高斯定理在電磁學(xué)中的應(yīng)用 畢業(yè)論文

intint第頁(yè)，共頁(yè)intint目

錄1高斯理的表述1.1數(shù)學(xué)上的高斯公式1.2靜電場(chǎng)的高斯定理1.3磁場(chǎng)的高斯定理2斯定的證明法靜電場(chǎng)的高斯定理磁場(chǎng)的高斯定理2.2高斯定理的直接證明2.3高斯定理的另一種證明2.4對(duì)稱性原理及其在電磁學(xué)中的應(yīng)用

理解和用高斯定理注意的干問題的討與總結(jié)(a)定理中的E是指空間某處的總電場(chǎng)強(qiáng)度

q(b)注意dS

中E和dS的矢量性

0(c)正確理解定理中int

q(d)不能只從數(shù)學(xué)的角度理

E?dS

0(e)對(duì)高斯面的理解4高斯理的應(yīng)用4.1利用高斯定理求解無電介質(zhì)時(shí)電場(chǎng)的強(qiáng)度4.2利用高斯定理求解有電介質(zhì)時(shí)電場(chǎng)的強(qiáng)度5高斯定理推廣到有引力中5.1靜電場(chǎng)和萬有引力場(chǎng)中有關(guān)量的類比5.2萬有引力場(chǎng)中的引力場(chǎng)強(qiáng)度矢量5.3萬有引力場(chǎng)中的高斯定理6束語(yǔ)參考文

第頁(yè)，共20頁(yè)高斯定理電磁學(xué)中的用摘：斯定理是電磁學(xué)的一條重要定理，它不僅在靜電場(chǎng)中有要的應(yīng)用，而且也是麥克斯韋電磁場(chǎng)理論中的一個(gè)重要方程。本文比較詳細(xì)的介紹了高斯定理，并提供了數(shù)學(xué)法、直接證明等方法證明它，總結(jié)出應(yīng)用高斯定理應(yīng)注意的幾個(gè)問題，從中可以發(fā)現(xiàn)高斯定理在解決電磁學(xué)相關(guān)題時(shí)的方便之處。最后把高斯定理推廣到萬有引力場(chǎng)中去。關(guān)詞高斯定理，應(yīng)用，萬有引力場(chǎng)引高斯定理又叫散度定理高斯定在物理學(xué)研究方面用非常廣泛應(yīng)高斯定理求曲面積分、靜電場(chǎng)、非靜電場(chǎng)或磁場(chǎng)非常方便，特別是求電場(chǎng)強(qiáng)度或者磁感應(yīng)強(qiáng)度。雖然有時(shí)候應(yīng)用高斯理求解電磁學(xué)問題很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的運(yùn)用高斯定理解決電磁學(xué)問題我們首先應(yīng)對(duì)高斯定理有一定的了解。高斯定的述1.1數(shù)學(xué)上高公設(shè)空間區(qū)域V由片光滑的雙側(cè)封閉曲面所圍成，若函數(shù)R在上續(xù)，且有一階連續(xù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，則

dxdydz

S

Pdydz

1其中的向?yàn)橥獍l(fā)向1式稱為高斯公1.2靜電場(chǎng)高定一半徑為r球面包一位于球心的點(diǎn)電荷q，這個(gè)球面上，場(chǎng)的方向處處垂直于球面，且的大小相等,是

q40

r

2

。通過這個(gè)球面S的電通量為

ss

o

2

o

2

s

o

2

2

o其中

dS

是球面積分于4此中可以看出過面電通量只與其中的電量S有關(guān)，與高斯面的半徑r

無關(guān)。若將球面

S

變?yōu)槿我忾]合曲面，由電場(chǎng)線的連續(xù)性可知，通過該閉合曲面的電通量認(rèn)為

。若閉合曲面

S

內(nèi)是負(fù)電荷

，則的向處處與面元取相反，可計(jì)算穿過

S

面的電通

EEEssEEEssq量為

/

。若電荷

在閉合曲面

S

之外，它的電場(chǎng)線就會(huì)穿入又穿出

S

面，通過

S

面的電通量為零。如果閉合面

S

內(nèi)有若干個(gè)電荷

q23

由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可知過

S

面的電通量為e

iiii

i

i此式表明，在真空中的靜電場(chǎng)內(nèi)，通過任意一閉合曲面的電通量，等于包圍在該面內(nèi)的所有電的代數(shù)和的

分之一，這就是真空中的高斯定理。通常把閉合曲面

S

稱為高斯面，對(duì)于連續(xù)分的電荷，電荷體密度為，則上式可以表述為

s

o

1.3磁場(chǎng)的斯理由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進(jìn)入一個(gè)閉合曲面的磁力線必定會(huì)從曲面內(nèi)部出來，否則這條磁力線就不會(huì)閉合了。如果對(duì)于一個(gè)閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進(jìn)曲面的磁通量為負(fù)，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個(gè)閉合曲面的總磁通量為零。個(gè)規(guī)律類似于電場(chǎng)中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。用式子表示：

s

與靜電場(chǎng)中的高斯定理相比較，兩者有著本質(zhì)上的區(qū)別。在靜電場(chǎng)中，由于自然界中存在著獨(dú)立的電荷，所以電場(chǎng)線有起點(diǎn)和終點(diǎn)，只要閉合面內(nèi)有凈余的正或者負(fù)電荷，穿過閉合面的通量就不等于零，即靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)；而在磁場(chǎng)中，由于自然界中沒有單獨(dú)的磁極存在N

