高中數(shù)學選修1-1 模塊綜合測評

第頁碼35頁/總NUMPAGES總頁數(shù)35頁模塊綜合測評(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.設a，b是實數(shù)，則“a>b”是“a2>b2”的()A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】設a＝1，b＝－2，則有a>b，但a2<b2，故a>beq\o(?,\s\up0(/))a2>b2；設a＝－2，b＝1，顯然a2>b2，但a<b，即a2>b2eq\o(?,\s\up0(/))a>b.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件.【答案】D2.過點P(1，－3)的拋物線的標準方程為()A.x2＝eq\f(1,3)y或x2＝－eq\f(1,3)yB.x2＝eq\f(1,3)yC.y2＝－9x或x2＝eq\f(1,3)yD.x2＝－eq\f(1,3)y或y2＝9x【解析】P(1，－3)在第四象限，所以拋物線只能開口向右或向下，設方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，代入P(1，－3)得y2＝9x或x2＝－eq\f(1,3)y.故選D.【答案】D3.下列命題中，正確命題的個數(shù)是()①命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”；②“p∨q為真”是“p∧q為真”的充分條件；③若p∧q為假命題，則p，q均為假命題；④對命題p：?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，則﹁p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0.A.1B.2C.3D.4【解析】①正確；②由p∨q為真可知，p，q至少有一個是真命題即可，所以p∧q不一定是真命題；反之，p∧q是真命題，p，q均為真命題，所以p∨q一定是真命題，②不正確；③若p∧q為假命題，則p，q至少有一個假命題，③不正確；④正確.【答案】B4.函數(shù)f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f(－1)與f(1)的大小關系為()A.f(－1)＝f(1) B.f(－1)<f(1)C.f(－1)>f(1) D.無法確定【解析】f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，f(1)＝－3，f(－1)＝5.∴f(－1)>f(1).【答案】C5.命題“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.?x∈(－∞，0)，x3＋x<0B.?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.?x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0D.?x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0≥0【解析】故原命題的否定為：?x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0.故選C.【答案】C6.已知雙曲線的離心率e＝2，且與橢圓eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,8)＝1有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為()A.y＝±eq\f(1,3)x B.y＝±eq\f(\r(3),3)xC.y＝±eq\r(3)x D.y＝±2eq\r(3)x【解析】雙曲線的焦點為F(±4,0)，e＝eq\f(c,a)＝2，∴a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(3)，∴漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x.【答案】C7.已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p＞0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點.若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為eq\r(3)，則p＝()A.1B.eq\f(3,2)C.2D.3【解析】因為雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝2，所以b＝eq\r(3)a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x，與拋物線的準線x＝－eq\f(p,2)相交于Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3),2)p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3),2)p))，所以△AOB的面積為eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝eq\r(3)，又p＞0，所以p＝2.【答案】C8.點P在曲線y＝x3－x＋3上移動，過點P的切線的傾斜角的取值范圍為()A.[0，π)B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))【解析】f′(x)＝3x2－1≥－1，即切線的斜率k≥－1，所以切線的傾斜角的范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).【答案】B9.橢圓有如下的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后必過橢圓的另一個焦點.今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A，B是它的兩個焦點，其長軸長為2a，焦距為2c(a＞c＞0)，靜放在點A的小球(小球的半徑不計)，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是()A.2(a－c) B.2(a＋c)C.4a D.