高考理科數學 《解三角形》題型歸納與訓練

第2020年高考理科數學《解三角形》題型歸納與訓練【題型歸納】題型一正弦定理、余弦定理的直接應用例1QUOTE????????的內角，，的對邊分別為，，，已知QUOTE??????(??+??)=8??????2??2．(1)求(2)若，面積為2，求．【答案】（1）（2）．

【解析】由題設及得，故．上式兩邊平方，整理得，解得（舍去），.（2）由得，故．又，則．由余弦定理及得．所以．

【易錯點】二倍角公式的應用不熟練，正余弦定理不確定何時運用【思維點撥】利用正弦定理列出等式直接求出例2的內角的對邊分別為,若,則.【答案】【解析】.【易錯點】不會把邊角互換，尤其三角恒等變化時，注意符號?！舅季S點撥】邊角互換時，一般遵循求角時，把邊換成角；求邊時，把角轉換成邊。例3在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2,3)π，則S△ABC＝________.【答案】eq\f(\r(3),4)【解析】因為c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(1,sinB)＝eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝2，即sinB＝eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(π,6)，所以A＝π－eq\f(π,6)－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,6).所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4).【易錯點】大邊對大角，應注意角的取值范圍【思維點撥】求面積選取公式時注意，一般選取已知角的公式，然后再求取邊長。題型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀例1在中，角的對邊分別為，且成等差數列(1)若，求的面積(2)若成等比數列，試判斷的形狀【答案】(1)(2)等邊三角形【解析】(1)由A，B，C成等差數列，有2B＝A＋C(1)因為A，B，C為△ABC的內角，所以A＋B＋C＝π．(2)得B＝，b2＝a2＋c2－2accosB(3)所以解得或(舍去)所以(2)由a，b，c成等比數列，有b2＝ac(4)由余弦定理及(3)，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac再由(4)，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0。因此a＝c從而A＝C(5)由(2)(3)(5)，得A＝B＝C＝所以△ABC為等邊三角形．【易錯點】等差數列，等比數列容易混淆【思維點撥】在三角形中，三邊和三角都是實數，三個數很容易聯(lián)想到數列的三項，所以，三角函數與數列的結合也是較為常見的問題，解答中注意幾個常見結論，此類問題就不難解答了.例2在△ABC中，已知，，試判斷△ABC的形狀?！敬鸢浮康冗吶切巍窘馕觥浚?，所以，所以，即，因而；由得。所以，△ABC為等邊三角形。【易錯點】條件的轉化運用【思維點撥】判定三角形形狀時，一般考慮兩個方向進行變形：（1）一個方向是邊，走代數變形之路，通常是正、余弦定理結合使用；（2）另一個方向是角，走三角變形之路.通常是運用正弦定理題型三與三角形中有關的不等式問題例1△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為.（1）求;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.【答案】（1）；（2）【解析】【易錯點】不會利用將角的關系轉化為邊的關系【思維點撥】在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關系轉化為角的關系，有時需將角的關系轉化為邊的關系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉化為角的關系，建立函數關系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.例2已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊,.(1)求A的大??；(2)若a＝7,求△ABC的周長的取值范圍．【答案】(1)(2)(14,21]【解析】(1)由正弦定理得：；(2)由已知：,,,由余弦定理當且僅當b＝c＝7時等號成立,∴,又∵b＋c＞7,∴7＜b＋c≤14,從而△ABC的周長的取值范圍是(14,21]．【易錯點】求周長范圍的問題，應先用余弦定理列出等式，再根據基本不等式求出所求問題.【思維點撥】周長問題也可看做是邊長問題的延伸,所以在解決周長相關問題時,著眼于邊長之間的關系,結合邊長求最值(范圍)的解決方式,通常都能找到正確的解題途徑.例3△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2c-a=2bcosA.(1)求角B的大小;(2)若b=23,求a+c的最大值.【答案】(1)B=（2）43【解析】:(1)∵2c-a=2bcosA,∴根據正弦定理,得2sinC-sinA=2sinBcosA.