極和

極是不能分離的，磁感線都是無頭無尾的閉合線，所以通過任何閉合面的磁通量必等于零，即磁

場(chǎng)

是

無

源

場(chǎng)

。高斯定的明2.1高斯定的學(xué)明2.1.1靜電的斯理靜電場(chǎng)中高斯定理的證明主要分以下四種情況：(a)點(diǎn)電荷在球面中心，點(diǎn)荷q的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E

14

o

qrr

球面的電通量為1qrrss

o

2

s

o

2

o

2－1(b)點(diǎn)電荷在任意閉曲面外，閉面的量為s

4os

1q1r4r3rsoos11rrr

(zdxdy)

2

qq333islqq333isld根據(jù)高斯公式

dxdydz

S

PdydzQdzdxRdxdy

2－3并考慮到

,Q,rrr3

在

內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)式可2－2式入2－3式得

Eosos

1rr31(xdydzzdxdy)r311xdydzydxdzr3rr3

q

o

V

x

y

(c)點(diǎn)電荷在任意閉曲面內(nèi)在任意閉曲面荷在閉曲面

內(nèi)以點(diǎn)電荷q為球心作一輔助球面的電通量為零，即：

1

，其法向朝內(nèi)，根據(jù)2－1式可點(diǎn)電

E

Esss

E

E

o

2－4其中式2－4中和大小相等，法向相反。1(d)點(diǎn)電荷系在閉曲面內(nèi)外設(shè)閉曲面內(nèi)的點(diǎn)電荷為

q,,……23

n

；閉曲面外的點(diǎn)電荷為

q

……上討論可得s

E

i

i

Ei

i

i這就是靜電場(chǎng)中的高斯定2.1.2磁場(chǎng)高定磁場(chǎng)中高斯定理的證明主要分以下四種情況：(a)電流元在面中心由磁通量的定義和畢奧—薩法爾定律

dB

o4

lr2

o

為了方便，把簡(jiǎn)為，可

，所以r//Slrijk，所以r//Slrijkl得電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)球面的磁通量為因?yàn)?/p>

lIooor4os

ror2

l(b)電流元在意閉曲面外電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)閉曲面的磁通量為

Idloor因?yàn)?/p>

，并設(shè)

dl

，則

dlidlj代入原式得

o

lrIdlxo()r2r2r根據(jù)高斯公式

S

PdydzQdzdxRdxdy

同理可得

o4

lrlxo(dydzdxdz)r24r2r(c)電流元在意閉曲面內(nèi)以此類推，在閉曲面

內(nèi)，以電流元為球心作一輔助球面

，因?yàn)?/p>

Bs

所以

s(d)電流元在曲上由上述易知，所有的電流元在閉曲面上的磁通量也為零，即這正是磁場(chǎng)的高斯定2.2高斯定的接明

s

rrrorrSErr1dVrrrorrSErr1dVoorrrrdV11rSr圖如圖1所，電荷量為的電中任一點(diǎn)處的電荷密度為帶電體在空間點(diǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)為

,則由電場(chǎng)強(qiáng)度定義知該

2式中為原點(diǎn)位矢，1

為原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的位矢。將對(duì)意閉合曲面求積分，即得

1

2s由2－5式可得14o

R

R

1由于算符是的分算符，與無關(guān)，故114o

11R4Voo

2－7式中最后一步用到了函數(shù)的篩選性，將式2－7代入式2－5中得：V

o

dV(1)當(dāng)電荷包在閉合曲面內(nèi)時(shí)，則

V

o

dV

o

r第頁(yè)，共20頁(yè)r(2)當(dāng)電荷

的不包含在閉合曲面

內(nèi)時(shí)，則V

o

dV

o由此高斯定理得證。2.3高斯定的一證圖如圖2所，設(shè)有一電量為孤立的正點(diǎn)電荷，現(xiàn)以點(diǎn)電荷所在處為球心，任r為徑作一球面為高斯面，球面上任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為

