高考數(shù)學(xué)（文）大一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案：第八章 平面解析幾何

第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程[基礎(chǔ)梳理]1．直線的傾斜角(1)定義：(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是：[0，π)．2．直線的斜率條件公式直線的傾斜角θ，且θ≠90°k＝tan_θ直線過點A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)3.兩直線的平行、垂直與其斜率的關(guān)系條件兩直線位置關(guān)系斜率的關(guān)系兩條不重合的直線l1，l2，斜率分別為k1，k2平行k1＝k2k1與k2都不存在垂直k1k2＝－1k1與k2一個為零、另一個不存在4.直線方程的五種形式名稱已知條件方程適用范圍點斜式斜率k與點(x1，y1)y－y1＝k(x－x1)不含直線x＝x1斜截式斜率k與直線在y軸上的截距by＝kx＋b不含垂直于x軸的直線續(xù)表名稱已知條件方程適用范圍兩點式兩點(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1(x1＝x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2)截距式直線在x軸、y軸上的截距分別為a，beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a≠0，b≠0)不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用5.線段的中點坐標(biāo)公式若點P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1，P2的中點M的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式為線段P1P2的中點坐標(biāo)公式．1．斜率與傾斜角的兩個關(guān)注點(1)傾斜角α的范圍是[0，π)，斜率與傾斜角的函數(shù)關(guān)系為k＝tanα，圖象為：(2)當(dāng)傾斜角為90時，直線垂直于x軸，斜率不存在．2．直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件為A1A2＋B1B2[四基自測]1．直線l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．－eq\r(3)D．－eq\f(\r(3),3)答案：A2．已知直線l經(jīng)過點P(－2,5)，且斜率為－eq\f(3,4)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0答案：A3．已知直線斜率的絕對值為1，其傾斜角為________．答案：eq\f(π,4)或eq\f(3,4)π4．過點(5,0)，且在兩軸上的截距之差為2的直線方程為________．答案：3x＋5y－15＝0或7x＋5y－35＝0考點一直線的傾斜角與斜率eq\x(?考基礎(chǔ)——練透)[例1](1)(2019·常州模擬)若ab<0，則過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,b)))與Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，0))的直線PQ的傾斜角的取值范圍是________．(2)直線l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的傾斜角大于45°，求a的取值范圍．解析：(1)kPQ＝eq\f(－\f(1,b)－0,0－\f(1,a))＝eq\f(a,b)<0，又傾斜角的取值范圍為[0，π)，故直線PQ的傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).(2)當(dāng)a＝－1時，直線l的傾斜角為90°，符合要求；當(dāng)a≠－1時，直線l的斜率為－eq\f(a,a＋1).則有－eq\f(a,a＋1)>1或－eq\f(a,a＋1)<0，解得－1<a<－eq\f(1,2)或a<－1或a>0.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(0，＋∞)．答案：(1)(eq\f(π,2)，π)(2)見解析1．三個不同的點A(2,3)，B(－1,5)，C(x，x2＋2x＋6)共線，則實數(shù)x的值為________．解析：因為三個不同的點A(2,3)，B(－1,5)，C(x，x2＋2x＋6)共線，所以由斜率公式得eq\f(5－3,－1－2)＝eq\f(x2＋2x＋6－3,x－2)，解得x＝－1或－eq\f(5,3)，當(dāng)x＝－1時，點C，B重合，舍去．所以x＝－eq\f(5,3).答案：－eq\f(5,3)2．(2019·太原模擬)已知點A(2，－3)，B(－3，－2)，直線l過點P(1,1)且與線段AB有交點，則直線l的斜率k的取值范圍為________．解析：如圖所示，kPA＝eq\f(1＋3,1－2)＝－4，kPB＝eq\f(1＋2,1＋3)＝eq\f(3,4).要使直線l與線段AB有交點，則有k≥eq\f(3,4)或k≤－4.答案：(－∞，－4]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))考點二求直線方程eq\x(?考能力——知法)[例2]求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)求過點(2,1)且在x軸上的截距與在y軸上的截距之和為6的直線方程．(3)求經(jīng)過點A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程．解析：(1)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(0,0)和P(3,2)，∴l(xiāng)的方程為y＝eq\f(2,3)x，即2x－3y＝0.若a≠0，則設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l過點(3,2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1，∴a＝5，即l的方程為x＋y－5＝0，綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.(2)法一：由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝6，,\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，))解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.故所求直線方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.法二：設(shè)直線方程為y＝kx＋b，則在x軸上的截距為－eq\f(b,k)，所以b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,k)))＝6，①又直線過點(2,1)，則2k＋b＝1.②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,b＝2.))故所求直線方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.(3)當(dāng)直線不過原點時，設(shè)所求直線方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－eq\f(1,2)，此時，直線方程為x＋2y＋1＝0.當(dāng)直線過原點時，斜率k＝－eq\f(2,5)，直線方程為y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0，綜上可知，所求直線方程為x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.1．求直線方程的方法方法解讀題型直接法直接求出直線方程所需要的標(biāo)量適合于直線標(biāo)量易求的題目待定系數(shù)法設(shè)出直線方程形式，待定其中的標(biāo)量適合于條件較多而隱含的題目2.考慮問題的特殊情況，如斜率不存在的情況，截距等于零的情況．1．在本例(1)中，過點(3,2)，且在兩軸上截距互為相反數(shù)的直線方程是什么？解析：(1)若直線過原點，適合題意，其方程為y＝eq\f(2,3)x，即2x－3y＝0.(2)若直線不過原點，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，∴eq\f(3,a)－eq\f(2,a)＝1，∴a＝1，方程為x－y－1＝0.綜上，直線方程為2x－3y＝0或x－y－1＝0.2．