高中數學 空間向量及其運算 教案

空間向量及其運算【高考導航】本節(jié)內容是高中教材新增加的內容，在近兩年的高考考查中多作為解題的方法進行考查，主要是解題的方法上因引入向量得以擴展.例如2001上海5分，2002上海5分.【學法點撥】本節(jié)共有4個知識點：空間向量及其線性運算、共線向量與共面向量、空間向量的分解定理、兩個向量的數量積.這一節(jié)是空間向量的重點，在學習本節(jié)內容時要與平面向量的知識結合起來，認識到研究的范圍已由平面擴大到空間.一個向量是空間的一個平移，兩個不平行向量確定的是一個平行平面集，在此基礎上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推廣到空間，得出空間直線與平面的表達式，有了這兩個表達式，我們可以很方便地解決空間的共線和共面問題.空間向量基本定理是空間幾何研究代數化的基礎，有了這個定理，整個空間被3個不共面的基向量所確定，空間一個點或一個向量和實數組Xy,z)建立起一一對應關系，空間向量的數量積一節(jié)中，由于空間任一向量都可以轉化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義、取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同.【基礎知識必備】一、必記知識精選空間向量的定義向量：在空間中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量.1卜向量的表示有三種形式：a,AB，有向線段.空間向量的加法、減法及數乘運算.空間向量的加法.滿足三角形法則和平行四邊形法則，可簡記為:首尾相連，由首到

尾.求空間若干個向量之和時，可通過平移將它們轉化為首尾相接的向量.首尾相接的若干個向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為0,即AA+AA+…AA=0.1223n1空間向量的減法.減法滿足三角形法則,讓減數向量與被減數向量的起點相同,差向

量由減數向量的終點指向被減數向量的終點,可簡記為“起點相同,指向一定”,另外要注意OA-OA-OB=BA的逆應用.空間向量的數量積.注意其結果仍為一向量.共線向量與共面向量的定義.如果表示空間向量的有向線段在直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量或平行向量?對于空間任意兩個向量a,b(bH0),a〃boa=九b,若A、B、P三點共線，則對空間]]]1任意一點O,存在實數t,使得OP=(1-1)OA+tOB,當七=時,P是線段AB的中點，則中點公式2為OP=一(OA+OB).2如果向量a所在直線OA平行于平面a或a在a內，則記為a〃a,平行于同一個平面的向量,叫作共面向量，空間任意兩個向量，總是共面的?如果兩個向量a、b不共線?則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實數對x、y.使p=xa+yb?對于空間任一點O和不共線的三點A、B、C,A、B、C、P共面的充要條件是OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=l）.共面向量定理是共線向量定理在空間中的推廣，共線向量定理證三點共線，共面向量定理證四點共面.空間向量基本定理如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p,存在一個惟一的有序實數組x、y、z,使p=xa+yb+zc.特別的，若a、b、c不共面，且xa+yb+zc=O，則x=y=z=0.常以此列方程、求值.由于0可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，隱含著三向量都不是0.空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底.要注意，一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一向量兩個向量的數量積.a?b=|a|?|b|?cos（a,b），性質如下:（1）a?e=|a|?cos〈a,e〉；（2）a±ba?b=0.（3）|a|2=a?a；（4）|a|?|b|三a?b.二、重點難點突破（一）重點空間向量的加法、減法運算法則和運算律；空間直線、平面向量參數方程及線段中點的向量公式?空間向量基本定理及其推論，兩個向量的數量積的計算方法及其應用.（二）難點空間作圖，運用運算法則及運算律解決立體幾何問題，兩個向量數量積的幾何意義以及把立體幾何問題轉化為向量計算問題.對于重點知識的學習要挖掘其內涵，如從向量等式的學習中可以挖掘出：（1）向量等式也有傳遞性；（2）向量等式兩邊加（減）相同的量，仍得等式.即“移項法則”仍成立；（3）向量等式兩邊同乘以相等的數或點乘相等的向量，仍是等式這樣知識掌握更加深刻?用空間向量解決立體幾何問題?一般可以按以下過程進行思考：（1）要解決的問題可用什么向量知識來解決?需要用到哪些向量？（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？（3）所需要的向量若不能直接用已知條件轉化為向量表示，則它們分別易用哪個未知向量表示？這些未知向量與已知條件轉化而來的向量有何關系？（4）怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到所需要的結論？三、易錯點和易忽略點導析兩個向量的夾角應注意的問題：①（a,b）=（b，a）；②（a,b）與表示點的符號（a,b）不同;③如圖9-5T（a）中的ZAOB=<OA,OB〉?圖⑹中的ZAOB=n-（AO，OB）,〈-OA,OB〉=<OA，—OB>=n-（AO，OB）?【綜合應用創(chuàng)新思維點撥】一、學科內綜合思維點撥【例1】已知兩個非零向量e、e不共線，如果AB=e+e,AC=2e+8e,AD=3e-3e.12121212求證：A、B、C、D共面.思維入門指導：要證A、B、C、D四點共面，只要能證明三向量AB、AC、AD共面，于是只要證明存在三個非零實數九、卩、u使九AB+UAC+uAD=0即可.證明：設九(e+e)+u(2e+8e)+u(3e-3e)=0.121212則(九+2u+3u)e+(九+8u—3u)e=0.12Te、e不共線，12.JX+2卩+3u=0,九+8卩-3u=0.上述方程組有無數多組解而九=-5,U=1,u=1就是其中的一組于是可知-5AB+AC+AD=0.故AB、AC、AD共面，所以A、B、C、D四點共面.點撥：尋找到三個非零實數九=-5,U=1,u=1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系數法.二、應用思維點撥【例2】某人騎車以每小時a公里的速度向東行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為2a時，感到風從東北方向吹來.試求實際風速和風向.思維入門指導：速度是矢量即為向量?因而本題先轉化為向量的數學模型，然后進行求解，求風速和風向實質是求一向量.解:設a表示此人以每小時a公里的速度向東行駛的向量在無風時，此人感到風速為-a,設實際風速為v,那么此人感到的風速向量為v-a.如圖9-5-2.設OA=-a,OB=-2a.由于PO+OA=PA,從而PA=v-a.這就是感受到的由正北方向吹來的風.其次，由于PO+OB=PB，從而v-2=PB.于是，當此人的速度是原來的2倍時感受到由東北方向吹來的風就是PB.由題意，得ZPBO=45°,PA丄BO，BA=AO，從而△PBO為等腰直角三角形?故PO=PBf；2答：實際吹來的風是風速為y2a的西北風.

