考研真題fenxww復(fù)習(xí)配套光盤1994年數(shù)學(xué)試題參考解答及評分

入學(xué)統(tǒng)一考數(shù)學(xué)試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)（試卷一limctgx

sin

1) 曲面zez2xy3在點(diǎn)(1,2,0)處的切平面方程 2x+y-4=

設(shè)u

sin,則

)點(diǎn)處的值 ( 設(shè)區(qū)域Dx2+y2R2,

(xy

R4

11 2a 2aD

b2 a

11 3 2 32sin

設(shè)M 21

cos4xdx N=2(sin3xcos4x)dx,P2

2(x2sin3xcos4x)dx2則 N<P< M<P< N<M< P<M<二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在，是f(x,y)在 (C)充分必要條 設(shè)常數(shù)>0，且級數(shù)

n

(1)n |an n2n2 （D）收斂性與有設(shè) atgxb(1cos 2其中a2c20則必 x0cln(12x)d(1ex2(A)b (B)b (C)a (D)a已知向量組1,2,3,4線性無關(guān)，則向量 12,23,34,41線性無12,23,34,41線性無12,23,34,41線性無12,23,34,41線性無 dyd2設(shè)

t ， 在t 的值2ytcos(t)121u dx解：dx2tsin(t2dy2t2sint2 d2y(t)'t

??2故 t,

x

??42tsin(t2

??5dx1

t1

將函數(shù)f(x) 解：f(x)4(1x1x)21x211x41

1x ??3f(0)

x 求

f(xf(xf(0sin(2x)2sin

f'(t)dt d

)dt

(1x1??54n4n解一原式 1 ??2 x2sinx(cosx x

x1tg2x 1 1 2d(tgx 1tg2x1ln

C ??5sin解二原式2sinx(cosx1)2(1cox2x)(1cos ??2cosxu

1( 3u2(1u)(1 81 1

??4[ln1uln1u8

1

] cosxln(1cosx C ??5 1cosxdydz

SS

x2y2z SxyRzRzR(R0)所圍成立體表面的外側(cè)解：設(shè)S1,S2S3依次為S的上、x2y2z

x2y2z

0 ??1記S1,S2在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy,

x2y22

x2y2R2x2y2R20 z ??3S在S3上x2y2z2S3R2y2R2y2R2y2R2y2R2 R2y2dydzR2x2y2 R2 2 R2

1 2

R2y2RR

R所以原積分

R ??6f(xf(0)0,f(0)1[xy(xyf(x)y]dxf(xx2y]dy0為一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解：由全微分方程的充要條件PQ ??2解得f(x)C1cosxC2sinxx2 ??5由f(0)0,f'(0)1,求得C2,C1,從而有f(x)2cosxsinxx22 ??6 于是原方程為[xy2(2cosxsinx)y2y]dx(2sinxcosx2xx2y)dy0x2x其通解是2ysinxycosx ??92f(xx0的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

f(x)0x 1絕對收斂f(

證：由題設(shè)推知f(0)0,f'(0)0 ??2f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)的一階Taylorf(xf(0f'(0)x1f''(x)x21f''(x)x2(01 ??5 再由題設(shè),f''(x)在屬于該域內(nèi)包含1點(diǎn)的一小閉區(qū)間上連續(xù),故存在f(x)M,f(x)

x2.令x

,當(dāng)n充分大時,

1M1 ??7f(因?yàn)?/p>

收斂,

1f()絕對收斂

2

??8n1

已知點(diǎn)A與B的直角坐標(biāo)分別為100011ABZ旋轉(zhuǎn)曲面為SSZ0,Z1所圍成的立體體積x x1解：AB的方程為：111,即yz??2z軸交于點(diǎn)Q(0,0,z),與ABM1(1zzz)，(1z)212z故圓(1z)212z旋轉(zhuǎn)體體積V=1(12z2z2)dz2 ??60

x1x2

k1(0,1,1,0)T+k2(–1,2,2,1

x2x4 【(0,0,1,0)T，(1,1,0,1)T

1 解：(1)由已知，(I)的系數(shù)矩陣為01 ??3k2k12k2k

2kk0，解得k1k2 ??5 k1k20I（ ??8設(shè)A為n階非零方陣，A*AA是AA*時，證明|A|0解： AA*|A|I，故AA|A|I ??2 若|A|0，則有AA0.設(shè)A的行向量為(i1,2,n)，則i0(i1,2,,n)，即i0,i1,2,,n.于是A0，這與A是非零陣 ，故|A|0. ??6 已知P(AB)P(AB)，P(A)p，則P(B) 1- X01P1212則隨量Zmax{X,Y}的分布律為X01P1434若隨量X和Y分別服從正態(tài)分布N(1,32)和N(0,42)，且X與Y的相關(guān)系

