2022屆福建省永定高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/（外=膽（xeR），若關(guān)于x的方程/（x）-〃?+1=。恰好有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)〃?的取值范

圍為（

C.(1,—+1)

e

2.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（

MB

1011

TT

尸一雙的展開式中有理項有（

B.4項C.5項D.7項

4.設(shè)meR,命題“存在機(jī)＞0,使方程V+x一加=。有實根，，的否定是（

A.任意加＞0,使方程/+工-加=0無實根

B.任意使方程『=0有實根

C.存在〃2＞0,使方程Y+X一加=0無實根

D.存在機(jī)WO,使方程Y+x一m=0有實根

5.如圖，矩形ABC。中，A5=l,BC=0，E是4。的中點，將AWE沿BE折起至AAZE，記二面角A'—的一。

的平面角為￡,直線與平面BCDE所成的角為￡,AE與BC所成的角為/,有如下兩個命題：①對滿足題意的

任意的A的位置，a+j3<7r；②對滿足題意的任意的A'的位置，a+/W萬，貝！）（）

A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立D.命題①不成立，命題②成立

6.數(shù)列｛%｝滿足：4+2+“"=4+1，q=l，/=2,S“為其前〃項和，則$2019=（）

A.0B.1C.3D.4

7.若（l+ax）（l+x）5的展開式中無2,1的系數(shù)之和為_]0,則實數(shù)。的值為（）

A.-3B.-2C.-1D.1

8.設(shè)函數(shù)/(X)(XGR)滿足/(-x)=/(x)"(x+2)=/(x),則y=/(x)的圖像可能是

A.B.

C.D.

9.已知同=3忖=3,且(2M—5)，(2+45，貝3-B在日方向上的投影為()

720

A.-B.14C.—D.7

33

10.設(shè)全集U=R,集合A={x|log2(4—x)Wl},/?={x|(x-3)(x-5)>0},貝4=()

A.[2,5]B.[2,3]C.[2,4)D.[3,4)

11.在三棱錐?！狝6C中，AB=3C=Cr>=ZM=l,且AB_L3C,CD，￡>AM,N分別是棱8C,CO的中點,

下面四個結(jié)論:

①AC_L3O；

②肱V//平面ABD；

③三棱錐A-CMN的體積的最大值為正；

12

④AO與8c一定不垂直.

其中所有正確命題的序號是（）

A.①②③B.②③④C.①④D.①②④

22

12.已知雙曲線C：；-三=1（。＞0力＞0）的左、右兩個焦點分別為耳，居，若存在點P滿足

ab-

百耳|=4:6:5,則該雙曲線的離心率為（）

55

A.2B.-C.-D.5

23

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y+l＞0

13.實數(shù)x,滿足約束條件＜x+2y—2W0,則z=x-2y的最大值為.

）+220

2

14.（5分）已知橢圓方程為/+二=1,過其下焦點尸作斜率存在的直線/與橢圓交于A8兩點，。為坐標(biāo)原點,

2

則AAOB面積的取值范圍是.

15.請列舉用0,1,2,3這4個數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù)：.

16.（2x-l『的展開式中/的系數(shù)為（用具體數(shù)據(jù)作答）.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（%）=竺土上1—1.

（1）證明：當(dāng)x＞（）時，/

（2）若函數(shù)/（X）只有一個零點，求正實數(shù)”的值.

18.（12分）已知函數(shù)/（x）=a（x+l）ln（x+l）-%2-6tx（a＞o）是減函數(shù).

（1）試確定a的值；

（2）已知數(shù)列{a“}a"=則"+1）.=qa2a3...a“（〃eN*）,求證：+

z?+12

19.（12分）已知。，〃均為正數(shù)，且加?=1.證明:

(1)V?2+^2>-(-+-)；

lab

（2）也包+3?8.

ab

20.（12分）本小題滿分14分）

已知曲線。的極坐標(biāo)方程為°=4sin9,以極點為原點，極軸為、軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線/的

.1

參數(shù)方程為「C為參數(shù)），求直線/被曲線。截得的線段的長度

,二旦+1

I2

21.（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，

有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該

村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，

質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ii）若僅有1位行家

認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工

藝品質(zhì)量為8級，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（iii）

若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為。級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)

為質(zhì)量不過關(guān)的概率為g,且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨立.

（1）求一件手工藝品質(zhì)量為8級的概率；

（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為O級不能外銷，利潤

記為100元.

①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；

②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.