E

q

ro

方向沿徑向離開球心，和球面上該點(diǎn)的法

線

正

方

向

相

同

。

通

過

該

閉

合

曲

面

的

電

通

量

為

ss

ro

3

o

2

s

o

2

2

o

與半徑r無。這一結(jié)果根據(jù)電通量的定義表明,電為的點(diǎn)荷發(fā)出/條場(chǎng)線,由于通量與半0徑無關(guān)說電場(chǎng)線是不間斷的；若q為電荷,則明有q條電場(chǎng)線匯集到這個(gè)負(fù)點(diǎn)電荷上同這些電場(chǎng)線也是不間斷的場(chǎng)線是不間斷,面外電荷不影響閉合曲面的電通量?，F(xiàn)在我們?cè)O(shè)想這個(gè)點(diǎn)電荷不位于球心而位于球面內(nèi)任意點(diǎn)處那么以上分析同樣得穿過這個(gè)閉合球面的電通量亦為/我進(jìn)一步想量為的電荷不是位于球面內(nèi)而是位于任0意的閉合曲面內(nèi),則同得到結(jié),通過個(gè)閉合曲面的電通量/。0若一閉合曲面內(nèi)包含N個(gè)點(diǎn)電荷,其中M()個(gè)是正,NM個(gè)是負(fù)的設(shè)M個(gè)正點(diǎn)電荷所帶的總電量為Q,則這個(gè)點(diǎn)電荷發(fā)出/M帶的總量為Q，則個(gè)點(diǎn)電荷匯集QN

條不間斷的電場(chǎng)線；NM個(gè)負(fù)點(diǎn)電荷0條不間斷的電場(chǎng)線電量的定,N發(fā)出的即穿出閉合曲面為,匯的即進(jìn)人閉合曲面的為,所以過閉合曲面的電通量為e

s

EM

M

即

s

Mo

M

第頁(yè)，共20頁(yè)這里有可能出現(xiàn)面內(nèi)一些正電荷發(fā)出的電場(chǎng)線沒有穿出閉合曲面而直接匯集到負(fù)電荷上，也就是說，負(fù)電荷匯集的電場(chǎng)線不是由閉合曲面外來的，而是由閉合曲面內(nèi)來的，這并不影響我的結(jié)論。因此就一般情況而言，若任一閉合曲面內(nèi)包圍的凈余電荷為

qq,

，則穿過這個(gè)閉合曲面的電通量為

e

s

E

i

i

對(duì)稱原在磁中應(yīng)日常生活中常說的對(duì)稱，是指物體或一個(gè)系統(tǒng)各部分之間比例適當(dāng)、平衡、協(xié)調(diào)一致，從而產(chǎn)一種簡(jiǎn)單性和美感。這種美來源于幾何確定性，來源于群體與個(gè)體的有機(jī)結(jié)合。數(shù)學(xué)、物理中對(duì)稱性是比具體事物的對(duì)稱性更深層次的對(duì)稱。物理學(xué)中的對(duì)稱性觀念可以概括為：如果某一象或系統(tǒng)在某一變換下不改變，則說該現(xiàn)象或系統(tǒng)具有改變換所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱性。因此物理定律的對(duì)稱性又可以稱為不變性。所謂對(duì)稱性原理即為原因中的對(duì)稱性比反映在結(jié)果中，即結(jié)果中的對(duì)稱性至少有原因中的對(duì)稱性多樣性那樣多結(jié)中的不對(duì)稱性必在原因中有所反映，即原因中的不對(duì)稱性至少有結(jié)果中的不對(duì)稱性那樣多在不存在唯一性的情況下，原因中的對(duì)稱性必反映在全部可能的結(jié)果的集合中，即全部可能的結(jié)果的集合中的對(duì)稱性至少有原因中的對(duì)稱性那樣多。這個(gè)理是由皮埃爾·居里首先提出來的。這個(gè)原理指出然律反映了事物之間的因果關(guān)系原因等的結(jié)果“對(duì)稱的原因”導(dǎo)致稱的果例如：利用對(duì)稱性分析長(zhǎng)直密繞載流螺線管內(nèi)磁感應(yīng)線的形狀。原因：螺線管對(duì)任意垂直于軸的平面鏡像對(duì)稱平行于軸的直線上的點(diǎn)具有平移對(duì)稱性，所以只有直于鏡面的分量。結(jié)果：B是矢量。鏡像變換后垂直分量不變，平行分量反向。對(duì)稱性與守恒律是密切聯(lián)系的，在電磁學(xué)中對(duì)稱性有著廣泛的作用，以下將從幾個(gè)方面分述對(duì)稱性在電磁學(xué)中的若干具體的應(yīng)用：例1：求一段長(zhǎng)為2L，線電荷度λ的帶電細(xì)棒在中心軸線處P點(diǎn)所產(chǎn)生的場(chǎng).設(shè)P點(diǎn)帶電細(xì)的垂直距離為l如1,分析一般而,場(chǎng)強(qiáng)是矢量場(chǎng)強(qiáng)需要解出每個(gè)分量的大小過此題有一個(gè)顯著的特點(diǎn)，就是帶電細(xì)棒關(guān)于其中垂線對(duì)稱，因此我們可以建立如圖所示坐標(biāo)系。得：

