復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法之答祿夫天創(chuàng)作創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天一：有限電阻網(wǎng)絡(luò)原則上解說決復(fù)雜電路的一般方法,使用基爾霍夫方程組即可.它包含的兩類方程出自于兩個自然的結(jié)論：（1）對電路中任何一個節(jié)點(diǎn),流出的電流之和即是流入的電流之和.電路中任何一個閉合回路,都切合閉合電歐姆定律.下邊我介紹幾種常常使用的其他的方法.1：對稱性簡化所謂的對稱性簡化,就是利用網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造中可能存在的對稱性簡化等效電阻的計算.它的成效是使計算得以簡化,計算最后結(jié)果必要依據(jù)電阻的串、并聯(lián)公式；電流散布法；極限法等來達(dá)成.在一個復(fù)雜的電路中,假如能找到一些完整對稱的點(diǎn),那么當(dāng)在這個電路兩頭加上電壓時,這些點(diǎn)的電勢必定是相等的,即便用導(dǎo)線把這些點(diǎn)連結(jié)起來也不會有電流（或把連結(jié)這些點(diǎn)的導(dǎo)線去失意也不會對電路構(gòu)成影響）,充足的利用這一點(diǎn)我們就能夠使電路大年夜為簡化.例（1）如圖1D所示的四周體框架由電阻都為R的6根電阻絲連結(jié)C而成,求兩極點(diǎn)A、B間的等效電阻.CA

A圖1

B圖2BD剖析:假定在A、B兩點(diǎn)之間加上電壓,并且電流從A電流入、B創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天點(diǎn)流處.因?yàn)閷ΨQ性,圖中CD兩點(diǎn)等電勢,或許說C、D間的電壓為零.所以,CD間的電阻實(shí)質(zhì)上不起作用,能夠拆去.原網(wǎng)絡(luò)簡化成簡單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò),使問題水到渠成.解：依據(jù)以上剖析原網(wǎng)絡(luò)簡化成如圖2所示的簡單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò),由串、并聯(lián)規(guī)律得RAB=R/2例（2）三個相同的金屬圈兩兩正交地連成如下圖的形狀,若每一個金屬圈的原長電阻為R,試求圖中A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻.圖3圖4圖5剖析：從圖3中能夠看出,整個電阻網(wǎng)絡(luò)相對AB的電流流入、流出方式上擁有上下對稱性,所以可上下壓縮成如圖所時的等效減化網(wǎng)絡(luò).從如圖4所示的網(wǎng)絡(luò)中能夠看出,從A點(diǎn)流到O電流與從O點(diǎn)到B電流必相同；從A1點(diǎn)流到O電流與從O點(diǎn)到B1電流必相同.據(jù)此能夠?qū)點(diǎn)斷開,等效成如圖5所示的簡單網(wǎng)絡(luò),使問題得以求解.解：依據(jù)以上剖析求得RAB=5R/48例（3）如圖6所示的立方體型電路,每條邊的電阻都是R.求A、G之間的電阻是若干？剖析:假定在A、G兩點(diǎn)之間加上電壓時,明顯因?yàn)閷ΨQ性D、B、E的電勢是相等的,C、F、H的電勢也是相等的,把這些點(diǎn)各自連起來,原電路就釀成了如圖7所示的簡單電路.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天解:由簡化電路,依據(jù)串、并聯(lián)規(guī)律解得RAG=5R/6（同學(xué)們想想,若求A、F或A、E之間的電阻又應(yīng)當(dāng)如何簡化？）例（4）在如圖8所示的網(wǎng)格形網(wǎng)絡(luò)中,每一小45段電阻均為R,試D3D求A、B之間的等效電阻RAB.2OBB圖81圖9AA圖10圖11CC剖析:因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)擁有相對過A、B對角線的對稱性,能夠折疊成如圖9所示的等效網(wǎng)絡(luò).爾后依據(jù)等電勢點(diǎn)之間能夠打開也能夠歸并的思想簡化電路即可.解法(a)：簡化為如圖9所示的網(wǎng)絡(luò)此后,將3、O兩個等勢點(diǎn)短接,在去失意斜角部位不起作用的兩段電阻,使之等效變換為如圖10所示的簡單網(wǎng)絡(luò).最后不難算得RAO=ROB=5R/14RAB=RAO+ROB=5R/7解法(b)：簡化為如下圖的網(wǎng)絡(luò)此后,將圖中的O點(diǎn)上下斷開,如圖11所示,最后不難算得RAB=5R/72：電流散布法設(shè)定電流I從網(wǎng)絡(luò)A電流入,B電流出.