離散數(shù)學(xué)群論代數(shù)系統(tǒng)

離散數(shù)學(xué)群論代數(shù)系統(tǒng)第一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日課程安排總學(xué)時(shí)：64講課學(xué)時(shí)：64(1-16周,每周4學(xué)時(shí))教材：《離散數(shù)學(xué)》孫吉貴等-----高等教育出版社參考教材:1《離散數(shù)學(xué)-學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答》孫吉貴等

-----高等教育出版社2《代數(shù)結(jié)構(gòu)與組合數(shù)學(xué)》屈婉玲編著-----北京大學(xué)出版社3《離散數(shù)學(xué)習(xí)題集》(抽象代數(shù)分冊(cè))張立昂編著-------北京大學(xué)出版社4《應(yīng)用近世代數(shù)》胡冠章編著-----清華大學(xué)出版社第二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日課程重要性離散思想考研課程計(jì)算機(jī)等級(jí)考試課程程序員考試課程抽象思維能力的培養(yǎng)第三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日第一講內(nèi)容提要

I.群論的出現(xiàn)及其創(chuàng)始者Galois、Abel,環(huán)論、域論與布爾代數(shù)II.近世代數(shù)的應(yīng)用III.代數(shù)運(yùn)算及其性質(zhì)IV.代數(shù)系統(tǒng)第四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日I.群論的出現(xiàn)

群論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)非常重要的分支,群論產(chǎn)生的開(kāi)端非常平凡,但是群論的創(chuàng)立者卻充滿(mǎn)了傳奇.這要從代數(shù)方程的求解方法談起。代數(shù)方程根式解法的研究有很悠久的歷史。大家知道，一個(gè)實(shí)系數(shù)的代數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域中只要能分解成一些實(shí)系數(shù)的一次因式與二次因式的乘積，則利用我們熟知的二次方程:第五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日與一次方程的解得到原方程的解。為此，人們?cè)噲D對(duì)次數(shù)更高的方程得到類(lèi)似的求解公式.不過(guò)，由于一般三次方程相對(duì)于二次方程求根公式要復(fù)雜得多，所以古代數(shù)學(xué)家在這方面的努力都未能獲得成功。二次方程的求根公式第六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日直至16世紀(jì)形如ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求根公式才被意大利數(shù)學(xué)家費(fèi)羅(Ferro)和塔爾塔里亞(Tartalia)彼此獨(dú)立發(fā)現(xiàn)。后來(lái)，意大利數(shù)學(xué)和物理學(xué)家卡爾達(dá)塔(Cardano)在得知塔氏的發(fā)明后，央求塔氏將求解方法告訴他，塔氏在其允諾絕對(duì)保密的條件下同意了。但是卡爾達(dá)塔卻背棄諾言，1545年將塔氏關(guān)于三次方程的解法發(fā)表在自己的著作《大術(shù)》(ArsMagna)一書(shū)中.在三次方程求解問(wèn)題解決后，一般四次方程很快被意大利數(shù)學(xué)家費(fèi)拉里(Ferrari)所解決，也發(fā)表在這部書(shū)中。第七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)一般的二、三、四次方程的求根公式在不同時(shí)代被解決之后，人們毫不猶豫地繼續(xù)尋求一般五次及以上方程的求根公式。但事情的發(fā)展似乎突然停了下來(lái).雖然有很多數(shù)學(xué)家作出了努力,其中包括18世紀(jì)中葉偉大的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler),經(jīng)過(guò)三個(gè)世紀(jì)之久仍然沒(méi)有一個(gè)人能找出五次方程的求根公式.

由于在漫長(zhǎng)的歲月里久久找不到一般五次方程的根式解法，于是數(shù)學(xué)家們開(kāi)始進(jìn)行反思。拉格朗日(Lagrange)在1770年猜測(cè):“這樣的求根公式不存在.他預(yù)見(jiàn)到一般方程的可解性問(wèn)題最后將歸結(jié)到關(guān)于諸根的某些排列置換問(wèn)題”。第八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日群論的創(chuàng)始人伽羅華和阿貝爾Lagrange的洞察力啟發(fā)了年輕的Abel與Galois，他們?cè)诶^承了Lagrange留下的寶貴遺產(chǎn)基礎(chǔ)上，各自作出了重要的貢獻(xiàn)。Abel

