高考數(shù)學（文）大一輪復習導學案：專題提能課(7)　概率與統(tǒng)計交匯型問題演繹出來的精彩

專題提能課(7)概率與統(tǒng)計交匯型問題演繹出來的精彩高考為什么考高考考什么高考怎么考有關(guān)概率與其他知識相交匯的考題，能體現(xiàn)“返璞歸真，支持課改；突破定勢，考查真功”的命題理念，是每年高考的必考內(nèi)容.對于概率部分，選擇題或填空題中概率求值是高考命題的熱點，以古典概型或幾何概型為主，考查隨機事件的概率；解答題中則常與統(tǒng)計知識相結(jié)合，對于統(tǒng)計部分，選擇題、填空題中以考查抽樣方法和用樣本估計總體為主，兼顧兩個變量的線性相關(guān)；解答題中則重點考查求回歸直線方程及獨立性檢驗.整個試卷中常規(guī)考法是“一小一大”的格局呈現(xiàn)，小題是以統(tǒng)計圖表的應用、古典概型、幾何概型的計算為主、創(chuàng)新問題較多；大題以概率、統(tǒng)計、函數(shù)、統(tǒng)計案例相結(jié)合較多.eq\a\vs4\al(解法)1eq\a\vs4\al(概率與頻率、統(tǒng)計方法、函數(shù)與導數(shù)的綜合應用)[例1]某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶：如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．解析：(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，則氣溫在[10，25)之間，其概率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值為900，300，－100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.eq\a\vs4\al(解法)2eq\a\vs4\al(概率與統(tǒng)計、統(tǒng)計案例的綜合應用)[例2]根據(jù)淘寶、天貓的調(diào)查統(tǒng)計顯示，調(diào)查的100名網(wǎng)購者的年齡(單位：歲)情況如圖所示，已知中間三個年齡段的網(wǎng)購者人數(shù)成等差數(shù)列．將高于50歲的網(wǎng)購者稱為“老年網(wǎng)購者”，并將有關(guān)性別的信息統(tǒng)計到表中．“老年網(wǎng)購者”非“老年網(wǎng)購者”合計男1030女合計(1)根據(jù)圖表信息，判斷是否有95%的把握認為“老年網(wǎng)購者”與性別有關(guān)？(2)為鼓勵大家網(wǎng)上購物，該平臺常采用購物就發(fā)放代金券的方法進行促銷，具體做法如下；年齡在[30，50)歲的每人發(fā)放20元，其余年齡段的每人發(fā)放50元，現(xiàn)按發(fā)放代金券的金額采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的100名網(wǎng)購者中抽取5人，并在這5人中隨機抽取3人進行回訪調(diào)查，求此3人獲得代金券的金額總和為90元的概率；(3)由于網(wǎng)購者每周的消費金額y與年齡x成線性相關(guān)，每組數(shù)據(jù)以組中值為代表，所以根據(jù)調(diào)查結(jié)果進行了線性回歸分析，得到回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－5eq\o(x,\s\up6(^))＋b，如果100名網(wǎng)購者每周的平均消費金額是1100元，那么請判斷下列說法的正誤，并說明理由：①b＝1310；②由于回歸方程的斜率是負的，說明年齡越大的網(wǎng)購者，每周消費金額一定越少；③由于回歸直線方程的斜率是負的，說明兩個變量的相關(guān)關(guān)系是負相關(guān)；④回歸直線是所有直線中穿過數(shù)據(jù)點最多的直線；⑤能夠算出回歸方程，說明兩個變量之間確實是線性相關(guān)關(guān)系．解析：(1)由頻率分布直方圖知“老年網(wǎng)購者”的頻率為0.25，則調(diào)查的100名網(wǎng)購者中有25人是“老年網(wǎng)購者”，得2×2列聯(lián)表為“老年網(wǎng)購者”非“老年網(wǎng)購者”合計男102030女155570合計2575100∴K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(100×（10×55－15×20）2,25×75×30×70)＝eq\f(100,63)≈1.587＜3.841.故沒有95%的把握認為“老年網(wǎng)購者”與性別有關(guān)．(2)由頻率分布直方圖可知m＋n＝0.1－0.015×2－0.01＝0.06，∵中間三個年齡段的網(wǎng)購者人數(shù)成等差數(shù)列，∴m＋0.015＝2n，故可解得m＝0.035，n＝0.025.利用分層抽樣的方式從100名網(wǎng)購者中抽取5人，根據(jù)頻率分布直方圖，可得年齡在[30，50)歲的頻率為10×0.035＋10×0.025＝0.6，因此抽取的5人年齡在[30，50)歲的人數(shù)為5×0.6＝3，記為A1，A2，A3，其余年齡段的有2人，記為B1，B2，從這5人中抽取3人所有等可能的情況有A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A2A3B1，A2A3B2，A1B1B2，A2B1B3人獲得代金券的金額總和為90元的取法有A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A2A3B1，A∴滿足條件的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)＝0.6.(3)∵網(wǎng)購者年齡的平均數(shù)為0.15×25＋0.35×35＋0.25×45＋0.15×55＋0.10×65＝42，∴1100＝－5×42＋b，∴b＝1310，∴①正確；由于回歸方程的斜率是負的，說明年齡越大的網(wǎng)購者，每周平均消費金額會越少，但不是一定變少，∴②錯誤；由于回歸直線方程的斜率是負的，說明兩個變量的相關(guān)關(guān)系是負相關(guān)，∴③正確；回歸直線一定經(jīng)過點(x，y)，可能不經(jīng)過任何數(shù)據(jù)點，∴④錯誤，能夠算出回歸方程，不能說明兩個變量之間確實是線性相關(guān)關(guān)系，兩個變量是不是成線性相關(guān)關(guān)系還要看相關(guān)系數(shù)的大小，∴⑤錯誤．