22.（10分）某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會，通過

隨機(jī)抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：

組別[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男235151812

女051010713

（1）若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請完成答題卡中的2x2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率

不超過0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？

(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”.視頻率為概率.

①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率；

②為了鼓勵市民關(guān)注環(huán)保，針對此次的調(diào)查制定了如下獎勵方案：“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲

得一次抽獎活動.每次抽獎獲得紅包的金額和對應(yīng)的概率.如下表：

紅包金額(單位：元)1020

3J_

概率

44

現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求X的分布列及數(shù)學(xué)期

望.

2

1Ml士-?2n(acl-bc'),,

附表及公式：廣a"行

P[K\.k]0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%)2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

討論x>0,x=0,x<()三種情況，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

當(dāng)X>()時，/(x)=g，故尸(x)=/^,函數(shù)在(o,￡)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且/(￡)=警；

當(dāng)X=O時，/(0)=0；

當(dāng)”。時，小）=守'八，）=-宗<。,

函數(shù)單調(diào)遞減;

如圖所示畫出函數(shù)圖像，則0</〃—叵，故m6（1,叵+1）.

【點睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

2.B

【解析】

由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖:

1112

直三棱柱的體積為彳x2x2x2=4,消去的三棱錐的體積為彳2x1x2=彳,

2323

210

二幾何體的體積廠=4一彳=?，故選B.

33

點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)

鍵；幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何

體的體積.

3.B

【解析】

由二項展開式定理求出通項，求出x的指數(shù)為整數(shù)時廠的個數(shù)，即可求解.

【詳解】

加=(-1)2T°G'O『F，0少＜10，

當(dāng)r=O,3,6,9時，1+1為有理項，共4項.

故選:B.

【點睛】

本題考查二項展開式項的特征，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

只需將“存在”改成“任意”，有實根改成無實根即可.

【詳解】

由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在相＞0,使方程Y+x=0有實根”的否定是

“任意利＞0,使方程f+x-根=0無實根”.

故選：A

【點睛】

本題考查含有一個量詞的命題的否定，此類問題要注意在兩個方面作出變化：1.量詞，2.結(jié)論，是一道基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

作出二面角。的補(bǔ)角、線面角夕、線線角/的補(bǔ)角，由此判斷出兩個命題的正確性.

【詳解】

①如圖所示，過A'作平面垂足為。，連接OE,作連接AM.

由圖可知NA，MO=萬—a,ZAEO=＜ZAMO—n—a,所以a+,〈］，所以①正確.

②由于BC//DE,所以A'E與8。所成角y=7r-NAZOWNAMO=7r-a,所以a+/W乃，所以②正確.

綜上所述，①②都正確.

故選：A

【點睛】

本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

6.D

【解析】

用〃+1去換=《川中的"，得4+3+/+I=%+2，相加即可找到數(shù)列｛?！保闹芷?，再利用

S2019=336s6+%+%+%計算.

【詳解】

由已知，%+2+/=%+◎所以4+3+。"+1=4+2②，①+②，得4+3=-4,

從而?！?6=?！?，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以$6=0,

S,oi9=336(。］+a、+?,,+4)+q+a,+%=0+l+2+l=4.

故選：D.

【點睛】

本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用，在求務(wù)019時，先算出一個周期的和即§6,再將$2019表示成336s6+4+4+4即可，本題

是一道中檔題.

7.B

【解析】

由(1+0X)(1+X)5=(1+X)5+公(1+X)5,進(jìn)而分別求出展開式中X2的系數(shù)及展開式中x3的系數(shù)，令二者之和等于

-10,可求出實數(shù)。的值.

【詳解】

由(1+ax)(l+x)5=(1+x)5+ax(l+x)5,

2

則展開式中無2的系數(shù)為以+ac；=10+5a,展開式中/的系數(shù)為C；+aC5=10+10a,

二者的系數(shù)之和為(10+5a)+(10。+10)=15。+20=—10,得。=一2.

故選：B.

【點睛】

本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

根據(jù)題意，確定函數(shù)y=r(x)的性質(zhì)，再判斷哪一個圖像具有這些性質(zhì).

由/(-x)=/(X)得y=/(x)是偶函數(shù)，所以函數(shù)y=/(X)的圖象關(guān)于)，軸對稱，可知B,D符合；由/(x+2)=/(x)

得V=/(x)是周期為2的周期函數(shù)，選項D的圖像的最小正周期是4,不符合，選項B的圖像的最小正周期是2,符

合，故選B.

9.C

【解析】

由向量垂直的向量表示求出￡石,再由投影的定義計算.