以上答案均有可能【解析】如圖，本題應分三種情況討論：當小球沿著x軸負方向從點A出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是2(a－c)；當小球沿著x軸正方向從點A出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是2(a＋c)；當是其他情況時，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是4a.【答案】D10.設f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)，f″(x)是函數(shù)f′(x)的導數(shù)，若方程f″(x)＝0的實數(shù)解x0，則稱(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”.某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.給定函數(shù)g(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f(5,12)，則geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2013)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2013)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2013)))＋…＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2012,2013)))＝()A.2011 B.2012C.2013 D.2014【解析】(1)∵g(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f(5,12)，∴g′(x)＝x2－x＋3，g″(x)＝2x－1，令g″(x)＝2x－1＝0，得x＝eq\f(1,2)，∵geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3×eq\f(1,2)－eq\f(5,12)＝1，∴g(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋3x－eq\f(5,12)的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴g(x)＋g(1－x)＝2，∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2013)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2013)))＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2013)))＋…＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2012,2013)))＝2×1006＝2012.【答案】B11.若直線y＝2x與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為()A.(1,eq\r(5)) B.(eq\r(5)，＋∞)C.(1,eq\r(5)] D.[eq\r(5)，＋∞)【解析】雙曲線的兩條漸近線中斜率為正的漸近線為y＝eq\f(b,a)x.由條件知，應有eq\f(b,a)>2，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))>eq\r(5).【答案】B12.若0<x1<x2<1，則()A.eeq\s\up6(x2)－eeq\s\up6(x1)>lnx2－lnx1B.eeq\s\up6(x2)－eeq\s\up6(x1)<lnx2－lnx1C.x2eeq\s\up6(x1)>x1eeq\s\up6(x2)D.x2eeq\s\up6(x1)<x1eeq\s\up6(x2)【解析】設f(x)＝ex－lnx(0<x<1)，則f′(x)＝ex－eq\f(1,x)＝eq\f(xex－1,x).令f′(x)＝0，得xex－1＝0.根據(jù)函數(shù)y＝ex與y＝eq\f(1,x)的圖象，可知兩函數(shù)圖象交點x0∈(0,1)，因此函數(shù)f(x)在(0,1)上不是單調(diào)函數(shù)，故A，B選項不正確.設g(x)＝eq\f(ex,x)(0<x<1)，則g′(x)＝eq\f(exx－1,x2).又0<x<1，∴g′(x)<0.∴函數(shù)g(x)在(0,1)上是減函數(shù).又0<x1<x2<1，∴g(x1)>g(x2)，∴x2eeq\s\up6(x1)>x1eeq\s\up6(x2).【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13.已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是________.【解析】a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.【答案】若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<314.曲線y＝xex＋2x＋1在點(0,1)處的切線方程為________________.【解析】y′＝ex＋xex＋2，k＝y(tǒng)′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，所以切線方程為y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.【答案】3x－y＋1＝015.如圖1為函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象，f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)，則不等式xf′(x)＜0的解集為________________.圖1【解析】當x＜0時，f′(x)＞0，此時f(x)為增函數(shù)，由圖象可知x∈(－∞，－eq\r(3))；當x＞0時，f′(x)＜0，此時f(x)為減函數(shù)，由圖象可知x∈(0,eq\r(2)).∴xf′(x)＜0的解集為(－∞，－eq\r(3))∪(0,eq\r(2)).【答案】(－∞，－eq\r(3))∪(0,eq\r(2))16.