（N.H.Abel,1802-1829)，挪威數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者。1802年8月5日出生于一個(gè)牧師家庭，幼年喪父，家境貧寒。從小酷愛(ài)數(shù)學(xué)，13歲進(jìn)入奧斯陸一所教會(huì)學(xué)校學(xué)習(xí)，成績(jī)優(yōu)異。他16歲自學(xué)數(shù)學(xué)名著，中學(xué)時(shí)被譽(yù)為“數(shù)學(xué)迷”。他的數(shù)學(xué)老師霍爾姆博發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學(xué)天賦，不斷給予指導(dǎo)與資助。第九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日阿貝爾1821年阿貝爾上大學(xué)，在學(xué)校里他幾乎全是自學(xué)，并開(kāi)始花大量時(shí)間考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題，做研究工作。1825年大學(xué)畢業(yè)后，獲得獎(jiǎng)學(xué)金前往柏林和巴黎留學(xué)并謀職。在柏林他結(jié)識(shí)了數(shù)學(xué)家克雷爾（A.L.Crelle)，并成為好朋友，他鼓勵(lì)克雷爾創(chuàng)辦了著名的數(shù)學(xué)刊物《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》，1826年出第一卷刊登了阿貝爾的7篇文章，其中就有關(guān)于一般五次方程不能用根式求解的文章，以后各卷也有他的很多文章。第十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日阿貝爾當(dāng)阿貝爾的著作發(fā)表時(shí)，引起了所有數(shù)學(xué)家的驚奇。在這個(gè)著作中阿貝爾證明了這樣一個(gè)定理：“如果方程的次數(shù)n5，并且系數(shù)被看成字母，那么任何一個(gè)由這些系數(shù)所組成的根式都不可能是該方程的解。原來(lái)在三個(gè)世紀(jì)以來(lái)用根式去解這種方程之所以不能成功，只因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題就沒(méi)有解。1826年阿貝爾又到了巴黎，遇到了當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家勒讓德和柯西。當(dāng)時(shí)他寫(xiě)了一篇關(guān)于橢圓積分的論文，提交給法國(guó)科學(xué)院，但不幸沒(méi)有得到重視，只好又返回柏林。第十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日阿貝爾克雷爾為他謀求教授職務(wù)，沒(méi)有成功。1827年5月阿貝爾貧病交加地回到挪威。次年4月6日患結(jié)核病不幸去世，年僅27歲。就在他去世后兩天后，克雷爾來(lái)信通知他已被柏林大學(xué)任命為數(shù)學(xué)教授。但為時(shí)已晚，阿貝爾已無(wú)法前往接受這一職務(wù)了。阿貝爾去世前不久，人們才認(rèn)識(shí)到他的價(jià)值。1828年，有4位法國(guó)科學(xué)院院士上書(shū)挪威國(guó)王，請(qǐng)他為阿貝爾提供合適的科學(xué)研究位置，勒讓德也在科學(xué)院會(huì)議上對(duì)阿貝爾大家贊揚(yáng)。阿貝爾在數(shù)學(xué)方面的成就是多方面的，除五次方程外，他還研究了更廣泛一類(lèi)的代數(shù)方程，后人發(fā)現(xiàn)這就是具有交換的伽羅華群的方程。后人為了紀(jì)念他，就把交換群稱(chēng)為Abel群第十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日阿貝爾1824年,挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(Abel)證明了拉格朗日的看法.

阿貝爾在高中讀書(shū)時(shí)就閱讀了拉格朗日、高斯有關(guān)方程式論的著作。開(kāi)始時(shí)，他利用高斯處理二項(xiàng)式方程的具體方法去研究五次方程，曾一度以為能用根式解出五次方程，但很快他發(fā)現(xiàn)其中存在的問(wèn)題。第十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日阿貝爾這時(shí)，Abel敏感地猜想到一般五次方程不可能用根式求解的結(jié)論。接著，Abel成功地證明了一條定理，今天稱(chēng)之為Abel定理。由此定理，Abel就證明了：“高于四次的一般方程不可能有一般形式的根式解”。這是數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)重要成就。第十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日阿貝爾但是雖然沒(méi)有通用公式,有些特殊的五次方程有求根公式,那么自然會(huì)問(wèn):如何判定一個(gè)給定的五次方程是否有這樣的求根公式?對(duì)具有根式解的代數(shù)方程的特征問(wèn)題，阿貝爾一直在竭盡全力地研究這個(gè)問(wèn)題.不幸的是，1829年死神奪去了年僅26歲的他，使他即將完成的光輝事業(yè)功虧一簣。第十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日挪威天才數(shù)學(xué)家阿貝爾(Abel)第十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日伽羅華在這一時(shí)期,碰巧還有一位年輕人也在勤奮地鉆研這個(gè)問(wèn)題,而且最終取得了成功,他就是伽羅華(Galois).伽羅華1811年10月降生于巴黎近郊.只活了20歲，而他所留下的著作總共只有60頁(yè)，但卻以自己天才的創(chuàng)造，猶如劃破黑夜長(zhǎng)空的一顆彗星——Galois的出現(xiàn)，開(kāi)創(chuàng)了置換群論的研究.可是這位年輕人獲得的非凡成果,在他因決斗去世11年后才開(kāi)始得到數(shù)學(xué)界的承認(rèn).伽羅華幼年受過(guò)良好教育，12歲上中學(xué)，1827年16歲就開(kāi)始自學(xué)勒讓德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。第十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日伽羅華不久，他遇到了數(shù)學(xué)教師里查德，里查德很快就發(fā)現(xiàn)了伽羅華的數(shù)學(xué)才能，在他的指導(dǎo)下，伽羅華開(kāi)始研究代數(shù)方程理論，1828年17歲時(shí)高中未畢業(yè)便有重大發(fā)現(xiàn)，寫(xiě)出了關(guān)于循環(huán)連分?jǐn)?shù)特別是五次代數(shù)解法的重要論文。1829年18歲的他中學(xué)畢業(yè)參加聲望很高的巴黎高等工科大學(xué)的入學(xué)考試時(shí),伽羅華失敗了,不得不進(jìn)入較普通的師范學(xué)校.第十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日伽羅華1829年，他把自己所寫(xiě)的論文送交法國(guó)科學(xué)院審查，同年6月該科學(xué)院曾舉行例會(huì)，由泊松（S.D.Poisson)和柯西兩位著名數(shù)學(xué)家審查，但由于重視不夠，原稿被柯西弄丟了。1829年他又寫(xiě)了一些關(guān)于方程方面的重要論文。同年7月，他在巴黎高等工科大學(xué)的入學(xué)考試中再次失敗。第十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日伽羅華懷著沮喪之情,伽羅華于1830年初又向科學(xué)院提交了另一篇論文,這次是為競(jìng)爭(zhēng)一項(xiàng)數(shù)學(xué)大獎(jiǎng).

