山東省青島市市南區(qū)2020-2021學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2020-2021學(xué)年山東省青島市市南區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共7小題，滿分21分）下列每小題都給出標(biāo)號為A、B、C、D的四個結(jié)論，其中只有一個是正確的，每小題選對得分，不選、錯選或選出的標(biāo)號超過一個的不得分．1.關(guān)于x方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.m≤3 B.m≥3 C.m≤3且m≠2 D.m＜3【答案】A【解析】【分析】討論：當(dāng)m-2=0，方程變形為2x+1=0，此一元一次方程有解；當(dāng)m-2≠0，方程為一元二次方程，利用判別式得到Δ=22-4（m-2）≥0，解得m≤3且m≠2，然后綜合兩種情況即可得到m的范圍．【詳解】解：當(dāng)m-2=0，即m=2時，方程變形為2x+1=0，解得x=-；當(dāng)m-2≠0，則Δ=22-4（m-2）≥0，解得m≤3且m≠2，綜上所述，m的范圍為m≤3．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．注意分類討論．2.下列判斷錯誤的是（）A.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形B.四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形C.兩條對角線垂直且平分的四邊形是正方形D.四條邊都相等的四邊形是菱形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，正方形和菱形的判定方法逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)正確；B、四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，故本選項(xiàng)正確；C、兩條對角線垂直且平分的四邊形是菱形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)錯誤；D、四條邊都相等的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形，矩形，正方形和菱形的判定．熟練掌握相關(guān)判定方法是解題的關(guān)鍵．3.某路口人行橫道信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒，綠燈持續(xù)時間為60秒．若小明同學(xué)來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才會出現(xiàn)綠燈的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】至少需要等待15秒才會出現(xiàn)綠燈，則該行人在紅燈的前25秒來到路口即可，據(jù)此計(jì)算概率．【詳解】解：∵紅燈持續(xù)時間為40秒，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈，∴一名行人前25秒來道該路口遇到紅燈，∴至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為=，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力，比較基礎(chǔ)．4.某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下的表格，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（）實(shí)驗(yàn)次數(shù)10020030050080010002000頻率0.3650.3280.3330.3340.3360.3340.332A.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃 B.拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率C.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀” D.拋一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)利用頻率估計(jì)概率得到實(shí)驗(yàn)的概率在左右，再分別計(jì)算出四個選項(xiàng)中的概率，然后進(jìn)行判斷．【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可知，出現(xiàn)這一結(jié)果的概率是，A、一副去掉大小王普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為，不符合題意；B、拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率為，不符合題意；C、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”的概率是，符合題意；D、拋一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是5的概率為，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】此題考查利用頻率估計(jì)概率，計(jì)算簡單事件的概率，解題的關(guān)鍵是理解利用頻率估計(jì)概率的原理．大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．5.如圖，四邊形ABCD和A′B′C′D′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′＝：，則四邊形ABCD和A′B′C′D′的面積比為（）A.： B.2：3 C.2：5 D.4：9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出兩個相似多邊形的相似比，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD和A′B′C′D′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′＝：，∴，∴四邊形ABCD和A′B′C′D′的面積比為．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系、相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA＝3，OC＝4，點(diǎn)M(2，0)，在邊AB存在點(diǎn)P，使得△CMP為“智慧三角形”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.(3，1)或(3，3) B.(3，)或(3，3)C.(3，)或(3，1) D.(3，)或(3，1)或(3，3)【答案】D【解析】【分析】由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，設(shè)P（3，a），則AP＝a，BP＝4?a；分兩種情況：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根據(jù)勾股定理分別求出CP2、MP2、CM2，并根據(jù)圖形列出關(guān)于a的方程，解得a的值，則可得答案．