點撥：向量與物理中的矢量是同樣的概念，因而物理中的有關矢量的求解計算在數學上可化歸到平面向量或空間向量進行計算求解.知識的交叉點正是高考考查的重點，也能體現(xiàn)以能力立意的高考方向.已知E、F、G已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中八、、?圖9"3圖9"3用向量法證明E、F、G、H四點共面；用向量法證明BD〃平面EFGH.思維入門指導：(1)要證E、F、G、H四點共面，根據共面向量定理的推論，只要能找到實數x,y,使EG=xEF+yEH即可；(2)要證BD〃平面EFGH,只需證向量BD與EH共線即可.證明:(1)如圖9-5-3(2),連結BG,則1EG=EB+BG=EB+-(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH.2由共面向量定理推論知，E、F、G、H四點共面.1111(2)VEH=AH-AE=AD——AB=_(AD-AB)=BD,2222???EH〃BD.又EHu面EFGH,BDg面EFGH,?：BD〃平面EFGH.點撥：利用向量證明平行、共面是創(chuàng)新之處，比較以前純幾何的證明，顯而易見用向量證明比較簡單明快.這也正是幾何問題研究代數化的特點.S95-4試求A1CS95-4試求A1C1與DE所成角.思維入門指導：在正方體AC中，要求AC與DE所成角，只需求AC與DE所成角即可?要ii求AC與DE所成角，則可利用向量的數量積，只要求出AC?DE及丨AC丨和丨DE|即可.111111解：設正方體棱長為m,AB=a,AD=b,AA=c.1貝川a|=|b|=|c|二m,a?b=b?c=c?a=0.又VAC=AB+BC=AB+AD=a+b,1111111DE=DD+DE=DD+—DC=c+—a,1112112

