第十五次課相似矩陣及矩陣的對(duì)角化

第十五次課相似矩陣及矩陣的對(duì)角化第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日一、相似矩陣的概念定義1設(shè)A，B為n階方陣，如果存在可逆矩陣P，使得

P–1AP=B成立，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。稱P為相似變換矩陣。相似關(guān)系是矩陣間的一種等價(jià)關(guān)系，即滿足

自反性：A~

A，對(duì)稱性：若A~B，則B~

A傳遞性：若A~B，B~

Ｃ，則A~Ｃ第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日

1.如果方陣A與B相似，則它們有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值。即若A~B，則|lE-A|=|lE-B||lE-B|=|P-1(lE)P-P-1AP|=|lE-P-1AP|=|P-1(lE-A)P|=|P-1||lE-A||P|=|lE-A|，二、相似矩陣的性質(zhì)

A與B有相同的特征多項(xiàng)式，所以它們有相同的特征值。2.相似矩陣的行列式相等。即若A~B，則|A|=|B||B|=|P-1AP|=|P-1||A||P|=|A||P-1P|=|A|證明：因?yàn)镻-1AP=B，第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日3.相似矩陣有相同的跡。即若A~B，則相似矩陣或者都可逆，或者都不可逆。若都可逆，其逆矩陣也相似。第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

5.相似矩陣有相同的秩。即若A~B，則R（A）=R（B）

注意：以上性質(zhì)均為相似的必要條件，可以用來排除哪些矩陣不相似。第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日例5若Ａ相似于對(duì)角陣L，則存在可逆陣Ｐ，使則A=P

LP-1

A２=（P

LP-1）（P

LP-1）＝P

L２

P-1,

A３＝A２A＝（P

L２

P-1）（

P

LP-1）＝P

L３P-1,Am＝P

Lm

P-1證明因?yàn)椋料嗨朴趯?duì)角陣L，故存在可逆陣Ｐ，使P-1AP=L,一般的：

Am＝P

Lm

P-1。第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日利用對(duì)角矩陣計(jì)算矩陣多項(xiàng)式k個(gè)第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日利用上述結(jié)論可以很方便地計(jì)算矩陣A的多項(xiàng)式.第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日定理證明第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日例1若求x，y．

解得：x=-17,

y=-12解：由于Ａ和Ｂ相似，所以tr(A)=tr(B),|A|=|B|,即22+x=1+422x

-31y=4-6第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日解：由于矩陣Ａ和Ｄ相似，所以|A|=|D|,即|A|=|D|＝12.例２設(shè)3階方陣A相似于矩陣，求|A|．第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日三、n階方陣與對(duì)角矩陣相似的條件相似矩陣具有許多共同的性質(zhì)，因此，對(duì)于n階方陣A，我們希望在與A相似的矩陣中尋求一個(gè)較簡(jiǎn)單的矩陣。在研究A的性質(zhì)時(shí)，只需先研究這一較簡(jiǎn)單矩陣的同類性質(zhì)。下頁若方陣A與一個(gè)對(duì)角陣L相似，則稱方陣A可對(duì)角化。記為A~L，并稱L是A的相似標(biāo)準(zhǔn)形。問

n階方陣A與一個(gè)對(duì)角矩陣L相似的條件？第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日=(l1X1,l2X2,,ln

Xn)

(X1,X2,,Xn)l1000l2000ln思考題=?第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日下面討論對(duì)角化的問題這說明：如果A可對(duì)角化，它必有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，就是P的n個(gè)列；反之，如果A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，把它拼成矩陣P(可逆)，把上面過程逆過來即知A可對(duì)角化。定理n階矩陣A可對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日二、矩陣的對(duì)角化（利用相似變換把方陣對(duì)角化）定理5.3(P130)階矩陣可對(duì)角化（與對(duì)角陣相似）有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。注意：這時(shí)P和對(duì)角陣是如何構(gòu)成的？第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日可驗(yàn)證線性無關(guān)，故A可對(duì)角化.[見后面注]第1步