【詳解】

由(21—5)_L(萬+45)

可得(21—5〉(汗+45)=262+7"萬一4后=0,因為|利=3出|=3,所以無5=—2.故2M—B在日方向上的投影

^(2a-b)-ala2-a-b18+220

為----------=----------=------=一.

\a\\a\33

故選：C.

【點睛】

本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

10.D

【解析】

求解不等式，得到集合A,B,利用交集、補(bǔ)集運算即得解

【詳解】

由于k)g,(4-x)<12<x<4

故集合A=[2,4)

(x-3)(x-5)>0:.x<3或x>5

故集合3=(YO,3)55，+00)

@8)c|A=[3,4)

故選：D

【點睛】

本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

11.D

【解析】

①通過證明AC_L平面080,證得ACL8D；②通過證明MN//8D,證得肱V//平面ABD；③求得三棱錐

A-CWN體積的最大值，由此判斷③的正確性；④利用反證法證得AO與8c一定不垂直.

【詳解】

設(shè)AC的中點為。，連接。B,。。，則AC_L03,AC10D,又030。。=。，所以AC_L平面0B。，所以

AC_L80,故①正確；因為"N//BO,所以MN//平面加＞,故②正確；當(dāng)平面D4C與平面ABC垂直時，VA_CMN

最大，最大值為匕.CMN=%-ACM=上△速=包,故③錯誤；若AO與8C垂直，又因為所以BCJ_

34448

平面43。，所以6C_L3O,又3O_LAC,所以平面ABC,所以3DJ_O8,因為OB=OD,所以顯然

與0B不可能垂直，故④正確.

故選：D

D

B

【點睛】

本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關(guān)命題真假性的判斷，考查空間想象能力和邏輯推理能力,

屬于中檔題.

12.B

【解析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.

【詳解】

憂用一5--「5次n

歸瑪―|P4|6-42.選.

【點睛】

本題主要考查雙曲線的定義及離心率，離心率求解時，一般是把已知條件，轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.10

【解析】

畫出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)截距可求.

【詳解】

解：作出可行域如下：

由z=x-2y得y=L」z,平移直線,=4」2,

-2222

當(dāng)、=_1'—經(jīng)過點B時，截距最小，z最大

22

解得8（6,-2）

z=x-2），的最大值為10

故答案為：10

【點睛】

考查可行域的畫法及目標(biāo)函數(shù)最大值的求法，基礎(chǔ)題.

14.（0,爭

【解析】

由題意，。=肥力=1,則0="2_]=],得F（O,_I）.由題意可設(shè)/的方程為了=辰-1,B（x2,y2）,

聯(lián)立方程組J：；.八，消去）'得（&、2）x2—2丘-1=0,d>0恒成立，大毛=7sj，玉+毛=7^彳，則

2x2+y-2^0k-+2k'+2

|AB|=7（l+F）[（^+^）2-4^]=2%：詈，點。（°，°）到直線/的距離為d=7*,則

____&______________

S=，|481/_&?_I、j,又J-?+1+/?一—242+1X-j=^==2,貝

°<S^0B=7.1~T,當(dāng)且僅當(dāng)斤7T=k=，即％=0時取等號?故面積的取值范圍是

(0,芋V2］.

15.231,321,301,1

【解析】

分個位數(shù)字是1、3兩種情況討論，即得解

【詳解】

0,1,2,3這4個數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有：

(1)當(dāng)個位數(shù)字是1時，數(shù)字可以是231,321,301；

(2)當(dāng)個位數(shù)字是3時數(shù)字可以是1.

故答案為：231,321,301,1

【點睛】

本題考查了分類計數(shù)法的應(yīng)用，考查了學(xué)生分類討論，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.60

【解析】

利用二項展開式的通項公式可求V的系數(shù).

【詳解】

(2x-l)”的展開式的通項公式為I”=c；(2x)~(-1)’，

令6—r=2,故r=4,故1的系數(shù)為(―爐C；x2?=60.

故答案為：60.

【點睛】

本題考查二項展開式中指定項的系數(shù)，注意利用通項公式來計算，本題屬于容易題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析；(2)

2

【解析】

⑴把e，>對轉(zhuǎn)化成x>glnx,令g(x)=x-$nx,由題意得，即證明g(%L>()恒成立，通過導(dǎo)數(shù)求證即可

f2a-n

(2)直接求導(dǎo)可得，石、一一一廠『，令/(x)=0,得x=2--或x=0,故根據(jù)0與2+—的大小關(guān)

f(%)=--------------------aa

系來進(jìn)行分類討論即可

【詳解】

<<C<

證明：(1)令g(x)=x-，lnx,則g<x)=l—~—=――

2

分析知，函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(|,+co],減區(qū)間為不.