2又AC|=<2m,|DEI=m,112AC?DE=(a+b)(c+a)=a?c+b?c+丄a：+a?b二丄a2又AC|=<2m,|DEI=m,112U10AC?DEU10..cos〈AC,DE>=r==1IACI?IDEI510112m?—m2<AC,DE〉=arccos.即AC與DE所成角為arccos--101110點撥：A1C]與DE為一對異面直線?在以前的解法中求異面直線所成角要先找(作)，后求.而應用向量可以不作或不找直接求簡化了解題過程，降低了解題的難度解題過程中先把AC及DE用同一組基底表示出來，再去求有關的量是空間向量運算常用的手段.11四、高考思維點撥【例5】(2000,全國，12分)如圖9-5-5，已知平行六面體ABCD—A^qD]的底面ABCD是菱形，且ZCCB=ZCCD=ZBCD.求證:C]C丄BD；當-CD的值為多少時，能使AC丄平面CBD?請給出證明.CC]11思維入門指導：根據兩向量的數量積公式a?b=|a|?|b|cos〈a,b〉知，兩個向量垂直的充要條件是兩向量的數量積為0,即alboa?b=0,所以要證明兩直線垂直,只要證明兩直線對應的向量數量積為零即可.⑴證明：設CD=a,CB=b,CC=c.由題可知|a|=|b|.設CD、CB、CC中兩兩所成夾11角為0,于是BD=CD-CB=a-b,FCC?BD=c?(a-b)=c?a-c?b=|c|?|a|cos0-|c|?|b|cos0=0,1.CC丄BD.1Ic丨2=|ah+|b⑵解:若使A1C丄平面C1BD,只須證A1CIc丨2=|ah+|bCA?CD=(CA+AA)?(CD-CC)=(a+b+c)?(a-c)=|ah+a?b-b?c-1111I?|a|?cos0-|b|?|c|cos0-|c12=0,得當|a|=|c|時AR丄DC].同理可證當|a|=|c|時,A1C丄BD....CD=1時,Ac丄平面CBD.CC11—AGP1—AGP=CD,QH=一CD.2，F(xiàn)-4]]1+11-???0P+0Q=0G+0H+GP+HQ=0+CD——CD=0.2A0P=-0Q?APQ經過0點，且0為PQ的中點.點撥:本例也可以用共線定理的推論來證明,事實上，設EF的中點為0.連接0P、0Q,則11■FQ=EQ-EF，而EQ=一AC=-FP,EF=-2F0，則FQ=-FP+2F0,AF0=一（FQ+FP），22從而看出0、P、Q三點共線且0為PQ的中點，同理可得GH邊經過0點且0為GH的中點，從而原命題得證.六、探究性學習點撥【例7】如圖9-5-7所示，對于空間某一點0,空間四個點A、B、C、D（無三點共線）分別對應著向量玄=0A,b=0B,c=0C,d=0D.求證：A、B、C、D四點共面的充要條件是存在四個非零實數a、B、Y、§，使aa+Bb+Yc+5d=0,且a+B+Y+§=0.點撥：對于向量數量積的運算一些結論仍是成立的.（a-b）?（a+b）=a2-b?；（a土b）2=a2±2a?b+b?.五、經典類型題思維點撥【例6】證明：四面體中連接對棱中點的三條直線交于一點，且互相平分（此點稱為四面體的重心）思維入門指導：如圖9-5-6所示四面體ABCD中，E、F、G、H、P、Q分別為各棱中點?要證明EF、GH、PQ相交于一點0,且O為它們的中點?可以先證明兩條直線EF、GH相交于一點O,然后證明P、0、Q三點共線，即OP、0Q共線?從而說明PQ直線也過0點.證明：TE、G分別為AB、AC的中點，AEG#-BC.同理HF〃-BC.?：EG〃HF.—2—2—從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF、GH相交于一點0,且0為它們的中點,連接OP、0Q.T0P=0G+GP,0Q=0H+HQ，而0為GH的中點,A0G+0H=0,GP#-CD，QH#丄CD.22

