材料力學(xué)-扭轉(zhuǎn)

第四章扭轉(zhuǎn)§4-1引言

§4-2圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力§4-3圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度與動(dòng)力傳遞§4-4圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度計(jì)算§4-5非圓截面軸扭轉(zhuǎn)§4-6薄壁桿扭轉(zhuǎn)

工程中的扭轉(zhuǎn)問題§4-1引言

FF

歸納與比較：

1、由實(shí)例歸納受扭圓軸的外力與變形特征；

2、與拉壓桿比較。外力：作用面垂直于桿軸線的力偶，稱為扭力偶， 扭力偶之矩稱為扭力偶矩或扭力矩。變形：各橫截面繞軸線作相對(duì)旋轉(zhuǎn)，軸線仍為直線。軸：以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的直桿稱為軸。扭轉(zhuǎn)及其特征1.扭矩與扭矩圖扭矩：矢量方向垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩，并用T表示。符號(hào)規(guī)定：矢量方向(按右手定則)與橫截面外法線方向一致的扭矩為正，反之為負(fù)?！?-2扭矩

例：畫扭矩圖。扭矩圖：扭矩隨桿軸線變化的圖線。在AB和BC段分別切開，分別考察左與右段平衡AB段：BC段：畫扭矩圖。注意：扭矩圖與受扭軸對(duì)齊，標(biāo)注正負(fù)號(hào)。例：畫扭矩圖(m：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的扭力偶矩)。AB段：BC段：CD段：試與軸力圖比較，考察對(duì)應(yīng)關(guān)系。在AB、BC和CD段分別由三截面切開，考察左（或右）段平衡畫扭矩圖對(duì)應(yīng)拉壓?jiǎn)栴}與軸力圖2.對(duì)應(yīng)的軸力圖與扭矩圖3.軸的動(dòng)力傳遞已知傳動(dòng)構(gòu)件的轉(zhuǎn)速與所傳遞的功率，計(jì)算軸所承受的扭力矩。電機(jī)聯(lián)軸器功率：力偶矩：角速度轉(zhuǎn)速例題3：已知：A、B、C的傳輸功率為NA＝4kWNB=10kWNC=6kWn=500r/min。試作軸AC段的扭矩圖。1.外力偶矩2.畫扭矩圖T+-114.6KN76.4KN1.薄壁圓筒扭矩時(shí)的剪應(yīng)力：Lqpmgfmqp(a)§4-3-1

純剪切

tqpmABCDtt′ABCD例4：三個(gè)正方形微元體受力后變形如圖，求：三者剪應(yīng)變xyzdxdydz=

剪應(yīng)力互等定律：

在相互垂直的兩個(gè)平面上的剪應(yīng)力的數(shù)值大小相等，方向：同時(shí)指向（同時(shí)背離）兩截面的交線。——剪應(yīng)力互等定律＝G·剪切胡克定律：通過實(shí)驗(yàn)或理論可知§4-3圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

問題分析與研究思路分析方法：靜力學(xué)、幾何、物理三方面。

關(guān)鍵是幾何方面：建立單變量的變形協(xié)調(diào)條件問題：橫截面應(yīng)力大小、方向、分布均未知，僅知合成扭矩T。

連續(xù)體的靜不定問題。合理假設(shè)幾何方面：實(shí)觀觀測(cè)連續(xù)體的變形協(xié)調(diào)條件(數(shù)學(xué)公式)一、試驗(yàn)與假設(shè)縱線：傾斜同一角度并保持直線。

2.扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)各橫截面如同剛性圓片，僅繞軸線作相對(duì)旋轉(zhuǎn)。圓周線：形狀、大小與間距均不改變，僅繞軸線相對(duì)旋轉(zhuǎn)。1.實(shí)驗(yàn)觀測(cè)（動(dòng)畫）

這一假設(shè)為建立單參數(shù)的變形協(xié)調(diào)公式提供了依據(jù)。二、扭轉(zhuǎn)應(yīng)力的一般公式取楔形體O1O2ABCD

為研究對(duì)象微段扭轉(zhuǎn)變形df1.幾何方面（截取楔形體，動(dòng)畫）1.幾何方面（變形公式推導(dǎo)）由此得其中2.物理方面考察：扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布規(guī)律與成正比，垂直于半徑3.靜力學(xué)方面圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式。極慣性矩定義：扭轉(zhuǎn)角變化率公式中還有哪些量未被確定？三、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力定義：

抗扭截面系數(shù)最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力發(fā)生在圓軸表面空心圓截面

四.極慣性矩與抗扭截面系數(shù)實(shí)心圓截面設(shè)圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力小結(jié)

公式的適用范圍：

扭轉(zhuǎn)變形基本公式：

扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式：

最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力：物理與靜力學(xué)三方面

研究方法：從實(shí)驗(yàn)、假設(shè)入手，綜合考慮幾何、圓截面軸；思考轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(大學(xué)物理)與極慣性矩一樣嗎？TTTTT思考：哪個(gè)對(duì)？例：畫橫截面扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布示意圖。組合軸空心軸