s1r1L第s1r1L其次，可以用對(duì)稱性結(jié)合靜電場(chǎng)高斯定理求解電場(chǎng)強(qiáng)度以及利用對(duì)稱性結(jié)合磁場(chǎng)的環(huán)路定理求解電場(chǎng)強(qiáng)度以及利用對(duì)稱性結(jié)合磁場(chǎng)的環(huán)路定理來求解磁場(chǎng)強(qiáng)度。靜電場(chǎng)的高斯定理是電磁學(xué)中一個(gè)重要定理，雖然定理本身并不涉及場(chǎng)源（帶電體）的對(duì)稱性，但是用它來求解對(duì)稱分布的帶電體的場(chǎng)強(qiáng)卻是學(xué)生必須掌握的內(nèi)容。在這一類題目中，仔分析帶電體的對(duì)稱性是問題的關(guān)鍵，因?yàn)槲覀冃枰鶕?jù)帶電體的對(duì)稱性選取適當(dāng)高斯面。比如對(duì)球?qū)ΨQ帶電體系一般選球形高斯面，對(duì)柱對(duì)稱帶電體一般選取柱形高斯面，對(duì)平面對(duì)稱帶電（包括帶電薄板）一般選取封閉長(zhǎng)方體形高斯面。例2如2在半徑為R1，帶體密度為ρ的均勻帶電球體內(nèi)挖去一個(gè)半徑為R2的球空腔。設(shè)空腔中心O2與電球體球心O1之間的距離為L(zhǎng)，求空腔內(nèi)任一處的場(chǎng)強(qiáng)。分析對(duì)球?qū)ΨQ體系的處理我很熟悉，不過這里由于空腔的存在。體系不再具有“球?qū)ΨQ性”但是我們可以通過“補(bǔ)償法”將不對(duì)稱條件化為對(duì)稱條件，從而簡(jiǎn)化問題。先用體密度為ρ半徑為R2的均帶電小球填充空腔，使球體變?yōu)橐煌暾膸щ娗颍ㄓ洖榍?用密度為ρ，半徑R2的均帶電小球（記為球2）置于空腔中,使得電荷分布與實(shí)際情況同。這樣，腔中任何一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)可用1，球所生的場(chǎng)強(qiáng)疊加來求解，即：

EP2設(shè)到P的位為r1由高斯定理得：

E1

3

解得：E3o同理，設(shè)O2到P的位矢為r2。高斯定理可以解得球2P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為E3oEE12

o

E23o

o

磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理與靜電場(chǎng)高斯定理一樣，本身的內(nèi)容不涉及電流體系的對(duì)稱性，但是具體計(jì)算則必定與一定對(duì)稱分布的電流體系相聯(lián)系。綜述，由上面的一些應(yīng)用舉例我們可以加深對(duì)對(duì)稱性概念的一些理解，事實(shí)上，對(duì)稱性已經(jīng)廣泛地應(yīng)用物理學(xué)及相關(guān)學(xué)科的各個(gè)方面，它不僅是現(xiàn)代物理理論的重要組成部分，更是人們識(shí)自然的一個(gè)重要理論工具。

第頁(yè)共頁(yè)此，高斯定理得正確解斯理高斯定理是靜電學(xué)中的一個(gè)重要定,反映了靜電場(chǎng)的一個(gè)基本性質(zhì),即靜電場(chǎng)是有源場(chǎng),其源即是電荷述為:在靜電中,過任意閉合曲面的電通量,等該閉合曲面所包圍的電

q荷的代數(shù)和的

o

倍,與閉合曲面外的電荷無關(guān)。的表達(dá)式為：

E

int

o

是電磁學(xué)最基本的定理之一。其中,E表在閉合曲面上任一面處的電場(chǎng)強(qiáng)度,而E·dS則通過面元的場(chǎng)強(qiáng)度通量,就表

示通過整個(gè)閉合曲面S的場(chǎng)度通量

表示沿閉合

曲面S的分,習(xí)慣上稱S為斯面，高斯定理表:靜電場(chǎng)是有源的散,源頭在電荷所在處,由此確定的電場(chǎng)線起于正荷,終于負(fù)電荷。對(duì)高斯定理的理解和應(yīng)用不正確,常常會(huì)出現(xiàn)一些問題。如,高斯面上的是否完全由高斯面內(nèi)的電荷產(chǎn);如果

q

是必有E=0當(dāng)E處為零時(shí),是否高斯內(nèi)一定無電;高斯定理是否在任何情況下都成;哪些問題用高斯定理解決會(huì)簡(jiǎn)便一些等等.這就涉及是否對(duì)高斯定理理解正確,對(duì)其數(shù)學(xué)表達(dá)式的理解是否存在數(shù)學(xué)負(fù)遷移情況其,只對(duì)高斯定理注意掌握幾個(gè)要點(diǎn)，就能對(duì)上面的問題有比較清醒的認(rèn)識(shí)了理的是指空某的電強(qiáng)空間中某處的電場(chǎng)強(qiáng)度為空間中所有電荷所激發(fā)的電場(chǎng)在該處場(chǎng)強(qiáng)的矢量.若意作一個(gè)假想的閉合曲面高面通過該處,用E內(nèi)E外分別示高斯面內(nèi)的荷在高斯面上產(chǎn)生的

q場(chǎng),則在該處的總場(chǎng)強(qiáng)E=E+E外由高斯定理:

