2018年數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)、解三角形第1講任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精15-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE第1講任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)最新考綱1。了解任意角的概念和弧度制的概念；2。能進(jìn)行弧度與角度的互化;3.理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。知識(shí)梳理1。角的概念的推廣(1）定義:角可以看成平面內(nèi)的一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。（2)分類(lèi)eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角Ｗ.，按終邊位置不同分為象限角和軸線(xiàn)角。））（3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}。2?；《戎频亩x和公式（1）定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,弧度記作rad。(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f（l，r）(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f（π，180）rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（180,π)））°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝｜α|r扇形面積公式S＝eq\f（1，2）lr＝eq\f（1，2）|α|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x,y），那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f（y,x）叫做α的正切，記作tanα各象限符號(hào)Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線(xiàn)有向線(xiàn)段MP為正弦線(xiàn)有向線(xiàn)段OM為余弦線(xiàn)有向線(xiàn)段AT為正切線(xiàn)診斷自測(cè)1。判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×")（1）小于90°的角是銳角。(）(2）銳角是第一象限角，反之亦然.（）(3）將表的分針撥快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是30°.（）（4）若α∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2)））,則tanα＞α＞sinα.（）（5）相等的角終邊一定相同,終邊相同的角也一定相等.（)解析（1）銳角的取值范圍是（0°,90°).（2)第一象限角不一定是銳角。（3）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的角是負(fù)角。（5）終邊相同的角不一定相等.答案（1)×（2）×（3)×(4）√（5）×2.角－870°的終邊所在的象限是(）A。第一象限 B.第二象限C。第三象限 D。第四象限解析由－870°＝－3×360°＋210°，知－870°角和210°角的終邊相同,在第三象限。答案C3。下列與eq\f（9π，4）的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A.2kπ＋45°(k∈Z） B.k·360°＋eq\f(9，4)π(k∈Z)C。k·360°－315°(k∈Z） D.kπ＋eq\f(5π,4）(k∈Z)解析與eq\f（9π，4）的終邊相同的角可以寫(xiě)成2kπ＋eq\f（9π，4)(k∈Z），但是角度制與弧度制不能混用,所以只有C正確.答案C4.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－4，3)，則cosα＝（)A.eq\f（4,5) B。eq\f(3，5）C.－eq\f（3，5） D.－eq\f(4，5)解析∵角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－4，3)，∴x＝－4,y＝3，r＝5。∴cosα＝eq\f（x,r)＝－eq\f（4,5），故選D.答案D5.（必修4P10A6改編）一條弦的長(zhǎng)等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為_(kāi)_______弧度.答案eq\f（π，3）6。（2017·紹興調(diào)研）弧長(zhǎng)為3π，圓心角為135°的扇形半徑為_(kāi)_______，面積為_(kāi)_______。解析135°＝eq\f(135，180)＝eq\f(3π,4）（弧度）,由α＝eq\f(l，r)，得r＝eq\f(l，α）＝eq\f（3π,\f（3π,4))＝4，S扇形＝eq\f(1，2)lr＝eq\f(1，2）×4×3π＝6π.答案46π考點(diǎn)一角的概念及其集合表示【例1】（1)若角α是第二象限角，則eq\f（α,2）是（)A。第一象限角 B。第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角(2）終邊在直線(xiàn)y＝eq\r（3）x上，且在[－2π，2π)內(nèi)的角α的集合為_(kāi)_______。解析（1）∵α是第二象限角,∴eq\f(π，2）＋2kπ＜α＜π＋2kπ,k∈Z,∴eq\f(π,4）＋kπ＜eq\f(α，2)＜eq\f(π，2)＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f（α,2）是第一象限角;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),eq\f（α,2）是第三象限角.(2)如圖，在坐標(biāo)系中畫(huà)出直線(xiàn)y＝eq\r(3)x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是eq\f(π，3)，在［0，2π）內(nèi)，終邊在直線(xiàn)y＝eq\r(3）x上的角有兩個(gè)：eq\f(π,3）,eq\f(4，3)π；在[－2π，0)內(nèi)滿(mǎn)足條件的角有兩個(gè)：－eq\f（2，3)π，－eq\f（5,3)π，故滿(mǎn)足條件的角α構(gòu)成的集合為eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（－\f（5,3)π，－\f(2,3）π,\f(π,3)，\f(4,3）π）)。答案(1)C（2)eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（－\f(5，3）π,－\f(2，3)π，\f（π，3），\f（4，3)π)）規(guī)律方法（1）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角。(2)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫(xiě)出kα或eq\f（α，k）的范圍，然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或eq\f(α，k）的終邊所在位置。【訓(xùn)練1】(1)設(shè)集合M＝eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x|x＝\f（k,2）·180°＋45°，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x|x＝\f（k,4）·180°＋45°，k∈Z）），那么（)A。M＝N B.M?NC.N?M D。M∩N＝?