矩陣?yán)碚摶A(chǔ)

矩陣?yán)碚摶A(chǔ)第一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日§2.1矩陣的運(yùn)算

矩陣的加法第二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日2運(yùn)算規(guī)律第三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日3

矩陣的數(shù)乘運(yùn)算規(guī)律第四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日4例1解：第五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日5

矩陣的乘法第六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日6不存在例2第七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日7例3第八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日8例4問(wèn)：E在矩陣乘法中的作用…第九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日9有了矩陣的乘法，可以得到線(xiàn)性方程組的矩陣表示形式對(duì)應(yīng)1.3節(jié)線(xiàn)性非齊次方程組⑴可以用矩陣形式表示為

AX=B

，其中B=b1b2bmA=，a11a21am1a12a22am2a1na2namnX=，x1x2xn稱(chēng)為方程組的增廣矩陣.對(duì)應(yīng)齊次方程組⑵可用矩陣形式表示為

AX=O

第十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日10運(yùn)算規(guī)律證(1):記第十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日11

方陣的冪設(shè)A是n階方陣，定義規(guī)定稱(chēng)為A的m次多項(xiàng)式。設(shè)為x的m次多項(xiàng)式，運(yùn)算規(guī)律第十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日12例5舉例說(shuō)明因下一例題說(shuō)明(2)(3)不成立。28頁(yè)第5題第十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日13例6成立的充要條件是A與B可交換(即AB=BA)。28頁(yè)第7題第十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日14例7解第十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日15注當(dāng)A與B可交換時(shí)，有下面二項(xiàng)展開(kāi)式稱(chēng)為純量矩陣，它與任何方陣可交換。第十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日16

矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT。如運(yùn)算規(guī)律第十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日17例8解法一解法二第十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日18例9解第十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日19例10解第二十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日20注：(1)(2)第二十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日21定義設(shè)A為n階方陣，如果滿(mǎn)足A=AT

,即,則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣.假設(shè)A,B都是n階對(duì)稱(chēng)矩陣，顯然kA,A+B都是對(duì)稱(chēng)矩陣。但AB不一定是對(duì)稱(chēng)矩陣。例如對(duì)稱(chēng)陣的元素以主對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等第二十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日22例12例11設(shè)，證明和分別是n階和m階對(duì)稱(chēng)矩陣。證證第二十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日23反對(duì)稱(chēng)矩陣:如果則矩陣A稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣。作業(yè)27頁(yè)1.2.4.6.9第二十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日24定義設(shè)A為n階方陣，如果滿(mǎn)足A=AT

,即,則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣.假設(shè)A,B都是n階對(duì)稱(chēng)矩陣，顯然kA,A+B都是對(duì)稱(chēng)矩陣。但AB不一定是對(duì)稱(chēng)矩陣。例如對(duì)稱(chēng)陣的元素以主對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等第二十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日25反對(duì)稱(chēng)矩陣:如果則矩陣A稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣。第二十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日26第二章矩陣?yán)碚摶A(chǔ)§2.4矩陣的秩與矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形§2.3可逆矩陣§2.2n階(方陣的)行列式§2.1矩陣的運(yùn)算§2.5分塊矩陣§2.6線(xiàn)性方程組解的存在性定理·Cramer法則第二十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日27

行列式出現(xiàn)于線(xiàn)性方程組的求解，它最早是一種速記的表達(dá)式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具。行列式是由萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆,對(duì)行列式的定義和展開(kāi)法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱(chēng)的解線(xiàn)性方程組的克萊姆法則。

在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，行列式只是作為解線(xiàn)性方程組的一種工具使用，沒(méi)有單獨(dú)形成一門(mén)理論。對(duì)行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙，他給出了用二階子式和它們的余子式來(lái)展開(kāi)行列式的法則。第二十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日28

繼范德蒙之后，又一位做出突出貢獻(xiàn)的就是另一位法國(guó)大數(shù)學(xué)家柯西。其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。繼柯西之后，雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成。由于行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線(xiàn)性方程組理論、二次型理論等多方面的應(yīng)用，促使行列式理論自身在19世紀(jì)也得到了很大發(fā)展。第二十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日29§2.2

n階(方陣的)行列式在D中劃掉第i行和第j列元素而剩下的元素按原來(lái)相對(duì)位置不變所構(gòu)成的低一階的行列式，稱(chēng)為(i,j)元素的余子式，記為Mij

