數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)浙江專版選修21講義常用邏輯用語11111

08/807/8/1.1命題及其關(guān)系1.1.1命題目標(biāo)定位1.理解命題的概念和命題的構(gòu)成，能判斷給定陳述句是否為命題.2.能判斷命題的真假.3.能把命題改寫成“若p，則q”的形式.自主預(yù)習(xí)1.命題的定義(1)用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.(2)判斷為真的語句叫做真命題.(3)判斷為假的語句叫做假命題.2.命題的結(jié)構(gòu)從構(gòu)成來看，所有的命題都由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成.在數(shù)學(xué)中，命題常寫成“若p，則q”這種形式，通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論.即時(shí)自測1.思考題(1)疑問句是命題嗎？提示：不是，可以判斷真假的陳述句，叫做命題.(2)如何把命題改寫成“若p，則q”的形式？提示：分清條件和結(jié)論.2.下列語句是命題的是()A.2018是一個(gè)大數(shù)B.若兩直線平行，則這兩條直線沒有公共點(diǎn)D.a數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎D.a≤15解析A、D不能判斷真假，不是命題；B能夠判斷真假而且是陳述句，是命題；C是疑問句，不是命題.答案B3.下列命題中是真命題的是()A.互余的兩個(gè)角不相等 B.相等的兩個(gè)角是同位角C.若a2＝b2，則|a|＝|b|D.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角解析由平面幾何知識(shí)可知A、B、D三項(xiàng)都是錯(cuò)誤的.答案C4.命題“函數(shù)y＝2x＋1是增函數(shù)”的條件是________，結(jié)論是________.答案函數(shù)為y＝2x＋1該函數(shù)是增函數(shù)類型一命題的判斷【例1】下列語句是命題的是()A.x－1＝0 B.2＋3＝8C.你會(huì)說英語嗎？ D.這是一棵大樹解析A中x不確定，x－1＝0的真假無法判斷；B中2＋3＝8是命題，且是假命題；C不是陳述句，故不是命題；D中“大”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，無法判斷真假.答案B規(guī)律方法并不是所有的語句都是命題，只有能判斷真假的陳述句才是命題，命題首先是“陳述句”，其他語句如疑問句、祈使句、感嘆句等一般都不是命題；其次是“能判斷真假”，不能判斷真假的陳述句不是命題，如“x≥2”、“小高的個(gè)子很高”等都不能判斷真假，故都不是命題.因此，判斷一個(gè)語句是否為命題，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：①是否為陳述句；②能否判斷真假.【訓(xùn)練1】判斷下列語句是否是命題.(1)求證eq\r(3)是無理數(shù)；(2)x2＋2x＋1≥0；(3)你是高二學(xué)生嗎？(4)并非所有的人都喜歡蘋果；(5)一個(gè)正整數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)；(6)若x∈R，則x2＋4x＋7>0；(7)x＋3>0.解(1)(3)(7)不是命題，(2)(4)(5)(6)是命題.類型二命題真假的判斷【例2】判斷下列命題的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，則a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，則x3>x2成立；(3)若m>1，則方程x2－2x＋m＝0無實(shí)數(shù)根；(4)存在一個(gè)三角形沒有外接圓.解(1)假命題.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命題.反例：當(dāng)x＝0時(shí)，x3>x2不成立.(3)真命題.∵m>1?Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0無實(shí)數(shù)根.(4)假命題.因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，即任何三角形都有外接圓.規(guī)律方法要判斷一個(gè)命題是真命題，一般需要經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證，在判斷時(shí)，要有理有據(jù)，有時(shí)應(yīng)綜合各種情況作出正確的判斷，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可.【訓(xùn)練2】下列命題：①若xy＝1，則x、y互為倒數(shù)；②四條邊相等的四邊形是正方形；③平行四邊形是梯形；④若ac2>bc2，則a>b.其中真命題的序號是________.解析①④是真命題，②四條邊相等的四邊形是菱形，但不一定是正方形，③平行四邊形不是梯形.答案①④類型三命題的結(jié)構(gòu)(互動(dòng)探究)【例3】把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假.