①∵A+B=π-C,∴sinC=sin(A+B)=sinBcosA+cosBsinA,代入①式,得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA-sinA,化簡得(2cosB-1)sinA=0.∵A是三角形的內角,∴sinA>0,∴2cosB-1=0,解得cosB=12∵B∈(0,π),∴B=.(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得12=a2+c2-ac.∴(a+c)2-3ac=12,∴12≥(a+c)2-34(a+c)2,當且僅當a=c=23∴a+c≤43【易錯點】涉及到最值問題時,常利用基本不等式或表示為三角形的某一內角的三角函數形式求解.(1)根據正弦定理與兩角和的正弦公式,化簡條件等式,可得(2cosB-1)sinA=0,結合sinA>0得到cosB,從而解出B;(2)由余弦定理,可得出12=a2+c2-ac.再利用基本不等式求最大值.【思維點撥】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根據正弦定理、余弦定理列出關于未知元素的方程,通過解方程求得未知元素;正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現三角形邊角關系的互化,解題時可以把已知條件化為角的三角函數關系,也可以把已知條件化為三角形邊的關系;涉及到最值問題時,常利用基本不等式或表示為三角形的某一內角的三角函數形式求解.題型四解三角形的實際應用例1在某次測量中，在A處測得同一平面方向的B點的仰角是50°，且到A的距離為2，C點的俯角為70°，且到A的距離為3，則B、C間的距離為()A.eq\r(16)B.eq\r(17)C.eq\r(18)D.eq\r(19)【答案】D【解析】因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝eq\r(19).【易錯點】沒有正確理解題意，不能將應用轉化為可計算的三角模型【思維點撥】正弦定理、余弦定理及其在現實生活中的應用是高考的熱點，主要利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形的度量問題以及幾何計算的實際問題，常與三角變換、三角函數的性質交匯命題例2設甲、乙兩樓相距，從乙樓底望甲樓頂的仰角為，從甲樓頂望乙樓頂的俯角為，則甲、乙兩樓的高分別是（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】設甲樓為，乙樓為，如圖，在，，在中，設，由余弦定理得：，即，解得，則甲、乙兩樓的高分別是，【易錯點】沒有正確理解題意，不能將應用轉化為可計算的三角模型【思維點撥】正弦定理、余弦定理及其在現實生活中的應用是高考的熱點，主要利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形的度量問題以及幾何計算的實際問題，常與三角變換、三角函數的性質交匯命題【鞏固訓練】題型一正弦定理、余弦定理的直接應用1.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，已知a=2，2sinA=sinC=時，求b及c的長【答案】b=或2；?！窘馕觥慨攁=2，2sinA=sinC時，由正弦定理，得c=4由sinC=，及0＜C＜π得cosC=±由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±b-12=0解得b=或2所以或2.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（I）證明：A=2B；（II）若△ABC的面積，求角A的大小.【答案】（1）略（2）或．【解析】（I）由正弦定理得故于是，又,故所以或因此（舍去）或所以，（II）由得，故有，因為，得．又，，所以．當時，；當時，．綜上，或．3.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（=1\*ROMANI）求C；（=2\*ROMANII）若的面積為，求的周長．【答案】（=1\*ROMANI）；（II）【解析】（I）由已知及正弦定理得，，．故．可得，所以．(II)由已知，.又，所以.由已知及余弦定理得，.故，從而.所以的周長為題型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀1.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】因為c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sin B·cosA，所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcos B＝2sinAcosA－sinBcosA，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，所以A＝eq\f(π,2)或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC為等腰或直角三角形．2.在△ABC中,若sinA=2cosBsinC,則△ABC的形狀是.

