)一實(shí)驗(yàn)的基本事件數(shù)是無限的；(ii)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的.幾何概型的概率計(jì)算公式：()

構(gòu)成事件的區(qū)域長度（面積或體積）試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）異點(diǎn)：共同點(diǎn)是基本事件的發(fā)生是等可能的，不同點(diǎn)是古典概型有有限個(gè)基本事件，幾何概型有無限個(gè)基本事離散型機(jī)變量及其分布求散型隨機(jī)變量的分布列的一般步驟：首先明確隨機(jī)變量的所有可能取值，其次利用概率的有關(guān)知識(shí)，求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率，最后按規(guī)范寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)

x1

x2

…

xi

…

xn精品Word可改歡下載

P

p1

p

2

…

i

…

p

n(2)常見的離散型隨機(jī)變量的概率布模型：兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分離散型機(jī)變量的均值與方差(1)均值（或數(shù)學(xué)期望映離散隨機(jī)變量取值的平均水.計(jì)算方法：

x112

ppii

n

性質(zhì)：E(aaE(

(2)方差：刻畫了隨機(jī)變量

與其期望

)

的平均偏離程度計(jì)算方法：

n

(i

2

i

i性質(zhì)：

D(a

2

D，

)

2

(3)若隨機(jī)變量

服從二項(xiàng)分布，即

(n)

則事件恰發(fā)生

次的概率為)kpp)

，k0,1,2,

其期望為E(

)

；其方差為(

)np

(4)若隨機(jī)變量服正態(tài)分布，則表示為

X

N

正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)：P(

；(

0.954

；P(

0.997

條件概與相互獨(dú)立事件的概率(1)條件概率：設(shè)A,B為個(gè)事件，且()

，稱

(B|)

()()

為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)的條件概率.(2)事件的相互獨(dú)立性：設(shè)A,兩個(gè)事件，若P(AB()(B)事件相互獨(dú)立.

，則稱事件A與若事件與B相獨(dú)立，則A與B

，A

與，

與

也相互獨(dú)立.．2021考課Ⅰ理）圖，正方形內(nèi)圖形來自中國古代的太極正方形內(nèi)切圓中的黑色部精品Word可改歡下載

分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì).正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是AC．

πD．4

B．

π2.(2021高考課I理某公司的班車在，8:00，發(fā)，小明在7:50至8:30之到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過分的概率是AB．C．

3D．4（高考課標(biāo)I理）籃測(cè)試中，每人投，至少投中2次能通過測(cè)試.知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為AC．

BD．．（高考課Ⅲ理某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶元，售價(jià)每瓶6元未售出的酸降價(jià)處理，以每瓶2元價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位）有如果最高氣溫不低于25，需求量為瓶如最高氣溫位區(qū)[2025），需求量為瓶如果最高氣溫低于，需求量為200瓶為了確定六月份的訂計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)

[10，）

[15，）

[20，）

[25）

[30，35

[35，）以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概（1求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（位元.六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n單位：瓶）為多少時(shí)，的學(xué)期望達(dá)到最大值？．2021考新標(biāo)I，）為監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布

N(

)

．（）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表一天內(nèi)抽取的16個(gè)件中其尺寸在

(

之外的零件數(shù)，求P(

及X的學(xué)期望；精品Word可改歡下載

ii（2一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在ii

(

之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（ⅰ）說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的個(gè)件的尺寸：10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得

i

i

11(xx)1616ii

為抽取的第i個(gè)i零件的尺寸，

i1,2,

．用樣本平均數(shù)

作為估值用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作的估計(jì)值

，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除

(

之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)（確到）．附：若隨機(jī)變量服正態(tài)分布

N(

，則

P(

4

，40.9592，0.0080.096.(2021高新標(biāo)I，某公司計(jì)劃購買2臺(tái)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)可額外購買這種零作為備件個(gè)200元在器使用期間果件不足再購買每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率表2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，

表示購買2臺(tái)器的同時(shí)購買的損零件.（I求

X

的分布列；（II）若要求

P()

，確定

的最小值；（III以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？7.(2021高新標(biāo)II理18)某險(xiǎn)種的基本保為（單位：元續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)

保

費(fèi)

a

1.5a

a

a精品Word可改歡下載

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)

概

率

05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出6的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比．景區(qū)在開放時(shí)間內(nèi)，每個(gè)整點(diǎn)時(shí)會(huì)有一趟觀光從景區(qū)入口發(fā)車，某人上午到達(dá)景區(qū)入口，準(zhǔn)備乘坐觀光車，則他等待時(shí)間不多于10分的概率為AC．

1B．1061D．5．裝有大小、材質(zhì)完全相同的個(gè)球和個(gè)球的不透明口袋中，隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則兩個(gè)小球同色的概率為AB．C．D．．