(1)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)；(2)等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形；(3)當(dāng)ac>bc時(shí)，a>b；(4)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.[思路探究]探究點(diǎn)一如何把命題改寫為“若p，則q”的形式？提示：分清條件和結(jié)論.探究點(diǎn)二如何判斷命題的真假？提示：推理論證與舉反例.解(1)若一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)，則它的平方是非負(fù)數(shù).真命題.(2)若兩個(gè)三角形等底等高，則這兩個(gè)三角形是全等三角形.假命題.(3)若ac>bc，則a>b.假命題.(4)若一個(gè)點(diǎn)是一個(gè)角的平分線上的點(diǎn)，則該點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.真命題.規(guī)律方法把一個(gè)命題改寫成“若p，則q”的形式，首先要確定命題的條件和結(jié)論，若條件和結(jié)論比較隱含，要補(bǔ)充完整，有時(shí)一個(gè)條件有多個(gè)結(jié)論，有時(shí)一個(gè)結(jié)論需多個(gè)條件，還要注意有的命題改寫形式也不唯一.【訓(xùn)練3】將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假.(1)垂直于同一條直線的兩條直線平行；(2)負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)；(3)對頂角相等.解(1)若兩條直線垂直于同一條直線，則這兩條直線平行.它是假命題.(2)若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的立方是負(fù)數(shù).它是真命題.(3)若兩個(gè)角是對頂角，則這兩個(gè)角相等.它是真命題.[課堂小結(jié)]1.根據(jù)命題的定義，可以判斷真假的陳述句是命題，命題的條件與結(jié)論之間屬于因果關(guān)系，真命題需要給出證明，假命題只需舉出一個(gè)反例即可.2.任何命題都是由條件和結(jié)論構(gòu)成的，可以寫成“若p，則q”的形式，含有大前提的命題寫成“若p，則q”的形式，大前提應(yīng)保持不變，且不寫在條件p中.1.下列語句不是命題的有()①2<1；②x<1；③若x<2，則x<1；④函數(shù)f(x)＝x2是R上的偶函數(shù).A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)解析①③④可以判斷真假，是命題；②不能判斷真假，所以不是命題.答案B2.下面有四個(gè)命題：①集合N中最小的數(shù)是1；②若－a不屬于N，則a屬于N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④x2＋1＝2x的解可表示為{1，1}.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3解析①假命題，集合N中最小的數(shù)是0；②假命題，如a＝eq\f(1,2)；③假命題，如a＝0，b＝1；④假命題，{1，1}與集合元素的互異性矛盾.答案A3.下列命題：①面積相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，則|x|＋|y|＝0；③若a>b，則ac2>bc2；④矩形的對角線互相垂直.其中假命題的個(gè)數(shù)是________.解析①等底等高的三角形都是面積相等的三角形，但不一定全等；②當(dāng)x，y中一個(gè)為零，另一個(gè)不為零時(shí)，|x|＋|y|≠0；③當(dāng)c＝0時(shí)不成立；④菱形的對角線互相垂直.矩形的對角線不一定垂直.答案44.把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，同時(shí)指出它們的真假.(1)兩條異面直線沒有公共點(diǎn)；(2)平行于同一條直線的兩條直線平行.解(1)若兩條直線是異面直線，則它們沒有公共點(diǎn).真命題.(2)若兩條直線平行于同一條直線，則這兩條直線平行.真命題.基礎(chǔ)過關(guān)1.下列命題是真命題的是()A.{?}是空集 B.{x∈N||x－1|<3}是無限集C.π是有理數(shù) D.x2－5x＝0的根是自然數(shù)解析x2－5x＝0的根為x1＝0，x2＝5，均為自然數(shù).答案D2.已知α、β、γ是三個(gè)不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是正確的.如果把α、β、γ中的任意兩個(gè)換成直線，在所得的命題中，真命題有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)解析把α、β?lián)Q成直線a、b時(shí)，則該命題可改寫為“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，由直線與平面垂直的性質(zhì)可知，該命題是正確的；把α、γ換成直線a、b時(shí)，則該命題可改寫為“a∥β，且a⊥b?β⊥b”，它是判斷直線與平面的位置關(guān)系的，顯然是錯(cuò)誤的；把β、γ換成直線a、b，則該命題改為“a∥α，b⊥α?a⊥b”，顯然成立.答案C3.已知下列三個(gè)命題：①若一個(gè)球的半徑縮小到原來的eq\f(1,2)，則其體積縮小到原來的eq\f(1,8)；②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等.