設e1，e2分別為具有公共焦點F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足eq\o(PF,\s\up12(→))1·eq\o(PF,\s\up12(→))2＝0，則eq\f(e\o\al(2,1)＋e\o\al(2,2),e1e22)的值為________.【解析】設橢圓長半軸長為a1，雙曲線實半軸長為a2，則|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2.平方相加得|PF1|2＋|PF2|2＝2aeq\o\al(2,1)＋2aeq\o\al(2,2).又∵eq\o(PF,\s\up12(→))1·eq\o(PF,\s\up12(→))2＝0，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝2c2，∴eq\f(a\o\al(2,1),c2)＋eq\f(a\o\al(2,2),c2)＝2，即eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝eq\f(e\o\al(2,1)＋e\o\al(2,2),e\o\al(2,1)e\o\al(2,2))＝2.【答案】2三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)設命題p：方程eq\f(x2,1－2m)＋eq\f(y2,m＋4)＝1表示的曲線是雙曲線；命題q：?x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0.若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍.【解】對于命題p，因為方程eq\f(x2,1－2m)＋eq\f(y2,m＋4)＝1表示的曲線是雙曲線，所以(1－2m)(m＋4)<0，解得m<－4或m>eq\f(1,2)，則命題p：m<－4或m>eq\f(1,2).對于命題q，因為?x∈R,3x2＋2mx＋m＋6<0，即不等式3x2＋2mx＋m＋6<0在實數(shù)集R上有解，所以Δ＝(2m)2－4×3×(m＋6)>0，解得m<－3或m>6.則命題q：m<－3或m>6.因為命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，所以命題p與命題q有且只有一個為真命題.若命題p為真命題且命題q為假命題，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－4或m>\f(1,2)，,－3≤m≤6，))得eq\f(1,2)<m≤6；若命題p為假命題且命題q為真命題，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4≤m≤\f(1,2)，,m<－3或m>6，))得－4≤m<－3.綜上，實數(shù)m的取值范圍為[－4，－3)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，6)).18.(本小題滿分12分)設函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函數(shù).(1)求b，c的值；(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.【解】(1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.從而g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c∵g(x)是奇函數(shù)，∴－x3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c＝－[x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c]得(b－3)x2－c＝0對x∈R都成立.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－3＝0，,c＝0，))得b＝3，c＝0.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，從而g′(x)＝3x2－6，由此可知，(－∞，－eq\r(2))和(eq\r(2)，＋∞)是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(－eq\r(2)，eq\r(2))是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.g(x)在x＝－eq\r(2)時，取得極大值，極大值為4eq\r(2)，g(x)在x＝eq\r(2)時，取得極小值，極小值為－4eq\r(2).19.(本小題滿分12分)已知拋物線y2＝4x截直線y＝2x＋b所得的弦長為|AB|＝3eq\r(5).(1)求b的值；(2)在x軸上求一點P，使△APB的面積為39.【解】(1)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝2x＋b，))消去y，得方程：4x2＋(4b－4)x＋b2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝1－b，x1x2＝eq\f(b2,4)，|AB|＝eq\r(5)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(5)eq\r(1－b2－b2)＝3eq\r(5)，解得b＝－4.(2)將b＝－4代入直線y＝2x＋b，得AB所在的直線方程為2x－y－4＝0，設P(a,0)，則P到直線AB的距離為d＝eq\f(|2a－4|,\r(5)).△APB的面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(|2a－4|,\r(5))×3eq\r(5)＝39，則a＝－11或15，所以P點的坐標為(－11,0)或(15,0).20.(本小題滿分12分)某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件.(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？