在本例(3)中，改為“過點A(－5,2)，且與兩坐標(biāo)軸形成的三角形面積為eq\f(9,2)”，求直線方程．解析：設(shè)所求直線在x軸的截距為a，在y軸上的截距為b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－5,a)＋\f(2,b)＝1,\f(1,2)|ab|＝\f(9,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝－3))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(15,2),b＝\f(6,5))).∴方程為x＋y＋3＝0或4x＋25y－30＝0.考點三兩條直線的位置關(guān)系eq\x(?考基礎(chǔ)——練透)[例3](1)“a＝0”是“直線l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0與直線l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的(A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：(1)當(dāng)a＝0時，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，故l1∥l2.當(dāng)l1∥l2時，若l1與l2斜率不存在，則a＝0；若l1與l2斜率都存在，則a≠0，有－eq\f(a＋1,a2)＝－eq\f(2,a)且eq\f(3,a2)≠eq\f(2a＋1,a)，解得a∈，故當(dāng)l1∥l2時，有a＝0.故選C.答案：C(2)已知直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，則“a＝1”是“l(fā)1⊥lA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：l1⊥l2的充要條件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，故有(a－1)(a＋1)＝0，解得a顯然“a＝1”是“a＝±1答案：A兩直線位置關(guān)系的判斷方法方法平行垂直適合題型化成斜截式k1＝k2，且b1≠b2k1k2＝－1斜率存在一般式設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1設(shè)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2無限制直接法k1與k2都不存在，且b1≠b2k1與k2中一個不存在，另一個為零k不存在1．如果直線ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同時平行于直線x－2y＋3＝0，求ab.解析：法一：由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·－2－1－b·1＝0，,1＋a·－2－－1×1＝0.))解得a＝－eq\f(1,2)，b＝0.易知此時它們的截距也不相等，所以ab＝0.法二：直線x－2y＋3＝0的斜率為eq\f(1,2)，則另兩條直線的斜率一定存在且等于eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)＝－eq\f(a,1－b)＝－eq\f(1＋a,－1)，解得a＝－eq\f(1,2)，b＝0，易知此時它們的截距也不相等，所以ab＝0.2．若過點A(－2，m)，B(m,4)的直線與直線2x＋y＋2＝0平行，則m的值為________．解析：∵過點A，B的直線平行于直線2x＋y＋2＝0，∴kAB＝eq\f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.答案：－8邏輯推理、直觀想象_求直線方程的易錯問題(一)直線方程是解析幾何的入門內(nèi)容，基本概念、公式較多，由于學(xué)生對直線的構(gòu)成要素理解不清或方程形式認(rèn)識欠缺，而導(dǎo)致錯誤.1.對傾斜的概念與范圍理解有誤[例1]已知直線l過點(2,1)，且與x軸的夾角為45，求直線l的方程．解析：由直線l與x軸的夾角為45知，直線l的傾斜角為45或135．當(dāng)直線l的傾斜角為45時，其斜率為k＝tan45＝1，而直線l過點(2,1)，故其方程為y－1＝x－2，即y＝x－1；當(dāng)直線l的傾斜角為135時，其斜率為k＝tan135＝－1，而直線l過點(2,1)，故其方程為y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.綜上所述，所求直線方程為y＝x－1或y＝－x＋3.2.忽略兩直線平行與重合的區(qū)別例2已知直線l1：x＋m2y＋6＝0與l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0平行，則實數(shù)m解析：(1)若兩直線的斜率都存在，設(shè)斜率分別為k1，k2，截距分別為b1，b2，則k1＝－eq\f(1,m2)，k2＝－eq\f(m－2,3m)，b1＝－eq\f(6,m2)，b2＝－eq\f(2,3).因為l1∥l2，故k1＝k2且b1≠b2，即－eq\f(1,m2)＝－eq\f(m－2,3m)且－eq\f(6,m2)≠－eq\f(2,3)，解得m＝－1.(2)若兩直線的斜率都不存在，則m＝0.綜上所述，m＝－1或0.答案：－1或0

課時規(guī)范練A組基礎(chǔ)對點練1．設(shè)直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為α，且sinα＋cosα＝0，則a，b滿足()A．a(chǎn)＋b＝1 B．a(chǎn)－b＝1C．a(chǎn)＋b＝0 D．a(chǎn)－b＝0解析：因為sinα＋cosα＝0，所以tanα＝－1.又因為α為傾斜角，所以斜率k＝－1.而直線ax＋by＋c＝0的斜率k＝－eq\f(a,b)，所以－eq\f(a,b)＝－1，即a－b＝0.答案：D2．直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq\r(3))為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍是()A．[－eq\r(3)，1]B．(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)解析：因為kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，所以k∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．答案：B3．(2019·開封模擬)過點A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－eq\f(1,4)的直線方程為()A．3x＋4y＋15＝0B．3x＋4y＋6＝0C．3x＋y＋6＝0D．3x－4y＋10＝0解析：設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－eq\f(3,4)，又直線經(jīng)過點A(－1，－3)，因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.答案：A4．直線l經(jīng)過點A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3，3)，則其斜率的取值范圍是()A．－1＜k＜eq\f(1,5)B．k＞1或k＜eq\f(1,2)C．k＞1或k＜eq\f(1,5)D．k＞eq\f(1,2)或k＜－1解析：設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直線l在x軸上的截距為1－eq\f(2,k)，則－3＜1－eq\f(2,k)＜3，解得k＞eq\f(1,2)或k＜－1.答案：D5．(2019·張家口模擬)若直線mx＋ny＋3＝0在y軸上的截距為－3，且它的傾斜角是直線eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的傾斜角的2倍，則()A．m＝－eq\r(3)，n＝1B．m＝－eq\r(3)，n＝－3C．m＝eq\r(3)，n＝－3D．m＝eq\r(3)，n＝1解析：對于直線mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－eq\f(3,n)，即－eq\f(3,n)＝－3，n＝1.因為eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的傾斜角為60°，直線mx＋ny＋3＝0的傾斜角是直線eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的2倍，所以直線mx＋ny＋3＝0的傾斜角為120°，即－eq\f(m,n)＝－eq\r(3)，m＝eq\r(3).答案：D6．經(jīng)過點A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程為()A．5x＋2y＝0或x＋2y＋1＝0B．