《金融數學》復習提綱

《金融數學》復習提綱

(2022版)

利息度量

本章介紹了利息的各種度量工具，包括單利、復利、實際利率、名義利率、實際貼現

率、名義貼現率、利息力和貼現力等，以及累積函數和貼現函數。它們之間的關系可以總結

如下：

i.累積函數是期初的1元本金在時刻,的累積值。

復利的累積函數為：

“⑺=(1+iy=[1+產)/加1=(1—"尸=[1—/my"-e'"=exp(J；Rck)

單利的累積函數為：a(t)=\+it

貼現函數是累積函數的倒數。

2.常用的各種利息度量工具之間有如下關系：

(1)d=z/(l+z)

(2)i=d/(l-d)

(3)v=l-d

(4)i—d—id

(5)z(m)=m[(l+z)l/,M-l]

(6)/M)=〃?[]_(1_

(7)d>=ln(l+z)

等額年金

本章介紹了等額年金的計算問題，包括年金的現值和終值，期初付年金與期末付年金

的關系，現值與終值的關系等，涉及較多公式，現將它們歸納如下。下表僅給出了期末付年

金的公式，對于期初付年金，只需把分母上的利率符號改變?yōu)橘N現率符號即可。

等額年金

永續(xù)年金的現

年金

值

現值累積值

\-vn1

每年支付1次=-(-i+-z-y---i

a—?=

Hiwi

的_—in

每年支付m次叩-/?)

?l產)。黑=募

1-Q+iT-l_1

連續(xù)支付a—=

”15§

1

等額年金計算公式之間的關系式可以概括如下:

變額年金

下表總結了期末付年金的現值和累積值（終值）公式。對于期初付年金，只需把分母

上的利率符號改變?yōu)橄鄳馁N現率符號即可。

遞增年金遞增永續(xù)年金

年金

現值累積值的現值

每年支付1次，汨一〃

a-(/%=2

每年遞增1次(/%=\（。十

每年支付那次，

（啃（堿爺(哨J

每年遞增1次

n

連續(xù)支付，a-,-nv。詼=2

(叫—（1%=冊6

每年遞增1次

連續(xù)支付，_s-y-n(⑸片"

（//=生二⑸片3

連續(xù)遞增

2

遞減年金

年金

現值累積值

每年支付1次，n-n(l+ns-]

(。*=Ji)-

每年遞減1次g%二:「

每年支付次，，

m（功殍=n-黃a-.,、+i)n-s-,

每年遞減1次④哨=嚴)況

連續(xù)支付，n-a-,

（°打浦一6打（吟號3

每年遞減1次

連續(xù)支付，_n-a-y

3)片J

連續(xù)遞減O

變額年金之間的關系可以概括如下:

對于增長率為r的復遞增年金，期末付年金和期初付年金的現值為:

0前,.

——,丫手i

l+r

n.

-——，r=i

U+尸

rwi

P初二＜1+r'