（2）集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（α｜kπ＋\f(π，4）≤α≤kπ＋\f(π,2），k∈Z）)中的角所表示的范圍（陰影部分）是()解析(1)法一由于M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x|x＝\f（k，2)·180°＋45°，k∈Z)）＝｛…,－45°,45°,135°,225°,…},N＝eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x｜x＝\f（k，4）·180°＋45°，k∈Z）)＝｛…，－45°，0°，45°,90°，135°，180°，225°,…}，顯然有M?N，故選B。法二由于M中，x＝eq\f（k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1）·45°，2k＋1是奇數(shù);而N中，x＝eq\f(k，4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1）·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N,故選B。(2)當(dāng)k＝2n（n∈Z)時(shí)，2nπ＋eq\f（π,4）≤α≤2nπ＋eq\f（π，2),此時(shí)α表示的范圍與eq\f(π,4）≤α≤eq\f（π，2）表示的范圍一樣；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋eq\f(5π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(3π，2）,此時(shí)α表示的范圍與eq\f(5π,4）≤α≤eq\f（3π，2)表示的范圍一樣，故選C。答案（1）B（2）C考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用【例2】已知一扇形的圓心角為α,半徑為R，弧長(zhǎng)為l.（1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l;(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積是4cm2，求扇形的圓心角；(3）若扇形周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大？解（1)α＝60°＝eq\f(π,3）rad，∴l(xiāng)＝α·R＝eq\f(π，3）×10＝eq\f(10π，3)(cm）。(2)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2R＋Rα＝10，，\f(1,2）α·R2＝4，））解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（R＝1，,α＝8）)(舍去)，eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f（1,2).))故扇形圓心角為eq\f(1,2).(3)由已知得，l＋2R＝20.所以S＝eq\f(1，2)lR＝eq\f（1,2)(20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5)2＋25,所以當(dāng)R＝5時(shí)，S取得最大值25,此時(shí)l＝10,α＝2。規(guī)律方法應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法（1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí),要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決。(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí),要合理地利用圓心角所在的三角形.【訓(xùn)練2】已知一扇形的圓心角為α(α〉0），所在圓的半徑為R。(1)若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；（2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積?解（1)設(shè)弧長(zhǎng)為l,弓形面積為S弓，則α＝90°＝eq\f（π,2），R＝10,l＝eq\f（π，2）×10＝5π（cm），S弓＝S扇－S△＝eq\f（1，2)×5π×10－eq\f（1,2)×102＝25π－50（cm2）.（2）扇形周長(zhǎng)C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(C，2＋α),∴S扇＝eq\f(1，2）α·R2＝eq\f（1，2)α·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(C，2＋α）))eq\s\up12(2)＝eq\f（C2α,2)·eq\f(1，4＋4α＋α2)＝eq\f（C2,2)·eq\f（1，4＋α＋\f(4,α))≤eq\f（C2，16）.當(dāng)且僅當(dāng)α2＝4，即α＝2時(shí)，扇形面積有最大值eq\f（C2，16）。考點(diǎn)三三角函數(shù)的概念【例3】（1）(2017·東陽(yáng)一中月考）已知角α的終邊與單位圓x2＋y2＝1交于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2),y0)），則cos2α等于(）A。－eq\f(1，2） B.eq\f(1,2) C.－eq\f（\r（3),2) D。1(2)(2016·蘭州模擬)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（－8m,－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A。－eq\f（1，2） B.eq\f（1,2) C.－eq\f(\r（3),2） D.eq\f（\r(3)，2）(3)若角θ同時(shí)滿(mǎn)足sinθ＜0且tanθ＜0,則角θ的終邊一定落在（）A。第一象限 B.第二象限C。第三象限 D。第四象限解析（1)根據(jù)題意可知,cosα＝eq\f（1,2)，∴cos2α＝2cos2α－1＝2×eq\f（1,4）－1＝－eq\f（1,2），故選A。（2）∵r＝eq\r（64m2＋9），∴cosα＝eq\f（－8m，\r(64m2＋9))＝－eq\f(4，5），∴m〉0，∴eq\f(4m2，64m2＋9）＝eq\f（1，25)，即m＝eq\f(1，2），故選B。(3）由sinθ＜0知θ的終邊在第三、四象限或y軸負(fù)半軸上,由tanθ＜0知θ的終邊在第二、四象限,故選D。答案（1)A(2）B（3)D規(guī)律方法(1)利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r。（2）根據(jù)三角函數(shù)定義中x，y的符號(hào)來(lái)確定各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號(hào)，理解并記憶:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”。（3)利用三角函數(shù)線(xiàn)解三角不等式時(shí)要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性正確寫(xiě)出角的范圍.【訓(xùn)練3】(1）(2017·青島模擬)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1,2），y))，則sinα·tanα＝（）A。－eq\f(\r(3），3) B?！纄q\f(\r（3），3) C。－eq\f（3,2) D?！纄q\f(3,2)（2）滿(mǎn)足cosα≤－eq\f(1，2)的角α的集合為_(kāi)_______.解析(1）由|OP｜2＝eq\f(1，4)＋y2＝1,得y2＝eq\f（3,4)，y＝±eq\f（\r(3）,2)。當(dāng)y＝eq\f（\r（3),2）時(shí)，sinα＝eq\f（\r（3）,2），tanα＝－eq\r(3），此時(shí)，sinα·tanα＝－eq\f(3,2）。當(dāng)y＝－eq\f(\r（3),2)時(shí),sinα＝－eq\f(\r（3）,2）,tanα＝eq\r（3),此時(shí)，sinα·t