應(yīng)用電流分流思想和網(wǎng)絡(luò)中隨意兩點(diǎn)之間分歧路徑等電壓的思想,成立以網(wǎng)絡(luò)中的各電阻的電流為未知量的方程組,解出各電流I的比率關(guān)系,而后選用創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天A到B的某一路經(jīng)計算A、B間的電壓,再由RAB=UAB/IAB即可算出ABR例：猶如圖12所示的電阻網(wǎng)絡(luò),求A、B之間的電阻RAB剖析：要求A、B之間的電阻R依據(jù)電流散布法的思想,只需設(shè)OABI12RR上電流此后A、B間的電壓即I4可.,求得I3RBAI2R2RI5圖12C解：設(shè)電流由A流入,B流出,各支路上的電流如下圖.依據(jù)分流思想可得21I=I-II3=I2-I1=I-2I1A、O間的電壓,無論是從AO看,仍是從ACO看,都應(yīng)當(dāng)是相同的,所以I1(2R)=(I-I1)R+(I-2I1)R解得I1=2I/5取AOB路徑,可得AB間的電壓UAB=I1*2R+I4*R依據(jù)對稱性I4=I2=I-I1=3I/5所以UAB=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5RAB=UAB/I=7R/5這種電流散布法事實(shí)上已經(jīng)引進(jìn)了基爾霍夫定律的思想,所以有必定的一般性.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天3：Y變換復(fù)雜電路經(jīng)過Y變換,能夠釀成簡單電路.如圖13和14所示分別為網(wǎng)絡(luò)和Y網(wǎng)絡(luò),兩個網(wǎng)絡(luò)中得6個電阻知足如何的關(guān)系才干使這兩個網(wǎng)絡(luò)完整等效呢?所謂完整等效,就是要求ABabIARABIaIbUab=Uab,Ubc=U,U=UIBRaRbbccacaRCARBCRI=II=II=IcCIcaA,bB,cICcC在Y網(wǎng)絡(luò)中有IaRa-IbRb=UabIcRc-IaRa=UcaIa+Ib+Ic=0圖13圖14解得Ia=RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)在網(wǎng)絡(luò)中有IAB=UAB/RABICA=UCA/RCAIA=IAB-ICA解得IA=（UAB/RAB）-（UCA/RCA）因?yàn)橐驣a=IA,所以RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)=（UAB/RAB）-UCA/RCA）創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天又因?yàn)橐骍ab=UAB,Uca=UCA所以要求上示中對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等,即RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/Rc-----------------（1）R=(RR+RR+RR)/Rb------------------（2）CAabbcca用近似的方法能夠解得RBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/Ra--------------------(3)、（2）、（3）三式是將Y網(wǎng)絡(luò)變換到網(wǎng)絡(luò)的一組變換式.在(1)、（2）、（3）三式中將RAB、RBC、RCA作為已知量解出Ra、Rb、Rc即可獲取R=R*R/(RAB+R+R)-----------------（4）aABCABCCAR=R*R/(RAB+R+R)-----------------（5）bABBCBCCAR=R*R/(R+R+R)-----------------（6）cBCCAABBCCA、（5）、（6）三式是將網(wǎng)絡(luò)變換到Y(jié)網(wǎng)絡(luò)的一組變換式.例（1）求如圖15所示雙T橋網(wǎng)絡(luò)的等效電阻R.AB圖15圖16剖析：本題沒法直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解,需要將雙T橋網(wǎng)絡(luò)中兩個小的Y網(wǎng)絡(luò)元變換成兩個小的網(wǎng)絡(luò)元,再直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解即可.解:原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖16所示的網(wǎng)絡(luò),由此能夠算得RAB=118/93Ω例（2）有7個電阻同為R的網(wǎng)絡(luò)如圖17所示,試求A、B間的等創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天效電阻RAB.圖17圖18解：將Y網(wǎng)絡(luò)O-ABC變換成網(wǎng)絡(luò)如圖18所示ABabbccac=5R此中R=(RR+RR+RR)/RRBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/Ra=5R/2BI3?I4RCA=(RaRb+RR+RR)/Rb=5RR3R4bccaA?