,稱(chēng)Aij

=(-1)i+jMij為(i,j)元素的代數(shù)余子式。定義用式子D表示方陣A的元素按某種規(guī)則運(yùn)算得到的一個(gè)數(shù)，稱(chēng)為A的行列式。第三十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日30例如：第三十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日31n階行列式的值定義如下(遞歸定義):當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，定義定義上式又稱(chēng)行列式按第一行展開(kāi)。第三十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日32由定義，可得二階行列式與三階行列式的計(jì)算第三十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日33計(jì)算下三角行列式按第1行展開(kāi)按第1行展開(kāi)例1第三十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日34推論1如果行列式有一行（列）為零，則行列式等于零。例如性質(zhì)1行列式按任意一行展開(kāi)，其值相等。第三十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日35例如性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào)。再如，證明推論2如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。第三十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日36性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面。例如第三十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日37推論3

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零。例如推論4

是一個(gè)數(shù)。第三十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日38性質(zhì)4

若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則可把這兩個(gè)數(shù)拆開(kāi)，其它元素不變寫(xiě)成兩個(gè)行列式的和。例如第三十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日39性質(zhì)6行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。說(shuō)明行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的，對(duì)列也成立，反之亦然。性質(zhì)5

把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式的值不變。第四十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日40計(jì)算上三角行列式注意！例2第四十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日41例3三角形，然后計(jì)算行列式的值。只用這種變換，把行列式化為第四十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日42只用變換或只用變換一定能把行列式化為上(下)三角形.行列式的值不變.第四十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日43則性質(zhì)7

第四十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日44例4性質(zhì)8設(shè)A，B都是n階方陣，則

第四十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日45行列式的值等于按任一列(行)展開(kāi)，錯(cuò)列(錯(cuò)行)展開(kāi)必為零。行列式展開(kāi)定理性質(zhì)9

第四十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日46證明由定理1，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。作輔助行列式第i行(展開(kāi))展開(kāi)定理給出了行列式降階計(jì)算的思想。第四十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日47例5計(jì)算按定義按第3行展開(kāi)第四十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日48再驗(yàn)證一下錯(cuò)列或錯(cuò)行展開(kāi)是否為零?第四十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日49求例6第五十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日50一、階行列式的定義二、行列式的性質(zhì)行列式的計(jì)算:化三角形法;降階法§2.2方陣的行列式第五十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日51例1第五十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日52解例2．證明行列式第五十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日53矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣由|A|的各元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成稱(chēng)為A的伴隨矩陣。推論5

伴隨矩陣——研究可逆矩陣由行列式展開(kāi)定理第五十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日54計(jì)算

n階行列式解將第列都加到第一列上,得例3第五十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日55特征1：對(duì)于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在簡(jiǎn)化計(jì)算。第五十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日56爪形行列式(P35例7)例4特征2：第一行，第一列及對(duì)角線(xiàn)元素除外，其余元素全為零的行列式稱(chēng)為爪型行列式。第五十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日57范德蒙德(Vandermonde)行列式例5從最后一行開(kāi)始,每行減去上一行的倍.第五十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日58按最后一列展開(kāi)再提取每列的公因子第五十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日59第六十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日60第六十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日61練習(xí)解：所以根為x=1,2,3.第六十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日62例6第六十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日63第六十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日64練習(xí)自學(xué)P39例11行列式常用的計(jì)算方法：化三角法、降階法（遞推法）、歸納法、定義法。作業(yè)(P44)2(2)(3);3(3)(4);5;10課后思考4;8;9第六十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日65第二章矩陣?yán)碚摶A(chǔ)§2.4矩陣的秩與矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形§2.3可逆矩陣§2.2n階(方陣的)行列式§2.1矩陣的運(yùn)算§2.5分塊矩陣§2.6線(xiàn)性方程組解的存在性定理·Cramer法則第六十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日66§2.3

可逆矩陣定義對(duì)于n階矩陣A,如果有一個(gè)n階矩陣B,使得則說(shuō)矩陣A是可逆的,并把矩陣B稱(chēng)為A的逆矩陣.易知,如果A可逆,則其逆矩陣是唯一的,記作概念的引入:在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，