組合軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分析設(shè)平面假設(shè)成立所以：組合軸§4-4圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件與合理設(shè)計(jì)

一、扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力，塑性材料扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限，脆性材料脆性材料扭斷塑性材料扭斷二、圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件許用切應(yīng)力：工作應(yīng)力：等截面圓軸：強(qiáng)度條件：安全因數(shù)塑性材料：

[t]=（0.5－0.577）[s]脆性材料：

[t]=（0.8－1.0）[st]與關(guān)系詳細(xì)討論見第九章思考：

是否是愈大愈好？三、圓軸合理截面與減緩應(yīng)力集中空心軸實(shí)心軸1.合理截面形狀增大2.采用變截面軸與階梯形軸試討論怎樣設(shè)計(jì)變截面軸和階梯形軸。3.合理分配載荷減小T措施自行思考。截面尺寸突變配置過渡圓角4.減小應(yīng)力集中在截面尺寸突變或急劇改變處，會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中，因此在階梯軸交界處，宜配置適當(dāng)尺寸過度圓角以減小應(yīng)力集中。例題5：已知：N＝7.5kW,n=100r/min,許用剪應(yīng)力＝40MPa,空心圓軸的內(nèi)外徑之比=0.5。求:實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外徑D2。NM=9549n7.5=9549100=716.2N.mmax=Wt116TT=d13≤[]=40MPa≥0.045m=45mmd1=16716.2

401063實(shí)心圓截面：強(qiáng)度條件：max=≤[]=40MPaWt2M16M=D3(1-

4)≥0.045m=45mmD

=16716.2(1-0.5

4)40106d

=0.5D=23mmA1A2=d12D2(1-

2)=1.28為什么承受同樣的外力偶矩，空心軸比實(shí)心軸更合理?空心圓截面：§4-5圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度計(jì)算微段dx的扭轉(zhuǎn)變形一、圓軸扭轉(zhuǎn)變形公式相距l(xiāng)的兩橫截面的扭轉(zhuǎn)角長(zhǎng)l常扭矩等截面圓軸圓軸截面扭轉(zhuǎn)剛度GIp二、圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件剛度條件:單位長(zhǎng)度許用扭轉(zhuǎn)角：工程常用單位等截面圓軸::扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率單位注意注意單位換算:

一般傳動(dòng)軸，[q

]=0.5~1/m例：已知軸的尺寸，，，計(jì)算總扭轉(zhuǎn)，校核強(qiáng)度與剛度。解：1、畫扭轉(zhuǎn)圖（與軸位置對(duì)齊），確定危險(xiǎn)截面?？赡芪ｋU(xiǎn)截面A、B(分4段計(jì)算)2、總扭轉(zhuǎn)角3、強(qiáng)度校核（危險(xiǎn)截面A和B）4、剛度校核注意

單位換算

設(shè)計(jì)軸，可按，分別設(shè)計(jì)，取較大者例：分析彈簧應(yīng)力并建立相應(yīng)強(qiáng)度條件。彈簧軸線彈簧絲軸線解：1.內(nèi)力分析假想在任一處由彈簧軸線平面將簧絲切開，取上半部分研究。3.應(yīng)力修正公式2.應(yīng)力分析扭矩T對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力剪力Fs對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力總切應(yīng)力強(qiáng)度條件解：最大扭矩發(fā)生在B端（危險(xiǎn)截面）例：，均布力偶矩 （1）設(shè)計(jì)實(shí)心軸直徑，（2）設(shè)計(jì)內(nèi)外徑之比的空心軸外徑，（3）比較所設(shè)計(jì)的空心軸和實(shí)心軸重量。（1）設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸直徑d。a、根據(jù)強(qiáng)度條件b、根據(jù)剛度條件取（2）設(shè)計(jì)空心軸外徑Da、根據(jù)強(qiáng)度條件b、根據(jù)剛度條件?。?）所設(shè)計(jì)的空心與實(shí)心軸重量比＊若只考慮強(qiáng)度條件例：求最大切應(yīng)力。解：思考：危險(xiǎn)截面在何處？比較：某些拉壓與扭轉(zhuǎn)靜不定問題對(duì)比力電磁熱等各類自然現(xiàn)象內(nèi)部及它們之間在支配方程方面都存在許多驚人的一致，認(rèn)識(shí)這些數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律的一致，對(duì)科學(xué)研究和工程實(shí)踐有重要意義。§4-6簡(jiǎn)單靜不定軸

例1：試研究下面扭轉(zhuǎn)靜不定問題及其對(duì)應(yīng)的拉壓靜不定問題解：扭轉(zhuǎn)靜不定問題對(duì)應(yīng)拉壓靜不定問題解：協(xié)調(diào)條件:討論：對(duì)應(yīng)拉壓靜不定問題協(xié)調(diào)條件:例2.