2

，設(shè)Z3

Y2Z的數(shù)學(xué)期望EZ和和方差DZ；2)XZ的相關(guān)系數(shù)XZ解：(1)EZ101 ??DZ 2() 1423 ??2 3Cov(XZ1CovXX1CovX,Y1321(1340 所以XZ0 ??4因X,Y均是正態(tài)，故Z也是正態(tài)，又XZ0，所以X與Z相互獨(dú)立 ??6數(shù)學(xué)（試卷二~~三題x24y24上求一點(diǎn)，使其到直線2x3y60的距離最短2x3y解：P(xyx24y24P到直線2x3y2x3yd 為求d的最小值點(diǎn)，只需求d2的最小值 ??2F(x,y)1(2x3y6)2(x24y2F(x,y)

4(2x3y6)2xx0,

0,

.

(2x3y6)8yx24y24

??4

8,

3;

8,

3.于是d(x,y

,d(x,y)

1 28由問題的實(shí)際意義知最短距離是存在的,因此(,)即為所求的 ??65~~七題】八、(本題共2小題，滿分14分)(6分)A是n2,4,6,,2nAnIn階單位陣，計算行列式A3I的值.解：已知n階方陣有n個不同的特征值，故存在可P，使

P1AP ，即AP P1 ??2 2n

2n 因此A3IP P1 2n

P P1 2n

??4

P P1

1 1 [(2n3)!!]【筆者另解】A的n個特征值為2,4,6,,2n,

2n??6A2I113(2n3[(2n（2）(8分)九、(6分)數(shù)學(xué)（試卷三若f(x)

xx

在,上連續(xù)，則a xtln(1 d2 (6t5)(tyy(x由參數(shù)方程

t3

t d(cos3xf(t)dt) 3sin3xf 3

1ex2(x21) x

dx2 (x4)y4 ln(1x)(axbx22設(shè)lim 2， 2 a1,b1x2,

x

a0,b (C)a0,b2

(D)a1,bf(x)x x

則f(x)在x1處 (B)左導(dǎo)數(shù)存在，但右導(dǎo)數(shù)不存(C)左導(dǎo)數(shù)不存在，但右導(dǎo)數(shù)存 (D)左、右導(dǎo)數(shù)都不存設(shè)yf(x)是滿足微分方程y"y'esinx0的解,且f'(x0)0,則f(x)

x0的某個鄰域內(nèi)單調(diào)增 x0處取得極小

x0 x2arctan ye

(x1)(x2)的漸近線 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4yf(xyf1fy1yfy1f

d2.

??2 (1y'2) ' y(1yf ??51f (1f 計算0

x(1x4)2dx解：設(shè)x2sint，則x0時，t0；x1時，t ??12 1 x(1x4)2dx 2

??3 2 ??5242 )計算limtgn(2)

1tg 2tg解：limlntgn 2)limn nlimn n ??2 1tg 1tg2tg

tg2 lim n n4,limtgn(2e4 ??5n1tg2 n1tg2 (4)題如圖,yx21,OABC的面積為D，曲邊梯形OABC的面積為D 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,0)，a0，證明： 13 1 2

(2a21a21

)dx 2

??26D 2a(a ??3 (a2

3a21 a2

3 ??5 (2a23)a

2a22

a22

x0時，方程kx11有且僅有一個解，求k解：f(xkx

11f'(xk

2,f''(x)

60 ??3 k0f'(x0f(xlimf(x)，而當(dāng)k0limf(x，當(dāng)k0limf(x 3故當(dāng)k0時，原方程在(0,)內(nèi)有且僅有一個 ??63當(dāng)k0時，令f'(x)0，解得唯一駐點(diǎn)x 333yf(x在(0,f(320，即