凡

廿上1~r

其中，J?=~-----

l+r

3

收益率

1.收益率是使得未來資金流入的現值與資金流出的現值相等時的利率，也是使得凈現

值等于零時的利率。在其他條件相同的前提下，應該選擇收益率高或凈現值大的項目優(yōu)先投

資。

2.對于投資期限不同的兩個項目，在比較它們的收益率時，必須將期限較短項目的再

投資利率考慮進去。

3.凈現值的大小取決于計算凈現值時所選擇的利率，利率越高，凈現值越小，利率越

低，凈現值越大。

4.收益率在大多數情況下是唯一的。收益率唯一性的一個簡單判斷準則是：如果資金

凈流入只改變過一次符號，收益率將是唯一的。收益率唯一性的另一個判斷準則是：如果按

收益率計算的資金凈流入的累積值始終為負，直至最后一年末才變?yōu)榱?，那么該收益率將?/p>

唯一的。

5.計算幣值加權收益率的近似公式為——2--

6.計算時間加權收益率的一般公式為，=(1+1)(1+人)…(l+'+J—1,其中是第k

個時間區(qū)間的收益率。

7.如果利息收入的再投資利率較低，就會拉低整個投資的收益率。在比較不同項目的

收益率時，應該特別注意再投資利率的影響，即計算修正收益率。在計算修正收益率時，對

資金流出使用籌集資金的利率計算其現值，而對資金流入使用再投資的利率計算其累積值。

8.在利率上升時期，為了吸引新的投資者加入投資基金，投資基金在收益分配時可以

采用投資年度方法。反之，在利率下降時期,按組合利率方法分配收益更能吸引新的投資者。

貸款償還方法

貸款償還的兩種基本方法是分期償還法和償債基金法，分別包括變額和等額兩種具體方

法。

1.在等額分期償還方法中：

借款人每次償還的總金額為：R=L"叼

支付的利息為：/*=iRa^=/?(l-v"-A+l)

償還的本金為：Pk=

未償還的本金余額為：Lk=4(1+1)&-Rs/(過去法)=&內(將來法)

在等額分期償還方法中，貸款期限越長，借款人支付的利息入額與貸款本金之比越高,

而且該比率隨著貸款期限的延長呈現加速增長的態(tài)勢。

2.在等額償債基金方法中：

借款人每期支付的利息金額為/=iL0

向償債基金的儲蓄額為D=L。/s4

總的付款金額為/+。

4

償債基金在第k期末的累積值為D?s布

未償還本金余額為。一。7和

3.當償債基金的利率與貸款利率相等時，等額償債基金方法與等額分期償還方法等價,

即有下述關系式：

(1)I+D=R

(2)D=R—

(3)Lo-D-s-^,=Ra^.

4.在變額分期償還方法中，如果借款人的償還金額是逐期遞增的，就有可能出現負償

還的情況，即借款人償還的總金額還不足以支付當期的利息。負償還應該增加借款人未償還

的本金"余額

在裝額償債基金方法中，如果借款人的償還金額是逐期遞增的，亦即借款人向償債

基金的儲蓄額是逐期遞增的，就有可能出現借款人向償債基金的儲蓄額小于當期應付利息的

情況。此時，借款人向償債基金的儲蓄額為零，同時應該增加借款人未償還的本金余額。

6.抵押貸款的目的是為了防范借款人的違約風險，為了實現此目標，如果抵押物的貶

值過程先快后慢，則貸款的分期償還期限應該短于抵押物的使用壽命；如果抵押物的貶值過

程先慢后快，則貸款的分期償還期限可以適當延長，但不能超過抵押物的使用壽命。對于按

勻速折舊方式貶值的抵押物，貸款的分期償還期限應該介于上述兩者之間。

債券和股票

1.債券在息票支付日期的價格和賬面值相等，可以用下述四種方法求得：

(1)基本公式：P=rFa^+Cvn

(2)溢價公式：P=C[l+(g—i)與,]

(3)基價公式：P=G+(C-G)v"

(4)Makeham公式：P=&(C-K)+K

i

對于不可贖回的附息債券，債券價格是到期收益率的減函數，到期收益率越高，債券的

價格越低。債券價格還是到期收益率的凸函數。到期收益率上升時，債券價格的下降速度是

遞減的；而當到期收益率下降時，債券價格的上升速度是遞增的。

當債券的溢價為零時，債券的賬面值恒等于償還值，每期的利息收入就等于息票收入。

當債券的溢價不為零時，投資者在每期的利息收入不等于息票收入。息票收入被分解為

兩部分，一部分是應得利息收入，一部分是對溢價購買債券的補償。折價可以看做是負的溢

價。

基價是投資者為了獲得與息票收入加相等的周期性收益所需要的投資額。債券的基價

G如果按收益率，投資，每期產生的利息收入將等于債券的息票收入，即汨=M=g。。

2.債券在相鄰兩個息票支付日期之間的價格可按下述公式計算：

-R

其中凡是債券在上一個息票支付日期的價格，，是距離上一個息票支付日期的時間。

3.賬面值是債券持有人的實際投資余額。債券在相鄰兩個息票支付日期之間的賬面值

可按下述三種方法計算：

(1)理論方法：匕=(i+i)'x《——[(1+zy-i]