左、右凸緣上的螺孔存在的方位偏差，試分析安裝后軸與螺栓的應(yīng)力。例2：已知軸的 螺栓直徑與孔中心線直徑孔偏差角求安裝后軸與螺栓的應(yīng)力。解：1、變形協(xié)調(diào)條件2、裝配扭力偶矩

6、螺栓的切應(yīng)力3、關(guān)系4、裝配扭力偶矩解答5、軸最大切應(yīng)力例3:

管和軸兩端由剛性圓盤連接，求管和軸的內(nèi)力。問題：＊對(duì)應(yīng)拉壓靜不定問題是什么？＊取什么為未知量（幾個(gè)未知量）？＊變形協(xié)調(diào)方程怎么列？變形協(xié)調(diào)條件：分析：將管和軸拆開，曝露它們之間的內(nèi)力偶T。對(duì)應(yīng)的拉壓靜不定問題例4圖示組合軸，承受集度為

m的均布扭力偶，與矩為

M=ml的集中扭力偶。已知：

G1=G2

=

G，Ip1=2Ip2。試求：圓盤的轉(zhuǎn)角。解：1.建立平衡方程沿截面B切開,畫受力圖2.建立補(bǔ)充方程－變形協(xié)調(diào)條件未知力偶矩－2，平衡方程－1，一度靜不定聯(lián)立求解平衡與補(bǔ)充方程，得圓盤轉(zhuǎn)角為3.扭矩與圓盤轉(zhuǎn)角－變形協(xié)調(diào)條件§4-7非圓截面軸扭轉(zhuǎn)

歷史回顧Navier（法）研究發(fā)扭轉(zhuǎn)，梁變曲問題，提出了靜不定問題位移解法，1826，第一本材料力學(xué)。1784，Coulomb，圓桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力公式，Navier錯(cuò)誤用于非圓截面桿達(dá)半個(gè)世紀(jì)。Navier(France)對(duì)非圓截面桿是否正確？St.Venant

研究了扭轉(zhuǎn)，梁彎曲問題，提出了St.Venant原理。1855年，提出非圓截面問題的正確解法。St.Venant(France)錯(cuò)誤分析：受扭矩形桿角點(diǎn)切應(yīng)力問題角點(diǎn)切應(yīng)力為零邊緣切應(yīng)力平行于周邊?根據(jù)，角點(diǎn)切應(yīng)力最大，但是根據(jù)切應(yīng)力互等定理，我們發(fā)現(xiàn)：矩形桿受扭錯(cuò)誤原因探討：圓軸：平截面假設(shè)。與成正比，假設(shè)正確。非圓截面軸：截面不保持平面，與不成正比，平截面假設(shè)不適用?？茖W(xué)發(fā)展的歷史局限，大膽假設(shè)，小心求證。實(shí)驗(yàn)觀測(cè)假設(shè)（正確？）理論推導(dǎo)一、平截面假設(shè)的適用范圍限制扭轉(zhuǎn)：橫截面的翹曲受到限制的扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)：橫截面的翹曲沒有限制的扭轉(zhuǎn)。對(duì)非圓截面桿，平截面假設(shè)不再適用。二、矩形截面軸的扭轉(zhuǎn)（彈性理論解）邊緣處的切應(yīng)力平行于周邊,角點(diǎn)處的切應(yīng)力為零。在長(zhǎng)邊中點(diǎn)，短邊中點(diǎn)也相當(dāng)大。max1hbmax1（ 可查表得到）狹長(zhǎng)矩形截面軸:接近1／３h－中心線總長(zhǎng)三、橢圓等非圓截面軸扭轉(zhuǎn)的計(jì)算公式見附錄D?！?-8薄壁桿扭轉(zhuǎn)

問題：用什么幾何參量描述薄壁截面？截面中心線——截面壁厚的平分線開口薄壁桿閉口薄壁桿——截面中心線為封閉曲線的薄壁桿壁厚一、閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力問題：切應(yīng)力沿截面中心線如何分布？如何計(jì)算？假設(shè)：切應(yīng)力沿壁厚均勻分布，其方向平行于中心線

假設(shè)依據(jù)：Tdxabcdabcd21dx1122切應(yīng)力互等定理利用切應(yīng)力互等定理，轉(zhuǎn)化為研究縱向截面切應(yīng)力，利用平衡方程求解.截面中心線所圍面積的2倍思考：O點(diǎn)位置可否任選，如截面外？dsodsabcd21dx1122常數(shù)，稱為剪流，代表中心線單位長(zhǎng)度上的剪力。薄壁圓管思考：公式的精度？在線彈性情況下，精確解為思考：公式（1）和（2）的適用范圍？(1)(2)誤差二、閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)變形dxds

閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與變形公式能否用于開口薄壁桿？三、開口薄壁桿扭轉(zhuǎn)概念