B95-7B95-7思維入門指導：分清充分性和必要性，應用共面向量定理證明：(必要性)假設A、B、C、D共面，因為A、B、C三點不共線，故AB，AC兩向量不共線，因而存在實數x、y,使AD=xAB+yAC,即d-a=x(b-a)+y(c-a),.°.(x+y-l)a-xb-yc+d=O.令a=x+y-1,B=-x,Y=-y,S=1.貝Jaa+^b+Yc+Sd=0,且a+B+Y+§=0.(充分性)如果條件成立，貝M=-(a+B+Y),代入得aa+Bb+Yc+Sd=aa+Bb+Yc-(a+B+Y)d=0.即a(a-d)+B(b-d)+Y(c-d)=O.又*/a-d=OA-OD=DA,b-d=DB,c-d=DC,??.?.aDA+BDB+YDC=0.Ta、B、Y為非零實數,不妨設Y^O.則DC=-—DA-—DB.YY/.DC與DA、DB共面，即A、B、C、D共面.點撥：在討論向量共線或共面時，必須注意零向量與任意向量平行，并且向量可以平移，因而不能完全按照它們所在直線的平行性、共面關系來確定向量關系本周強代隊習本周強代隊習【同步達綱訓練】A卷:教材跟蹤練習題(60分45分鐘)一、選擇題(每小題5分，共30分)點O、A、B、C為空間四個點，又OA、OB、OC為空間一個基底，則下列結論不正確的是()O、A、B、C四點不共線B.O、A、B、C四點共面，但不共線C.O、A、B、C四點中任三點不共線D.O、A、B、C四點不共面在正方體ABCD-A1B1C1D］中，下列各式中運算的結果為的共有()?(AB+BC)+CC?(AA+AD)+DC111111@(AB+BB)+BC?(AA+AB)+BC11111111

A.1個B.2個C.3個D.4個3?設命題p：a、b、c是三個非零向量;命題q：｛a,b,c｝為空間的一個基底，則命題p是命題口的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件設A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足AB?AC=0,AC?AD=0,AB?AD=0,則厶BCD是（）A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.不確定TOC\o"1-5"\h\z下列命題中，正確的是（）若a與b共線，貝呃與b所在直線平行若a〃平面B,a所在直線為a,貝9a〃B若｛a,b,c｝為空間的一個基底，貝9｛a-b,b-c,c-a｝構成空間的另一個基底?11h若OP=OA+OB，貝9P、A、B三點共線226.若a=e+e+e，b=e-e-e，c=e+e，d=e+2e+3e，且d=xa+yb+zc，貝收、y、z分另ij為12312312123（）A.2,A.2,-2,-1B.452piD.52C.-3九=D.523九=.三、解答題（每小題7分，共14分）如圖9-5-9,已知點O是平行六面體ABCD—A1B1C1D1體對角線的交點，點P是空間任意一占1111八、、?1&■■b求證：PA+PB+PC+PD+PA+PB+PC+PD=8PO.11112二、填空題（每小題4分，共16分）7?設向量a與b互相垂直，向量c與它們構成的角都是60°，且|a|=5,|b|=3,|c|=8，那么（a+3c）?（3b-2么（a+3c）?（3b-2a）&已知向量AA=2a,a與b的夾角為30°,且|a|=^3，則AA+AA+???+AA在向1n1223n-1n量b的方向上的射影的模為.如圖9-5-8,已知空間四邊形0ABC，其對角線為OB、AC,M是邊0A的中點,6是厶ABC的重心，則用基向量OA、OB、OC表示向量MG的表達式為33罔9-5F圖罔9-5F圖9-5-LO如圖9-5-10,已知線段AB在平面a內，線段AC丄a,線段BD丄AB,且與a所成角是30如果AB=a,AC=BD=b,求C、D間的距離.B卷:綜合應用創(chuàng)新練習題（90分90分鐘）一、學科內綜合題（10分）如圖9-5-11所示，已知DABCD,O是平面AC外一點,OA=2OA,OB=2OB,OC=2OC,111OD=2OD.求證：A、B、C、D四點共面.1111199-599-511二、應用題（10分）在△ABC中，ZC=60°,CD為ZC的平分線,AC=4,BC=2,過B作BN丄CD于N延長交CA于E,將厶BDC沿CD折起，使ZBNE=120。，求折起后線段AB的長度.三、創(chuàng)新題（60分）（一）教材變型題（10分）（P練習2變型）如圖9-5-12已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,求35AB與CD的夾角.（二）一題多解（15分）已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點，且PA丄平面ABCD,M、N分別為PC、PD上的點，且M分PC成定比2,N分PD成定比1,求滿足MN=xAB+yAD+zAP的實數x、y、z的值.（三）一題多變（15分）設a丄b,〈a,c〉二，〈b,c〉二，且|a|=1,|b|=2,|c|=3，求|a+b+c|.6（1）一變：設alb,<a,c>=,<b,c>=，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+2b-c|.6（2）二變：設alb,<a,c>=，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,|a+b+c|=￡17+6t3，求-b與c的夾角.（四）新解法題（10分）如圖9-5-13，正方形ABCD和正方形ABEF交于AB,M、N分別是BD、AE上的點，且AN=DM,試用向量證明MN〃平面EBC.圏S-5-I3O為空間任意一點,A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足OP=OA+九（摯+絲）,IABIIACI九G[0,+8）,貝陀的軌跡一定通過AABC的（）A.外心B.內心C.重心D.垂心四、高考題（10分）&（2002,上海,5分）若a、b、c為任意向量，mWR，則下列等式不一定成立的是（）A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）?c=a?c+b?cC.m（a+b）=ma+mbD.（a?b）?c=a?（b?c）加試題：競賽趣味題（10分）rtj1I]/、『[,、寸〃、證明：Ia2+b2一ab+ta2+c2一ac>b2+c2一be（a，b，c為正實數）.【課外閱讀】用向量表示三角形的四心由高中數學新教材中的向量知識出發(fā)，利用定比分點的向量表達式，可以簡捷地導出三角形的重心、內心、垂心、外心這四心的向量表達式【例】如圖9-5-14，在厶ABC中，F(xiàn)是AB上的一點,E是AC上的一點，且AF=m,AE=n（通分總可以使兩個異分母分數化為同分母分數），連結CF、BE交于點D.求FBlEClD點的坐標.僭9-5-14解：在平面上任取一點O,連結OA、OB、OC、OD、OE、OF，由定比分點的向量表達式，得：OF=(OA+&?OB"(1+&)l?OA+m?OBl+mOE=l?OA+OE=l?OA+n?OCl+n又OD=OF+九?OC1+九OB+u?OE1+u③(其中D=入，DE=u)?nOA+—?OC

