2012-2021北京初三（上）期中數學匯編：實際問題與一元二次方程

8/82012-2021北京初三（上）期中數學匯編實際問題與一元二次方程一、單選題1．（2021·北京·宣武外國語實驗學校九年級期中）要組織一次籃球聯賽，賽制為單循環(huán)形式，每兩隊之間都賽一場，計劃安排15場比賽．設比賽組織者應邀請x個隊參賽，則x滿足的關系式為（

）A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝152．（2019·北京八中九年級期中）某商品原價800元，連續(xù)兩次降價a％后售價為578元，下列所列方程正確的是（

）A．800(1+a%)2=578 B．800(1－a%)2=578 C．800(1－2a%)=578 D．800(1－a2%)=578二、填空題3．（2019·北京四中九年級期中）參加一次同學聚會，每兩人都握一次手，所有人共握了45次，若設共有x人參加同學聚會．列方程得____．4．（2021·北京育才學校九年級期中）小明設計了一個魔術盒，當任意實數對(a，b)進入其中時，會得到一個新的實數a2＋2b－3.例如把(2，－5)放入其中就會得到22＋2×(－5)－3＝－9.現將實數對(m，－3m)放入其中，得到實數4，則m＝__________.5．（2017·北京·臨川學校九年級期中）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．為了擴大銷售量，增加盈利，采取了降價措施，經調查發(fā)現如果每件計劃降價1元，那么商場平均每天可多售出2件．若商場平均每天要贏利1200元，則每件襯衫應降價________．6．（2017·北京·臨川學校九年級期中）一種藥品經過兩次降價，藥價從原來每盒60元降至到現在48.6元，設平均每次降價的百分率為x，則列方程為_____．三、解答題7．（2017·北京·臨川學校九年級期中）某地區(qū)2019年投入教育經費2500萬元，2021年投入教育經費3025萬元．求2019年至2021年該地區(qū)投入教育經費的年平均增長率．8．（2019·北京·北師大實驗中學九年級期中）服裝柜在銷售中發(fā)現某品牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”兒童節(jié)，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存．經市場調查發(fā)現，如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？9．（2020·北京市西城外國語學校九年級期中）雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐款活動.第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；（2）按照（1）中收到捐款的增長速度，第四天該單位能收到多少捐款？10．（2019·北京十五中九年級期中）如圖,園林小組的同學用一段長16米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園ABCD,墻的長度為9米,設AB的長為x米,BC的長為y米.(1)①寫出y與x的函數關系是:;②自變量x的取值范圍是;(2)園林小組的同學計劃使矩形菜園的面積為30平方米,試求此時邊AB的長.11．（2017·北京·臨川學校九年級期中）如圖,某公司計劃用32m長的材料沿墻建造的長方形倉庫，倉庫的一邊靠墻，已知墻長16m，設長方形的寬AB為xm.（1）用x的代數式表示長方形的長BC；（2）能否建造成面積為120㎡的長方形倉庫？若能，求出長方形倉庫的長和寬；若不能,請說明理由；（3）能否建造成面積為160㎡的長方形倉庫？若能，求出長方形倉庫的長和寬；若不能,請說明理由．12．（2017·北京·臨川學校九年級期中）如圖，在長方形ABCD中，邊AB、BC的長（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的兩個根．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿△ABC邊

A→B→C→A的方向運動，運動時間為t（秒）．（1）求AB與BC的長；（2）當點P運動到邊BC上時，試求出使AP長為時運動時間t的值；（3）當點P運動到邊AC上時，是否存在點P，使△CDP是等腰三角形？若存在，請求出運動時間t的值；若不存在，請說明理由．13．（2013·北京四中九年級期中）某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元．則每個月少賣10件(每件售價不能高于65元)．設每件商品的售價上漲x元(x為正整數)，每個月的銷售利潤為y元．（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤?最大的月利潤是多少元?（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元?根據以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元?14．（2019·北京市第三十九中學九年級期中）某水果批發(fā)市場經銷一種水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經市場調查發(fā)現，在進貨價不變的情況下，若每千克這種水果在原售價的基礎上每漲價1元，日銷售量將減少20千克．①如果市場某天銷售這種水果盈利了6000元，同時顧客又得到了實惠，那么每千克這種水果漲了多少元?②設每千克這種水果漲價x元時(0<x≤25)，市場每天銷售這種水果所獲利潤為y元．若不考慮其他因素，單純從經濟角度看，每千克這種水果漲價多少元時，市場每天銷售這種水果盈利最多?最多盈利多少元?