x＋2y＋1＝0C．2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0D．2x＋5y＝0解析：當(dāng)截距為零時，直線方程為y＝－eq\f(2,5)x；當(dāng)截距不為零時，設(shè)直線方程為eq\f(x,2b)＋eq\f(y,b)＝1，因為直線過點A(－5,2)，所以eq\f(－5,2b)＋eq\f(2,b)＝1，計算得b＝－eq\f(1,2)，所以直線方程為eq\f(x,－1)＋eq\f(y,－\f(1,2))＝1，即x＋2y＋1＝0，所以所求直線方程為2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.答案：C7．若直線y＝kx＋1與以A(3,2)，B(2,3)為端點的線段有公共點，則k的取值范圍是________．解析：由題可知直線y＝kx＋1過定點P(0,1)，且kPB＝eq\f(3－1,2－0)＝1，kPA＝eq\f(2－1,3－0)＝eq\f(1,3)，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線y＝kx＋1與以A(3,2)，B(2,3)為端點的線段有公共點時，k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))8．將直線y＝x＋eq\r(3)－1繞它上面一點(1，eq\r(3))沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°，所得到的直線方程是________．解析：由y＝x＋eq\r(3)－1得直線的斜率為1，傾斜角為45°.因為沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°，角變?yōu)?0°，所以所求直線的斜率為eq\r(3).又因為直線過點(1，eq\r(3))，所以直線方程為y－eq\r(3)＝eq\r(3)(x－1)，即y＝eq\r(3)x.答案：y＝eq\r(3)x9．已知點A(－1，t)，B(t,4)，若直線AB的斜率為2，則實數(shù)t的值為________．解析：由題意知，kAB＝2，即eq\f(4－t,t＋1)＝2，解得t＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)10．已知直線l1：mx＋y＋4＝0和直線l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m，n＞0)互相垂直，則eq\f(m,n)的取值范圍為________．解析：因為l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因為m＞0，所以eq\f(m,n)＝eq\f(m,m2＋2m)＝eq\f(1,m＋2)，則0＜eq\f(1,m＋2)＜eq\f(1,2)，故eq\f(m,n)的取值范圍為(0，eq\f(1,2))．答案：(0，eq\f(1,2))B組能力提升練11．若直線l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，則當(dāng)△AOB的面積取最小值時直線l的方程為()A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0解析：由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2＋4k,k)，0))，B(0,2＋4k)．依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2＋4k,k)＜0，,2＋4k＞0，))解得k＞0.因為S＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2＋4k,k)))·|2＋4k|＝eq\f(1,2)eq\f(2＋4k2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16k＋\f(4,k)＋16))≥eq\f(1,2)×(2×8＋16)＝16.當(dāng)且僅當(dāng)16k＝eq\f(4,k)，即k＝eq\f(1,2)時，等號成立．此時l的方程為x－2y＋8＝0.答案：B12．設(shè)直線l的方程為x＋ycosθ＋3＝0(θ∈R)，則直線l的傾斜角α的取值范圍是()A．[0，π) .eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) .eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))解析：當(dāng)cosθ＝0時，方程變?yōu)閤＋3＝0，其傾斜角為eq\f(π,2)；當(dāng)cosθ≠0時，由直線l的方程，可得斜率k＝－eq\f(1,cosθ).因為cosθ∈[－1,1]且cosθ≠0，所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tanα∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，所以α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，綜上知，直線l的傾斜角α的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).答案：C13．(2019·西安臨潼區(qū)模擬)已知直線x＋a2y－a＝0(a是正常數(shù))，當(dāng)此直線在x軸，y軸上的截距和最小時，正數(shù)a的值是()A．0 B．2C.eq\r(2) D．1解析：直線x＋a2y－a＝0(a是正常數(shù))在x軸，y軸上的截距分別為a和eq\f(1,a)，此直線在x軸，y軸上的截距和為a＋eq\f(1,a)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時，等號成立．故當(dāng)直線x＋a2y－a＝0在x軸，y軸上的截距和最小時，正數(shù)a的值是1，故選D.答案：D14．(2019·北京二十四中模擬)已知點M(0，－1)，點N在直線x－y＋1＝0上，若直線MN垂直于直線x＋2y－3＝0,則點N的坐標(biāo)是()A．(－2，－1) B．(2,3)C．(2,1) D．(－2,1)解析：∵點N在直線x－y＋1＝0上，∴可設(shè)點N坐標(biāo)為(x0，x0＋1)．根據(jù)經(jīng)過兩點的直線的斜率公式，得kMN＝eq\f(x0＋1＋1,x0)＝eq\f(x0＋2,x0).∵直線MN垂直于直線x＋2y－3＝0，直線x＋2y－3＝0的斜率k＝－eq\f(1,2)，∴kMN×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，即eq\f(x0＋2,x0)＝2，解得x0＝2.因此點N的坐標(biāo)是(2,3)，故選B.答案：B15．設(shè)m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________．解析：動直線x＋my＝0(m≠0)過定點A(0,0)，動直線mx－y－m＋3＝0過定點B(1,3)．由題意易得直線x＋my＝0與直線mx－y－m＋3＝0垂直，即PA⊥PB.所以|PA|·|PB|≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝eq\f(|AB|2,2)＝eq\f(12＋32,2)＝5，即|PA|·|PB|的最大值為5.答案：516．已知直線x＝eq\f(π,4)是函數(shù)f(x)＝asinx－bcosx(ab≠0)圖象的一條對稱軸，則直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為________．解析：f(x)＝eq\r(a2＋b2)sin(x－φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a)，將x＝eq\f(π,4)代入，得sin(eq\f(π,4)－φ)＝±1，即eq\f(π,4)－φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得φ＝－kπ－eq\f(π,4)，k∈Z.所以tanφ＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－kπ－\f(π,4)))＝－1＝eq\f(b,a)，所以直線ax＋by＋c＝0的斜率為－eq\f(a,b)＝1，故傾斜角為eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)第二節(jié)直線的交點與距離公式[基礎(chǔ)梳理]三種距離三種距離條件公式兩點間的距離A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)點到直線的距離P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為dd＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩平行線間的距離直線Ax＋By＋C1＝0到直線Ax＋By＋C2＝0的距離為dd＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))1．