【答案】等腰三角形【解析】由已知等式得a=2·eq\f(c2＋a2－b2,2ac)·c,所以a2=a2+c2-b2,所以c2=b2,即c=b.故△ABC為等腰三角形.3.△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若eq\f(c,b)＜cosA，則△ABC為()．A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等邊三角形【答案】A【解析】依題意，得eq\f(sinC,sinB)＜cosA，sinC＜sinBcosA，所以sin(A＋B)＜sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，所以cosBsinA＜0.又sinA＞0，于是有cosB＜0，B為鈍角，△ABC是鈍角三角形，選A.題型三與三角形有關的不等式問題1.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.(1)求證：a，b，c成等比數列；(2)若b＝2，求△ABC的面積的最大值．【答案】（1）略（2）eq\r(3).【解析】(1)證明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC，化簡，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，∴a，b，c成等比數列．(2)由(1)及題設條件，得ac＝4.則cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)≥eq\f(2ac－ac,2ac)＝eq\f(1,2)，當且僅當a＝c時，等號成立．∵0<B<π，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)≤eq\r(1－\f(1,2)2)＝eq\f(\r(3),2).∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∴△ABC的面積的最大值為eq\r(3).2在中，內角的對邊分別為已知.(1).求角A的大??；(2).若，的面積為，求的值．【答案】(1).(2).【解析】(1).由已知得，化簡得，整理得，即，由于，則，所以．(2).因為，所以．根據余弦定理得，即，所以3.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足cos2C－cos2A＝2sin(1)求角A的大??；(2)若a＝eq\r(3)，且b≥a，求2b－c的取值范圍．【答案】（1）A＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).（2）[eq\r(3)，2eq\r(3))【解析】(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝，化簡得sin2A＝eq\f(3,4)，∴sinA＝±eq\f(\r(3),2)，又0<A<π，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，故A＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).(2)由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝2sinB，c＝2sinC，因為b≥a，所以B≥A，所以A＝eq\f(π,3)，故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sin＝3sinB－eq\r(3)cosB＝2eq\r(3)sin.因為b≥a，所以eq\f(π,3)≤B<eq\f(2π,3)，所以eq\f(π,6)≤B－eq\f(π,6)<eq\f(π,2)，所以2b－c的取值范圍為[eq\r(3)，2eq\r(3))．題型四解三角形的實際應用1.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()．A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里【答案】A【解析】如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．2.要測量對岸兩點之間的距離，選取相距的兩點，并測得，，，，求之間的距離.【答案】【解析】如圖所示，在中，，，.在中，，，∴.中，由余弦定理，得，所以.∴，之間的距離為.3.如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時氣球的高是，則河流的寬度等于A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴回歸課本:高考數學考前100個提醒一、集合與簡易邏輯1、區(qū)分集合中元素的形式，如，，.解題時要利用數形結合思想盡可能地借助數軸、直角坐標系或韋恩圖等工具；2、已知集合A、B，當時，切記要注意到“極端”情況：或；求集合的子集時別忘記；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、含n個元素的有限集合的子集個數為,真子集為其非空子集、非空真子集的個數依次為4、反演律(摩根律)：.容斥原理:card（）=card（A）+card（B）-card（）.5、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U.6、補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題(正難則反)。