參考答案1．A【分析】設邀請個球隊參加比賽，那么第一個球隊和其他球隊打場球，第二個球隊和其他球隊打場，以此類推可以知道共打場球，然后根據計劃安排15場比賽即可列出方程求解．【詳解】解：設應邀請個球隊參加比賽，根據題意得：12故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，此題和實際生活結合比較緊密，解題的關鍵是準確找到關鍵描述語，從而根據等量關系準確地列出方程．2．B【分析】根據平均變化率公式：原價×（1-降價的百分率）=現價，由此即可得答案.【詳解】由題意可得方程：800（1-a%）2=578，故選B．3．x（x﹣1）=45【分析】利用一元二次方程應用中的基本數量關系：x人參加聚會，兩人只握一次手，握手總次數為x（x-1）解決問題即可．【詳解】由題意列方程得，x（x-1）=45．故答案為x（x-1）=45．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，熟知x人參加聚會，兩人只握一次手，握手總次數為x（x-1）這一基本數量關系是解題的關鍵.4．7或－1【詳解】根據題意得，m2+2×（-3m）-3=4，解得m1=7，m2=-1，所以m的值為7或-1．5．10元或20元【詳解】設商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價x元，（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，即商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價10元或20元.故答案為10元或20元．6．【詳解】由題意得.【點睛】平均增長率（降低）百分率是x，增長(降低)一次，一般形式為a（1x）=b；增長（降低）兩次，一般形式為a（1x）2=b；增長（降低）n次，一般形式為a（1x）n=b,a為起始時間的有關數量，b為終止時間的有關數量．7．這兩年投入教育經費的年平均增長率為【分析】根據等量關系：2019年投入教育經費×（1+x）2=2021年投入教育經費列方程求解即可．【詳解】解：設2019年至2021年該地區(qū)投入教育經費的年平均增長率為，根據題意，得，解得：，或（不合題意舍去），答：這兩年投入教育經費的年平均增長率為．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，理解題意，正確列出方程是解答的關鍵．8．20【分析】設每件童裝應降價x元，原來平均每天可售出20件，每件盈利40元，后來每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天銷售這種童裝上盈利1200元，由此即可列出方程（40-x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出應降價多少元．【詳解】如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件，則每降價1元，多售2件，設降價x元，則多售2x件；設每件童裝應降價x元，依題意得(40?x)(20+2x)=1200，整理得，解之得，因要減少庫存，故x=20.答：每件童裝應降價20元.【點睛】此題考查一元二次方程的應用，解題關鍵在于結合實際列出相應的一元二次方程.9．（1）捐款增長率為10%.（2）第四天該單位能收到13310元捐款.【分析】（1）根據“第一天收到捐款錢數×（1+每次降價的百分率）2=第三天收到捐款錢數”，設出未知數，列方程解答即可.（2）第三天收到捐款錢數×（1+每次降價的百分率）=第四天收到捐款錢數，依此列式子解答即可.【詳解】（1）設捐款增長率為x，根據題意列方程得：，解得x1=0.1，x2=－1.9（不合題意，舍去）.答：捐款增長率為10%.（2）12100×（1+10%）=13310元.答：第四天該單位能收到13310元捐款.10．（1）①y=16-2x②≤x<8（2）5米【分析】（1）由籬笆總長16米，可得y與x的函數關系；（2）由x＞0，y＞0及y≤9可得x的取值范圍；（3）由矩形菜園的面積為30平方米，可列方程求得AB的長.【詳解】(1)①y=16-2x;②≤x<8;(2)由題意,AB·BC=x(16-2x)=30,解得:x1=5,x2=3x2=3不在(1)中x的取值范圍內,故舍去.答:此時邊AB的長為5米.【點睛】本題主要考查一元一次方程的實際應用，注意根據已知條件列出方程及求出x的范圍.11．（1）BC=32-2x（2）能（3）不能【詳解】試題分析：（1）由AB+BC+CD=32，AB=CD=x，即可得BC；（2）根據矩形的面積公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根據矩形的面積公式列出一元二次方程，由判別式△<0即可得結果.試題解析：（1）BC=32-2x（2）能由題知：x(32-2x)=120化簡整理得（x-6）(x-10)=0解得：x1=6，x2=10經檢驗x1=6，x2=10都是原方程的解但x1=6不符合題意,舍去答：能建成面積為120㎡倉庫，此時長為12米，寬為10米．（3）不能由題知：x(32-2x)=160化簡整理得：此時此方程無解所以不能建造成面積為160㎡的長方形倉庫．點睛：本題主要考查一元二次方程的應用，能根據題意列出方程并會判別方程根的情況是解題的關鍵.12．(1)AB＝3，BC＝4;(2)t＝4;(3)t為10秒或9.5秒或秒時，△CDP是等腰三角形.【詳解】試題分析：（1）解一元二次方程即可求得邊長；（2）結合圖形，利用勾股定理求解即可；（3）根據題意，分為：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三種情況分別可求解.試題解析：(1)∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0

∴＝3或＝4.則AB＝3，BC＝4(2)由題意得∴，(舍去)則t＝4時，AP＝.(3)存在點P，使△CDP是等腰三角形.①當PC＝PD＝3時，t＝＝10(秒).②當PD＝PC(即P為對角線AC中點)時，AB＝3，BC＝4.∴AC＝＝5，CP1＝AC＝2.5

∴t＝＝9.5(秒)③當PD＝CD＝3時，作DQ⊥AC于Q.DQ=12∴PC＝2PQ＝∴t=3+4+可知當t為10秒或9.5秒或秒時，△CDP是等腰三角形.13．(1)y=－10x2＋110x＋2100(0＜x≤15且x為整數);(2)每件55元或56元時，最大月利潤為2400元;(3)見解析.【詳解】試題分析：（1）由銷售單價每漲1元，就會少售出10件,得（0＜x≤15且x為整數）；（2）把進行配方即可求出最大值，即最大利潤.（3）當時，，解得：,．當時，，當時，．當售價定為每件51或60元，每個月的利潤為2200元．試題解析：（1）（且為整數）；（2）．∵a=-10＜0，∴當x=5.5時,y有最大值2402.5．∵0＜x≤15且x為整數，∴當x=5時，50+x=55，y=2400（元），當x=6時，50+6=56，y=2400（元）∴當售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元．（3）當時，，解得：,．∴當時，，當時，．∴當售價定為每件51或60元，每個月的利潤為2200元．∴當售價不低于51或60元，每個月的利潤為2200元．∴當售價不低于51元且不高于60元且為整數時，每個月的利潤不低于2200元（或當售價分別為51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元時，每個月的利潤不低于2200元）．考點：1.二次函數的應用；2.一元二次方程的應用.14．①5元；②7.5元，6125元【詳解】：（1）設市場某天銷售這種水果盈利了6000元，同時顧客又得到了實惠時，每千克這種水果漲了x元，由題意得（10+x）（500-20x）=6000，整理，得x2-15x+50=0，解得x1=5，x2