點到直線的距離公式(1)直線方程為一般式．(2)公式中分母與點無關(guān)．(3)分子與點及直線方程都有關(guān)．2．兩平行直線間的距離(1)是一條直線上任意一點到另一條直線的距離．(2)也可以看成是兩條直線上各取一點的最短距離．[四基自測]1．點(1，－1)到直線x－y＋1＝0的距離是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(3\r(2),2)答案：D2．直線2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一點，則a的值為________．答案：eq\f(2,3)3．已知點A(3,2)和B(－1,4)到直線ax＋y＋1＝0的距離相等，則a的值為________．答案：－4或eq\f(1,2)4．已知兩平行線l1：2x＋3y＝6，l2：2x＋3y－1＝0，則l1與l2間距離為________．答案：eq\f(5\r(13),13)考點一直線的交點及應(yīng)用eq\x(?考基礎(chǔ)——練透)[例1]求滿足下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過兩條直線2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交點，且垂直于直線3x－2y＋2019＝0.(2)經(jīng)過兩條直線2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交點，且平行于直線4x－3y＋2018＝0.(3)已知直線l經(jīng)過點P(3,1)，且被兩條平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，求直線l的方程．解析：(1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋10＝0，,3x＋4y－2＝0))得兩條直線的交點坐標(biāo)為(－2,2)，因為所求直線垂直于直線3x－2y＋2019＝0，所以所求直線的斜率為k＝－eq\f(2,3)，所以所求直線方程為y－2＝－eq\f(2,3)(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－8＝0，,x－2y＋1＝0))得兩條直線的交點坐標(biāo)為(3,2)，因為所求直線平行于直線4x－3y＋2018＝0，所以所求直線的斜率為k＝eq\f(4,3)，所以所求直線方程為y－2＝eq\f(4,3)(x－3)，即4x－3y－6＝0.(3)法一：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時與l1，l2的交點分別為A′(3，－4)，B′(3，－9)，截得的線段A′B′的長|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合題意．若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)＋1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3＋1，,x＋y＋1＝0，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)，－\f(4k－1,k＋1)))，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3＋1，,x＋y＋6＝0，))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－7,k＋1)，－\f(9k－1,k＋1))).由|AB|＝5，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)－\f(3k－7,k＋1)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4k－1,k＋1)＋\f(9k－1,k＋1)))2＝52.解之，得k＝0，即所求的直線方程為y＝1.綜上可知，所求直線l的方程為x＝3或y＝1.法二：如圖所示，作直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0.l1與x、y軸的交點A(－1,0)、B(0，－1)，l2與x、y軸交點C(－6,0)、D(0，－6)．∴|BD|＝5，|AC|＝5.過點(3,1)與l1、l2截得的線段長為5.即平行x軸或y軸．∴所求直線方程為x＝3或y＝1.1．兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點即為交點．2．求過兩直線交點的直線方程的方法(1)直接法：①先求出兩直線的交點坐標(biāo)；②結(jié)合題設(shè)中的其他條件，寫出直線方程；③將直線方程化為一般式．(2)直線系法：①設(shè)過兩直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.②利用題設(shè)條件，求λ的值，得出直線方程．③驗證A2x＋B2y＋C2＝0是否符合題意．(3)數(shù)形結(jié)合法，求直線截得的線段長．1．將(1)中的條件改為“經(jīng)過兩條直線2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交點，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1”解析：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋10＝0，,3x＋4y－2＝0))得兩條直線的交點坐標(biāo)為(－2,2)，設(shè)所求直線的斜率為k(k≠0)，直線方程為y－2＝k(x＋2)，所以兩個截距分別為2k＋2，－eq\f(2k＋2,k)，所以直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為S＝eq\f(1,2)|2k＋2|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2k＋2,k)))＝1，解方程得k＝－2或－eq\f(1,2)，所以所求直線方程為2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.2．本例(3)改為過點M(0,1)作直線，使它被兩條直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的線段恰好被M所平分，則此直線方程為________．解析：過點M且與x軸垂直的直線是x＝0，它和直線l1，l2的交點分別是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))，(0,8)，顯然不符合題意，故可設(shè)所求直線方程為y＝kx＋1，其圖象與直線l1，l2分別交于A，B兩點，則有①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(yA＝kxA＋1，,xA－3yA＋10＝0，))②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(yB＝kxB＋1，,2xB＋yB－8＝0.))由①解得xA＝eq\f(7,3k－1)，由②解得xB＝eq\f(7,k＋2).因為點M平分線段AB，所以xA＋xB＝2xM，即eq\f(7,3k－1)＋eq\f(7,k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,4).∴所求直線為y＝－eq\f(1,4)x＋1，即x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝0考點二距離問題eq\x(?考能力——知法)[例2](1)已知兩條平行直線l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0間的距離為eq\r(5)，則直線l1的方程為________．解析：因為l1∥l2，所以eq\f(m,2)＝eq\f(8,m)≠eq\f(n,－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.))①當(dāng)m＝4時，直線l1的方程為4x＋8y＋n＝0，把l2的方程寫成4x＋8y－2＝0，所以eq\f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－22或18.故所求直線l1的方程為2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.②當(dāng)m＝－4時，直線l1的方程為4x－8y－n＝0，把l2的方程寫成4x－8y－2＝0，所以eq\f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－18或22.故所求直線l1的方程為2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.