7、原命題:;逆命題:;否命題:；逆否命題:；要注意利用“互為逆否的兩個命題是等價的”來解題.8、若且，則p是q的充分非必要條件（或q是p的必要非充分條件）;9、注意命題的否定與它的否命題的區(qū)別:命題的否定只否定結論；否命題是條件和結論都否定.命題的否定是；否命題是.10、要熟記真值表噢！常見結論的否定形式如下：原結論否定原結論否定是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有個至多有個小于不小于至多有個至少有個對所有,成立存在某,不成立或且對任何,不成立存在某,成立且或二、函數與導數11、函數:是特殊的對應關系．特殊在定義域和值域都是非空數集！據此可知函數圖像與軸的垂線至多有一個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個．函數的三要素：定義域,值域,對應法則．研究函數的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則．12、一次函數:(k≠0),b=0時是奇函數;依據單調性,利用一次函數在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題.二次函數：①三種形式:一般式(軸-b/2a,頂點?);b=0為偶函數;頂點式(軸?);零點式;②區(qū)間最值:配方后一看開口方向,二討論對稱軸與區(qū)間的相對位置關系;③實根分布:先畫圖再研究△>0、軸與區(qū)間關系、區(qū)間端點函數值符號;反比例函數:平移的對稱中心為(a,b).13、指數式、對數式：，，，，，，，，(對數恒等式).要特別注意真數大于零，底數大于零且不等于1，字母底數還需討論的呀.對數的換底公式及它的變形，.14、你知道函數嗎？該函數在或上單調遞增；在或上單調遞減，求導易證，這可是一個應用廣泛的函數！對號函數是奇函數,;,.要熟悉其圖像噢.15、確定函數單調性的方法有定義法、導數法、圖像法和特值法(用于小題)等．注意：①.能推出為增函數，但反之不一定。如函數在上單調遞增，但，∴是為增函數的充分不必要條件。②.單調區(qū)間是最大范圍，注意一定不能寫成“并”.③.復合函數由同增異減判定、圖像判定.作用:比大小,解證不等式.16、奇偶性：f(x)是偶函數，脫號性，避免討論;f(x)是奇函數f(-x)=-f(x);定義域含零的奇函數必定過原點(f(0)=0);定義域關于原點對稱是為奇函數或偶函數的必要而不充分條件。奇函數在對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性；偶函數則為相反的單調性；注意：既奇又偶的函數有無數個(如，只要定義域關于原點對稱即可)．17、周期性:①函數滿足，則是周期為2的周期函數；②若恒成立，則；③滿足條件的函數的周期.18、圖象變換:“左加右減”（注意是針對而言）、“上加下減”(注意是針對而言).①函數的圖象是把的圖象沿軸向左或向右平移個單位得到的；②函數+的圖象是把的圖象沿軸向上或向下平移個單位得到的；③函數的圖象是把函數的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的；④函數的圖象是把函數的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的.19、函數的對稱性:①滿足條件的函數的圖象關于直線對稱；②點關于軸的對稱點為；③點關于軸的對稱點為；④函數關于原點的對稱曲線方程為；⑤點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為；點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為.區(qū)別:若,則圖像關于直線對稱（自對稱）;函數與的圖像關于直線互對稱；兩函數與關于直線互對稱.(由確定).⑥如果函數對于一切，都有，⑦形如的圖像是雙曲線，對稱中心是點.⑧的圖象、的圖象你會畫嗎？20、幾類常見的抽象函數模型：借鑒模型函數進行類比探究。①正比例函數型：；②冪函數型：，；③指數函數型：，；④對數函數型：，；⑤三角函數型：。21、反函數:求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，你別忘記注明該函數的定義域喲?、俸瘮荡嬖诜春瘮档臈l件是一一映射；②奇函數若有反函數則反函數是奇函數；③周期函數、定義域為非單元素集的偶函數無反函數；④互為反函數的兩函數具有相同的單調性；⑤f(x)定義域為A,值域為B,則有還原性：,；⑥單調函數必有反函數，但反之不然，如.原函數與反函數圖象的交點不全在y=x上（如：單調遞減函數），但單調遞增函數則交點都在y=x上；只能理解為在x+a處的函數值。22、題型方法總結Ⅰ判定相同函數:定義域相同且對應法則相同.Ⅱ求函數解析式的常用方法：（1）待定系數法――已知所求函數的類型.（2）代換（配湊）法――已知形如的表達式，求的表達式。這里值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應是的值域。（3）方程的思想――對已知等式進行賦值，得到關于及另外一個函數的方程組。Ⅲ求定義域:使函數解析式有意義(如:分母?偶次根式被開方數?對數真數?底數?零指數冪的底數?)