科學(xué)院秘書(shū)傅立葉(Fourier)將其手稿拿回家去審讀,不料在寫(xiě)出評(píng)審報(bào)告前去世了,此文再也沒(méi)有找到.第二十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日伽羅華三失手稿,加之考巴黎高等工科大學(xué)兩度失敗,伽羅華遂對(duì)科學(xué)界產(chǎn)生排斥情緒,變成了學(xué)生激進(jìn)分子,被學(xué)校開(kāi)除.

擔(dān)任私人輔導(dǎo)教師謀生,但他的數(shù)學(xué)研究工作依然相當(dāng)活躍.在仔細(xì)研究了Lagrange、Gauss、Abel、Cauchy等人著作的基礎(chǔ)上寫(xiě)出了最著名的論文“關(guān)于方程可根式求解的條件”,并于1831年1月送交科學(xué)院.

到3月,

科學(xué)院方面仍杳無(wú)音訊,于是他寫(xiě)信給院長(zhǎng)打聽(tīng)他的文章的下落,結(jié)果又如石沉大海.第二十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日伽羅華他放棄了一切希望,參加了國(guó)民衛(wèi)隊(duì).在那里和他在數(shù)學(xué)界一樣運(yùn)氣不佳.他剛加入不久,衛(wèi)隊(duì)即遭控告陰謀造反而被解散.在1831年5月10日進(jìn)行的一次抗議聚宴上,伽羅華手中舉著出鞘的刀提議為國(guó)王干杯,這一手勢(shì)被同伙們解釋成是要國(guó)王的命；第2天他就被捕了.后來(lái)被判無(wú)罪,并于6月15日獲釋.

第二十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日伽羅華7月4日,他終于打聽(tīng)到他給科學(xué)院的那篇論文的命運(yùn):因“無(wú)法理解”而遭拒絕.

審稿人是著名的數(shù)學(xué)家泊松(Poisson)，正如當(dāng)年高斯沒(méi)能理解年輕的阿貝爾的思想一樣，由于伽羅華的理論太深刻以至于超出了他所在的那個(gè)時(shí)代，從而他的論文也未被當(dāng)代大師所領(lǐng)悟，結(jié)果泊松的審查意見(jiàn)竟是“完全不能理解”，但是伽羅華的短暫生命使他已經(jīng)沒(méi)有時(shí)間再解釋其深刻思想了.7月14日他又遭逮捕并被判了六個(gè)月監(jiān)禁,因?yàn)樗诠矆?chǎng)所身著已被解散的國(guó)民衛(wèi)隊(duì)的制服.第二十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日伽羅華在獲釋不久,他陷入了與斯特凡妮小姐的戀情.這導(dǎo)致了他的早亡.這次戀愛(ài)事件不知何故引出了一場(chǎng)決斗.1832年5月29日,