所以當(dāng)xe(o,同時,g(xL=g(|)=|-|ln|=|[l—ln|)(|(l-ln|[〉o).

所以x>|lnx,即x〉m￡，

所以e*>/?

所以當(dāng)工>()時，e”>/?

解：⑵因為/(幻=竺士力一1,所以、-ax2+(2a-\)x-"1"一々卜.

exJ(*)=---------、-----=--------:-------

ee

討論：

1v-2/2\

①當(dāng)。=5時，/'u)=--I--<oj,此時函數(shù)〃x)在區(qū)間(《,”)上單調(diào)遞減.

又〃0)=。，

故此時函數(shù)僅有一個零點為0；

②當(dāng)0<a<；時，令/(x)>0,得號二1<x<0,故函數(shù)“X)的增區(qū)間為(子，,0),減區(qū)間為(一8,

(0,+功.

又極大值/(0)=0,所以極小值/(號，)<0.

當(dāng)x<一工時，有0<e*<l.

a

5LOJC4-x+l>ax2+x>0,此時/(%)>(),

故當(dāng)時，函數(shù)/(x)還有一個零點，不符合題意;

③當(dāng)時，令/(x)>0得0<x〈號。，故函數(shù)“X)的增區(qū)間為(0,4，，減區(qū)間為(一8,0),(若L+s

又極小值/(。)=0,所以極大值號」)>0.

若X>2,貝!j(a+l)%2一(61r2+%+])=九2一]一1,得+>3?+X+1,

//、ax*2+x-^-li

所以小)=丁一-1

<--------------------1

ex

(a+l)f一e*

二7

5

(6f+l)x2-/

ex

X2^(6Z+1)—VxJ

ex

所以當(dāng)x>2且x>("+l)2時，/(x)<0,故此時函數(shù)/(x)還有一個零點，不符合題意.

綜上，所求實數(shù)。的值為

2

【點睛】

本題考查不等式的恒成立問題和函數(shù)的零點問題，本題的難點在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式，如

_(2af

、一X,進(jìn)而分類討論，本題屬于難題

f(%)=-------;------

e

18.(I)a=2(II)見證明

【解析】

(I)求導(dǎo)得/'(x)=Hn(x+(-2x,由是減函數(shù)得，對任意的xe(-l,+oo),都有都(x)=aln(x+l)-2元40

恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=aln(x+l)-2x,通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0,即可求出〃；

(D)由“X)是減函數(shù)，且"0)=0可得，當(dāng)x>0時，/(x)<0,則/(〃)<0,即2(〃+l)ln(l+〃)</+2〃,

ln(n+l)1nn+2?n1nn+2

兩邊同除以2(〃+葉得,--------<------------，BPa<------------，從而

〃+12〃+1〃+1n2〃+1〃+1

23nY345n+2}1n+2

zj+lJu'34Z2+1J71,兩邊取對數(shù)

34r"n+l

(n+2)2

In［〃+2)(,］<In=21n(〃+2)-ln(〃+l)-(〃+l)ln2,然后再證明

21n(〃+2)-皿(〃+1)-(〃+1)1112+5-1<0恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)

/z(x)=21n(x+2)-ln(x+l)-(x+l)ln2+|-l,XG［1,+OO),通過求導(dǎo)證明<()即可.

【詳解】

解：(I)/(x)的定義域為(一1,口)，r(x)=aln(x+l)—2x.

由/(x)是減函數(shù)得，對任意的xe(-l,+8),都有/'(x)=aln(x+l)-2xW0恒成立.

設(shè)g(x)=aln(x+l)-2x.

由。>()知@-1>一1,

g'(x)=2

尤+1

.?.當(dāng)彳6(-1,］一1)時，g'(x)>0；當(dāng)xe(￡-l,+ooj時，g'(x)<0,

.?"(無)在［-1￡-1］上單調(diào)遞增，在1-1,+，|上單調(diào)遞減，

g(x)在X=事T時取得最大值.

又???g(O)=O,.?.對任意的xe(-l,+a)),g(x)Wg(O)恒成立,即g(x)的最大值為g(O).

/.--1=0,解得。=2.

