2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點23圓錐曲線綜合應(yīng)用原卷版

考點23圓錐曲線綜合應(yīng)用（核心考點講與練）1.求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.2.定點的探索與證明問題(1)探索直線過定點時，可設(shè)出直線方程為y＝kx＋b，然后利用條件建立b，k等量關(guān)系進行消元，借助于直線系的思想找出定點.(2)從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關(guān).3.求解范圍問題的方法求范圍問題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個變量的目標函數(shù)，通過求這個函數(shù)的值域確定目標的范圍，要特別注意變量的取值范圍.4.圓錐曲線中常見最值的解題方法(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，最值常用均值不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.5.圓錐曲線的弦長設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).1.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略（1）求代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值.（2）求點到直線的距離為定值：利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得.（3）求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得.2.圓錐曲線中定點問題的兩種解法（1）引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.（2）特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).3.圓錐曲線中常見的最值問題及其解法（1）兩類最值問題：①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關(guān)的一些問題.（2）兩種常見解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.4.存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.解決存在性問題應(yīng)注意以下幾點：（1）當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；（2）當給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；（3）當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑.5.解決直線與圓錐曲線的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、圓錐曲線的條件；（2）強化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．6.解答圓錐曲線問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).7..圓錐曲線中的證明問題常見的有：(1)位置關(guān)系方面的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過定點等.(2)數(shù)量關(guān)系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過相關(guān)的代數(shù)運算證明，但有時也會用反證法證明.8.有關(guān)弦的三個問題(1)涉及弦長的問題，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求計算弦長；(2)涉及垂直關(guān)系往往也是利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求簡化運算；(3)涉及過焦點的弦的問題，可考慮利用圓錐曲線的定義求解.9.求解與弦有關(guān)問題的兩種方法(1)方程組法：聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，消元(x或y)成為二次方程之后，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，建立等式關(guān)系或不等式關(guān)系.(2)點差法：在求解圓錐曲線且題目中已有直線與圓錐曲線相交和被截線段的中點坐標時，設(shè)出直線和圓錐曲線的兩個交點坐標，代入圓錐曲線的方程并作差，從而求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程.“點差法”的常見題型有：求中點弦方程、求(過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直平分線問題.必須提醒的是“點差法”具有不等價性，即要考慮判別式Δ是否為正數(shù).定值問題1.（2022·河南·二模（文））已知點，直線l：y=4，P為曲線C上的任意一點，且是P到l的距離的.(1)求曲線C的方程；(2)若經(jīng)過點F且斜率為的直線交曲線C于點M?N，線段MN的垂直平分線交y軸于點H，求證：為定值.2.（2021廣東省深圳市第七高級中學(xué)高三第二次月考）拋物線：的焦點為F，過點F的直線與拋物線交于M，N兩點，弦的最小值為2.（1）求拋物線E的標準方程；（2）設(shè)點Q是直線上的任意一點，過點的直線l與拋物線E交于A，B兩點，記直線AQ，BQ，PQ的斜率分別為，，，證明：為定值.3.（2021四川省雙流中學(xué)高三上學(xué)期10月月考）已知，分別是橢圖：的左，右焦點，的頂點都在橢圓上，且邊，分別經(jīng)過點，.當點在軸上時，為直角三角形且面積為.（1）求的方程；（2）設(shè)、兩點的橫坐標分別為、，求證：為定值.定點問題1.（2021“四省八?！备呷蠈W(xué)期期中質(zhì)量檢測）已知橢圓的方程為：（），離心率為，橢圓上的動點到右焦點距離的最大值為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過右焦點作不平行于軸的直線交橢圓于、兩點，點關(guān)于軸對稱點為，求證：直線過定點.2.（2021四川省成都市石室中學(xué)高三上學(xué)期期中）設(shè)拋物線的焦點為，過焦點作直線交拋物線于，兩點．（1）若，求直線的方程；（2）設(shè)為拋物線上異于，的任意一點，直線，分別與拋物線的準線相交于，兩點，求證：以線段為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點．最值與范圍問題1.（2021四川省攀枝花市高三第一次統(tǒng)考）已知雙曲線的兩個焦點分別為，，動點滿足.（1）求動點的軌跡的方程；（2）若軌跡上存在兩點，滿足（，分別為直線，的斜率），求直線的斜率的取值范圍.2.（2021浙江省紹興市第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）設(shè)點，分別是橢圓的左?右焦點，.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，作，分別交直線于，兩點，求四邊形面積的最大值.圓錐曲線弦長1．（多選）（2022·廣東潮州·二模）已如斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線的焦點且與此拋物線交于，兩點，，直線l與拋物線交于M，N兩點，且M，N兩點在y軸的兩側(cè)，現(xiàn)有下列四個命題，其中為真命題的是（