【詳解】解：由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，∴設(shè)P（3，a），則AP＝a，BP＝4?a；①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2＋BC2＝（4?a）2＋9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，在Rt△MPC中，由勾股定理得：CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4?a）2＋9＝2a2?8a＋26，又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20，∴2a2?8a＋26＝20，∴（a?3）（a?1）＝0，解得：a＝3或a＝1，∴P（3，3）或（3，1）；②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2＋BC2＝（4?a）2＋9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，∵CM2＝OM2＋OC2＝20，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2＋MP2＝CP2，∴20＋1＋a2＝（4?a）2＋9，解得：a＝．∴P（3，）．綜上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理在幾何圖形坐標(biāo)計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、分類討論并根據(jù)題意正確地列式是解題的關(guān)鍵．7.如圖，如圖正方形內(nèi)一點(diǎn)E，滿足為正三角形，直線AE交BC于F點(diǎn)，過E點(diǎn)的直線，交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H．以下結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有（）A.①②③ B.①③④ C.①④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，然后求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，然后求出，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出，判斷出①正確，過點(diǎn)作，可得，根據(jù)等角的余角相等求出，再利用“角角邊”證明和，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，從而得到，判斷出②正確；再求出，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，解直角三角形分別用、表示出，可以得到，再表示出，即可判定③正確；設(shè)，表示出、，然后求出的值，判斷出④錯誤．【詳解】解：為正三角形，，，，，，，故①正確；過點(diǎn)作，則，，，又，，在和中，，，，為正三角形，點(diǎn)在的垂直平分線上，根據(jù)平行線分線段成比例定理，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，故②正確；，，，，，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，則，，是等邊三角形，，，，，，，，，故③正確；，故④錯誤．綜上所述，正確的結(jié)論是①②③．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題型，主要利用了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形與等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題3分，共6小題，滿分18分）8.某果園2011年水果產(chǎn)量為100噸，2013年水果產(chǎn)量為144噸，則該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為___________.【答案】20%【解析】【分析】設(shè)該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為x，根據(jù)“2013年的產(chǎn)量=2011年的產(chǎn)量×（1+年平均增長率）2”列出方程，解方程即可．【詳解】設(shè)該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為x，則2012年的產(chǎn)量為100（1+x）噸，2013年的產(chǎn)量為100（1+x）（1+x）=100（1+x）2噸，根據(jù)題意，得100（1+x）2=144，解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）．所以年平均增長率為20%．

故答案為：20%．【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵得到關(guān)系式：2013年的產(chǎn)量=2011年的產(chǎn)量×（1+年平均增長率）2．9.據(jù)美國約翰斯霍普金斯大學(xué)發(fā)布的全球新冠肺炎數(shù)據(jù)實(shí)時統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)，截至美國東部時間3月28日晚6時，全美共報(bào)告新冠肺炎確診人數(shù)超過3025萬，死亡超過54.9萬．已知有一人患了新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后，共有144人患了新冠肺炎，每輪傳染中平均每人傳染了__________人．【答案】11【解析】【分析】設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了人，再根據(jù)“經(jīng)過兩輪傳染后，共有144人患了新冠肺炎”建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了人，由題意得：，解得或（不符題意，舍去），即每輪傳染中平均每人傳染了11人，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確建立方程是解題關(guān)鍵．10.第七屆世界軍人運(yùn)動會將于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，小熙同學(xué)幸運(yùn)獲得了一張軍運(yùn)會吉祥物“兵兵”的照片，如圖，該照片(中間的矩形)長29cm，寬為20cm，他想為此照片配一個四條邊寬度相等的鏡框(陰影部分)，且鏡框所占面積為照片面積的，為求鏡框的寬度，他設(shè)鏡框的寬度為cm，依題意列方程，化成一般式為_______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)鏡框所占面積為照片面積的列一元二次方程即可解題．【詳解】根據(jù)題意得，整理得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．11.如圖，正方形的邊長為4，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在的延長線上，且，G為的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)H，連接，則的長為________．【答案】【解析】【分析】先作輔助線構(gòu)造直角三角形，求出CH和MG的長，再求出MH的長，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解:如圖,作OK⊥BC，垂足為點(diǎn)K，∵正方形邊長為4，∴OK=2，KC=2，∴KC=CE，∴CH是△OKE的中位線∴，作GM⊥CD，垂足為點(diǎn)M，∵G點(diǎn)為EF中點(diǎn)，∴GM是△FCE的中位線，∴，，∴，在Rt△MHG中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能作出輔助線構(gòu)造直角三角形，得到三角形的中位線，利用三角形中位線定理求出相應(yīng)線段的長，利用勾股定理解直角三角形等．