答案：2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0(2)(2019·昆明模擬)點P到點A′(1,0)和直線x＝－1的距離相等，且P到直線y＝x的距離等于eq\f(\r(2),2)，這樣的點P共有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：設(shè)點P(x，y)，由題意知eq\r(x－12＋y2)＝|x＋1|，且eq\f(\r(2),2)＝eq\f(|x－y|,\r(2))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,|x－y|＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－y＝1，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－y＝－1，))②解①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3－2\r(2)，,y＝2－2\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2\r(2)，,y＝2＋2\r(2)，))解②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))因此，這樣的點P共有3個．答案：C(3)(2018·高考全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]解析：設(shè)圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點P到直線x＋y＋2＝0的距離為d，則圓心C(2,0)，r＝eq\r(2)，所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為2eq\r(2)，可得dmax＝2eq\r(2)＋r＝3eq\r(2)，dmin＝2eq\r(2)－r＝eq\r(2).由已知條件可得|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP面積的最大值為eq\f(1,2)|AB|·dmax＝6，△ABP面積的最小值為eq\f(1,2)AB·dmin＝2.綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6]．故選A.答案：A1．用點到直線的距離公式，直線方程必須為一般式；2．兩平行線間的距離公式，兩直線方程中x，y的系數(shù)分別相同；3．兩個公式中的“絕對值”號不可盲目去掉，要等價變化．1．(2019·廈門模擬)若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，則c的值是________．解析：依題意知，eq\f(6,3)＝eq\f(a,－2)≠eq\f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，即直線6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，又兩平行線之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(32＋－22))＝eq\f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.答案：2或－62．已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點A(1,3)到直線l的距離為eq\r(2)，則直線l的方程為________．解析：當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線方程為y＝kx，由點A(1,3)到直線l的距離為eq\r(2)，得eq\f(|k－3|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，解得k＝－7或k＝1，此時直線l的方程為y＝－7x或y＝x；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為x＋y＝a，由點A(1,3)到直線l的距離為eq\r(2)，得eq\f(|4－a|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝2或a＝6，此時直線l的方程為x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.綜上所述，直線l的方程為y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.答案：y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0考點三對稱問題eq\x(?考基礎(chǔ)——練透)角度1對稱問題的求法[例3]已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點A的對稱直線l′的方程．解析：(1)設(shè)對稱點A′的坐標(biāo)為(m，n)，由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n＋2,m＋1)·\f(2,3)＝－1，,2·\f(m－1,2)－3·\f(n－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(33,13)，,n＝\f(4,13)，))即A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上取一點，如B(2,0)，則B關(guān)于l的對稱點必在m′上，設(shè)對稱點為B′(a，b)，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2·\f(a＋2,2)－3·\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)·\f(2,3)＝－1，))得B′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)m與l的交點為N，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．設(shè)直線m′上任意一點的坐標(biāo)為(x，y)，由兩點式得直線m′的方程為eq\f(y－3,\f(30,13)－3)＝eq\f(x－4,\f(6,13)－4)，即9x－46y＋102＝0.(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如M(1,1)，N(4,3)．則M，N關(guān)于點A的對稱點M′，N′均在直線l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.法二：設(shè)直線l關(guān)于點A的對稱直線l′上的任意一點P(x，y)，則點P(x，y)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為P′(－2－x，－4－y)．∵點P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.角度2對稱問題的應(yīng)用[例4](1)(2019·淮安模擬)已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________．(2)已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點A(2,0)，B(－2，－4)．在直線l上求一點P，使|PA|＋|PB|最?。馕觯?1)設(shè)點M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.又反射光線經(jīng)過點N(2,6)．所以所求直線的方程為eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.(2)設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點為A′(m，n)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2·\f(n＋0,2)＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝8，))故A′(－2,8)．P為直線l上的一點，則|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，A′三點共線時，|PA|＋|PB|取得最小值，為|A′B|，點P即是直線A′B與直線l的交點，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,x－2y＋8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3，))故所求的點P的坐標(biāo)為(－2,3)．