l整理①、②、③式得九=-^m+1OC所以OD=-OA+mOB+n—OCl+m+nl+m+nl+m+n由④式出發(fā)，可得三角形四心的向量表達式：(1)若BE、。卩是4ABC兩邊上的中線，交點G為重心?由④式可得重心G的向量表達式:I1■?■OG=-（OA+OB+OC）.3(2)若BE、。卩是4ABC兩內角的平分線，交點I是內心.AFbAEc因為=一，=,FBaECa由④式可得內心I的向量表達式：OI=aa+b+OI=aa+b+cOA+ba+b+cOB+ca+b+cOC.若BE、。卩是4ABC兩邊上的高，交點H是垂心.cAE=c?cosA=cosCECa?cosCacosAb同理竺=cosA.FBacosA由④式可得垂心H的向量表達式:OH=cosC

abc++—cosAcosBcosCOAOH=cosC

abc++—cosAcosBcosCOA+cosC

abc++cosAcosBcosCOB+cosC

abc++cosAcosBcosCOC.若BE、CF的交點O'是厶ABC的外心，即三邊中垂線交點，則O'A=O'B=O'C.根據正弦定理：TOC\o"1-5"\h\zBE1?sinZEBAsinC?sin（冗—ZAO'B）AE二sinA二2EC?sinZCBEsinA?sin-（冗-ZBO'C）sinC2sinC?cosC=sin2CsinA?cosAsin2A