【解】(1)設商品降低x元時，多賣出的商品件數(shù)為kx2，若記商品在一個星期的銷售利潤為f(x)，則依題意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)＝(21－x)·(432＋kx2)，又由已知條件24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30].(2)根據(jù)(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).當x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下表：x[0,2)2(2,12)12(12,30]f′(x)－0＋0－f(x)↘極小值↗極大值↘故x＝12時，f(x)取到極大值.因為f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定價為30－12＝18(元)能使一個星期的商品銷售利潤最大.21.(本小題滿分12分)設函數(shù)f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(e,ex)，其中a∈R，e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當x>1時，g(x)>0；(3)確定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立.【解】(1)解：由題意得f′(x)＝2ax－eq\f(1,x)＝eq\f(2ax2－1,x)(x>0).當a≤0時，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減.當a>0時，由f′(x)＝0有x＝eq\f(1,\r(2a))，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,\r(2a))))時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))，＋∞))時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.(2)證明：令s(x)＝ex－1－x，則s′(x)＝ex－1－1.當x>1時，s′(x)>0，所以ex－1>x，從而g(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,ex－1)>0.(3)解：由(2)知，當x>1時，g(x)>0.當a≤0，x>1時，f(x)＝a(x2－1)－lnx<0.故當f(x)>g(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立時，必有a>0.當0<a<eq\f(1,2)時，eq\f(1,\r(2a))>1.由(1)有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))))<f(1)＝0，而geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))))>0，所以此時f(x)>g(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)不恒成立.當a≥eq\f(1,2)時，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1).當x>1時，h′(x)＝2ax－eq\f(1,x)＋eq\f(1,x2)－e1－x>x－eq\f(1,x)＋eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)＝eq\f(x3－2x＋1,x2)>eq\f(x2－2x＋1,x2)>0.因此，h(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增.又因為h(1)＝0，所以當x>1時，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立.綜上，a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).22.(本小題滿分12分)如圖2已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的長軸長為4，焦距為2eq\r(2).圖2(1)求橢圓C的方程.(2)過動點M(0，m)(m>0)的直線交x軸于點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長QM交C于點B.①設直線PM，QM的斜率分別為k，k′，證明eq\f(k′,k)為定值；②求直線AB的斜率的最小值.【解】(1)設橢圓的半焦距為c.由題意知2a＝4,2c＝2eq\r(2)，所以a＝2，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(2).所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)①證明：設P(x0，y0)(x0>0，y0>0).由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m).所以直線PM的斜率k＝eq\f(2m－m,x0)＝eq\f(m,x0)，直線QM的斜率k′＝eq\f(－2m－m,x0)＝－eq\f(3m,x0).此時eq\f(k′,k)＝－3.所以eq\f(k′,k)為定值－3.②解：設A(x1，y1)，B(x2，y2).由①知直線PA的方程為y＝kx＋m，則直線QB的方程為y＝－3kx＋m.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0.由x0x1＝eq\f(2m2－4,2k2＋1)，可得x1＝eq\f(2m2－2,2k2＋1x0)，所以y1＝kx1＋m＝eq\f(2km2－2,2k2＋1x0)＋m.同理x2＝eq\f(2m2－2,18k2＋1x0)，y2＝eq\f(－6km2－2,18k2＋1x0)＋m.所以x2－x1＝eq\f(2m2－2,18k2＋1x0)－eq\f(2m2－2,2k2＋1x0)＝eq\f(－32k2m2－2,18k2＋12k2＋1x0)，y2－y1＝eq\f(－6km2－2,18k2＋1x0)＋m－eq\f(2km2－2,2k2＋1x0)－m＝eq\f(－8k6k2＋1m2－2,18k2＋12k2＋1x0)，所以kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(6k2＋1,4k)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6k＋\f(1,k))).