答案：(1)6x－y－6＝0(2)見解析有關(guān)對稱問題的規(guī)律方法方法解讀中心對稱點關(guān)于點點M(x1，y1)與N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，利用中點eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1,y＝2b－y1))直線關(guān)于點l1關(guān)于A對稱的直線：取B∈l1，求B關(guān)于A的對稱點B′，利用斜率相等，求點斜式續(xù)表方法解讀軸對稱點關(guān)于直線對稱點A關(guān)于l1對稱點A′，利用A′A的中點在l1上，且AA′⊥l，求A′點線l1關(guān)于線l對稱l1∩l＝A利用A∈l2，且取B∈l1，求B關(guān)于l的對稱點B′，由A和B′求方程若l1∥l利用平行線l1與l，l與l2之間的距離相等；或者利用斜率相等1．(2019·岳陽模擬)直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析：法一：設(shè)所求直線上任一點為(x，y)，則它關(guān)于x＝1的對稱點(2－x，y)在直線x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化簡得x＋2y－3＝0.法二：根據(jù)直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線斜率是互為相反數(shù)得答案A或D，再根據(jù)兩直線交點在直線x＝1上知選D.答案：D2．已知三角形的一個頂點A(4，－1)，它的兩條角平分線所在直線的方程分別為l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，則BC邊所在直線的方程為__________________________________________________________________．解析：A不在這兩條角平分線上，因此l1，l2是另兩個角的角平分線．點A關(guān)于直線l1的對稱點A1，點A關(guān)于直線l2的對稱點A2均在邊BC所在直線l上．設(shè)A1(x1，y1)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋1,x1－4)×1＝－1，,\f(x1＋4,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝3，))所以A1(0,3)．同理設(shè)A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)．所以BC邊所在直線方程為2x－y＋3＝0.答案：2x－y＋3＝0直觀想象、邏輯推理——求直線方程易錯問題(二)一、混淆截距與距離[例1]求過點(－5，－4)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5的直線方程．解析：利用直線的截距式方程求解可得4a＋5b＝－ab又直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5，則eq\f(1,2)|a|·|b|＝5，即|ab|＝10.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋5b＝－ab，,|ab|＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(5,2)，,b＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2.))所以，所求直線的方程為eq\f(x,－\f(5,2))＋eq\f(y,4)＝1或eq\f(x,5)＋eq\f(y,－2)＝1，即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.二、對位置情形考慮不全[例2]求過點P(1,2)且與點A(2,3)，B(4，－5)距離相等的直線方程．解析：(1)若A，B兩點位于所求直線的同一側(cè)，則所求直線與直線AB平行，故其斜率與直線AB的斜率相等，即k＝kAB＝－4.又所求直線過點P(1,2)，故其方程為y－2＝－4(x－1)，即y＝－4x＋6.(2)若A，B兩點位于所求直線的兩側(cè)，則所求直線經(jīng)過線段AB的中點(3，－1)．又所求直線過點P(1,2)，故其方程為eq\f(y－－1,2－－1)＝eq\f(x－3,1－3)，即y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(7,2).綜上所述，所求直線方程為y＝－4x＋6或y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(7,2).3.忽略平行線間距離公式的應(yīng)用條件[例3]已知兩平行直線l1：3x＋4y＋5＝0與l2：6x＋8y－15＝0，求與l1，l2等距離的直線l的方程．解析：l2：6x＋8y－15＝0的方程等價變形為l2：3x＋4y－eq\f(15,2)＝0.由題意，直線l與兩條平行直線l1：3x＋4y＋5＝0、l2：3x＋4y－eq\f(15,2)＝0平行，故可設(shè)其方程為3x＋4y＋C＝0.因為l與l1，l2的距離相等，即eq\f(|5－C|,\r(32＋42))＝eq\f(|－\f(15,2)－C|,\r(32＋42))，解得C＝－eq\f(5,4).所以，直線l的方程為3x＋4y－eq\f(5,4)＝0，即12x＋16y－5＝0.課時規(guī)范練A組基礎(chǔ)對點練1．若直線2x＋3y－1＝0與直線4x＋my＋11＝0平行，則m的值為()A.eq\f(8,3) B．－eq\f(8,3)C．－6 D．6解析：由題設(shè)可得，eq\f(m,3)＝eq\f(4,2)≠eq\f(11,－1)，則m＝6.答案：D2．(2019·長沙模擬)已知M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x－2)＝3))))，N＝{(x，y)}|ax＋2y＋a＝0}且M∩N＝，則a＝()A．－2 B．－6C．2 D．－2或－6解析：由題意可知，集合M表示過點(2,3)且斜率為3的直線，但除去點(2,3)，而集合N表示一條直線，該直線的斜率為－eq\f(a,2)，且過點(－1,0)，若M∩N＝，則有兩種情況：①集合M表示的直線與集合N表示的直線平行，即－eq\f(a,2)＝3，解得a＝－6；②集合N表示的直線過點(2,3)，即2a＋2×3＋a＝0，解得a＝－2.綜上，a＝－2或－6.答案：D3．(2019·石家莊模擬)直線2x＋3y－k＝0和直線x－ky＋12＝0的交點在x軸上，則k的值為()A．－24 B．24C．6 D．±6解析：直線2x＋3y－k＝0和直線x－ky＋12＝0的交點在x軸上，可設(shè)交點坐標(biāo)為(a,0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－k＝0，,a＋12＝0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,k＝－24.))答案：A4．(2019·鄭州模擬)已知直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，則直線l1與l2的距離為()A.eq\f(8,5) B.eq\f(3,2)C．4 D．8解析：因為直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋eq\f(1,2)＝0，所以直線l1與l2的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋7)),\r(32＋42))＝eq\f(3,2).答案：B5．垂直于直線y＝x＋1且與圓x2＋y2＝1相切于第一象限的直線方程是()A．x＋y－eq\r(2)＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋eq\r(2)＝0解析：由題意可設(shè)圓的切線方程為y＝－x＋m，因為與圓相切于第一象限，所以m>0且d＝eq\f(|m|,\r(2))＝1，故m＝eq\r(2)，所以切線方程為x＋y－eq\r(2)＝0，故選A.答案：A6．(2019·哈爾濱模擬)已知直線3x＋2y－3＝0與直線6x＋my＋7＝0互相平行，則它們之間的距離是()A．4 B.eq\f(\r(13),2)C.eq\f(2\r(13),13) D.eq\f(7\r(13),26)解析：由直線3x＋2y－3＝0與6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直線分別為3x＋2y－3＝0與3x＋2y＋eq\f(7,2)＝0.它們之間的距離是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)＋3)),\r(32＋22))＝eq\f(\r(13),2)，故選B.答案：B7．若在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)過點P(1，eq\r(3))且與原點的距離為d的直線有兩條，則d的取值范圍為________．