E

int

o而從電場(chǎng)線的角度看,電場(chǎng)線始于正電荷終于負(fù)電荷,電場(chǎng)中的閉合曲面內(nèi)不含有電荷時(shí),電場(chǎng)線僅穿過此閉合曲面,這些入閉合曲面的電場(chǎng)線總條數(shù)與穿出閉合曲面的電場(chǎng)線總條數(shù)相等,故通過整個(gè)閉合曲面的電場(chǎng)度通量為.所以

0

（指部場(chǎng)強(qiáng)）q故

E

E

int

o

（指部場(chǎng)強(qiáng)）即高定理對(duì)高斯面內(nèi)的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)而言,成立.意

E

int

o

中和dS的量在對(duì)高斯定理的理解上常常出現(xiàn)不注意物理量的矢量性問題.有人認(rèn)為當(dāng)

q

時(shí),由于int

第頁(yè)共頁(yè)dS

,所以必有.實(shí)際上,

q

,表明始于閉合曲面內(nèi)正電荷的場(chǎng)線與終于閉合曲面內(nèi)負(fù)電荷的電場(chǎng)線數(shù)相int等,則穿出閉合曲面的電場(chǎng)線數(shù)進(jìn)入閉合曲面的電場(chǎng)線數(shù)相等,即通過整個(gè)閉合面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為零但這并不意味著閉合面上電場(chǎng)強(qiáng)度處處為.因:(1)高面上某處的場(chǎng)強(qiáng)是高斯面內(nèi)、外電荷在該處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和,所以,即便高斯面內(nèi)的

q

,也無法完全確定E=0;int(2)由和dS在中是矢量的標(biāo)積關(guān)系因此存在二者的方向問題,如E≠0,而它與dS的方向垂直,仍有故不能由

q

來判斷是否零。int確解理的

q

q

int是高斯面內(nèi)正、負(fù)電荷電量的代數(shù)和當(dāng)通過高斯面的電通量為零時(shí),

q

這個(gè)結(jié)論既int

int可表明高斯面內(nèi)有電量相等的正、負(fù)電荷,可表明高斯面內(nèi)無電.因此,不能肯定高斯面內(nèi)一定無電荷

q能從學(xué)角理

E?dSint

0有些人在對(duì)高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式的理解上常出現(xiàn)“數(shù)學(xué)負(fù)遷移”問題,得出這樣的錯(cuò)誤結(jié)論當(dāng)閉合曲面上E處為零時(shí),不定有曲面內(nèi)電量的代數(shù)和

q

intdS內(nèi)s

?

外

?

=0；當(dāng)E0時(shí),并不一定分別有內(nèi)0和E外由于始終有

外

?dS

,而E內(nèi)不一s定為零,所以：內(nèi)s

?

不一定為零,即閉合曲面上的處處為零時(shí)

int

q

不一定為零這顯然與高斯定理相.因當(dāng)處處零時(shí)必有

EdS

=0,即通過整個(gè)高斯面的電通量零,而高斯面外的電荷激發(fā)的電場(chǎng)通過整個(gè)高斯面的電通量為:

r2第頁(yè)共頁(yè)r2

外

?dS

,s所以必有高斯面內(nèi)電荷的電通量為:?這可以有兩種情:一是E內(nèi)0二是E內(nèi)≠0,但內(nèi)

內(nèi)

?

無論是s哪種情況,都有

q

。

sint從數(shù)學(xué)上講E=0時(shí)或E但dS=0必有

=0,而

q

=0時(shí),E不定在高int斯面上處處為零,即數(shù)學(xué)上描述是E通而不是它完全是由高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和

int

q確定的從理上講,高斯面上點(diǎn)的是由所有電荷面內(nèi)面外所激發(fā)的高面理有些人提出這樣的問題:如電既不在高斯面內(nèi),也在高斯面外,而在高斯面上,高斯面上的場(chǎng)強(qiáng)怎樣計(jì)算？實(shí)際上,高面是一個(gè)幾何面它沒有厚薄之分,卻有內(nèi)外之分,電荷要么在高斯面內(nèi)包內(nèi)表面,要么高斯面(包括外表面)也就是說,必把高斯面作為幾何面,而把點(diǎn)電荷的點(diǎn)視為物理上的.6

高斯定理是平方反比定律的必然結(jié)果由于高斯定理是由點(diǎn)電荷間相互作用的平方反比定(庫(kù)侖定)得出的,所以高斯定理是點(diǎn)電荷作用力的平方反比定律的必然結(jié).?q如果庫(kù)侖定律F中,r的數(shù)不是2,而是n,則點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)大小應(yīng)表示:4?0

?

r

n0以點(diǎn)電荷為中心作半徑為r的面為高斯面則dSs

q

r

s

q

r

?

r

d

?0

r

n

?