決斗的前夜,伽羅華寫(xiě)了封很長(zhǎng)的信給他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier),先大致描述了他的數(shù)學(xué)理論,從而給數(shù)學(xué)界留下了唯一一份重要手稿，奠定了近世代數(shù)的理論基礎(chǔ)，否則將使數(shù)學(xué)界乃至科學(xué)界蒙受重大損失。他對(duì)自己的研究成果不無(wú)自信地說(shuō)“你可以公開(kāi)地請(qǐng)求雅可比或高斯，請(qǐng)他們不是對(duì)這些東西的正確性，而是對(duì)它們的重要性發(fā)表意見(jiàn)，我期待著一定會(huì)有人認(rèn)識(shí)到，解開(kāi)這個(gè)迷對(duì)他們是有益的”。第二十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日伽羅華在第二天的決斗中(離25步遠(yuǎn)用手槍射擊),伽羅華的胃部中彈,24小時(shí)后去世.享年不足21歲.他的信后來(lái)發(fā)表在1832年9月的“百科評(píng)論”上，但當(dāng)時(shí)并未引起人們的重視。14年后，法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾從伽羅華的弟弟手中搜集到一些尚未公開(kāi)發(fā)表的手稿，并把它發(fā)表在自己創(chuàng)辦的數(shù)學(xué)雜志上，人們才開(kāi)始對(duì)伽羅華的思想有所理解。伽羅華留給世界的最核心的概念是(置換)群,他成了群論的創(chuàng)始人.第二十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日環(huán)論環(huán)論起源于19世紀(jì)關(guān)于實(shí)數(shù)域的擴(kuò)張與分類(lèi)，以及戴德金、哈密頓等人對(duì)超復(fù)數(shù)系的建立和研究。環(huán)構(gòu)造的研究可以說(shuō)是從1908年魏得邦的著名論文《有限維代數(shù)的構(gòu)造》開(kāi)始的。20世紀(jì)二、三十年代，諾特(Noether)在環(huán)中引入了左、右理想的概念建立了環(huán)的理想理論。二十世紀(jì)40年代，環(huán)的根理論迅速發(fā)展，特別是雅各布森所創(chuàng)造的一般環(huán)的根的概念，建立了本原環(huán)的理論。20世紀(jì)50年代，阿密蘇和庫(kù)洛什又創(chuàng)立了根的一般理論，環(huán)論已趨完善。第二十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日域論域也是代數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，有著悠久的歷史。早在19世紀(jì)初，伽羅華在研究方程的根式解時(shí)就有了域的概念。后來(lái)在戴德金和克羅內(nèi)克關(guān)于代數(shù)數(shù)的著作里，雖然也出現(xiàn)過(guò)域的概念，不過(guò)那時(shí)還沒(méi)有域的抽象概念。域的抽象概念始自韋伯，并在其影響下，德國(guó)數(shù)學(xué)家施泰尼茨（E.Steinitz)對(duì)抽象域進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。1910年他發(fā)表了論文《域的代數(shù)理論》，第一次對(duì)域的理論作了全面和系統(tǒng)地闡述，奠定了域論的基礎(chǔ)。第二十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日布爾代數(shù)1835年，20歲的喬治·布爾開(kāi)辦了一所私人授課學(xué)校。為了給學(xué)生們開(kāi)設(shè)必要的數(shù)學(xué)課程，他興趣濃厚地讀起了當(dāng)時(shí)一些介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的教科書(shū)。不久，他就感到驚訝，這些東西就是數(shù)學(xué)嗎？實(shí)在令人難以置信。于是，這位只學(xué)過(guò)初級(jí)數(shù)學(xué)的青年自學(xué)了艱深的《天體力學(xué)》和很抽象的《分析力學(xué)》。由于他對(duì)代數(shù)關(guān)系的對(duì)稱(chēng)和美有很強(qiáng)的感覺(jué)，在孤獨(dú)的研究中，他首先發(fā)現(xiàn)了不變量，并把這一成果寫(xiě)成論文發(fā)表。這篇高質(zhì)量的論文發(fā)表后，布爾仍然留在小學(xué)教書(shū),是他開(kāi)始和許多第一流的英國(guó)數(shù)學(xué)家交往或通信，其中有數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家德·摩根。第二十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日布爾代數(shù)摩根在19世紀(jì)前半葉卷入了一場(chǎng)著名的爭(zhēng)論，布爾知道摩根是對(duì)的，于是在1848年出版了一本薄薄的小冊(cè)子來(lái)為朋友辯護(hù)。這本書(shū)是他6年后更偉大的東西的預(yù)告，它一問(wèn)世，立即激起了摩根的贊揚(yáng)，肯定他開(kāi)辟了新的、棘手的研究科目。布爾此時(shí)已經(jīng)在研究邏輯代數(shù)，即布爾代數(shù)。他把邏輯簡(jiǎn)化成極為容易和簡(jiǎn)單的一種代數(shù)。在這種代數(shù)中，適當(dāng)?shù)牟牧仙系?推理"，成了公式的初等運(yùn)算的事情，這些公式比過(guò)去在中學(xué)代數(shù)第二年級(jí)課程中所運(yùn)用的大多數(shù)公式要簡(jiǎn)單得多。這樣，就使邏輯本身受數(shù)學(xué)的支配。為了使自己的研究工作趨于完善，布爾在此后6年的漫長(zhǎng)時(shí)間里，又付出了不同尋常的努力。第三十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日布爾代數(shù)1854年，他發(fā)表了《思維規(guī)律》這部杰作，當(dāng)時(shí)他已39歲，布爾代數(shù)問(wèn)世了，數(shù)學(xué)史上樹(shù)起了一座新的里程碑。幾乎像所有的新生事物一樣，布爾代數(shù)發(fā)明后沒(méi)有受到人們的重視。歐洲大陸著名的數(shù)學(xué)家蔑視地稱(chēng)它為沒(méi)有數(shù)學(xué)意義的哲學(xué)上稀奇古怪的東西，他們懷疑英倫島國(guó)的數(shù)學(xué)家能在數(shù)學(xué)上做出獨(dú)特貢獻(xiàn)。布爾在他的杰作出版后不久就去世了。20世紀(jì)初，羅素在《數(shù)學(xué)原理》中認(rèn)為，"純數(shù)學(xué)是布爾在一部他稱(chēng)之為《思維規(guī)律》的著作中發(fā)現(xiàn)的。"此說(shuō)一出，立刻引起世人對(duì)布爾代數(shù)的注意。今天，布爾發(fā)明的邏輯代數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為純數(shù)學(xué)的一個(gè)主要分支。第三十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日近世代數(shù)的應(yīng)用1項(xiàng)鏈問(wèn)題：用n個(gè)顏色的珠子做成有m顆珠子的項(xiàng)鏈，問(wèn)可做成多少種不同類(lèi)型的項(xiàng)鏈?2分子結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題：在化學(xué)上由某幾種元素可合成多少種不同的物質(zhì)問(wèn)題，由此指導(dǎo)人們?cè)谧匀唤鐚ふ一蛉斯ず铣蛇@些物質(zhì)。3正多面體著色問(wèn)題：一個(gè)正多面體的頂點(diǎn)和面用n種顏色著色，問(wèn)有多少種不同的方法？4圖的構(gòu)造與計(jì)算問(wèn)題。第三十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日近世代數(shù)的應(yīng)用5開(kāi)關(guān)電路的構(gòu)造與計(jì)算問(wèn)題。6數(shù)字通訊的可靠性問(wèn)題。7幾何做圖問(wèn)題。8代數(shù)方程根求解問(wèn)題。隨著代數(shù)學(xué)的發(fā)展，象上面例子中的情況一樣，引入了許多運(yùn)算系統(tǒng)，開(kāi)始是單個(gè)地、獨(dú)立地研究各個(gè)具體的運(yùn)算系統(tǒng)。逐漸地發(fā)現(xiàn)，很多運(yùn)算系統(tǒng)有相同的運(yùn)算性質(zhì)。我們可以抽象出來(lái)進(jìn)行討論。抽象地討論而得的結(jié)果適用于各個(gè)具體的運(yùn)算系統(tǒng)。這種抽象出共同本質(zhì)后進(jìn)行統(tǒng)一處理的方法是事半功倍的，因而是代數(shù)學(xué)研究以及數(shù)學(xué)研究中最常用的手段，代數(shù)學(xué)中抽象的代數(shù)運(yùn)算很多，但最基本的、最重要的就是群、環(huán)和域。第三十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日III.代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)設(shè)S是一個(gè)非空集合，稱(chēng)S×S到S的一個(gè)映射f為S的一個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，即，對(duì)于S中任意兩個(gè)元素a，b，通過(guò)f，唯一確定S中一個(gè)元素c：f（a，b）=c，常記為a*b=c。Sfabcd第三十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日代數(shù)運(yùn)算是閉運(yùn)算。該運(yùn)算具有很強(qiáng)的抽象性，不限于+，-，*，/，意義很廣泛。類(lèi)似地，可定義S的n元代數(shù)運(yùn)算：Sn到S的映射。S中元素任意性使a，b可以是同一個(gè)元素。第三十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例子例

