八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《1.4 第1課時(shí) 角平分線》教學(xué)設(shè)計(jì)

1．4第1課角分線1．復(fù)習(xí)角平分線的相關(guān)知識(shí)，究歸納角平分線的性質(zhì)和判定定理；(重點(diǎn))2．能夠運(yùn)用角平分線的性質(zhì)和定定理解決問題．難)一、情境導(dǎo)入問題在S區(qū)一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)P它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點(diǎn)兩條路，一條到公路，一條到鐵路．問題1：怎樣修建道路最短？問題2：往哪條路走更近呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：角平分線的性質(zhì)定理【類型一】應(yīng)角平分線的性質(zhì)定理證明線段相等如圖，在△中∠＝°AD是∠BAC的分線，⊥于E，F(xiàn)在AC上，BDDF.求證：(1)CF＝；＝AF＋2EB.

角平分線解析：(1)根角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距，即CDDE.根據(jù)eq\o\ac(△,Rt)CDF≌eq\o\ac(△,Rt)EBD，得CF＝EB(2)用角平分線的性質(zhì)證明ADC和△全等得到AC＝，然后通過線段之間的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明．證明：(1)∵是∠的分，DEAB，DC⊥，DE＝DC.在eq\o\ac(△,Rt)DCFeq\o\ac(△,Rt)DEB中，∵∴eq\o\ac(△,Rt)CDF≌eq\o\ac(△,Rt)EBD(HL)．∴CF＝EB(2)∵AD是∠的分線⊥⊥AC，∴＝DE.在與ADE中∵∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝，∴AB＝AE＋＝＋＝＋＋＝AF＋方法總結(jié)：角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個(gè)重要依據(jù)應(yīng)用時(shí)一定注意是兩垂線段”相等．【類型二】角分線的性質(zhì)定理與三角形面積的綜合運(yùn)用如圖是△ABC的平分線AB，垂足為ES＝，DE＝，AB＝，則AC的長()A．6B．5C．D．3解析：過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC

221的角平分線⊥∴＝DE2∴＝×14×＋××＝，得AC＝故選D.2方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．【類型三】角分線的性質(zhì)定理與全等三角形的綜合運(yùn)用如圖所示是△ABC外∠ACG的分線上的一點(diǎn)DE⊥ACDF⊥CG，足分別為F.求證：＝CF.解析：由角平分線上的性質(zhì)可得DEDF再利用“”明eq\o\ac(△,Rt)CDE和eq\o\ac(△,Rt)CDF全等根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．證明：∵是∠ACG的平線DEAC，⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△和eq\o\ac(△,Rt)中，∵

平分線．解析：先判定eq\o\ac(△,Rt)BDE和Rt△全等，得出DE＝DF，再由角平分線的判可知AD是∠BAC的平分線．證明：∵DE⊥AB的長線于點(diǎn)EDF⊥AC于點(diǎn)F，∴BED＝∠CFD，eq\o\ac(△,∴)BDE與△是直角三角形．在eq\o\ac(△,Rt)BDE和eq\o\ac(△,Rt)CDF，∴Rt△BDE≌eq\o\ac(△,Rt)CDF(HL)，DEDF.DE⊥AB，⊥，∴是∠的分線．方法總結(jié)：證明一條射線是角平分線的方法有兩種：一是利用三角形全等證明兩角相等；二是角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上．【類型二】角分線的性質(zhì)和判定的綜合如圖所示，ABC中，＝，是∠

CD＝CD，∴Rt△CDE≌eq\o\ac(△,Rt)CDF(HL)，CE＝CF.DE＝DF，方法總結(jié)：全等三角形的判定離不開邊，而

BAC的分線，DE⊥AB，⊥AC垂足分別是、F.下面給出四個(gè)結(jié)論平分∠EDF＝AF③上的到B、C兩點(diǎn)距離相等；④到AE角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的主要依據(jù)，可作為判定三角形全等的條件．探究點(diǎn)二：角平分線的判定定理【類型一】角平分線的判定如圖＝⊥AB的長線于點(diǎn)E，DF⊥AC于F，且DB＝，證AD是∠的

AF距離相等的點(diǎn)到DEDF的離也相等其中正確的結(jié)論有()A．1個(gè)B．個(gè)C．3個(gè)D4個(gè)解析：由AD平分∠BAC，⊥，DF⊥AC可得DE＝DF由易eq\o\ac(△,得)ADE≌△ADF故∠ADE∠，AD平∠EDF正②AE＝AF正中垂線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等，故③正確；∵④到AE、AF距相等的點(diǎn)，在的角平分線AD上，到DE、DF的離相等的點(diǎn)在的平分

線DA上，者同一條直線上，所以到、DF的距離也相等正確④確②④都正確選D.方法總結(jié)：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)或判定時(shí)，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線段或角相等．【類型三】添輔助線解決角平分線的問題如圖eq\o\ac(△,，)ABC的ABC和ACB的外角平分線交于點(diǎn)求：是∠BAC的平分線．

(1)找出圖中相等的線段；(2)OE分是點(diǎn)O到∠兩的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．解析(1)由垂直平分線的性質(zhì)得出相等的線段；(2)由件可證eq\o\ac(△,明)≌△AOD，得AO平分∠DAC，據(jù)角平分線的性可得OEOF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分OC＝，AO＝，AC＝BC＝＝；(2)OE＝OF，由如下：在AOC和中，解析：分別過點(diǎn)D作DE、DF、DG垂直AB、

∵

AD，OD，∴△AOC≌AOD(SSS)∴∠CAO∠BC、AC，垂足分別為EFG，后利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可知DEDG再利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上來證明．證明分別過作DE垂于AB、AC，垂足分別為E、、∵平分CBEDE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同DGDF，∴DEDG，∴點(diǎn)D在∠BAC的平線上AD是∠的平分線．方法總結(jié)：在遇到角平分線的問題時(shí)，往往過角平分線上的一點(diǎn)作角兩邊的垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)解決問題．【類型四】線垂直平分線與角平分線的綜合運(yùn)用如圖在邊形ADBC中AB與CD互垂直平分，垂足為點(diǎn)O.

AO＝AO，DAO.又∵⊥，⊥，OEOF.方法總結(jié)：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關(guān)鍵．三、板書設(shè)計(jì)1．平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．2．平分線的判定定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．本節(jié)課由于