() 2原方程有且僅有一個解.由上式解得k9

3.而當(dāng)k9

綜上所述，當(dāng)k 3及k0時，方程有且僅有一個解 ??99x3設(shè)y x 解：(1)定義域(, (0,)，由y'1

x(,(0,(2,yy所以(0),(2)(0,2)為減區(qū)間，x2為極小點(diǎn)，極小值為y3.由y''240，知(-,0),(0,+)為凹區(qū)間，且無拐 ??4x3由lim alimx341,blim(x34x yx為斜漸近線令y0，得零點(diǎn)x34 ??6 ??9y"a2ysinx的通解，其中常數(shù)a解：對應(yīng)的齊次方程的通解為yc1cosaxc2sinax ??1當(dāng)a1y*AsinxBcos代入A(a21)sinxB(a21)cosxsin

??2 a2

,B0,所以y* a2

sinx ??4當(dāng)a1y*xAsinxBcos代入原方程得2Acosx2Bsinxsin

??58 ??綜上所述，當(dāng)a1y

cosax

a2

sin當(dāng)a1y

cosx

??92 f(x在[0，1]上連續(xù)且遞減，證明：當(dāng)010f(x)dx0f 證：0f(x)dx0f(x)dx0f(x)dx0f(x)dxf ??2 (1)0f(x)dxf(x)dx(1)f(1)(1)f(1f(1f(2 ??5其中0121.因f(x)遞減，則有f(1)f(2 ??7又0,10，因此(1)[f(1)f(2)]0，即原不等式成 ??9八、(9分)y3|x21|xy3旋轉(zhuǎn)所yx22(0x1),y4x2(1x ??3dV2{32[34 ??7由對稱性得V2(VV2

2[3(x22)]2}dx22{32[3(4x2 222

(82x2x4)dx2(8x

2x3

x5)

??9 數(shù)學(xué)（試卷四2x|x|dx 22已知f

)12

x0f

2x)f(x0

yexysin設(shè)方程 ycosx確定的y為x的函數(shù)，

xexy2 0 0 設(shè)A.

，其中ai0i12,,n n1 0

1an1A10

01 1

0 量X量X

0

0x1Y表示對X 1

其 察 X 出現(xiàn)的次數(shù)，則P{Y=2} 2 3(A)r (B)r< (C)r )設(shè)0P(A) 0P(B) P(A|B)P(A|B)1， (A)A和B互不相 (B)A和B互相對(C)A和B互不獨(dú) (D)A和B相互獨(dú)XX,XN(,2X11 11 n記s1 (XiXn

， (XiXnn

，s3 (Xi)nns24

1n

(Xi)2，則服從自由度為n1的t分布的 量 nt n

t s2

tXnn

tXs4計算二重積分(xy)dxdyDxy|x2y2xyD)解：由x2y2xy1，得(x1)2(y123 ??1) 令x1rcos,y1rsin， ??2 (xy)dxdy2rdr ??3 D 2r[rsinrcos]20

??42

2rdr

3 ??62

y"4y'4y 設(shè)函數(shù)yy(x)滿足條件y(0)2,y'(0)4，求廣義積分 解：解特征方程r24r40r ycc

2

??2 ??4 0于是y(x)dx2e2xdxe2xd(2x)1 ??50 2已知f(x,y)x x

， 解：f ??2 2xarctan ( ) ( 1y((

1x x2 2x ??3 x2 x22 x2(x2y2)x2y2 3y2(x2y2)y32 x22 .??52

()

(x2y2 (x2y2 x20f(xf(0)0F(x)xtn1f(xntn)dt求limF(x)0 1

x0解：令uxt，則F(x)n0f(u)du， ??2分于是有F(x)xn1f(xn ??3

F

f(xn 因此lim2nlim 2n1

f'(0. ??5x0 x0 2n 已知曲線yax,(a0)與曲線yln在點(diǎn)(x0,y0)處有公共切線，求常數(shù)a及切點(diǎn)(x0y0兩曲線與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積解：(1)分別對yax和y x求導(dǎo),得y' a和y'1 ??1 由于兩曲線在點(diǎn)x