解析：|OP|＝2，當(dāng)直線l過點P(1，eq\r(3))且與直線OP垂直時，有d＝2，且直線l有且只有一條；當(dāng)直線l與直線OP重合時，有d＝0，且直線l有且只有一條；當(dāng)0<d<2時，有兩條．答案：0<d<28．已知直線l過點P(3,4)且與點A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為________．解析：設(shè)所求直線的方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，由已知及點到直線的距離公式可得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，解得k＝2或k＝－eq\f(2,3)，即所求直線的方程為2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.答案：2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝09．已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點，若動點P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為________．解析：由題得A(2,0)，B(0,1)，由動點P(a，b)在線段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，從而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2).由于0≤b≤1，故當(dāng)b＝eq\f(1,2)時，ab取得最大值eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)10．已知直線l1與直線l2：4x－3y＋1＝0垂直且與圓C：x2＋y2＝－2y＋3相切，則直線l1的方程是________．解析：圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓心為(0，－1)，半徑r＝2.由已知可設(shè)直線l1的方程為3x＋4y＋c＝0，則eq\f(|3×0＋4×－1＋c|,\r(32＋42))＝2，解得c＝14或c＝－6.即直線l1的方程為3x＋4y＋14＝0或3x＋4y－6＝0.答案：3x＋4y＋14＝0或3x＋4y－6＝0B組能力提升練11．已知A(－2,1)，B(1,2)，點C為直線y＝eq\f(1,3)x上的動點，則|AC|＋|BC|的最小值為()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2eq\r(5) D．2eq\r(7)解析：設(shè)B關(guān)于直線y＝eq\f(1,3)x的對稱點為B′(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－2,x0－1)＝－3，,\f(y0＋2,2)＝\f(1,3)×\f(x0＋1,2)，))解得B′(2，－1)．由平面幾何知識得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝eq\r(2＋22＋－1－12)＝2eq\r(5).故選C.答案：C12．直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y＋n＝0垂直，垂足為(1，p)，則n的值為()A．－12 B．－14C．10 D．8解析：由直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y＋n＝0垂直，得2m－20＝0，m＝10，直線10x＋4y－2＝0過點(1，p)，有10＋4p－2＝0，解得p＝－2，點(1，－2)又在直線2x－5y＋n＝0上，則2＋10＋n＝0，解得n答案：A13．在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝()A．2 B．4C．5 D．10解析：如圖所示，以C為原點，CB，CA所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)A(0，a)，B(b,0)，則D(eq\f(b,2)，eq\f(a,2))，P(eq\f(b,4)，eq\f(a,4))，由兩點間的距離公式可得|PA|2＝eq\f(b2,16)＋eq\f(9a2,16)，|PB|2＝eq\f(9b2,16)＋eq\f(a2,16)，|PC|2＝eq\f(b2,16)＋eq\f(a2,16).所以eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝eq\f(\f(10,16)a2＋b2,\f(a2＋b2,16))＝10.答案：D14．已知直線l被兩條直線l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的線段的中點為P(－1,2)，則直線l的一般式方程為()A．3x－y＋5＝0 B．3x＋y＋1＝0C．x－3y＋7＝0 D．x＋3y－5＝0解析：設(shè)直線l與l1的交點為A(x0，y0)，由已知條件，得直線l與l2的交點為B(－2－x0,4－y0)，并且滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x0＋y0＋3＝0，,3－2－x0－54－y0－5＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x0＋y0＋3＝0，,3x0－5y0＋31＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝5.))因此直線l的方程為y－2＝eq\f(5－2,－2＋1)(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.答案：B15．光線從點A(－4，－2)射出，到直線y＝x上的點B后被直線y＝x反射到y(tǒng)軸上的點C，又被y軸反射，這時反射光線恰好過點D(－1,6)，則BC所在的直線方程為________．解析：作出草圖，如圖所示，設(shè)A關(guān)于直線y＝x的對稱點為A′，D關(guān)于y軸的對稱點為D′，則易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由反射角等于入射角可得A′D′所在直線經(jīng)過點B與C.故BC所在的直線方程為y－6＝eq\f(－4－6,－2－1)(x－1)，即10x－3y＋8＝0.答案：10x－3y＋8＝016．△ABC的邊AB，AC所在直線方程分別為2x－y＋1＝0，x＋3y－9＝0，邊BC的中點為D(2，－1)，則這個三角形的面積是________．解析：設(shè)點B(x，y)，則C(4－x，－2－y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1＝0，,4－x＋3－2－y－9＝0，))解這個方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－3，))，所以B(－2，－3)，C(6,1)．所以邊BC所在直線方程為eq\f(y＋1,－3＋1)＝eq\f(x－2,－2－2)，即x－2y－4＝0，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1＝0，,x＋3y－9＝0，))解得頂點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)，\f(19,7)))，所以高為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)－2×\f(19,7)－4)),\r(5))＝eq\f(60,7\r(5))，|BC|＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)，所以三角形的面積為S＝eq\f(1,2)|BC|d＝eq\f(1,2)×4eq\r(5)×eq\f(60,7\r(5))＝eq\f(120,7).答案：eq\f(120,7)第三節(jié)圓的方程[基礎(chǔ)梳理]1．圓的定義、方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0條件：D2＋E2－4F圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：(1)點M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)點M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)點M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.1．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件：A＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4F2．