有其中為的倒數(shù)，

（或稱(chēng)的逆）；第六十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日67事實(shí)上，設(shè)B、C都是A的逆，則B=BE=BAC=EC=CAB=BA=EAC=CA=E從而，逆矩陣是唯一的它的逆矩陣存在嗎？解假設(shè)A的逆矩陣存在記作B,則而由已知得故矛盾,所以A的逆矩陣不存在.思考第六十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日68設(shè),由行列式乘法定理證設(shè)，由得當(dāng)時(shí),A稱(chēng)為奇異矩陣,否則稱(chēng)為非奇異矩陣.該定理也給出了求逆矩陣的方法之一。第六十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日69例1A可逆如第七十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日70例2求A的逆矩陣第七十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日71例3第七十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日72設(shè)例4第七十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日73第七十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日74思考:上(下)三角矩陣的逆矩陣仍是上(下)三角矩陣.§2.3

可逆矩陣第七十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日75推論1證推論表明的含義（P.49）第七十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日76例5證明A和A+2E都可逆,并求其逆.設(shè)方陣A滿(mǎn)足證第七十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日77性質(zhì)(P.49)第七十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日78證第七十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日79例6設(shè)A為3階方陣,,求解第八十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日80用初等變換求逆矩陣把單位矩陣分別作第一、第二、第三種初等行變換得到的矩陣分別稱(chēng)為第一、第二、第三種初等矩陣。定義記號(hào)第八十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日81úúú?ùêêê?é100010001úúú?ùêêê?é100010001第八十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日82初等矩陣都是可逆的，且其逆矩陣仍是同一種初等矩陣。性質(zhì)可作如下驗(yàn)證：第八十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日83計(jì)算第八十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日84(“左行右列”原則)P52

對(duì)一個(gè)矩陣施行一次初等行變換，相當(dāng)于在它的左邊乘以一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣；對(duì)一個(gè)矩陣施行一次初等列變換，相當(dāng)于在它的右邊乘以一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣。結(jié)論例7第八十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日85任一可逆矩陣可經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化成單位矩陣。即當(dāng)可逆矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣時(shí)，行最簡(jiǎn)形矩陣為單位矩陣。定理2.3.2（證明略書(shū)P.52）第八十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日86設(shè)即有初等矩陣使得問(wèn)作一次行變換再作一次行變換繼續(xù)…考慮對(duì)作行變換求逆矩陣的初等變換法第八十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日87任一可逆矩陣必可分解為有限個(gè)初等矩陣的乘積。從而,矩陣可逆的充要條件是它可分解為有限初等矩陣的乘積。定理2.3.3第八十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日88記為例8第八十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日89的解第九十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日90矩陣方程AX=B(假設(shè)A可逆)，如何求解？方法一：先求，再計(jì)算方法二：則方法一：求，再計(jì)算XA=B