）．A．為定值 B．為定值C．k的取值范圍為 D．存在實數(shù)k使得2．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知橢圓T：的長軸長是短軸長的2倍，過左焦點F作傾斜角為45°的直線交T于A，B兩點，若，則橢圓T的方程為______．探究性問題1.（安徽省合肥市肥東縣第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期12月第四次檢測）已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的長半軸長為2，且經(jīng)過點；過點的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l，滿足，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.2.（2021湖南長沙一中、廣東深圳實驗高三期中聯(lián)考）設(shè)雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，漸近線分別為l1，l2，過F2作漸近線的垂線，垂足為P，且△OPF1的面積為．（1）求雙曲線C的離心率；（2）動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點（A，B分別在第一、四象限），且△OAB的面積恒為8，是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線C，若存在，求出雙曲線C的方程；若不存在，說明理由．1.（2019年全國統(tǒng)一高考（新課標Ⅱ））若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A.2 B.3C.4 D.82.（2019年全國統(tǒng)一高考（新課標Ⅲ））已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.3.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標Ⅱ））已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.4.（2019年全國統(tǒng)一高考（新課標Ⅱ））已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.5.（2019年全國統(tǒng)一高考（新課標Ⅱ））已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.一、單選題1．（2022·遼寧丹東·一模）直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，若使的直線有且僅有1條，則（

）A． B． C．1 D．22．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）已知，曲線：，拋物線：，拋物線：，且，，有且僅有一個公共點，則的最小值為（

）A．2 B．1 C．4 D．3．（2022·全國·三模（理））已知拋物線C：的焦點為F，直線l與拋物線C交于A，B兩點，線段AB的中點為，則點F到直線l的距離為（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知F是拋物線C：的焦點，A，B是拋物線C上不同的兩點，O為坐標原點，若，，垂足為M，則面積的最大值為（

）A．6 B．3 C． D．5．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知橢圓C：的上、下頂點分別為A，B，點在橢圓C上，若點滿足，，則（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知橢圓與直線交于、兩點，且，為的中點，若是直線上的點，則（

）A．橢圓的離心率為 B．橢圓的短軸長為C． D．到的兩焦點距離之差的最大值為7．（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)二模）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的離心率為，且雙曲線的左焦點在直線上，、分別是雙曲線的左、右頂點，點是雙曲線的右支上位于第一象限的動點，記、的斜率分別為、，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的方程為C．為定值 D．存在點，使得8．（2022·湖南永州·三模）已知拋物線:與圓:，點在拋物線上，點在圓上，點，則（

）A．的最小值為B．最大值為C．當最大時，四邊形的面積為D．若的中點也在圓上，則點的縱坐標的取值范圍為9．（2022·山東棗莊·一模）已知橢圓：，過橢圓的左焦點的直線交于A，B兩點（點在軸的上方），過橢圓的右焦點的直線交于C，D兩點，則（

）A．若，則的斜率B．的最小值為C．以為直徑的圓與圓相切D．若，則四邊形面積的最小值為10．（2022·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）雙曲線的虛軸長為2，為其左右焦點，是雙曲線上的三點，過作的切線交其漸近線于兩點.已知的內(nèi)心到軸的距離為1.下列說法正確的是（

）A．外心的軌跡是一條直線B．當變化時，外心的軌跡方程為C．當變化時，存在使得的垂心在的漸近線上D．若分別是中點，則的外接圓過定點三、填空題11．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知橢圓的離心率為,直線與橢圓交于,兩點,當?shù)闹悬c為時,直線的方程為___________.12．（2022·河南許昌·三模（文））已知雙曲線的焦距為，直線在第一象限交雙曲線C的右支于點A，且，則實數(shù)k的取值范圍是_______13．（2022·山東濟寧·二模）已知直線過定點A，直線過定點B，與的交點為C，則的最大值為___________.14．（2021·全國·模擬預(yù)測（理））已知，，是拋物線上三個不同的點，且拋物線的焦點是△ABC的重心，若直線，，的斜率存在且分別為，，，則______．15．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，分別過，作斜率為2的直線交C在x軸上半平面部分于P，Q兩點．記面積分別為，若，則雙曲線C的離心率為_____________．四、解答題16．（2022·河南河南·三模（理））已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，離心率為，長軸長為4．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線的過定點，若橢圓上存在兩點，關(guān)于直線對稱，求直線斜率的取值范圍．17．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（理））若四點恰有三點在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)動直線與橢圓交于兩點，中點為，連（其中為坐標原點）交橢圓于兩點，證明：．18．（2022·湖南·長郡中學(xué)一模）已知拋物線：（）和圓C：，點是上的動點，當直線的斜率為時，的面積為．(1)求拋物線的方程；(2)若、是軸上的動點，且圓是的內(nèi)切圓，求面積的最小值．19．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知拋物線，直線l經(jīng)過點，并與拋物線交于A，B兩點，．(1)證明：；(2)若直線AN，BN分別交y軸于P，Q兩點，設(shè)△OPA的面積為，△OQB的面積為，求的最小值．20．（2022·重慶·二模）已知橢圓的左焦點為，不過坐標原點O且不平行于坐標軸的直線l與橢圓C有兩個交點A，B，線段的中點為Q，直線的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.(1)求橢圓C的方程