自然數(shù)集N上的加法和乘法是N上的二元代數(shù)運(yùn)算；減法和除法不是N上的二元代數(shù)運(yùn)算，因?yàn)閮蓚€(gè)自然數(shù)相減或相除可能得到的不是自然數(shù)。此外。0雖然是自然數(shù)，但0不可以作除數(shù)。普通的加法、減法與乘法是整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R與復(fù)數(shù)集C上的二元代數(shù)運(yùn)算，而除法不是這些集合上的二元代數(shù)運(yùn)算，為什么？第三十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例子例

非零實(shí)數(shù)集R*上的乘法、除法是R*上的二元代數(shù)運(yùn)算；加法和減法不是R*上的二元代數(shù)運(yùn)算，因?yàn)閮蓚€(gè)非零實(shí)數(shù)相加或相減可能得出0

例

設(shè)S是一個(gè)非空集合，ρ（S）

是S的冪集，則集合的交運(yùn)算∩、并運(yùn)算∪是ρ（S）上的二元代數(shù)運(yùn)算。

第三十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日III代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)定義

設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于S中任意兩個(gè)元素a，b，等式a*b=b*a都成立，則稱(chēng)運(yùn)算“*”滿(mǎn)足交換律。定義

設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于S中任意三個(gè)元素a，b，c，等式（a*b）*c=a*（b*c）都成立，則稱(chēng)運(yùn)算*滿(mǎn)足結(jié)合律。第三十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)定義

設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，a是S中的元素，如果a*a=a則稱(chēng)a是關(guān)于運(yùn)算*的冪等元。如果S中每個(gè)元素都是關(guān)于*的冪等元，則稱(chēng)運(yùn)算“*”滿(mǎn)足等冪律。定義

設(shè)*和+是集合S上的兩個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于S中任意三個(gè)元素a，b，c，等式a*（b+c）=（a*b）+（a*c），（b+c）*a=（b*a）+（c*a）都成立，則稱(chēng)運(yùn)算*對(duì)+滿(mǎn)足分配律。

第三十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)定義

設(shè)*和+是集合S上的兩個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于S中任意兩個(gè)元素a，b，等式a*（a+b）=a，a+（a*b）=a，都成立，則稱(chēng)運(yùn)算*和+滿(mǎn)足吸收律。例6.1.5整數(shù)集Z上的加法、乘法都滿(mǎn)足結(jié)合律和交換律，乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律，但加法對(duì)乘法不滿(mǎn)足分配律；減法不滿(mǎn)足結(jié)合律，也不滿(mǎn)足交換律；它們都不滿(mǎn)足等冪律，也不滿(mǎn)足吸收律。第四十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例子例6.1.6n階實(shí)矩陣集合上的加法滿(mǎn)足結(jié)合律，也滿(mǎn)足交換律；乘法滿(mǎn)足結(jié)合律，但不滿(mǎn)足交換律；它們都不滿(mǎn)足等冪律，也不滿(mǎn)足吸收律。例6.1.7設(shè)S是一個(gè)非空集合，ρ（S）