實際問題有意義;若f(x)定義域為[a,b],復合函數f[g(x)]定義域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定義域為[a,b],則f(x)定義域相當于x∈[a,b]時g(x)的值域；Ⅳ求值域:①配方法；②逆求法（反求法）；③三角有界法；④單調性法；⑤數形結合；⑥換元法：運用換元法時，要特別注意新元的取值范圍；⑦分離參數法;⑧不等式法――利用基本不等式求函數的最值。⑨判別式法；=10\*GB3⑩導數法.Ⅴ解應用題:審題(理順數量關系)、建模、求模、驗證.Ⅵ恒成立問題:分離參數法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問題.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;Ⅶ利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。如：若，滿足，則的奇偶性是______（答：奇函數）；23、函數在點處的導數的幾何意義是指：曲線在點處切線的斜率,即,切線方程為.24、常見函數的導數公式:(為常數)；．25、導數應用:⑴過某點的切線不一定只有一條;⑵研究單調性步驟:分析y=f(x)定義域;求導數;解不等式f/(x)≥0得增區(qū)間;解不等式f/(x)≤0得減區(qū)間;注意f/(x)=0的點;⑶求極值、最值步驟:求導數;求的根;檢驗在根左右兩側符號,若左正右負,則f(x)在該根處取極大值;若左負右正,則f(x)在該根處取極小值;把極值與區(qū)間端點函數值比較,最大的為最大值,最小的是最小值.特別提醒：（1）是極值點的充要條件是點兩側導數異號，而不僅是＝0，＝0是為極值點的必要而不充分條件。（2）給出函數極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！千萬別上當噢.三、數列26、,注意一定要驗證a1是否包含在an中,從而考慮要不要分段.27、;在等差數列中;仍成等差數列；28、首項為正的遞減(或首項為負的遞增)等差數列前n項和最大(或最小)問題,轉化為解不等式組,或用二次函數處理;(等比前n項積?……).29、等差數列;;等比數列中;當q=1,Sn=na1；當q≠1,Sn==.30、常用性質：等差數列中：；若，則；等比數列中：；若，則；31、常見數列：{an}、{bn}等差則{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比則{kan}(k≠0)、、{anbn}、等比;{an}等差,則(c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,則{logcbn}(c>0且c1)等差.32、三數等差可設為;四數;等比三數可設；四個數成等比的錯誤設法：(為什么？q2>0)33、等差數列的任意連續(xù)m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等差數列,公差為；等比數列的任意連續(xù)m項的和（且不為零時）構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等比數列,公比為.注：公比為-1，n為偶數時就不對，此時、-、-、…不成等比數列？34、等差數列,①項數2n時,S偶-S奇＝nd;項數2n-1時,S奇-S偶＝an;②項數為時，則;項數為奇數時，.35、求和常法:公式、分組、裂項相消、錯位相減法、倒序相加法.關鍵是要找準通項結構.在等差數列中求；在應用等比數列求前n項和時，需要分類討論：時，；時，.在等比數列中你還要時刻注意到.常見和：，，；.你還記得常用裂項形式(拆項消去法)嗎？如：；；；;；;;常見放縮公式：．36、求通項常法:（1）已知數列的前n項和,你現在會求通項了嗎？（2）先猜后證;（3）疊加法(迭加法)：；疊乘法(迭乘法)：.（4）構造法(待定系數法):形如、（為常數）的遞推數列。（5）涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決.高中數學資料共享群（734924357）（6）倒數法形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。37、“分期付款”中的單利問題、復利問題你熟悉嗎？四、三角38、一般說來，周期函數加絕對值或平方，其周期減半．（如的周期都是,但的周期為，的周期為）．弧長公式,扇形面積公式,1弧度.39、函數y=b（）①五點法作圖;②振幅?相位?初相?周期T=,頻率?=kπ時奇函數;=kπ+時偶函數.③對稱軸處y取最值,對稱中心處y為0;（問問自己：正弦曲線、余弦曲線、正切曲線的對稱軸、對稱中心你熟記了嗎？）求單調區(qū)間：①確保x系數為正；②讓角進入單調區(qū)間;④變換:正左移負右移；b正上移負下移;;.40、解斜三角形,易得：,①;;;②銳角中,,;類比得鈍角結論．③,射影定理；④正弦定理:;內切圓半徑r=;⑤余弦定理：;=6\*GB3⑥,=7\*GB3⑦術語:坡度、仰角、俯角、方位角、方向角.41、在三角中，這些統(tǒng)稱為1的代換，常數“1”的代換有著廣泛的應用．42、誘導公式簡記:奇變偶不變,符號看象限．(注意：公式中始終視a為銳角)記住奇,偶,象限指什么？三角函數“正號”記憶口訣：“一全正二正弦,三兩切四余弦”．43、重要公式：如；；;;.巧變角(角的拆拼)：如，，，，等.高中數學資料共享群（734924357）44、輔助角公式：(其中角所在的象限由a,b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用.