2

(H)由/(x)是減函數(shù)，且"0)=0可得，當(dāng)x>0時，/(力<0,

:./(/?)<0,即2(〃+l)ln(l+〃)<〃2+2n.

i,iA-/八In(71+1)1nn+2?1nn+2

兩邊同除以2(雇+1)得，--------<--------------，即a。〃<-------------.

〃+12〃+1〃+12〃+1〃+1

1T123/7Y345〃+2、1n+2

從而,,-aia2a3...an<--\^----……~……~n+1)=k.〃+］，

(〃+2)2

所以ln[(〃+2)7；]<ln=21n(/?+2)-in(H+1)-(H+1)ln2①.

2n+,(n+l)

下面證21n(〃+2)-.(〃+1)-(〃+1)m2+5-1<0；

ifl/z(x)=21n(x+2)-ln(x+l)-(x+l)ln2+^-l,XG[1,4-OO).

2x--------ln2+—

—In2H"-二、-ln2+-J:2,

x+2x+12x+3x+22XH---F3

X

???丁=》+：在［2,位）上單調(diào)遞增，

.?.”（力在［2,+8）上單調(diào)遞減，

而“（x）＜/?,（2）=--ln2+-=-（2-31n2）=-（2-ln8）＜0,

6233

工當(dāng)％w［2,+oo）時,"（九）＜0恒成立,

.?.〃（%）在［2,+8）上單調(diào)遞減,

即x￡[2,-Feo)時，〃(尤)《〃(2)=21n4-ln3-31n2=ln2-ln3<0,

...當(dāng)心2時，/?(n)<0.

1QL

1)=21n3-In2-21n2——=ln--lnVe<0,

28

.,?當(dāng)〃GN*時，/?(?)<0,即21n(〃+2)—ln(〃+l)—(〃+l)ln2<l,②.

綜上①(§)可得，ln[(n+2)7；,]<l-^

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計算求

解能力，屬于難題.，

19.（1）見解析（2）見解析

【解析】

11Y

（1）由進(jìn)行變換，得至!|2（。2+〃）2-+-,兩邊開方并化簡，證得不等式成立.

ba）

（2）將婦!匚+絲土1匚化為（〃+匕3）+2,2+匕2）+（〃+/7）,然后利用基本不等式，證得不等式成立.

ah

【詳解】

(I)a2+h2>2ab,兩邊加上/+〃得2(/+從)2(。+?2=(空2],即？(/十/),當(dāng)且僅當(dāng)

\ab)\ba)

。二人=1時取等號，

.?，7a2+^2>-(-+-).

2ab

(2)

3+1)2(a+l)2b22b1a22ala3+b3^,baJI、/3,：\

-----—+-—=——+——+—+——+——+-=-------+2(—+-)x+(—+-)=(<2+/7+

ah--aaahbbahabab''

2(^a2+b2j+(a+b)>2\Ja3h3+4ab+2y[ab=8.

當(dāng)且僅當(dāng)a=8=1時取等號.

【點睛】

本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

20.2p_(；)2=屈

【解析】解：解：將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為V+y2—4)=0,

即d+(y—2)2=4,它表示以(0,2)為圓心，2為半徑圓......................4分

直線方程/的普通方程為y=JIx+l,.....8分

圓C的圓心到直線/的距離"=1，......................10分

2

故直線/被曲線。截得的線段長度為2/22一心2=715............14分

21.(1)2(2)①2②期望值為號3

X900600300100

816207

P

27818?27

【解析】

(1)一件手工藝品質(zhì)量為8級的概率為C；xgx(l-J?

1117

(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為O級的概率為C；x(3)2x(l-§)+C；x(?3=云,

7

設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是4件，則舁3(10,白),

4垮嚴(yán)歙Y

則小得嚴(yán)，騎答70-7A

c舄)嚅嚴(yán)"20%+20

70—Hk,[3.50信$>1,即尸(4=2)>尸片=1),

由--->1^A：<—,所以當(dāng)z=l時,

20A+2027

10-Ik,,50g、…，…

由——-<1^ZB^>—?所以當(dāng)ZN2時,P(g=k+l)<Pq=k),

20k+2027

所以當(dāng)左=2時，P4=k)最大,即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.

②由上可得一件手工藝品質(zhì)量為4級的概率為(1-。3=得，一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為3,

32781

一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為C',xlx(l-1)2x[C^xlx(l-l)+(I)2]=勖

33333ol

7

一件手工藝品質(zhì)量為。級的概率為二;，

27

所以X的分布列為

X900600300100

816207

P

27818177

o1690712100

則期望為E(X)=900x—+600x—+