是S的冪集，則ρ（S）上的交運(yùn)算∩、并運(yùn)算∪都滿(mǎn)足結(jié)合律，交換律，∪對(duì)∩、∩對(duì)∪都滿(mǎn)足分配律，它們都滿(mǎn)足等冪律，也滿(mǎn)足吸收律。第四十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充定義設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，若存在elS（或erS)使得對(duì)S中任意元素a都有el*a=a(或a*er=a)，則稱(chēng)el（或er)是S中關(guān)于*運(yùn)算的左（或右）單位元。若eS關(guān)于*運(yùn)算既為左單位元又為右單位元，則稱(chēng)e為S中關(guān)于*運(yùn)算的單位元。例6.1.8整數(shù)集合Z中關(guān)于加法的單位元是0，關(guān)于乘法的單位元是1。第四十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充定義定義6.1.7設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，若存在lS（或rS)使得對(duì)S中任意元素a都有

l*a=l(或a*

r=r)，則稱(chēng)

l（或r)是S中關(guān)于*運(yùn)算的左（或右）零元。若

S關(guān)于*運(yùn)算既為左零元又為右零元，則稱(chēng)為S中關(guān)于*運(yùn)算的零元。例6.1.9n階（n2)實(shí)數(shù)矩陣集合Mn（R)中關(guān)于矩陣加法的單位元是n階全0矩陣，沒(méi)有零元，而關(guān)于矩陣乘法的單位元是n階單位矩陣，零元是n階全0矩陣。第四十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充定義設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，eS是S中關(guān)于*運(yùn)算的單位元。對(duì)于aS若存在alS（或arS)使得al*a=e(或a*ar=e)，則稱(chēng)al（或ar)是a關(guān)于*運(yùn)算的左（或右）逆元。若a-1S既是a關(guān)于*運(yùn)算的左逆元又為右逆元，則稱(chēng)a-1是a關(guān)于*運(yùn)算的逆元。n階（n2)實(shí)數(shù)矩陣集合Mn（R)中任何矩陣M關(guān)于矩陣加法的逆元是-M;而對(duì)于乘法只有可逆矩陣M有逆元M-1。第四十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)可以證明集合S上關(guān)于二元運(yùn)算*的單位元，零元以及若*滿(mǎn)足結(jié)合律則S中任意元素a的逆元a-1是唯一的。定義6.1.7設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于S中任意三個(gè)元素a，b，c，（1）若a*b=a*c，則b=c，（左消去律）（2）若b*a=c*a，則b=c，（右消去律）就稱(chēng)*滿(mǎn)足消去律。需要說(shuō)明的是，有的書(shū)中限制a不是關(guān)于*運(yùn)算的零元。第四十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日n(n2)階實(shí)矩陣集合上的加法滿(mǎn)足消去律，但乘法不滿(mǎn)足消去律，例如，101110111111=但000000110011例子第四十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日IV.代數(shù)系統(tǒng)定義6.1.8設(shè)S是一個(gè)非空集合，f1，……，fm是S上的若干代數(shù)運(yùn)算，把S及其運(yùn)算f1，……，fm看成一個(gè)整體來(lái)看，叫做一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，記為（S，f1，……，fm）例6.1.13設(shè)Z為整數(shù)集，Z0為偶數(shù)集，N為自然數(shù)集，+、·是數(shù)的加法和乘法，則（Z，+）、（Z，

·）、（Z，+，·）都是代數(shù)系統(tǒng)；（Z0，+）、（Z0，

·）、（Z0，+，·）都是代數(shù)系統(tǒng)；（N，+）、（N，

·）、（N，+，·）都是代數(shù)系統(tǒng)。如果用、☉分別表示求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的運(yùn)算，那么（Z0，，☉

），（Z，，☉

）也是代數(shù)系統(tǒng)。第四十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日代數(shù)到目前位置我們已經(jīng)對(duì)代數(shù)系統(tǒng)有了基本的了解，但實(shí)際當(dāng)中存在許多代數(shù)系統(tǒng)更為復(fù)雜，非空的S可能為一個(gè)集合族，運(yùn)算也不是一個(gè)集合上的運(yùn)算而是在不同的集合之間的運(yùn)算，即運(yùn)算數(shù)與運(yùn)算結(jié)果屬于集合族中不同的集合，這樣的代數(shù)系統(tǒng)叫做代數(shù)或分類(lèi)代數(shù)。使用代數(shù)可以給出抽象數(shù)據(jù)類(lèi)型的代數(shù)規(guī)范，從傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)到抽象數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的使用是軟件系統(tǒng)設(shè)計(jì)的新發(fā)展。把一類(lèi)數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)上的操作封裝在一起就構(gòu)成了一個(gè)抽象數(shù)據(jù)類(lèi)型。第四十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日本節(jié)重點(diǎn)對(duì)本節(jié)這些運(yùn)算性質(zhì)要熟悉其定義并會(huì)推斷某些性質(zhì)是否成立。后面各種群、環(huán)、域、格與布爾代數(shù)等代數(shù)系統(tǒng)的定義都是根據(jù)運(yùn)算的性質(zhì)來(lái)下的，因此對(duì)某代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行判斷（如判斷它是否為群），都必然歸結(jié)到對(duì)運(yùn)算性質(zhì)的判斷上，這是本部份最為重要內(nèi)容之一。第四十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日第二講內(nèi)容提要I.半群的定義II.群的定義III.群的性質(zhì)第五十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日I.半群設(shè)G是一個(gè)非空集合，若·為G上的二元代數(shù)運(yùn)算，且滿(mǎn)足結(jié)合律，則稱(chēng)該代數(shù)系統(tǒng)（G，·）為半群。若（G，·）是半群，且G中存在對(duì)于·運(yùn)算的單位元e,則把（G，·）稱(chēng)為獨(dú)異點(diǎn)。