=

0

?r

n從而得不到高斯定理的結(jié).所,有在點(diǎn)電荷作用力服從平方反比定律的條件之下高斯定理才成立,否則不成立.但目為止理論和實(shí)驗(yàn)表明點(diǎn)電荷作用力的平方反比定律是相當(dāng)精確的.高斯定的用4.1利用高定求無介時(shí)電場(chǎng)度

q由于

E?dSint

中的E是dS處場(chǎng)強(qiáng),而不是個(gè)高斯面上的場(chǎng).所以,般來說

0高斯面上的場(chǎng)強(qiáng)并非一定處處相等,即E并不一定是恒矢量故無從積分號(hào)內(nèi)提出,因此難以用高斯定理計(jì)算出場(chǎng)強(qiáng)來.但選擇合適的高斯面,使電場(chǎng)強(qiáng)度E從積分號(hào)中提出來,就

第頁(yè)共頁(yè)能用高斯定理求解場(chǎng)強(qiáng)E了為,高斯面時(shí)應(yīng)注:(1)需場(chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)點(diǎn)要在高斯面;(2)高面上各部分或者與場(chǎng)強(qiáng)E垂直或者與場(chǎng)強(qiáng)E平行或者與場(chǎng)強(qiáng)E有定的夾;(3)各分高斯面上垂直于高斯面的場(chǎng)強(qiáng)的大小應(yīng)各自為一常;(4)高面的形狀應(yīng)比較簡(jiǎn).為此,當(dāng)電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ時(shí),高面選為同心球面具有很強(qiáng)的軸對(duì)稱時(shí),選同軸柱面;具有面對(duì)稱時(shí),選為柱面,并使兩底與E垂直,面與平行由于作高斯面有如上限制,因此高斯定理只能求某些對(duì)稱分布電場(chǎng)的場(chǎng).用斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的步驟可歸納為：(1)分帶電體所產(chǎn)生的電場(chǎng)是否具有對(duì)稱分布的特;(2)選合適的高斯;(3)再高斯定理求電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)分高斯定理的微分形式

q從嚴(yán)格意義上,高斯定理表為

E?dSint

僅為場(chǎng)強(qiáng)對(duì)閉合曲面S通的累效應(yīng),凈余

0通數(shù)學(xué)上稱積分形式,不能算作方.因此,理解它所描述的靜電性質(zhì)上有一定難.如我們將任面縮小,并讓它趨于零,:

lim

E?,s是體積ΔV為界的閉合曲面,顯上式描述的是電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)特征,定為某點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)散度divE=

lim0

E?dS而

E?dS

int

q0

,

lim

故divE

這就是高斯定理的微分形式,在場(chǎng)中是點(diǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān).散度divE≠0之必有ρ≠0.這就清楚地表明了靜電場(chǎng)的重要性質(zhì):電場(chǎng)是有源場(chǎng)電力線總是起于正電荷而終止于負(fù)電荷.高斯定理的一個(gè)重要應(yīng)用是用來計(jì)算帶電體周圍電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度雖然高斯定理的適用范圍很廣，但用它求帶電體的電場(chǎng)分布時(shí)有很大的局限性，只對(duì)那些電荷分布高度對(duì)稱的帶電體