12.如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，若，，則線段的最大值是__．【答案】3【解析】【分析】連接PC．首先依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求出PC=2，然后再依據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值為PC+CM．【詳解】解：如圖連接．在中，，，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，，，，，又，即，的最大值為3（此時、、共線）．故答案為：3．【點(diǎn)睛】考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線為正比例函數(shù)的圖像，點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，以為邊作正方形；過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交軸于點(diǎn)，以為邊作正方形；過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，以為邊作正方形，…，按此規(guī)律操作下所得到的正方形的面積是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)得到∠D1OA1=45°，分別求出正方形A1B1C1D1的面積、正方形A2B2C2D2的面積，總結(jié)規(guī)律解答．【詳解】解：∵直線l為正比例函數(shù)y=x的圖象，∴∠D1OA1=45°，∴D1A1=OA1=1，∴正方形A1B1C1D1的面積=1=（）1-1，由勾股定理得，OD1=，D1A2=，∴A2B2=A2O=，∴正方形A2B2C2D2的面積==（）2-1，同理，A3D3=OA3=，∴正方形A3B3C3D3的面積==（）3-1，…由規(guī)律可知，正方形AnBnCnDn的面積=（）n-1，∴正方形的面積是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)一次函數(shù)解析式得到∠D1OA1=45°，正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三．作圖題（滿分26分）14.請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．請作出一個以線段為對角線，且對角線夾角為的矩形．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)作圖即可；【詳解】解：分別與A、C為圓心，大于AC的長為半徑，畫弧，連接交點(diǎn)交AC于點(diǎn)O，再分別以O(shè)、A、C為圓心，以O(shè)A的長為半徑畫弧，得到點(diǎn)B、D，依次連接A、B、C、D即可，如圖，四邊形即為所求作．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)是正確畫圖的根據(jù)．15.請按照下列要求一元二次方程：（1）利用公式法解下列方程：；（2）利用配方法解下列方程：．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）先把一元二次方程化為一般形式，再利用求根公式求解即可；（2）先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再配方，即可求解．【小問1詳解】解：，，，，，，；【小問2詳解】，，，，，，或，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，掌握公式法和配方法的步驟是關(guān)鍵．16.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】且【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程，二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零，和方程有實(shí)數(shù)根，判別式大于等于零，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：將整理為，由可得，解得，，，且．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況，求參數(shù)的范圍．熟練掌握一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零，以及一元二次方程的判別式與根的個數(shù)之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．17.現(xiàn)有一個不透明袋子裝有5個分別標(biāo)注-3，-1，0，1，2的小球，這些小球除標(biāo)注數(shù)字不同外其他都相同，將球攪勻后，某數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)小組進(jìn)行摸球試驗(yàn)：（1）從袋中任意摸出一個小球，則摸到小球上的數(shù)是非負(fù)數(shù)的概率是；（2）甲、乙兩人玩“猜數(shù)字”游戲，甲先從中任意摸出一個小球，以其上面的數(shù)記作為x值，然后乙再猜這個小球上的數(shù)字記作y，如果x，y滿足|x-y|≤1，那么稱甲、乙兩人“心心相印”，請用列表法或畫樹狀圖法求兩人“心心相印”的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)直接根據(jù)概率公式求解即可；(2)首先根據(jù)題意用列表法把所有等可能的結(jié)果表示出來，據(jù)此求得所有等可能的結(jié)果與符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可求得答案．【小問1詳解】解：∵共有5個球，分別標(biāo)有數(shù)字-3，-1，0，1，2，其非負(fù)數(shù)有3個，∴摸到小球上的數(shù)是非負(fù)數(shù)的概率是；故答案為：；【小問2詳解】解：列表如下：-3-1012-3(-3,-3)(-3,-1)(-3,0)(-3,1)(-3,2)-1(-1,-3)(-1,-1)(-10)(-1,1)(-1,2)0(0,-3)(0,-1)(0,0)(0,1)(0,2)1(1,-3)(1,-1)(1,0)(1,1)(1,2)2(2,-3)(2,-1)(2,0)(2,1)(2,2)由表格可知共有25種等可能結(jié)果，其中滿足|x-y|≤1的結(jié)果共有11種，P(甲、乙兩人“心心相印”，滿足|x-y|?≤1)．【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．18.已知：如圖，梯形，，在下底上取，連接、并延長交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】通過證明，，進(jìn)而得出，，結(jié)合，即可得出，從而證明．【詳解】證明：∵，∴，，，∴．同理，∵，∴，，∴，∴．∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．19.2020年12月25日，太原市地鐵2號線一期線路正式投入載客初期運(yùn)營，歷時四年9個月的建設(shè)后，太原人終于能乘坐自己的地鐵了．在2號線軌道鋪設(shè)作業(yè)中，為了提前完成鋪軌任務(wù)，采用了新型輪胎式鋪軌機(jī)和全自動混凝土布料機(jī)，使得每天鋪設(shè)軌道的長度比原計(jì)劃多120米，原計(jì)劃300天的鋪軌任務(wù)，僅用了120天就全部完成．