1得

1 ??2

將x1分別代入兩曲線方程,有ya 1ln1. 于是a1;x1e2,y 1 1,從而切點(diǎn)為(e2,1) ??4 (2) eVx0 xdx1 x) ??5e

2e22e2

[xln

ln12

[4e22xln4

e11e2xe2 ??8 f(x在[af"(x在(af(x)fF(x) x (xaF(x在(a證:F'(xf'(x)(xaf(xf(x] 1[f'(x)f(x)f]x x f(x) 由中值定理知，存在 x)，使 f'(x

??2??41F'(xxaf'(xf'(.fx)0fx在(a1x和(axf'(xxaxa2xa 1 1 xaxa2xa

f'(.F(x0,F(x單調(diào)增加??，設(shè)線性方程組 2 2 ，xaxa2xa 3 3 xaxa2xa 4 4 證明，若a1a2,a3a4兩兩不相等，則此線性方程組無解設(shè)a1a3ka2a4k(k012是該方程組的兩個解，其1,1,

1 1 A 2aa)(aa)(aa)(aa)(aa)(aa ??4A 但系數(shù)矩陣A的秩R(A)3，故R(A)R(A)，因此原方程組無解 ??6(2)當(dāng)a1a3ka2a4k(k0xkxk2xkx1kx2k2x3k xkxk2x xkxk2xk

，即 xkxk2xk3

因

xkxk2xk ??81 212是原非齊次方程組的兩個解，故110 性方程組的解；且0，因此是導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系 ??0 2于是原非齊次方程組的通解X1c1c0（為任意常數(shù).）??1 設(shè)A 1 解：解特征方程|EA|321(1)2(1)0得特征值11（二重，2 ??3 01 01 而(EA)x0yx0y， ??6 1 1

因?yàn)椴煌卣髦邓鶎?yīng)的特征向量線性無關(guān)，所以矩陣A要有三個線性無關(guān)的特征向量，必須滿足條件xy0 ??8P{X0}0.6,P{X1}0.4(i1,2,3,4).求行列式X X2的概率分布 X X 解：記Y1X1X4，Y2X2X3，則XY1Y2，且Y1,Y2獨(dú)立同分布 ??2 ??3P{Y10P{Y2010.160.84 ??4于是隨量XY1Y2有三個可能值1,0,1，且易 ??5P{X0}120.13440.7312.XX

X2~

??8 0 X（毫米）N(1)，內(nèi)徑小于已知銷售利潤T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：T

XX解：設(shè)(x是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，(xE(T)20P{10X12}P{X10}5P{X20[(12)(10)](10)5[1(12

??3dE(T25(12)21(10)5. ??5分令 25(12)21(10)0 dE(Td (12

(10

(12

(10得

0，即

??7

111ln2510.9.

??8數(shù)學(xué)（試卷五~(4)(1)~(4)) 3(1) dt bf在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的根 (A)0 (B)1 (C)2 設(shè)A，B都是n階非零矩陣，且AB=0，則A和B的 (A)必有一個等于零(B)都小于 (C)一個小于n,一個等于 (D)都等于設(shè)有向量組11,1,2,4，20,3,12，33,0,7,14，41225(2,1,5,10)則該向量組的極大線性無關(guān)組 (A)1,2 (B)1,2 (C)1,2 (D)1,2,4(4)】三、(本題滿分5分)求極限lim[xx2ln(1 1解：令t ， ??11x)]lim[x x x)]

tln(1ln(1t)]ln(1t)] 2 t0 1 1t 1. ??5t t02(1 四、(5分)】五、(本題滿分6分)sin已知

f

fx

sinx

是f(x)的一個原函數(shù)有f(x

sinx x

xcosxsinx

??1因此x3f'(x)dxx3f(x)3x2f ??2 x3f(x)3x2d(sinx)x3f(x)3[x2sinx2sin

??4 ??6某養(yǎng)殖場飼養(yǎng)兩種魚，若甲種魚放養(yǎng)x（萬尾），乙種魚放養(yǎng)y（萬尾），收獲時兩種魚的收獲量分別為(3axy)x和(4x2ayy（a0).求使