i

(2)半理論方法:匕=(1+。&h一萬產

(3)實踐方法：V,=(\+ti)P0-trF

5

4,可贖回債券的價格等于在各種可能贖回時點上的最低價格。如果債券的償還值C在

各種可能的贖回時點上保持不變，則當債券的修正息票率大于債券的到期收益率時，債券的

期限越短，債券的價格越低；反之，當債券的修正息票率小于債券的到期收益率時，債券的

期限越長，債券的價格越低。

利率風險

1.久期和凸度都是衡量債券利率風險的指標，有計算公式如下:

馬考勒久期：

凸P（5）

馬考勒凸度:CT/"'

P(b)P\O)/>o

[m}m,

久期：D=-=_LytR(l+y/m)-

p(y)1+y/機P(y)看"

凸度：OS)=^_01=_[_>/(/+1/切)火(1+/w)-加-2

PMP(y)￡'

有效久期：。效

兄(2w)

(2+C-21)

有效凸度：C效

2

(Ay)P0

債券組合的久期:

〃p

債券組合的凸度：

*=iP

凸度可以用馬考勒久期和馬考勒凸度表示為:

C=（C馬+￡>%）?（l+i）-2

2.資產價格變化的百分比與收益率變化之間的近似關系如下：

\p

苗?-久期?（a）+0.5?凸度?（州）2

其中的久期和凸度應該配對使用，如馬考勒久期與馬考勒凸度配對使用，修正久期與凸度配

對使用，或有效久期與有效凸度配對使用。

3.免疫策略的三個條件是：（1）資產的現值等于負債的現值。（2）資產的久期等于負

債的久期。（3）資產的凸度大于負債的凸度。

4.完全免疫策略的三個條件是：（1）資產的現值等于負債的現值。（2）資產的久期等

于負債的久期。（3）負債的到期時間介于兩筆資產的到期時間之內。

6

5.現金流配比策略就是對每一項在未來到期的債務，安排一項相同到期時間和相同金

額的資產與其進行匹配?，F金流配比策略的優(yōu)點是無需不斷調整其投資組合，缺陷是限制了

投資選擇的靈活性。

遠期、期貨和互換

遠期合約是指雙方約定在未來某一個確定的時間，按照某一確定的價格買賣一定數量的

某種資產的協議。同意以約定的價格在未來賣出標的資產的一方稱作空頭，同意以約定的價

格在未來買入標的資產的一方稱作多頭。

一個合約的回收是指合約在滿期時的價值，不考慮簽訂該合約時所發(fā)生的初始費用。從

回收中扣除簽訂合約所發(fā)生的初始費用的終值就是盈虧。

期貨合約是指協議雙方同意在約定的將來某個日期按約定的條件（包括交割價格、交割

地點、交割方式等）買入或賣出一定數量的某種標的資產的標準化協議。

股票的遠期價格如下：

無股利：F^SerT

離散股利：R=（S—O）e"

連續(xù)股利：F=Se［,'-d）T

通過借入款項（相當于出售零息債券）購買股票可以生成一個合成遠期的多頭，即：遠

期=股票一零息債券。

互換合約是指買賣雙方按照商定的條件，在約定的時間內交換一系列現金流的合約。遠

期是只有一次付款的互換，而互換是附加有資金借貸協議的一系列遠期。

在不考慮違約風險的情況下，利率互換可以通過分解成一個債券多頭與另一個債券空頭

的組合來定價，也可以通過分解成一個遠期利率協議的組合來定價。