由m>0，x0>0，可知k>0，所以6k＋eq\f(1,k)≥2eq\r(6)，等號當且僅當k＝eq\f(\r(6),6)時取得.此時eq\f(m,\r(4－8m2))＝eq\f(\r(6),6)，即m＝eq\f(\r(14),7)，符合題意.所以直線AB的斜率的最小值為eq\f(\r(6),2).回歸課本:高考數(shù)學考前100個提醒一、集合與簡易邏輯1、區(qū)分集合中元素的形式，如，，.解題時要利用數(shù)形結(jié)合思想盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標系或韋恩圖等工具；2、已知集合A、B，當時，切記要注意到“極端”情況：或；求集合的子集時別忘記；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、含n個元素的有限集合的子集個數(shù)為,真子集為其非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為4、反演律(摩根律)：.容斥原理:card（）=card（A）+card（B）-card（）.5、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U.6、補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題(正難則反)。7、原命題:;逆命題:;否命題:；逆否命題:；要注意利用“互為逆否的兩個命題是等價的”來解題.8、若且，則p是q的充分非必要條件（或q是p的必要非充分條件）;9、注意命題的否定與它的否命題的區(qū)別:命題的否定只否定結(jié)論；否命題是條件和結(jié)論都否定.命題的否定是；否命題是.10、要熟記真值表噢！常見結(jié)論的否定形式如下：原結(jié)論否定原結(jié)論否定是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有個至多有個小于不小于至多有個至少有個對所有,成立存在某,不成立或且對任何,不成立存在某,成立且或二、函數(shù)與導數(shù)11、函數(shù):是特殊的對應關系．特殊在定義域和值域都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個．函數(shù)的三要素：定義域,值域,對應法則．研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則．12、一次函數(shù):(k≠0),b=0時是奇函數(shù);依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題.二次函數(shù)：①三種形式:一般式(軸-b/2a,頂點?);b=0為偶函數(shù);頂點式(軸?);零點式;②區(qū)間最值:配方后一看開口方向,二討論對稱軸與區(qū)間的相對位置關系;③實根分布:先畫圖再研究△>0、軸與區(qū)間關系、區(qū)間端點函數(shù)值符號;反比例函數(shù):平移的對稱中心為(a,b).13、指數(shù)式、對數(shù)式：，，，，，，，，(對數(shù)恒等式).要特別注意真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1，字母底數(shù)還需討論的呀.對數(shù)的換底公式及它的變形，.14、你知道函數(shù)嗎？該函數(shù)在或上單調(diào)遞增；在或上單調(diào)遞減，求導易證，這可是一個應用廣泛的函數(shù)！對號函數(shù)是奇函數(shù),;,.要熟悉其圖像噢.15、確定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、導數(shù)法、圖像法和特值法(用于小題)等．注意：①.能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。②.單調(diào)區(qū)間是最大范圍，注意一定不能寫成“并”.③.復合函數(shù)由同增異減判定、圖像判定.作用:比大小,解證不等式.16、奇偶性：f(x)是偶函數(shù)，脫號性，避免討論;f(x)是奇函數(shù)f(-x)=-f(x);定義域含零的奇函數(shù)必定過原點(f(0)=0);定義域關于原點對稱是為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要而不充分條件。奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)則為相反的單調(diào)性；注意：既奇又偶的函數(shù)有無數(shù)個(如，只要定義域關于原點對稱即可)．17、周期性:①函數(shù)滿足，則是周期為2的周期函數(shù)；②若恒成立，則；③滿足條件的函數(shù)的周期.18、圖象變換:“左加右減”（注意是針對而言）、“上加下減”(注意是針對而言).①函數(shù)的圖象是把的圖象沿軸向左或向右平移個單位得到的；②函數(shù)+的圖象是把的圖象沿軸向上或向下平移個單位得到的；③函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的；④函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的.19、函數(shù)的對稱性:①滿足條件的函數(shù)的圖象關于直線對稱；②點關于軸的對稱點為；③點關于軸的對稱點為；④函數(shù)關于原點的對稱曲線方程為；⑤點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為；點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為.區(qū)別:若,則圖像關于直線對稱（自對稱）;函數(shù)與的圖像關于直線互對稱；兩函數(shù)與關于直線互對稱.(由確定).⑥如果函數(shù)對于一切，都有，⑦形如的圖像是雙曲線，對稱中心是點.⑧的圖象、的圖象你會畫嗎？20、幾類常見的抽象函數(shù)模型：借鑒模型函數(shù)進行類比探究。①正比例函數(shù)型：；②冪函數(shù)型：，；③指數(shù)函數(shù)型：，；④對數(shù)函數(shù)型：，；⑤三角函數(shù)型：。21、反函數(shù):求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，你別忘記注明該函數(shù)的定義域喲?