求特征值即求的基礎(chǔ)解系第2步求線性無關(guān)的特征向量，例2討論矩陣是否可對(duì)角化.若可以，求可逆矩陣P使為對(duì)角矩陣.[參見§5.1例3]第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日第3步把線性無關(guān)的特征向量拼成可逆矩陣P.第4步寫出相似變換及對(duì)角矩陣.注下面的定理告訴我們，本題中的線性無關(guān)性不需要驗(yàn)證.第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日如果確定A是否有N個(gè)線性無關(guān)的特征向量？第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日例6、矛盾。證明第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日證明則即類推之，有第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日把上列各式合寫成矩陣形式，得第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日推論5.1若階方陣有個(gè)互不相同的特征值,則可對(duì)角化。（與對(duì)角陣相似）(逆命題不成立)第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

不同特征值對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量合并以后仍是線性無關(guān)的。即設(shè)是矩陣A的不同的特征值，又設(shè)對(duì)應(yīng)的無關(guān)特征向量為對(duì)應(yīng)的無關(guān)特征向量為對(duì)應(yīng)的無關(guān)特征向量為則仍是線性無關(guān)的。定理5.4第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日證(只證兩個(gè)不同特征值的情況)設(shè)上式兩邊左乘A得再由線性無關(guān)得類似可得由假設(shè)得第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日設(shè)的所有不同的特征值為則

注：就是的重根數(shù)，稱之為的(代數(shù))重?cái)?shù)，就是對(duì)應(yīng)的最大無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)，稱之為的幾何重?cái)?shù)。該定理說明：任一特征值對(duì)應(yīng)的無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)至少有一個(gè)，至多不會(huì)超過它的重?cái)?shù)。如果是單重特征值，它有一個(gè)且僅有一個(gè)無關(guān)的特征向量。定理5.5第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日定理5.6n階矩陣A可對(duì)角化的充要條件是A的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于它的幾何重?cái)?shù)。即設(shè)互不同，此時(shí)則A可對(duì)角化的充要條件是亦即：的重?cái)?shù)恰好等于它對(duì)應(yīng)的最大無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)。簡(jiǎn)稱:幾重特征值有幾個(gè)特征向量.第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日定理5.6n階矩陣A可對(duì)角化的充要條件是A的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于它的幾何重?cái)?shù)。簡(jiǎn)稱:幾重特征值有幾個(gè)特征向量.第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日例３.判斷下列矩陣是否下列矩陣是否相似于對(duì)角陣，若相似求可逆矩陣Ｐ，使P-1AP=L-11-4（２）.

B=103020

解：(2).矩陣B的特征方程為l+1-14

-10l-30l-20|λE-B|=(l-2)(l-1)2=0，

矩陣A的特征值為：

l1l2=1,l32，對(duì)于特征值l1l2=1,解線性方程組(E-B)Xo，得其基礎(chǔ)解系X1=，12-1B不能對(duì)角化第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日

判斷n階方陣A能否對(duì)角化以及對(duì)角化的具體步驟為：

的基礎(chǔ)解系：Xi1，Xi2，…，Xiki

3.當(dāng)L<n時(shí)，A不能對(duì)角化；當(dāng)L=n時(shí)，A可以對(duì)角化。

4.構(gòu)造可逆矩陣P=（X1，…，Xn），則2.對(duì)每個(gè)特征值求1.求A的所不同特征值l1...ls第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日解：由Ａ和Ｂ相似得：tr(A)=tr(B)|A|=|B|

l1l2=2,l36對(duì)于特征值l1l2=２,解線性方程組(２E-A)Xo，-110101得其基礎(chǔ)解系X1=及X2=對(duì)于特征值l3=6，解線性方程組(6E-A)xo，由于Ａ和Ｂ相似，且Ｂ是一個(gè)對(duì)角陣，可得Ａ的特征值是所以得其基礎(chǔ)解系X3=，1-23

5+x=4+y6x-6=4y解之得：x=5,y=6第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日解：由Ａa1=a1，Ａa２=０，Ａa３=-a3可得：l１1，l２0，l３-1是Ａ的特征值，

a1，a２，a３是Ａ對(duì)應(yīng)于上述特征值的特征向量

容易驗(yàn)證a1，a２，a３是３階方陣Ａ的３個(gè)線性無關(guān)的特征向量所以Ａ相似于對(duì)角陣Λ＝diag(1,0,-1)取Ｐ＝（a1，a２，a３）則有P-1AP=L，所以

A

=PLP-1

A

5=PL5P=

PLP-1=A

例6．設(shè)３階方陣Ａ滿足求Ａ和A5．其中第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日例7能否對(duì)角化，只需檢查二重根對(duì)應(yīng)的特征向量？第三十