以A(x1，y1)，B(x1，y2)為直徑的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.[四基自測]1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)答案：D2．過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案：C3．△AOB中，A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)，則△AOB外接圓的方程為________．答案：x2＋y2－4x－3y＝04．圓x2＋y2＋2y－3＝0的圓心到直線y＝x＋1的距離為________．答案：eq\r(2)考點一求圓的方程eq\x(?考基礎(chǔ)——練透)[例1](1)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2(2)(2019·長沙模擬)已知三點A(1,0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A.eq\f(5,3) B.eq\f(\r(21),3)C.eq\f(2\r(5),3) D.eq\f(4,3)(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點A(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R解析：(1)由題意可得圓的半徑為r＝eq\r(2)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)圓心在直線BC的垂直平分線，即x＝1上，設(shè)圓心D(1，b)，由|DA|＝|DB|得|b|＝eq\r(1＋b－\r(3)2)，解得b＝eq\f(2\r(3),3)，所以圓心到原點的距離為d＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(21),3).(3)因為直線與圓相切，所以半徑等于圓心到直線的距離，r＝eq\f(|m－0－2m－1|,\r(1＋m2))＝eq\f(|m＋1|,\r(1＋m2))＝eq\r(\f(1＋m2,1＋m2))＝eq\r(1＋\f(2m,1＋m2))，因為1＋m2≥2m，所以eq\f(2m,1＋m2)≤1，所以r≤eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝2.答案：(1)D(2)B(3)見解析求圓的方程的方法方法解讀適合題型幾何法通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量(圓心、半徑)和方程，常用的幾何性質(zhì)如下：(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線題設(shè)條件中有明顯的幾何特征續(xù)表方法解讀適合題型待定系數(shù)法(1)根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，一般地，若題目中有與圓心和半徑有關(guān)的信息，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若已知圓上三點坐標(biāo)(或三點坐標(biāo)易求)，選擇一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)由題目給出的條件，列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；(3)解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程題設(shè)條件中有明顯的代數(shù)特征1．將本例(1)改為圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析：根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，r)，半徑為r，則32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圓的方程為x2＋y2－10y＝0，故選B.答案：B2．本小題(3)改為：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點A(1,0)作直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)的垂線，垂足為B，以A，B解析：因為直線mx－y－2m－1＝0(m∈RC(2，－1)，所以直徑AB的最大值為|AC|＝eq\r(2)，所以所求半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，化為一般方程為x2＋y2－3x＋y＋2＝0.答案：x2＋y2－3x＋y＋2＝0

考點二與圓有關(guān)的最值問題eq\x(?考能力——知法)[例2](1)已知在圓x2＋y2－4x＋2y＝0內(nèi)，過點E(1,0)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A．3eq\r(5) B．6eq\r(5)C．4eq\r(15) D．2eq\r(15)解析：圓x2＋y2－4x＋2y＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圓心M(2，－1)，半徑r＝eq\r(5)，最長弦AC為圓的直徑為2eq\r(5)，BD為最短弦，則AC與BD互相垂直，ME＝eq\r(2)，BD＝2BE＝2×eq\r(5－2)＝2eq\r(3)，四邊形ABCD的面積S＝S△ABD＋S△BDC＝eq\f(1,2)×BD×EA＋eq\f(1,2)×BD×EC＝eq\f(1,2)×BD×AC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(5)＝2eq\r(15)，選D.答案：D(2)已知實數(shù)x、y滿足x2＋y2－4x＋1＝0.①求eq\f(y,x)的最大值與最小值；②求y－x的最大值、最小值；③求x2＋y2的最大值、最小值．解析：①原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.如圖所示，當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).②y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).③如圖所示，x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．又圓心到原點的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).1．(2019·廣西南寧聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知(x1－2)2＋yeq\o\al(2,1)＝5，x2－2y2＋4＝0，則(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值為()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(1,5)C.eq\f(121,5) D.eq\f(11\r(5),5)解析：由已知得點(x1，y1)在圓(x－2)2＋y2＝5上，點(x2，y2)在直線x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圓(x－2)2＋y2＝5上的點和直線x－2y＋4＝0上點的距離平方，而距離的最小值為eq\f(|2＋4|,\r(1＋4))－eq\r(5)＝eq\f(\r(5),5)，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值為eq\f(1,5).故選B.答案：B2．(2019·聊城模擬)已知M(m，n)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，(1)求m＋2n的最大值；(2)求eq\f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．解析：(1)因為x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圓心C(2,7)，半徑r＝2eq\r(2)，設(shè)m＋2n＝t，將m＋2n＝t看成直線方程，因為該直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離d＝eq\f(|1×2＋2×7－t|,\r(12＋22))≤2eq\r(2)，解上式得：16－2eq\r(10)≤t≤16＋2eq\r(10)，所以，所求的最大值為16＋2eq\r(10).(2)記點Q(－2,3)．因為eq\f(n－3,m＋2)表示直線MQ的斜率，設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，則eq\f(n－3,m＋2)＝k.由