△ABC

中，

在段

上任取一點(diǎn)，PAB

的面積小于

的概率是AB．C．D．．2022年昌冬季奧運(yùn)會(huì)于月9日~2月25日行了奧運(yùn)會(huì)五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積和的比例P，某學(xué)生設(shè)計(jì)了下的計(jì)算機(jī)模擬，通過計(jì)算機(jī)模擬長為8寬為5的長方形內(nèi)隨機(jī)取了N個(gè)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)及其內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為，圓半徑為，如圖，則比值的近似值為AC．

nnBπN5D．π．年，共享單車日漸火爆起來，逐漸融入大家的日常生活中，某市針歲到80歲間的不同年齡精品Word可改歡下載

段的城市市民使用共享單車情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下表所示：（1）采用分層抽樣的方式從年齡在

內(nèi)的人中抽取

人，求其中男性、女性的使用人數(shù)各為多少？（2）在（）中選出

人中隨機(jī)抽取4人求中恰有人是女性的概率；（3）用樣本估計(jì)總體，在全市18歲80歲市民中抽人中男性使用的人數(shù)記為，求的分布．在區(qū)間

內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，使得

的概率為A

B．C．D．2.袋中著標(biāo)有數(shù)字，2，，4，的副羽毛球拍，現(xiàn)從袋中任取支拍，每支球拍被取出的可能性都相等.（1）求取出的4支球拍上的數(shù)字互不相同的概率；（2）用表取出的4支球拍上的最大數(shù)字求隨機(jī)變量的率分布列和數(shù)學(xué)期真題回顧：1.B解析】設(shè)正方形邊長為，圓的半徑為，方形的面積為

πa2，圓的面積為4

由圖形的對(duì)稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一.由幾何概型概率的計(jì)算公式得，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

πa2π，選B．28秒殺解析題可知點(diǎn)自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個(gè)面積的比例可知其概率滿足

1p2

，故選B2.B3.A解析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過測(cè)試的概率為C

0.6

0.4

，故選（）由題意知，X所可能取值為，表格數(shù)據(jù)知精品Word可改歡下載

P

X200

25，PX300，90

0.4.因此的布列為

2000.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求至多500至少為200因此只需考慮200≤500當(dāng)300≤n≤時(shí)若最高氣溫不低于

，則

nn

；若最高氣溫位于區(qū)間

20,25

，則Yn

；

若

最

高

氣

溫

低

于

，

則Y200n

；

因

此0.4n

當(dāng)200300時(shí)若最高氣溫不低于，

nn

；若最高氣溫低2，則

Y200n

因此

n

所以=300時(shí)Y的學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元（取一個(gè)零件的尺寸在(

之內(nèi)的概率為而件的尺寸在(

之外的概率為0.0026，故XB因此P

0.0408

X

的數(shù)學(xué)期望為

EX

0.00260.0416

（）果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(

之外的概率只有，一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中出現(xiàn)尺寸在(

之外的零件的概率只有發(fā)的概率很小因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理（ii）由x9.97,0.212

，得估值為

，的估計(jì)值為

0.212

，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(

)

之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢.剔除(

)

之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

9.22)10.02

，因此

的估計(jì)值為16

x2i

2

2

1591.134

，剔除(

)

之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣方i差為

9.2222)

，因此

的估計(jì)值為

6.（I）柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損件數(shù)為，911概率分別精品Word可改歡下載

為，0.4，，，從而

16)

；

(0.20.16

；(0.4；0.20.2

；X(0.20.04所以的分布列為

；

(0.20.08

；

（II）由（I）知

0.040.240.240.04P0.44P19)0.68，故n的小值為19.（III記

表示機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元當(dāng)19

時(shí)，

EY200500)0.2200500)0.082000.044040

當(dāng)n

時(shí)，EY200500)2000.04

080

可知當(dāng)n

時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n20

時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n19

（Ⅰ）A示事件：一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本?！?，則事件A發(fā)當(dāng)僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于，故()0.20.05（Ⅱ設(shè)B表事件一保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出6”則事件B發(fā)當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故P)0.05又()P()，(|)

P(AB)(B)3.P()()11因此所求概率為

311

（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，X的布列為XP

aa1.75a0.200.10

aEX0.300.15aaaa因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.23【名師點(diǎn)睛】條件概率的求法：(1)定義法：先求PA和PAB，再由PBA＝

(AB()

，求出(BA；(2)基本事件法當(dāng)本事件適合限性和等可能性時(shí)可借助古典概型概率公式先事件A包的基本精品Word可改歡下載

事件數(shù)(A)，再在事件發(fā)的條件下求事件B包的基本事件數(shù)n()，得(B|A＝

n(AB)n(A

求離散型隨機(jī)變量均值的步驟理解隨機(jī)變量X的義，寫出可能取得的全部值(2)求取個(gè)值時(shí)的概率；(3)出的布列；(4)均值定義求出EX．名校預(yù)測(cè)案】B【解析】由題意此人在分整點(diǎn)之間的10分鐘內(nèi)到達(dá)，等待時(shí)間不多于10分，所以概率P

10160

.故選.答案】【解析】記個(gè)球分別為

，個(gè)球分別為，隨機(jī)取出兩個(gè)小球共有

種可能：，其中兩個(gè)小球同色共有種能：

，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為

，故選．案】C解析】由

得則

eq\o\ac(△,)

ABsin，∴△的面積小于

的概率為

．故