在用反三角函數表示直線的傾斜角、兩向量的夾角、兩條異面直線所成的角等時，你要注意到它們各自的取值范圍及意義：=1\*GB3①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次是；②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是；③向量的夾角的取值范圍是.五、平面向量45、向量定義、向量模、零向量、單位向量、逆向量、共線向量、相等向量、平行向量.注意:不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）46、加、減法的平行四邊形與三角形法則:;.47、,向量數量積的性質：設兩個非零向量，,其夾角為,則：①;若，,則,的充要條件要熟記.②；.48、想一想如何求向量的模？在方向上的投影是什么？(是個實數,可正可負可為零!).49、若和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一).特別：＝則是三點P、A、B共線的充要條件。50、三角形中向量性質：①過邊的中點：；②為的重心；;③為的垂心,；④為的內心；向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；外心;⑤向量面積公式你記住了嗎？設,．．51、定比分點公式中P分的比為,則=,＞0內分;＜0且外分.＝;若λ＝1則＝(+);設P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)則;中點；重心;52、平移公式你記住了嗎?（這可是平移問題最基本的方法）.六、不等式53、如果不等式兩邊同時乘以一個代數式，如果正負號未定，要注意分類討論噢!54、比較大小的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用于分數指數冪的代數式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數的單調性；（7）尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法；(8)圖象法。55、常用不等式：;.利用重要不等式以及變式等求函數的最值時，你要注意到a，b，且“等號成立”時的條件？積ab或和a＋b其中之一應是定值。注意：①一正二定三等；②積定和最小,和定積最大。常用的方法為：拆、湊、平方.56、(何時取等號？)；|a|≥a；|a|≥－a.57、證法:①比較法:差比:作差--變形(分解或通分配方)--定號.另:商比、平方差比；②綜合法—由因導果;③分析法--執(zhí)果索因．基本步驟：要證…需證…,只需證…；④反證法--正難則反。⑤放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的：⑴添加或舍去一些項，如：；.⑵將分子或分母放大（或縮小），如：.⑶利用基本不等式，如：；.⑷利用常用結論：，Ⅰ、；Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度?。迵Q元法：常用的換元有三角換元和代數換元。如：已知，可設；已知，可設()；⑦最值法,如：方程有解(為的值域)；恒成立,恒成立．58、解絕對值不等式:①幾何法(圖像法)②定義法(零點分段法);③兩邊平方;④公式法.不等式的解集的規(guī)范書寫格式是一般要寫成集合的表達式!解指對不等式應該注意指數函數與對數函數的單調性,對數的真數大于零.59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根軸法（穿線法）.注意偶次式與奇次式符號.奇穿偶回。在解含有參數的不等式時，是要進行討論的（特別是指數和對數的底或）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解是…．七、立幾60、位置：①空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定義或反證法;②直線與平面呢?③平面與平面呢?61、你知道三垂線定理的關鍵是一面四直線，垂線是關鍵，垂直三處見，故曰三垂線.62、求空間角：①異面直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：平移以及補形法、向量法。用“平移法”時要注意平移后所得角是所求角或其補角。②直線和平面所成的角：（1）范圍；（2）斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。（3）求法：作垂線找射影或求點線距離（向量法）；③二面角的求法：定義法、三垂線法、垂面法、面積射影法、法向量法。63、平行六面體→直平行六面體→長方體→正四棱柱→正方體間有什么聯(lián)系?三棱錐中:側棱長相等(側棱與底面所成角相等)頂點在底面射影為底面外心;側棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底面射影為底面垂心;斜高相等(側面與底面所成相等)頂點在底面射影為底面內心;正棱錐各側面與底面所成角相等為θ,則:S側cosθ=S底;正三角形四心?內切外接圓半徑?64、空間距離:①異面直線間距離:找公垂線;②平行線與面間距離(兩平行面間距離)→點到面距離:直接法、等體積、轉移法、垂面法、向量法.③點到線距離:用三垂線定理作垂線后再求;正四面體(設棱長為)的性質：高，全面積，體積；相鄰面所成二面角；外接球半徑；內切球半徑.直角四面體的性質：(直角四面體—三條側棱兩兩垂直的四面體)．在直角四面體中,兩兩垂直,令,則⑴底面三角形為銳角三角形；⑵直角頂點在底面的射影為三角形的垂心；⑶；⑷；⑸；⑹外接球半徑．65、求球面兩點A、B距離:關鍵是求出球心角。