這樣就是一個簡單電路了,很簡單算得?GCI1RI2AB?RR=7R/512D4：電橋均衡法圖19如圖19所示的電路稱為惠斯通電橋,圖中R1、R2、R3、R4分別叫電橋的臂,G是敏捷電流計.當(dāng)電橋均衡（即敏捷電流計的示數(shù)為零）的時候,我們稱之為電橋均衡.這時有I1=I2,I3=I4,I1RI=I3R3,I2R2=I4R4有這些關(guān)系能夠獲取R/R=R/R4123上式稱之為電橋均衡條件,利用此式簡化對稱性不明顯的電路,十分方便.例:有n個接線柱,隨意兩個接線柱之間都接有一個電阻R求任意兩個接線柱之間的電阻.圖20創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天剖析：粗看本題根本沒法求解,但是能充足利用電橋均衡的知識,則能十分方便得求解.解：如圖20所示,假想本題求兩接線柱A、B之間的等效電阻,依據(jù)對稱性易知,其他的接線柱CDE----中,隨意兩個接線柱之間的電阻無電流經(jīng)過,故這些電阻都能夠刪除,這樣電路簡化為:A、B之間連有電阻R,其他（n-2）個接線柱之間僅有電阻分別與A、B兩點(diǎn)相連,它們之間沒有電阻相連.即1/RAB=1/R+1/[2R/(n-2)]所以RAB=2R/n二：無窮電阻網(wǎng)絡(luò)無窮電阻網(wǎng)絡(luò)分為線型無窮網(wǎng)絡(luò)和面型無窮網(wǎng)絡(luò),下邊我們就這兩個方面睜開議論1：線型無窮網(wǎng)絡(luò)所謂“線型”就是一字排開的無窮網(wǎng)絡(luò),既然研究對象是無窮的,就能夠利用“無窮”這個條件,再聯(lián)合我們以上講的求電阻的方法就能夠解決這種問題.例（1）如下圖的電路是一個單邊的線型無窮網(wǎng)絡(luò),每個電阻的CA阻值都是R,求A、B之間的等效電阻RAB.BD

圖21解：因?yàn)槭恰盁o窮”的,所以去失意一個單位或增添一個單位不影響等效電阻即RAB應(yīng)當(dāng)即是從CD往右看的電阻RCDRAB=2R+R*RCD/(R+RCD)=RCD創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天整理得RCD2-2RRCD-2R2=0解得：RCD=（1+31/2）R=RAB例（2）一兩頭無量的電路如圖22所示,此中每個電阻均為r求a、b兩點(diǎn)之間的電阻.圖22圖23解：此電路屬于兩頭無量網(wǎng)絡(luò),整個電路能夠看作是由三個部份構(gòu)成的,如下圖,則Rab=(2Rx+r)r/(2Rx+2r)即是無量網(wǎng)絡(luò),bb1之間的電阻仍為Rx則Rx=（31/2-1）r代入上式中解得Rab=（6-31/2）*r/6例（3）電阻絲無窮網(wǎng)絡(luò)如圖A24所示,每一段金屬絲的電阻均為r,求A、B之間的等效電阻ABR.圖24rrBD2F2rr圖2533CrEr

圖26解:依據(jù)對稱性可知,網(wǎng)絡(luò)中反面那根無2限長的2電阻絲中各點(diǎn)等勢,故能夠刪去這根電阻絲,這樣原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖25所示的網(wǎng)絡(luò).又因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)相對AB連線擁有左右對稱性,故能夠折疊成如圖26所示的網(wǎng)絡(luò),再利用例（1）的方法可得RCD=REF=Rx即Rx=r/2+r/2+(Rx*r/3)/(Rx+r/3)創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天解得：Rx=(3+211/2)r/6ABxx)=2(21)1/2r/21R=(2r*R/3)/(2r/3+R2：面型無窮網(wǎng)絡(luò)解線性無窮網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用網(wǎng)絡(luò)的重復(fù)性,而解面型無限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用四個方向的對稱性.例（1）如圖27所示是一個無量方格電阻絲網(wǎng)絡(luò)的一部份,此中每一小段電阻絲的阻值都是R求相鄰的兩個結(jié)點(diǎn)A、B之間的等效電阻.剖析：假定電流I從A點(diǎn)流入,向四周八方流到AB無量遠(yuǎn)處,依據(jù)對稱性,有I/4??電流由A點(diǎn)流到B點(diǎn).假定電流I經(jīng)過無窮長時間穩(wěn)固后再由四周八方聚集到B點(diǎn)后流出,依據(jù)對稱性,相同有I/4電流經(jīng)A點(diǎn)流到B點(diǎn).圖27解:從以上剖析看出,AB段的電流便由兩個I/4疊加而成,為I/2所以UAB=(I/2)*rA、B之間的等效電阻RAB=UAB/I=r/2例（2）有一無窮平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò),它有大年夜小相同的正六邊型網(wǎng)眼構(gòu)成,如圖28所示.全部正六邊型每邊的電阻均為R0,求間位結(jié)點(diǎn)a、b間的電阻.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十天剖析：假定有