、俸瘮?shù)存在反函數(shù)的條件是一一映射；②奇函數(shù)若有反函數(shù)則反函數(shù)是奇函數(shù)；③周期函數(shù)、定義域為非單元素集的偶函數(shù)無反函數(shù)；④互為反函數(shù)的兩函數(shù)具有相同的單調(diào)性；⑤f(x)定義域為A,值域為B,則有還原性：,；⑥單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，但反之不然，如.原函數(shù)與反函數(shù)圖象的交點不全在y=x上（如：單調(diào)遞減函數(shù)），但單調(diào)遞增函數(shù)則交點都在y=x上；只能理解為在x+a處的函數(shù)值。22、題型方法總結(jié)Ⅰ判定相同函數(shù):定義域相同且對應法則相同.Ⅱ求函數(shù)解析式的常用方法：（1）待定系數(shù)法――已知所求函數(shù)的類型.（2）代換（配湊）法――已知形如的表達式，求的表達式。這里值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應是的值域。（3）方程的思想――對已知等式進行賦值，得到關于及另外一個函數(shù)的方程組。Ⅲ求定義域:使函數(shù)解析式有意義(如:分母?偶次根式被開方數(shù)?對數(shù)真數(shù)?底數(shù)?零指數(shù)冪的底數(shù)?)實際問題有意義;若f(x)定義域為[a,b],復合函數(shù)f[g(x)]定義域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定義域為[a,b],則f(x)定義域相當于x∈[a,b]時g(x)的值域；Ⅳ求值域:①配方法；②逆求法（反求法）；③三角有界法；④單調(diào)性法；⑤數(shù)形結(jié)合；⑥換元法：運用換元法時，要特別注意新元的取值范圍；⑦分離參數(shù)法;⑧不等式法――利用基本不等式求函數(shù)的最值。⑨判別式法；=10\*GB3⑩導數(shù)法.Ⅴ解應用題:審題(理順數(shù)量關系)、建模、求模、驗證.Ⅵ恒成立問題:分離參數(shù)法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問題.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;Ⅶ利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。如：若，滿足，則的奇偶性是______（答：奇函數(shù)）；23、函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義是指：曲線在點處切線的斜率,即,切線方程為.24、常見函數(shù)的導數(shù)公式:(為常數(shù))；．25、導數(shù)應用:⑴過某點的切線不一定只有一條;⑵研究單調(diào)性步驟:分析y=f(x)定義域;求導數(shù);解不等式f/(x)≥0得增區(qū)間;解不等式f/(x)≤0得減區(qū)間;注意f/(x)=0的點;⑶求極值、最值步驟:求導數(shù);求的根;檢驗在根左右兩側(cè)符號,若左正右負,則f(x)在該根處取極大值;若左負右正,則f(x)在該根處取極小值;把極值與區(qū)間端點函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的是最小值.特別提醒：（1）是極值點的充要條件是點兩側(cè)導數(shù)異號，而不僅是＝0，＝0是為極值點的必要而不充分條件。（2）給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！千萬別上當噢.三、數(shù)列26、,注意一定要驗證a1是否包含在an中,從而考慮要不要分段.27、;在等差數(shù)列中;仍成等差數(shù)列；28、首項為正的遞減(或首項為負的遞增)等差數(shù)列前n項和最大(或最小)問題,轉(zhuǎn)化為解不等式組,或用二次函數(shù)處理;(等比前n項積?……).29、等差數(shù)列;;等比數(shù)列中;當q=1,Sn=na1；當q≠1,Sn==.30、常用性質(zhì)：等差數(shù)列中：；若，則；等比數(shù)列中：；若，則；31、常見數(shù)列：{an}、{bn}等差則{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比則{kan}(k≠0)、、{anbn}、等比;{an}等差,則(c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,則{logcbn}(c>0且c1)等差.32、三數(shù)等差可設為;四數(shù);等比三數(shù)可設；四個數(shù)成等比的錯誤設法：(為什么？q2>0)33、等差數(shù)列的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等差數(shù)列,公差為；等比數(shù)列的任意連續(xù)m項的和（且不為零時）構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等比數(shù)列,公比為.注：公比為-1，n為偶數(shù)時就不對，此時、-、-、…不成等比數(shù)列？34、等差數(shù)列,①項數(shù)2n時,S偶-S奇＝nd;項數(shù)2n-1時,S奇-S偶＝an;②項數(shù)為時，則;項數(shù)為奇數(shù)時，.35、求和常法:公式、分組、裂項相消、錯位相減法、倒序相加法.關鍵是要找準通項結(jié)構(gòu).在等差數(shù)列中求；在應用等比數(shù)列求前n項和時，需要分類討論：時，；時，.在等比數(shù)列中你還要時刻注意到.常見和：，，；.你還記得常用裂項形式(拆項消去法)嗎？如：；；；;；;;常見放縮公式：．36、求通項常法:（1）已知數(shù)列的前n項和,你現(xiàn)在會求通項了嗎？（2）先猜后證;（3）疊加法(迭加法)：；疊乘法(迭乘法)：.（4）構(gòu)造法(待定系數(shù)法):形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列。（5）涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決.