③直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝eq\f(1,2)相切.其中真命題的序號是()A.①②③B.①②C.①③D.②③解析①是真命題；②標(biāo)準(zhǔn)差除了與平均數(shù)有關(guān)，還與各數(shù)據(jù)有關(guān)，假命題；③圓心到直線的距離等于半徑，所以直線與圓相切，是真命題.答案C4.給出下列語句：①周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？②sin45°＝1；③x2＋2x－1>0.則其中是命題的序號有________.解析①不是陳述句，不是命題；②是陳述句且能夠斷真假，是命題；③不能判斷真假，不是命題.答案②5.命題“偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱”寫成“若p，則q”形式為_____________________________________________________________________.答案若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱6.判斷下列命題的真假.(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有最大值；(2)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差大于零；(3)函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.解(1)假命題.當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，有最小值.(2)假命題.反例：若此數(shù)列為遞減數(shù)列，如數(shù)列20，17，14，11，8，5，2，它的公差是－3.(3)真命題.y＝eq\f(1,x)是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于(0，0)對稱.7.把命題“a>0時(shí)，函數(shù)y＝ax＋b的值隨x值的增加而增加”改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假.解a>0時(shí)，若x增加，則函數(shù)y＝ax＋b的值也隨之增加，它是真命題.8.把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假.(1)當(dāng)x＋y＝5時(shí)，x＝2且y＝3；(2)當(dāng)m>eq\f(1,4)時(shí)，mx2－x＋1＝0無實(shí)根；(3)當(dāng)ab＝0時(shí)，a＝0或b＝0.解(1)若x＋y＝5，則x＝2且y＝3.∵x＝1，y＝4時(shí)，x＋y＝5.∴是假命題.(2)若m>eq\f(1,4)，則mx2－x＋1＝0無實(shí)根.∵Δ＝1－4m<0，∴是真命題.(3)若ab＝0，則a＝0或b＝0，真命題.能力提升9.已知a、b為兩條不同的直線，α、β為兩個(gè)不同的平面，且a⊥α，b⊥β，則下列命題中的假命題是()A.若a∥b，則α∥β B.若α⊥β，則a⊥bC.若a、b相交，則α、β相交 D.若α、β相交，則a、b相交解析D中如果α、β相交，a和b可以相交，也可以異面.答案D10.下列命題，是真命題的是()A.若a3＋b3＝0，則a2＋b2＝0 B.若a>b，則ac>bcC.若M∩N＝M，則N?M D.若M?N，則M∩N＝M解析A中，a3＋b3＝0，且a≠0時(shí)，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0時(shí)不成立；C中，M∩N＝M說明M?N.故A、B、C皆錯(cuò)誤.答案D11.給出下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中，是真命題的是________(填序號).解析命題①是假命題，“兩條直線”應(yīng)改為“兩條相交直線”；命題②是面面垂直的判定定理，是真命題；命題③是假命題，垂直于同一直線的兩條直線可能平行、異面或相交；命題④是面面垂直的性質(zhì)定理的另一種說法，是真命題.答案②④12.給出以下語句：①三角函數(shù)是周期函數(shù)嗎？②一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③老師寫的粉筆字真漂亮?、苋魓∈R，則x2＋4x＋5>0.其中為命題的序號是________，真命題的序號為________.解析①這是個(gè)疑問句，沒有對三角函數(shù)是否為周期函數(shù)作出判斷，故不是命題.②是命題，且是假命題，因?yàn)閿?shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).③該語句是感嘆句，不符合命題定義，所以不是命題.④是命題，因?yàn)棣ぃ?6－20＝－4<0，所以是真命題.答案②④④13.把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假：(1)奇數(shù)不能被2整除；(2)實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)；(3)已知x，y為正整數(shù)，當(dāng)y＝x＋1時(shí)，y＝3，x＝2.解(1)若一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則這個(gè)數(shù)不能被2整除，是真命題.