第頁(yè)共頁(yè)才能使用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)。在選擇高斯面時(shí)，應(yīng)注意：強(qiáng)E是面積元d處的，d的不同，也不強(qiáng)是全部帶電體系中（無論在高斯面內(nèi)還是在高斯面外）有電荷產(chǎn)生的總場(chǎng)強(qiáng)只對(duì)高斯面內(nèi)的電荷求和是因?yàn)楦咚姑嫱獾碾姾蓪?duì)總通量沒貢獻(xiàn)，ii但不是對(duì)場(chǎng)強(qiáng)沒有貢獻(xiàn)；斯內(nèi)所包圍的電荷等于零時(shí)，不定等于零，說明通過高斯面的電通量等于零；斯定理雖由庫(kù)侖定律引申而來，但它的適用范圍廣，而不論對(duì)靜止電荷還是運(yùn)動(dòng)電荷都適用但用必在電場(chǎng)具有某種對(duì)稱性（球軸面稱可；應(yīng)高斯定理時(shí)，除應(yīng)注意到場(chǎng)強(qiáng)具有對(duì)稱性外，對(duì)高斯面的選取還應(yīng)注意到：所選高斯應(yīng)平行電場(chǎng)線或垂直電場(chǎng)線；當(dāng)高斯面法向與電場(chǎng)線平行時(shí)，高斯面上的場(chǎng)E的大小應(yīng)處處相等，這樣可出積分號(hào)外，積分被簡(jiǎn)化為對(duì)面元的取和。利用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的一般步驟：（1進(jìn)對(duì)稱性分析即由電分布的對(duì)稱性分析電場(chǎng)分布的對(duì)稱性判斷能否用高斯定理來求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布（常見的對(duì)稱性有球?qū)ΨQ性、軸對(duì)稱性、面對(duì)稱性等解題的關(guān)鍵也是解題的難點(diǎn)；（2）根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)分布的特點(diǎn)，作當(dāng)?shù)母咚姑?，要求：①待求?chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)點(diǎn)應(yīng)在此高斯面上，②穿過該高斯面的電通量容易計(jì)算；一般地，高斯面各面元的法線矢與

平行或垂直，n與E平行時(shí)，

的大小要求處處相等，使得E

能提到積分號(hào)外面；（3）計(jì)算電通量

E

和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。應(yīng)該指出，在某些情況下（對(duì)稱高定理是比較簡(jiǎn)單的，但一般情況下，以點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式和疊加原理以相互補(bǔ)充，還有其它的方法，應(yīng)根據(jù)具體情況選用。利用高斯定理，可簡(jiǎn)地求得具有對(duì)稱性的帶電體場(chǎng)如球型圓柱形無限長(zhǎng)和無限大平板型等的空間場(chǎng)強(qiáng)分布。計(jì)算的關(guān)鍵在于選取合適的閉合曲面——高斯面。高斯定理的應(yīng)用舉例例一：求無限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)分布，已知線上線電荷密度為

。圖解法一用侖定律求解）如圖3所示我們選擇電荷元dq

為長(zhǎng)度

dl

上所帶電量，即

，

在點(diǎn)P

產(chǎn)生的元

x第頁(yè)共頁(yè)x場(chǎng)強(qiáng)的大小

0為計(jì)算該積分，首先必須統(tǒng)一積分變量。為便于計(jì)算，將變量

l

和r

統(tǒng)一用

表達(dá)。由圖3可知，

rsec

，

ltan

由ltan

又可以得dlR代dl及r

后，可得dE

40對(duì)于每一個(gè)正軸上的長(zhǎng)一存在另一個(gè)對(duì)稱的負(fù)Y軸上的dl這兩個(gè)長(zhǎng)度上的電荷元在點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)分量相抵，因此求總場(chǎng)強(qiáng)時(shí)我們只需對(duì)積分。注意dE，分限為和，則有2E

x

0

2

0

2

0

圖解法二用斯定理求解）帶電直線的電場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性，考慮離直線距離為R的點(diǎn)P處場(chǎng)強(qiáng)（如圖所示空各向同性而帶電線為無限長(zhǎng)均勻帶電所電場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性因而點(diǎn)的電場(chǎng)方向唯一的可能是垂直于帶電直線而沿徑向，并且軸）上的各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小也都相等，而且方向都沿徑向。

點(diǎn)在同一圓柱面（以帶電直線為作一個(gè)通過P

點(diǎn)，以帶電直線為軸，高為

l

的圓筒形封閉面為高斯面

S

，通過

S

面的電通量為

e

E

E

t

E

E在S面上、下面（和S）上，場(chǎng)強(qiáng)方向與底面平行，因此，上式等號(hào)右側(cè)后面兩項(xiàng)等于tb零。而在側(cè)面（S）上各點(diǎn)的方向與各該點(diǎn)的法線方向相同以有1

E

E

dSE

Rl

此封閉面內(nèi)包圍的電荷

qint

l

00121’2第頁(yè)共頁(yè)00121’2由高斯定理得由此得

E

由上所述，解法一與解法二的結(jié)果相同，由解法一和解法二比較可知，當(dāng)條件允許時(shí)，利用高定理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)分布要簡(jiǎn)便得多。4.2利用高定求有介時(shí)電場(chǎng)度在電介質(zhì)中，由電場(chǎng)引起的極化電荷會(huì)激發(fā)附加電場(chǎng)，使原電場(chǎng)發(fā)生改變，反過來又會(huì)影響極情況。如此相互影響，最終達(dá)到平衡。在直接計(jì)算空間場(chǎng)強(qiáng)時(shí)會(huì)遇到如下困難：要由電荷分布場(chǎng)強(qiáng)

，必須同時(shí)知道自由電荷及極化電荷的密度，而極化電荷密度取決于極化強(qiáng)度

【

，

'P21n

又取決于

（

P0

就乎形成計(jì)算上的循環(huán)。高斯定理通過列出有關(guān)