高中數(shù)學資料共享群（734924357）（6）倒數(shù)法形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。37、“分期付款”中的單利問題、復利問題你熟悉嗎？四、三角38、一般說來，周期函數(shù)加絕對值或平方，其周期減半．（如的周期都是,但的周期為，的周期為）．弧長公式,扇形面積公式,1弧度.39、函數(shù)y=b（）①五點法作圖;②振幅?相位?初相?周期T=,頻率?=kπ時奇函數(shù);=kπ+時偶函數(shù).③對稱軸處y取最值,對稱中心處y為0;（問問自己：正弦曲線、余弦曲線、正切曲線的對稱軸、對稱中心你熟記了嗎？）求單調(diào)區(qū)間：①確保x系數(shù)為正；②讓角進入單調(diào)區(qū)間;④變換:正左移負右移；b正上移負下移;;.40、解斜三角形,易得：,①;;;②銳角中,,;類比得鈍角結(jié)論．③,射影定理；④正弦定理:;內(nèi)切圓半徑r=;⑤余弦定理：;=6\*GB3⑥,=7\*GB3⑦術語:坡度、仰角、俯角、方位角、方向角.41、在三角中，這些統(tǒng)稱為1的代換，常數(shù)“1”的代換有著廣泛的應用．42、誘導公式簡記:奇變偶不變,符號看象限．(注意：公式中始終視a為銳角)記住奇,偶,象限指什么？三角函數(shù)“正號”記憶口訣：“一全正二正弦,三兩切四余弦”．43、重要公式：如；；;;.巧變角(角的拆拼)：如，，，，等.高中數(shù)學資料共享群（734924357）44、輔助角公式：(其中角所在的象限由a,b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩向量的夾角、兩條異面直線所成的角等時，你要注意到它們各自的取值范圍及意義：=1\*GB3①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次是；②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是；③向量的夾角的取值范圍是.五、平面向量45、向量定義、向量模、零向量、單位向量、逆向量、共線向量、相等向量、平行向量.注意:不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）46、加、減法的平行四邊形與三角形法則:;.47、,向量數(shù)量積的性質(zhì)：設兩個非零向量，,其夾角為,則：①;若，,則,的充要條件要熟記.②；.48、想一想如何求向量的模？在方向上的投影是什么？(是個實數(shù),可正可負可為零!).49、若和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一).特別：＝則是三點P、A、B共線的充要條件。50、三角形中向量性質(zhì)：①過邊的中點：；②為的重心；;③為的垂心,；④為的內(nèi)心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；外心;⑤向量面積公式你記住了嗎？設,．．51、定比分點公式中P分的比為,則=,＞0內(nèi)分;＜0且外分.＝;若λ＝1則＝(+);設P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)則;中點；重心;52、平移公式你記住了嗎?（這可是平移問題最基本的方法）.六、不等式53、如果不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，如果正負號未定，要注意分類討論噢!54、比較大小的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法；(8)圖象法。55、常用不等式：;.利用重要不等式以及變式等求函數(shù)的最值時，你要注意到a，b，且“等號成立”時的條件？積ab或和a＋b其中之一應是定值。注意：①一正二定三等；②積定和最小,和定積最大。常用的方法為：拆、湊、平方.56、(何時取等號？)；|a|≥a；|a|≥－a.57、證法:①比較法:差比:作差--變形(分解或通分配方)--定號.另:商比、平方差比；②綜合法—由因?qū)Ч?③分析法--執(zhí)果索因．基本步驟：要證…需證…,只需證…；④反證法--正難則反。⑤放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的：⑴添加或舍去一些項，如：；.⑵將分子或分母放大（或縮?。?，如：.⑶利用基本不等式，如：；.⑷利用常用結(jié)論：，Ⅰ、；Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度小）⑥換元法：常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：已知，可設；已知，可設()；⑦最值法,如：方程有解(為的值域)；恒成立,恒成立．58、解絕對值不等式:①幾何法(圖像法)②定義法(零點分段法);③兩邊平方;④公式法.不等式的解集的規(guī)范書寫格式是一般要寫成集合的表達式!解指對不等式應該注意指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)的真數(shù)大于零.59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根軸法（穿線法）.注意偶次式與奇次式符號.奇穿偶回。在解含有參數(shù)的不等式時，是要進行討論的（特別是指數(shù)和對數(shù)的底或）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解是…．七、立幾60、位置：①空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定義或反證法;②直線與平面呢?③平面與平面呢?61、你知道三垂線定理的關鍵是一面四直線，垂線是關鍵，垂直三處見，故曰三垂線.62、求空間角：①異面直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：平移以及補形法、向量法。用“平移法”時要注意平移后所得角是所求角或其補角。②直線和平面所成的角：（1）范圍；（2）斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。（3）求法：作垂線找射影或求點線距離（向量法）；③二面角的求法：定義法、三垂線法、垂面法、面積射影法、法向量法。63、平行六面體→直平行六面體→長方體→正四棱柱→正方體間有什么聯(lián)系?