設(shè)S是一個(gè)非空集合，ρ（S）是S的冪集，∩和∪是ρ（S）上的交運(yùn)算和并運(yùn)算，則（ρ（S），∩）為半群，（ρ（S），∪）為半群。第五十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)S是一個(gè)非空集合，規(guī)定S上的運(yùn)算如下：ab=b，其中a，b是S中任意元素。顯然為S上的二元代數(shù)運(yùn)算。對(duì)S中任意三個(gè)元素a，b，c，有：（ab）c=bc=c，a（bc）=ac=c，故，（ab）c=a（bc），滿(mǎn)足結(jié)合律，因此，（S，）為半群。

例子第五十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例子例6.2.3自然數(shù)集N，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R關(guān)于普通加法或乘法都可以構(gòu)成半群和獨(dú)異點(diǎn)。正整數(shù)集Z+關(guān)于普通乘法構(gòu)成半群和獨(dú)異點(diǎn)，而關(guān)于加法只能構(gòu)成半群。第五十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日II.群的定義

設(shè)（G，·）為半群，如果滿(mǎn)足下面條件：(1)G中有一個(gè)元素1，適合對(duì)于G中任意元素a，都有1·a=a·1=a;(2)對(duì)于G中任意a，都可找到G中一個(gè)元素a-1，滿(mǎn)足a·a-1=a-1·a=1，則稱(chēng)（G，·）為群。元素1稱(chēng)為G的單位元素，a-1稱(chēng)為a的逆元素。如果群G包含的元素個(gè)數(shù)有限，則稱(chēng)G為有限群，否則稱(chēng)G為無(wú)限群。第五十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日群的條件注意:群的定義實(shí)際上包含5個(gè)條件⑴G非空；⑵·運(yùn)算封閉；⑶·運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律；⑷·運(yùn)算在G中有單位元；⑸G中任意元素對(duì)·運(yùn)算有逆。另外單位元1是群中唯一冪等元，且群中消去律恒成立。第五十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例子設(shè)Z為整數(shù)集，+、·是數(shù)的加法和乘法，則半群（Z，+）是群，稱(chēng)為整數(shù)加法群。因?yàn)榇嬖谠?，適合對(duì)于Z中任意元素a，都有0+a=a+0=a，即0為單位元素；且對(duì)于Z中任意a，都可找到Z中一個(gè)元素-a，滿(mǎn)足a+（-a）=（-a）+a=0，即-a為a的逆元素。第五十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例子例6.2.5令G={e,a,b,c}，*運(yùn)算由表1給出。容易驗(yàn)證*運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律，e是G中的單位元，任意元素a的逆a-1=a。G關(guān)于*運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為Klein四元群。eabceeabcaaecbbbceaccbae第五十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日例6.2.6G={1,-1}關(guān)于普通乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群.例6.2.7G={1,-1,i,-i}關(guān)于普通乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群,其中i=(-1)1/2.例

G={0,1,…,n-1}關(guān)于模n的加法作成一個(gè)群,記為Zn.第五十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日III.群的性質(zhì)-1定理

設(shè)（G，·）是一個(gè)群，則G中恰有一個(gè)元素1適合1·a=a·1=a，而且對(duì)于任意a恰有一個(gè)元素a-1適合a·a-1=a-1·a=1。證明：若1和1’都是單位元素，則1’=1·1’=1，故1’=1。若b和c都有a-1的性質(zhì)，則b=b·1=b·（a·c）=（b·a）·c=1·c=c，故b=c。這就是說(shuō)群的單位元素是唯一的，任意元素的逆也是唯一的。易見(jiàn)（a-1）-1=a（由逆元的唯一性直接得到）。

第五十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日群的性質(zhì)-2定理

群定義中的條件（1）和（2）可以減弱如下：（1）’G中有一個(gè)元素左壹適合1·a=a;（2）’對(duì)于任意a，有一個(gè)元素左逆a-1適合a-1·