、

、

、

的數(shù)量足夠的方程，然后聯(lián)立求解，同時(shí)引入一個(gè)新矢量場(chǎng)

D以去，方便求解。當(dāng)空間有電介質(zhì)時(shí)，只要把自由電荷和極化電荷同時(shí)考慮在內(nèi)，可以得到有電介質(zhì)的高斯定理

Dq其中

0

E

.如圖1所設(shè)有一厚度為b的限大均勻介質(zhì)平板中有體密度為的均勻分布自由電荷平板的相對(duì)介電常數(shù)兩分別充相對(duì)介電常數(shù)為和的勻介rr1r2質(zhì)要板內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度E，首先分析介質(zhì)平板中激發(fā)電場(chǎng)的電荷分布，因介板內(nèi)

r

r有自由電荷

，在自由電荷處對(duì)應(yīng)的極化電荷密度為rr

圖總電荷體密度為0r因此，平板中電荷為均勻分布.外，在介質(zhì)板兩側(cè)為不同的介質(zhì)，由于，r1r2故在兩界面上的極化電荷面密度.板內(nèi)存在一個(gè)電場(chǎng)強(qiáng)度E的面OO，妨稱它零電場(chǎng)此面的電位移矢量D,如圖2.以O(shè)O'面為基面向兩側(cè)作底面積為,垂直O(jiān)O'面伸出平板外的柱,柱體的表面為高斯,根對(duì)稱性與D方向垂直介質(zhì)板的表因此高斯面?zhèn)让娴碾娡繛?.兩個(gè)斯面包圍的自由電荷的電荷量分別為和.根據(jù)介質(zhì)中高斯定,求得介質(zhì)板兩102

Dr

OMxOM

Dr圖

1nn11rr第頁(yè)共頁(yè)1nn11rr側(cè)的電位移矢量為e,11n兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E0,E02e0r10r單位矢

e

的方向?yàn)楸诚蚪橘|(zhì)板表,如圖示,質(zhì)板兩側(cè)的電場(chǎng)的大小相等即

E1

.因而b1r1

b2r因

b2

,求得零電場(chǎng)面的位置br,r1r2

r1

br

r用

i

表示方向向右的單位,則板外側(cè)介質(zhì)的電場(chǎng)為b00r

r

)

i同理,以零電場(chǎng)面為基面在板內(nèi)作底面積為S為的高面得介質(zhì)板內(nèi)電位移矢量為D

0

xi板內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為內(nèi)

x00r

i式中為內(nèi)場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)將高定推到有力中5.1靜電場(chǎng)萬引場(chǎng)有量類比靜電學(xué)中的庫(kù)侖定律：

F

112r20

5牛頓萬有引力定律：

F

2r2

5以上5－15兩在數(shù)學(xué)形式上完全等同。比較兩式可得如下結(jié)論eq\o\ac(○,)學(xué)

1

相當(dāng)于力學(xué)中的

，為了記憶的方便，我們記為

1

0

（下同）于是有

第頁(yè)共頁(yè)1

5－3上式中8.85(2()當(dāng)于力學(xué)中的質(zhì)量，是有q5.2萬有引場(chǎng)的力強(qiáng)矢量靜電場(chǎng)中點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力為經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)在引力場(chǎng)中受到的重力為P

eq\o\ac(○,2)電學(xué)中電荷q

相55－55－6和電場(chǎng)強(qiáng)度類似，在萬有引力場(chǎng)中定義一個(gè)引力場(chǎng)強(qiáng)度矢量（以下簡(jiǎn)稱引力場(chǎng)強(qiáng)）g，則E

5－7且規(guī)定：試探質(zhì)點(diǎn)在引力場(chǎng)中某點(diǎn)受到的力f

與其質(zhì)量之比定義為引力場(chǎng)中該點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)如果已知引力場(chǎng)中某點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)g5.3萬有引場(chǎng)的斯理

fg，則質(zhì)點(diǎn)在該處受到的引力可由下式給出fmg

55一般說來，引力場(chǎng)中的某點(diǎn)的是點(diǎn)位置r的矢量函數(shù)，對(duì)于多個(gè)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的引力場(chǎng)，引力場(chǎng)強(qiáng)滿足疊加原理。有了萬有引力場(chǎng)強(qiáng)的定義后，就可以仿照電通量的概念，在引力場(chǎng)中e定義引力場(chǎng)強(qiáng)通量對(duì)面積微元的引力場(chǎng)強(qiáng)通量dcos力場(chǎng)強(qiáng)g與面積微元S的角，因此，對(duì)某面S的總引力場(chǎng)強(qiáng)通量為

其是

5有了引力場(chǎng)強(qiáng)通量的概念，就可以討論穿過閉合曲面引力場(chǎng)強(qiáng)通量的問題。仿照電場(chǎng)中高斯定理的證