三棱錐中:側(cè)棱長相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點在底面射影為底面外心;側(cè)棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底面射影為底面垂心;斜高相等(側(cè)面與底面所成相等)頂點在底面射影為底面內(nèi)心;正棱錐各側(cè)面與底面所成角相等為θ,則:S側(cè)cosθ=S底;正三角形四心?內(nèi)切外接圓半徑?64、空間距離:①異面直線間距離:找公垂線;②平行線與面間距離(兩平行面間距離)→點到面距離:直接法、等體積、轉(zhuǎn)移法、垂面法、向量法.③點到線距離:用三垂線定理作垂線后再求;正四面體(設棱長為)的性質(zhì)：高，全面積，體積；相鄰面所成二面角；外接球半徑；內(nèi)切球半徑.直角四面體的性質(zhì)：(直角四面體—三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體)．在直角四面體中,兩兩垂直,令,則⑴底面三角形為銳角三角形；⑵直角頂點在底面的射影為三角形的垂心；⑶；⑷；⑸；⑹外接球半徑．65、求球面兩點A、B距離:關鍵是求出球心角。①求|AB|;②算球心角∠AOB弧度數(shù);③用公式L球面距離=球心角×R;緯線半徑r＝Rcos緯度.球內(nèi)接長方體;;.66、平面圖形翻折(展開):注意翻折(展開)后在同一平面圖形中角度、長度不變;67、立平斜三角余弦公式,你熟練掌握了嗎?68、常用轉(zhuǎn)化思想:①構(gòu)造四邊形、三角形把問題化為平面問題;②將空間圖展開為平面圖;③割補法;④等體積轉(zhuǎn)化;⑤線線平行線面平行面面平行;⑥線線垂直線面垂直面面垂直;⑦有中點等特殊點線,用“中位線、重心”轉(zhuǎn)化.69、長方體:對角線長;正方體和長方體外接球直徑=體對角線長;已知長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有或；若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為,則有高中數(shù)學資料共享群（734924357）或．八、解析70、解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)。要注意，但誰也別忘了它還是幾何，要注意畫圖。71、傾斜角,.斜率.當，但是直線是存在的.直線在坐標軸上的截矩可正，可負，也可為0。（截距不是距離”！）直線方程:點斜式;斜截式;一般式:;兩點式:;截距式:(a≠0,b≠0);求直線方程時要防止由于零截距和無斜率造成丟解,(由局限性，所以設方程的點斜式或斜截式時，就應該先考慮斜率不存在的情形）。直線Ax+By+C=0的方向向量為=(B,-A)=(1,k).72、兩直線平行和垂直你記住了嗎?點線距呢?是什么?到的角;夾角;73、線性規(guī)劃：利用特殊點來判斷.求最值?求范圍?整點問題?（文科）74、圓:⑴圓的標準方程?⑵圓的一般方程圓心為,半徑為;⑶圓的參數(shù)方程：;⑷圓的直徑式方程你會寫嗎?75、若，則P(x0,y0)在內(nèi)(上、外).在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形。圓的幾何性質(zhì)別忘了。76、處理直線與圓的位置關系有兩種方法：（1）點到直線的距離；（2）直線方程與圓的方程聯(lián)立，判別式法。一般來說，前者更簡捷。弦長公式.77、圓與圓的位置關系,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關系．設兩圓的圓心距為,兩圓的半徑分別為：相離公切線有4條；外切公切線有3條；相交公切線有2條；內(nèi)切公切線有1條；內(nèi)含沒有公切線；兩圓同心．78、直線系方程系：過定點、平行、垂直的直線系方程你會設嗎？推廣:橢圓、雙曲線、拋物線?過曲線f1(x,y)=0與曲線f2(x,y)=0交點的曲線系方程為:f1(x,y)+λf2(x,y)=0.過圓：,：交點的圓(相交弦)系方程為．時為兩圓相交弦所在直線方程，即兩圓方程相減可得相交弦所在直線方程；79、圓上動點到某條直線(或某點)的距離的最大、最小值的求法(過圓心).圓上一點,則過點的切線方程為：；圓上點切線方程為.過圓x2+y2=r2外點P(x0,y0)作切線后切點弦方程:x0x+y0y=r2;過圓外點作圓切線有兩條.若只求出一條,則另一條垂直ｘ軸.80、橢圓:①方程;參數(shù)方程;②定義:;注意：當軌跡為線段F1F2;軌跡為;③e=,，橢圓有何特性？④長軸長為2a，短軸長為2b;⑤焦半徑：(“左加右減”);左焦點弦,右焦點弦;⑥通徑(最短焦點弦),焦準距p=;⑦=,當P為短軸端點時∠PF1F2最大,近地點a-c,遠地點a+c;=8\*GB3⑧點在橢圓.高中數(shù)學資料共享群（734924357）81、雙曲線:①方程;等軸雙曲線a=b,.②定義:,注意：是兩射線;無軌跡.③e=,;④四點坐標？x,y范圍?實虛軸、漸近線交點為中心;在不含焦點的區(qū)域.共軛雙曲線有何結(jié)論？⑤焦半徑;、焦點弦用第二定義推(注意左右支及左右焦點不同);到焦點距離?；癁榈綔示€距離;⑥通徑(最短焦點弦),焦準距p;⑦=;⑧漸近線或,令“1”為0即可;焦點到漸近線距離為;82、拋物線:①方程;②定義:;③頂點為焦點到準線垂線段中點;范圍?軸？焦點,準線;④焦半徑，，焦點弦;，；⑤通徑2p(最短的弦),焦準距p.點P在內(nèi)部；⑥已知A、B是拋物線y2=2px上的兩點，且則直線AB過定點M（2p，0）.83、你會用相關點法來求有關的對稱問題嗎？如：求對稱點:關于直線？84、相交弦問題:在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解消元后要注意：二次項的系數(shù)是否為零？判別式的限制．（求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進行）。①用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后,注意用判別式、韋達定理、弦長公式;注意對參數(shù)分類討論和數(shù)形結(jié)合、設而不求思想的運用;注意焦點弦可用焦半徑公式,焦點弦長;其它用弦長公式:②涉及弦中點與斜率問題常用“差分法”.如:曲線(a,b>0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中點為M(x0,y0),則KABKOM=;對拋物線y2=2px(p≠0)有KAB＝.垂直問題:;;.85、軌跡方程:直接法(建系、設點、列式、化簡、定范圍)、定義