(假設(shè)A可逆)？方法二：第九十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日91記為練習(xí)第九十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日92作業(yè)P541(2)(4);2;5(3)(4);6(2);7;8;12課后思考P543;4;9;10第九十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日93第二章矩陣?yán)碚摶A(chǔ)§2.4矩陣的秩與矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形§2.3可逆矩陣§2.2n階(方陣的)行列式§2.1矩陣的運(yùn)算§2.5分塊矩陣§2.6線(xiàn)性方程組解的存在性定理·Cramer法則第九十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日94§2.4矩陣的秩與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的秩是矩陣的一個(gè)數(shù)值特征之一;利用矩陣秩的概念可以清楚地去闡述線(xiàn)性方程組解的存在性和向量組的線(xiàn)性相關(guān)性等問(wèn)題.第九十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日95在矩陣A中,任取k行k列,位于這些行列交點(diǎn)上的元素按原次序構(gòu)成的k階行列式,稱(chēng)為A的k階子式.定義例如等等,它們都是二階子式.等等,它們都是三階子式.每一個(gè)元素都是一階子式.問(wèn):子式的最高階數(shù)？第九十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日96矩陣A的非零子式的最高階數(shù),稱(chēng)為A的秩,記做r(A).規(guī)定:零矩陣的秩是零.定義例如第九十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日97根據(jù)定義回答下面問(wèn)題：(2)m×n的矩陣A,其秩最大可能是?_______________r(A)≤min(m,n)(3)A有一個(gè)r階子式不為零,其秩至少是?________r(A)≥r(4)A有一個(gè)r階子式不為零,且所有r+1階都等于零,所有r+2子式都等于___,A的秩等于___。如果A的所有r階子式都等于零,則A的秩最大可能是_____。(5)r(A)?=r(AT)_____________零r(6)n階矩陣A為可逆矩陣的充要條件是r(A)=___。r(A)=r(AT)n(7)A=O的充要條件是r(A)=__。0r-1(1)矩陣的秩是否惟一?__________當(dāng)然惟一滿(mǎn)秩矩陣第九十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日98定理2.4.1設(shè)A為n階方陣，則A可逆的充要條件是r(A)=n。解：例1第九十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日99解例2第一百頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日100如何求矩陣的秩？階梯形矩陣的秩就是其非零行數(shù)！第一百零一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日101初等變換不改變矩陣的秩。秩的基本定理(P58)例3求矩陣A的秩建議只用行變換階梯形不唯一第一百零二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日102例4求和第一百零三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日103用初等變換必能將矩陣A化為如下相抵標(biāo)準(zhǔn)形（也稱(chēng)等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形）：等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。其中秩(A)=r。(等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形定理)定理2.4.3下面討論對(duì)一個(gè)矩陣實(shí)施初等變換(既可用行變換又可用列變換)能把任意一個(gè)矩陣化成最簡(jiǎn)單的形狀是什么?第一百零四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日104例5形狀為第一百零五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日105定理2.4.4(1)A與B等價(jià)(3)存在可逆矩陣P和Q使得(2)r(A)=r(B)A,B均為m行n列矩陣，則以下條件等價(jià)：第一百零六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日106(其中P，Q是可逆矩陣)推論1設(shè)秩(A)=r，存在有限個(gè)初等矩陣和使得或表述為：例6設(shè)設(shè)求第一百零七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日107秩的重要性質(zhì)第一百零八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日108性質(zhì)5性質(zhì)2(A稱(chēng)為列滿(mǎn)秩矩陣)(A稱(chēng)為行滿(mǎn)秩矩陣)性質(zhì)4第一百零九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日109證：例6作業(yè)P642;4;8;9;11第一百一十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日110第二章矩陣?yán)碚摶A(chǔ)§2.4矩陣的秩與矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形§2.3可逆矩陣§2.2n階(方陣的)行列式§2.1矩陣的運(yùn)算§2.5分塊矩陣§2.6線(xiàn)性方程組解的存在性定理·Cramer法則第一百一十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日111§2.5