FBsin2A由④式可得外心O'的向量表達式:sin2Asin2BOO=FBsin2A由④式可得外心O'的向量表達式:sin2Asin2BOO=OA+OBsin2A+sin2B+sin2Csin2A+sin2B+sin2Csin2C+OC.sin2A+sin2B+sin2C這四個向量表達式，都由④式推出，都有著各自輪換對稱的性質?好記，好用!新教材的優(yōu)越性，由此可見.請做空年業(yè)后甫盲答梟！參考答案一、1.B點撥：空間向量的一組基底是不共面的.2.D點撥：AB+BC+CC=AC+CC=AC，同理根據空間向量的加法運算法則可知(2)、⑶、(4)的計算結果也為AC.B點撥：當三個非零向量a、b、c共面時，a、b、c不能構成空間的一個基底，但是{a,b,c}為空間的一個基底時，必有a、b、c都是非零向量?因此由P推不出q,而由q可推出P.B點撥：AC?AB=0nAC丄AB.同理可得AC丄AD,AB丄AD.設AB=a，AC=b，AD=c.則BC=i：a2+b2,CD=2+c2,BD二*a2+c2.2BC?CDVcosZBCD=BC2+52-BD2>°,故厶2BC?CD同理ZCBD.ZBDC亦為銳角.則△BCD為銳角三角形.D點撥：向量共線則其所在直線平行或重合，故A錯誤；向量平行于平面，則向量在面內或所在直線與面平行，故B錯誤;取九=九=九=1,則九(a-b)+九(b-c)+九(c-a)=0,即123123a-b,b-c,c-a是共面向量,不能構成空間的基底，故C錯.x+y+z=lx=—x+y+z=lx=—A點撥:A點撥:x-y+z=2nx-y=3Lz=-1.x-y=3Lz=-1.、7.-62,373點撥：(a+3c)(3b-2a)=3a4D-2a2+9c*b-6a*c=3|a|?|b|*cos90°-2|a|2+9|c|?|b|?cos60°-6|a|?|c|?cos60°=-62.&3點撥：AA+AA+…+AA=AA,1223n-1n1n?:在b方向投影為|AA|?cos<AA,b〉=2|a|?cos30°=3.TOC\o"1-5"\h\z1n1n■1p1p1—9.MG=--OA+丄OB+丄OC點撥：如答圖9-5-1所示，連AG延長交BC于E,6331C1?.C1b1■[■&[EMG=MA+AG=一OA+AE=OA+—?(AB+AC)=OA+-(OB-OA)+—(OC-OA23232233111?-)=-OA+—OB+—OC.633'I10.九=--點撥：根據共面向量定理知，P、A、B、C四點共面，則OP=xOA+yOB+zOC,3且x+y+z=1.三、11.證明：設E、&分別是平行六面體的面ABCD與A^qD］的中心，于是有PA+PB+PC+PD=(PA+PC)+(PB+PD)=2PE+2PE=4PE,同理可證PA+PB+PC+PD=4PE.11111又???平行六面體對角線的交點O是EE的中點，???PE+PE=2PO,11b-?&■to-■-irirr■irb-t?>PA+PB+PC+PD+PA+PB+PC+PD=4PE+4PE=4(PE+PE)=8PO.11111112.解：由AC丄a,可知AC丄AB.過D作DD'丄a,D‘為垂足，則ZDBDZ=30°,<CA,BD>=120°,|CD丨2=CD?CD=(CA+AB+BD”=|CA12+|AB12+|BD12+2CA?AB+2CA?BD+AB?BD二b2+a2+b2+2b2?cos120°=a2+b2.?.CD=i：a2+b2.B卷■]]ilF■■1811一、1.證明：TAC=OC-OA=2OC-2OA=2(OC-OA)=2AC=2(AB+AD)1111=2[(OB-OA)+(OD-OA)]=2OB-2OA+2OD-2OA=(OB-OA)+(OD-OA)=AB+AD,11111111???,b「q、D］四點共面.二、2.解：如答圖9-5-2.解：過A作AM丄CD的延長線于M,則CM=4cos30°=2f3.CN=2cos30°=^3,??MN=CM-CN=u3.又AM=AC?sin30°=2,BN=BC?sing30°=l,且〈NB,NE>=120°,/.<NB,AM>=60°.TAM丄MN，則AM?MN=0.同理MN?NB=0.*/AB=AM+MN+NB,??AB2=AM2+MN2+NB2+2AM?MN+2AM?NB+2MN?NB=4+3+1+2|AM|?|NB|?cos60°=10.即|AM|=<10,所以線段AB長度為"10.三、（一）3.解：取AB、CD的中點分別記為M、N,連結AN、BN.???空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于a,.??BN丄C