（1）求原計(jì)劃每天鋪設(shè)軌道多少米？（2）圖2所示是太原地鐵內(nèi)關(guān)于“五臺山”和“平遙古城”的一幅旅游廣告圖，整幅圖是在兩張風(fēng)景區(qū)圖片的基礎(chǔ)上，四周鑲以寬度相等的木質(zhì)框架而成．若兩張風(fēng)景區(qū)圖片的長都為3米，寬都為2米，鑲上木質(zhì)框架后整幅旅游廣告圖的面積是兩張風(fēng)景區(qū)圖片總面積的．求鑲上的木質(zhì)框架的寬為多少米？圖1圖2【答案】（1）80米；（2）0.2米【解析】【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)軌道x米，根據(jù)等量關(guān)系，列出一元一次方程，即可求解；（2）設(shè)鑲上的木質(zhì)框架的寬為y米．根據(jù)“鑲上木質(zhì)框架后整幅旅游廣告圖的面積是兩張風(fēng)景區(qū)圖片總面積的”列出一元二次方程，即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)軌道x米．根據(jù)題意，得300x=120（x+120）．解得x=80．答：原計(jì)劃每天鋪設(shè)軌道80米；（2）設(shè)鑲上的木質(zhì)框架的寬為y米．根據(jù)題意，得．解得y1=-3.2（不合題意，舍去），y2=0.2．答：鑲上的木質(zhì)框架的寬度為0.2米．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程與一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，找出等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵．20.已知：如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）若，四邊形是什么特殊平行四邊形？請證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析（2）四邊形是正方形，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可證四邊形是菱形，進(jìn)而可得；（2）在（1）的條件下證，即可得四邊形是正方形．【小問1詳解】證明：的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，四邊形是菱形，，在與中，，；【小問2詳解】解：四邊形是正方形，理由：，，，由（1）知，四邊形是菱形，，，四邊形是正方形．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的全等證明、菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．21.某經(jīng)銷商銷售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價(jià)為10元/千克，已知銷售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于18元/千克，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為多少？【答案】（1）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-2x+60（10≤x≤18）；（2）該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為15元．【解析】【分析】（1）觀察函數(shù)圖象找出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)總利潤=每千克的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其中的正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由圖象知，（10，40），（18，24），設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b（k≠0），把（10，40），（18，24）代入得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-2x+60（10≤x≤18）；（2）根據(jù)題意得：（x-10）（-2x+60）=150，整理，得：x2-40x+375=0，解得：x1=15，x2=25（不合題意，舍去）．答：該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為15元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．22.問題提出：已知矩形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系．問題探究（1）探究一：如圖，已知正方形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．①如圖1，直接寫出的值；②將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接、，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）探究二：如圖，已知矩形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．如圖3，若四邊形為矩形，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到△、的對應(yīng)點(diǎn)分別為、點(diǎn)），連接、，則的值是否隨著的變化而變化．若變化，請說明變化情況；若不變，請求出的值．（3）一般規(guī)律如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．（4）問題解決如圖4，當(dāng)時，其他條件不變，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)時，寫出此時．（5）拓展延伸如圖5，點(diǎn)是正方形對角線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)．給出下列四個結(jié)論，①；②；③；④；正確的結(jié)論有個．【答案】（1）①；②，結(jié)論詳見解析（2）（3）（4）或（5）3【解析】【分析】（1）①利用邊角關(guān)系，進(jìn)行等量代換，得到與的比值；②利用①中的結(jié)論以及已知條件證明，通過相似三角形的性質(zhì)得到與的比值；（2）已知矩形性質(zhì)，再加上已知條件證得，得到對應(yīng)邊的比值，進(jìn)而再證得，然后求出與的比；（3）已知矩形性質(zhì)，再加上已知條件證得，得到對應(yīng)邊的比值，即求得與的數(shù)量關(guān)系；（4）當(dāng)時，有兩種情況，點(diǎn)在正方形內(nèi)和在正方形外，通過邊角關(guān)系的變換，分別求出不同的數(shù)值；（5）通過添加輔助線，得到一些角對應(yīng)相等，進(jìn)而證得，然后再根據(jù)已知條件判斷結(jié)論正確的個數(shù)．【小問1詳解】解：①是正方形的對角線，，，，，，，，，，②由①知，，，，由旋轉(zhuǎn)知，，，，；【小問2詳解】解：四邊形為矩形，，，，，，，，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到△，，，，，，．即；【小問3詳解】解：如圖，作，垂足為．，四邊形是矩形，，，中，，，，，；【小問4詳解】解：如圖3，連接，，，點(diǎn)在的中垂線上，，，，，四邊形正方形，，，，是等邊三角形，，如圖3，，即：，如圖