分塊矩陣把大矩陣分成小矩陣處理。(1)簡(jiǎn)化矩陣計(jì)算；(2)通過(guò)小矩陣的性質(zhì)推斷大矩陣的性質(zhì)；(3)突出矩陣結(jié)構(gòu),方便理論推導(dǎo).第一百一十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日112稱(chēng)為按列分塊稱(chēng)為按行分塊稱(chēng)為2×2的分塊矩陣,小矩陣A11等稱(chēng)為A的子塊.第一百一十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日113運(yùn)算規(guī)則(1)設(shè)A,B的行數(shù)、列數(shù)相同,且有相同的分法第一百一十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日114(2)設(shè)則第一百一十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日115(3)設(shè)A與B可乘,且A的列分法與B的行分法相同其中則第一百一十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日116例1求AB直接計(jì)算分塊計(jì)算第一百一十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日117第一百一十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日118(4)設(shè)則第一百一十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日119(5)設(shè)A是n階方陣其中都是方陣,則稱(chēng)A為分塊對(duì)角矩陣.第一百二十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日120例2，求解第一百二十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日121例3請(qǐng)驗(yàn)證其正確性.作業(yè)P732;3第一百二十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日122第二章矩陣?yán)碚摶A(chǔ)§2.4矩陣的秩與矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形§2.3可逆矩陣§2.2n階(方陣的)行列式§2.1矩陣的運(yùn)算§2.5分塊矩陣§2.6線(xiàn)性方程組解的存在性定理·Cramer法則第一百二十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日123§2.6線(xiàn)性方程組解的存在性定理·Cramer法則在第一章中，我們學(xué)習(xí)了利用初等行變換求解線(xiàn)性方程組的方法,通過(guò)回顧再結(jié)合本章知識(shí)，給出線(xiàn)性方程組解的存在性定理。第一百二十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日124求解非齊次線(xiàn)性方程組解對(duì)增廣矩陣只用行變換化階梯形最后一行對(duì)應(yīng)的方程是：0=2,所以無(wú)解。復(fù)習(xí)第一百二十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日125解方程組第一步:把增廣矩陣用行變換化階梯形,如果,則無(wú)解.如果,則繼續(xù)化為最簡(jiǎn)階梯形。問(wèn):此時(shí)其含義是獨(dú)立(或有效)方程的個(gè)數(shù)。以下問(wèn)題針對(duì)的一般方程組來(lái)回答。復(fù)習(xí)第一百二十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日126第二步：寫(xiě)出等價(jià)的(獨(dú)立的)方程組，保留第一個(gè)未知數(shù)在左邊其余的移到右邊，移到右邊的稱(chēng)為自由變量。問(wèn)：自由變量的個(gè)數(shù)=即未知數(shù)的個(gè)數(shù)減去獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)。問(wèn)：何時(shí)有唯一解？何時(shí)有無(wú)窮多解？當(dāng)出現(xiàn)自由變量時(shí)，令該量為任意數(shù)就可得到無(wú)窮多解，當(dāng)沒(méi)有自由變量時(shí)有唯一解。即當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多解，當(dāng)時(shí)有唯一解。第一百二十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日127第三步：令自由變量為任意實(shí)數(shù)，寫(xiě)出通解。再改寫(xiě)為向量形式。令，得通解即(取任意實(shí)數(shù))第一百二十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日128對(duì)于非齊次方程組定理2.6.1對(duì)于齊次方程組非齊次方程組解的判別定理定理2.6.2齊次方程組解的判別定理第一百二十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日129例1時(shí)，有無(wú)窮多解。，時(shí)，無(wú)解。，時(shí)，有無(wú)窮多解。問(wèn)a,b為何值時(shí),方程組有解,無(wú)解。解：第一百三十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日130設(shè)的線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式定理2.6.3Cramer法則第一百三十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日131則方程組有唯一解,且解為:證明P.77第一百三十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日132對(duì)于齊次方程組系數(shù)行列式方程組只有零解或者說(shuō)：方程組有非零解定理2.6.4易由定理2.6.2得證。第一百三十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日133解方程組的系數(shù)行列式由Cramer法則，它有唯一解。解線(xiàn)性方程組例2第一百三十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日134同理可得故方程組的解為:第一百三十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日135問(wèn)取何值時(shí)，齊次方程組有非零解？解系數(shù)行列式按第3行展開(kāi)結(jié)論…例3第一百三十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日136例4解：系數(shù)矩陣是方陣首選行列式法問(wèn)為何值時(shí)，方程組有唯一解，無(wú)解，無(wú)窮多解。有無(wú)窮多解時(shí)，求通解。第一百三十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日137分析：當(dāng)時(shí)有唯一解，當(dāng)時(shí)，此時(shí)系數(shù)矩陣中的參數(shù)已確定，方程組可能無(wú)解，也可能有無(wú)窮多解，這取決于右端項(xiàng)。再用初等行變換法加以判別。當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解。當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，方程組無(wú)解。

當(dāng)時(shí)，，方程組有無(wú)窮多解。第一百三十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日138通解為作業(yè)P733;4;5第一百三十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日139練習(xí)問(wèn)a為何值時(shí)，該方程組有非零解，并求通解。解：(顯然對(duì)a=0也成立)第一百四十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日140令得通解當(dāng)a=－10時(shí)，同解方程組為令得解a=0時(shí)，同解方程組為當(dāng)a=0或a=－10時(shí)有非零解。第一百四十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日141計(jì)算n階行列式解將按第一行展開(kāi)得例11第一百四十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日142得遞推公式特征3：所求行列式某一行（列）至多有兩個(gè)非零元素。第一百四十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日143計(jì)算n階行列式解：注意與例7的形式不同。例12第一百四十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日144第一百四十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日145特征4：除對(duì)角線(xiàn)元素外，上三角各元素相等，下