a=1。證明：只要證明由（1）’、（2）’（和其余的條件聯(lián)合）可以推出（1）和（2），即只需證明a·1=a和a·a-1=1。第六十頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日證法一證法一：先證a·1=a.由（1）知有1·1=1，由（2）知a-1·a=1，用其部分代替上式中的1，得到（a-1·a）·1=a-1·a，由（2）知a-1有逆令其為b，并用b·左乘上式兩端得到b·（a-1·a）·1=b·(a-1·a),由于（G，·）是半群，·運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律，得到a·1=a?，F(xiàn)在證a·a-1=1.由（1）知a–1有左1使1·a–1=a–1，用a-1·a代替等式左端的1得到（a-1·a）·a-1=a–1，由（2）知a-1有左逆令其為b，并用b·左乘上式兩端得到b·（a-1·a）·a-1=b·a-1，得到a·a-1=1。第六十一頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日證法二證法二：先證a·1=a.由（1）知有1·1=1，由（2）知a-1·a=1，用其部分代替上式中的1，得到（a-1·a）·1=a-1·a，由（2）知a-1有逆令其為b，并用b·左乘上式兩端得到b·（a-1·a）·1=b·(a-1·a),由于（G，·）是半群，·運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律，得到a·1=a?，F(xiàn)在證a·a-1=1.由（2）知a-1有逆令其為b，于是b·a-1=1，用a·右乘等式兩端得到b·a-1·a

=1·a，故b=a，即a·a-1=1。證畢第六十二頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日證法三證法三先證a·a-1=1。因?yàn)椋╝-1·a）·a-1=1·a-1=a-1，故（a-1·a）·a-1=a-1。由（2）’，a-1也應(yīng)該有一個(gè)左逆b適合b·a-1=1。于是，一方面有：b·（（a-1·a）·a-1）=b·a-1=l，另一方面有：b·（（a-1·a）·a-1）=（b·a-1）·（a·a-1）=1·（a·a-1）=a·a-1，因此，a·a-1=1。再證a·1=a。事實(shí)上，

a·1=a·（a-1·a）=（a·a-1）·a=1·a=a。自然，把（1）’，（2）’中對(duì)于左邊的要求一律改成對(duì)于右邊的要求也是一樣。

第六十三頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日群的性質(zhì)-3定理

群定義中的條件（1）和（2）等于下列可除條件：對(duì)于任意a，b，有χ使χ·a=b，又有y使a·y=b。證明：分析，首先我們應(yīng)該清楚(G,·)是一個(gè)半群這個(gè)前提，其次要清楚x和y是G中的元素，最后要清楚定義中的（1）和（2）兩個(gè)條件在是承認(rèn)(G,·)是一個(gè)半群基礎(chǔ)上等價(jià)于可除條件的，即它們能夠互相推出，因此這是一個(gè)充分必要條件，需要證明充分性和必要性。為此，需要證明必要性，即在任一群中可除條件成立。因?yàn)?，取?b·a-1，y=a-1·b，即得χ·a=b，a·y=b，故，由（1）和（2）可以推出可除條件成立。第六十四頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日證明充分性，要證明由可除條件也可以推出（1），（2），為此首先證明由可除條件推出（1）’，（2）’，進(jìn)而可以推出（1），（2）。事實(shí)上，取任意c∈G，命e為適合х·c=c的х，則e·c=c。今對(duì)于任意a，有y使c·y=a，故e·a=e·（c·y）=（e·c）·y=c·y=a，即（1）’成立。至于（2）’，只要令a-1為適合х·a=e的х，則a-1·a=e。

第六十五頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日群的性質(zhì)-4定理

設(shè)G是一個(gè)群，在一個(gè)乘積a1…an中可以任意加括號(hào)而求其值。證明：

要證定理，只要證明任意加括號(hào)而得的積等于按次序由左而右加括號(hào)所得的積（…（（a1·a2）·a3）…·an-1）·an

（1）（1）式對(duì)于n=1，2不成問(wèn)題；對(duì)于n=3，由結(jié)合律也不成問(wèn)題。第六十六頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日證明現(xiàn)在對(duì)n用歸納法，假定對(duì)少于n個(gè)因子的乘積（1）式成立，試證對(duì)n個(gè)因子的乘積（1）式也成立。設(shè)有由a1…an任意加括號(hào)而得到的乘積A，求證A等于（1）式。設(shè)在A中最后一次計(jì)算是前后兩部分B與C相乘：

A=（B）·（C）今C的因子個(gè)數(shù)小于n，故由歸納假設(shè)，C等于按次序自左而右加括號(hào)所得的乘積（D）·an。由結(jié)合律，A=（B）·（C）=（B）·（（D）·an）=（（B）·（D））·an。第六十七頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日證明但（B）·（D）的因子個(gè)數(shù)小于n，故由歸納假設(shè)，（B）·（D）等于按次序由左而右加括號(hào)所得的乘積（B）·（D）=（…（（a1·a2）·a3）…·an-2）·an-1因而A=（（B）·（D））·an=（（…（（a1·a2）·a3）…·an-2）·an-1）·an即A等于（1）式。

第六十八頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日群的性質(zhì)-5n個(gè)a連乘所得的積稱(chēng)為a的n次方，記為an。規(guī)定:a0=1，a-n=（an）-1。對(duì)于任意整數(shù)m，n，下面定律成立第一指數(shù)律：am·an=am+n，第二指數(shù)律：（am）n=amn但一般群中第三指數(shù)律(a·b)n=an·bn不成立。對(duì)群中任意元素a,b有(ab)-=b-a-.第六十九頁(yè)，共七十七頁(yè)，2022年，8月28日證明證明：要證明(ab)-=b-a-，只要證明b-a-是ab的逆元即可。事實(shí)上(