故①③正確，②④⑤錯誤．提能練(六)三類統(tǒng)計圖表題A組基礎(chǔ)對點練1．在某大學自主招生考試中，所有選報Ⅱ類志愿的考生都參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個等級．某考場考生兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示，其中“數(shù)學與邏輯”科目的成績等級為B的考生有10人．(1)求該考場考生中“閱讀與表達”科目的成績等級為A的人數(shù)；(2)已知該考場考生中，恰有2人的兩科成績等級均為A，在至少一科成績等級為A的考生中，隨機抽取2人進行訪談，求這2人的兩科成績等級均為A的概率．解析：(1)因為“數(shù)學與邏輯”科目的成績等級為B的考生有10人，所以該考場考生的總?cè)藬?shù)為10÷0.250＝40，所以該考場考生中“閱讀與表達”科目的成績等級為A的人數(shù)為40×(1－0.375－0.375－0.150－0.025)＝40×0.075＝3.(2)由數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖可知兩科考試成績中共有6個A，又恰有2人的兩科成績等級均為A，所以還有2人只有一個科目成績等級為A.設(shè)這4人分別為甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的兩科成績等級均為A，則“在至少一科成績等級為A的考生中，隨機抽取2人進行訪談”所包含的基本事件為{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6個．設(shè)“隨機抽取2人進行訪談，這2人的兩科成績等級均為A”為事件M，則事件M中包含的基本事件只有1個，為{甲，乙}，故P(M)＝eq\f(1,6).2．(2019·重慶模擬)30名學生參加某大學的自主招生面試，面試分數(shù)與學生序號之間的統(tǒng)計圖如下：(1)下表是根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)得到的頻率分布表，求出a，b的值，并估計這些學生面試分數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).面試分數(shù)[0，100)[100，200)[200，300)[300，400]人數(shù)a1041頻率beq\f(1,3)eq\f(2,15)eq\f(1,30)(2)該大學的某部門從1～5號學生中隨機選擇兩人進行訪談，求選擇的兩人的面試分數(shù)均在100分以下的概率．解析：(1)面試分數(shù)在[0，100)內(nèi)的學生共有30－10－4－1＝15名，故a＝15，b＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)，估計這些學生面試分數(shù)的平均值為50×eq\f(1,2)＋150×eq\f(1,3)＋250×eq\f(2,15)＋350×eq\f(1,30)＝120分．(2)從1～5號學生中任選兩人的選擇方法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10種，觀察題圖易知1號，4號，5號學生的面試分數(shù)在100分以下，故選擇的兩人的面試分數(shù)均在100分以下的選擇方法有(1，4)，(1，5)，(4，5)，共3種，故選擇的兩人的面試分數(shù)均在100分以下的概率為eq\f(3,10).B組能力提升練3．(2019·開封市統(tǒng)考)為了研究某種農(nóng)作物在特定溫度下(要求最高溫度t滿足：27℃≤t≤30℃)的生長狀況，某農(nóng)學家需要在10月份去某地進行為期10天的連續(xù)觀察試驗．現(xiàn)有關(guān)于該地區(qū)近十年10月份日平均最高溫度和日平均最低溫度(單位：(1)根據(jù)農(nóng)學家的試驗目的和試驗周期，寫出農(nóng)學家觀察試驗的起始日期；(2)設(shè)該地區(qū)今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高溫度的方差和最低溫度的方差分別為D1，D2，比較D1，D2的大小(直接寫出結(jié)論即可)；(3)從10月份的31天中隨機選擇連續(xù)3天，求所選3天中日平均最高溫度值都在[27，30]的概率．解析：(1)農(nóng)學家觀察試驗的起始日期為10月7日或10月8日．(2)D1＞D2.(3)設(shè)“所選3天中日平均最高溫度值都在[27，30]”為事件A，則基本事件為(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，…，(29，30，31)，共29個．由題圖可以看出，事件A中包含10個基本事件，∴P(A)＝eq\f(10,29)，故所選3天中日平均最高溫度值都在[27，30]的概率為eq\f(10,29).4．為了調(diào)查某大學大一學生的公共課《思想道德修養(yǎng)與法律基礎(chǔ)》的成績情況，隨機抽查n個大一學生該科的成績，由于特殊原因，制成的莖葉圖(圖①)和頻率分布直方圖(圖②)都受到不同程度的破壞，可見部分如圖所示，據(jù)此解答如下問題．(1)求n的值；(2)計算頻率分布直方圖中[80，90)所對應的矩形的高；(3)若要從成績在[80，100]之間的試卷中任取兩份分析大一學生的答題情況，求在抽取的試卷中至少有一份試卷成績在[90，100]之間的概率．解析：(1)由題意知eq\f(2,n)＝0.008×10，解得n＝25.(2)因為成績在[80，90)之間的頻數(shù)為25－21＝4，所對應的矩形的高為eq\f(4,25×10)＝0.016.(3)成績在[80，90)之間的有4人，分別記為A，B，C，D；成績在[90，100]之間的有2人，分別記為e，f.從6人中抽取