①求|AB|;②算球心角∠AOB弧度數;③用公式L球面距離=球心角×R;緯線半徑r＝Rcos緯度.球內接長方體;;.66、平面圖形翻折(展開):注意翻折(展開)后在同一平面圖形中角度、長度不變;67、立平斜三角余弦公式,你熟練掌握了嗎?68、常用轉化思想:①構造四邊形、三角形把問題化為平面問題;②將空間圖展開為平面圖;③割補法;④等體積轉化;⑤線線平行線面平行面面平行;⑥線線垂直線面垂直面面垂直;⑦有中點等特殊點線,用“中位線、重心”轉化.69、長方體:對角線長;正方體和長方體外接球直徑=體對角線長;已知長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有或；若長方體的體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為,則有高中數學資料共享群（734924357）或．八、解析70、解析幾何的本質是用代數的方法研究圖形的幾何性質。要注意，但誰也別忘了它還是幾何，要注意畫圖。71、傾斜角,.斜率.當，但是直線是存在的.直線在坐標軸上的截矩可正，可負，也可為0。（截距不是距離”?。┲本€方程:點斜式;斜截式;一般式:;兩點式:;截距式:(a≠0,b≠0);求直線方程時要防止由于零截距和無斜率造成丟解,(由局限性，所以設方程的點斜式或斜截式時，就應該先考慮斜率不存在的情形）。直線Ax+By+C=0的方向向量為=(B,-A)=(1,k).72、兩直線平行和垂直你記住了嗎?點線距呢?是什么?到的角;夾角;73、線性規(guī)劃：利用特殊點來判斷.求最值?求范圍?整點問題?（文科）74、圓:⑴圓的標準方程?⑵圓的一般方程圓心為,半徑為;⑶圓的參數方程：;⑷圓的直徑式方程你會寫嗎?75、若，則P(x0,y0)在內(上、外).在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形。圓的幾何性質別忘了。76、處理直線與圓的位置關系有兩種方法：（1）點到直線的距離；（2）直線方程與圓的方程聯(lián)立，判別式法。一般來說，前者更簡捷。弦長公式.77、圓與圓的位置關系,經常轉化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關系．設兩圓的圓心距為,兩圓的半徑分別為：相離公切線有4條；外切公切線有3條；相交公切線有2條；內切公切線有1條；內含沒有公切線；兩圓同心．78、直線系方程系：過定點、平行、垂直的直線系方程你會設嗎？推廣:橢圓、雙曲線、拋物線?過曲線f1(x,y)=0與曲線f2(x,y)=0交點的曲線系方程為:f1(x,y)+λf2(x,y)=0.過圓：,：交點的圓(相交弦)系方程為．時為兩圓相交弦所在直線方程，即兩圓方程相減可得相交弦所在直線方程；79、圓上動點到某條直線(或某點)的距離的最大、最小值的求法(過圓心).圓上一點,則過點的切線方程為：；圓上點切線方程為.過圓x2+y2=r2外點P(x0,y0)作切線后切點弦方程:x0x+y0y=r2;過圓外點作圓切線有兩條.若只求出一條,則另一條垂直ｘ軸.80、橢圓:①方程;參數方程;②定義:;注意：當軌跡為線段F1F2;軌跡為;③e=,，橢圓有何特性？④長軸長為2a，短軸長為2b;⑤焦半徑：(“左加右減”);左焦點弦,右焦點弦;⑥通徑(最短焦點弦),焦準距p=;⑦=,當P為短軸端點時∠PF1F2最大,近地點a-c,遠地點a+c;=8\*GB3⑧點在橢圓.高中數學資料共享群（734924357）81、雙曲線:①方程;等軸雙曲線a=b,.②定義:,注意：是兩射線;無軌跡.③e=,;④四點坐標？x,y范圍?實虛軸、漸近線交點為中心;在不含焦點的區(qū)域.共軛雙曲線有何結論？⑤焦半徑;、焦點弦用第二定義推(注意左右支及左右焦點不同);到焦點距離常化為到準線距離;⑥通徑(最短焦點弦),焦準距p;⑦=;⑧漸近線或,令“1”為0即可;焦點到漸近線距離為;82、拋物線:①方程;②定義:;③頂點為焦點到準線垂線段中點;范圍?軸？焦點,準線;④焦半徑，，焦點弦;，；⑤通徑2p(最短的弦),焦準距p.點P在內部；⑥已知A、B是拋物線y2=2px上的兩點，且則直線AB過定點M（2p，0）.83、你會用相關點法來求有關的對稱問題嗎？如：求對稱點:關于直線？84、相交弦問題:在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解消元后要注意：二次項的系數是否為零？判別式的限制．（求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進行）。①用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后,注意用判別式、韋達定理、弦長公式;注意對參數分類討論和數形結合、設而不求思想的運用;注意焦點弦可用焦半徑公式,焦點弦長;其它用弦長公式:②涉及弦中點與斜率問題常用“差分法”.如:曲線(a,b>0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中點為M(x0,y0),則KABKOM=;對拋物線y2=2px(p≠0)有KAB＝.垂直問題:;;.85、軌跡方程:直接法(建系、設點、列式、化簡、定范圍)、定義法、幾何法、代入法(動點P(x,y)依賴于動點Q(x1,y1)而變化,Q(x1,y1)在已知曲線上,用x、y表示x1、y1,再將x1、y1代入已知曲線即得所求方程即相關點法)、參數法、交軌法等.86、解題注意:①考慮圓錐曲線焦點位置,拋物線還應注意開口方向,以避免錯誤;②求圓錐曲線方程常用待定系數法、定義法、軌跡法;③焦點、準線有關問題常用圓錐曲線定義來簡化運算或證明過程;④運用假設技巧以簡化計算.如:中心在原點,坐標軸為對稱軸的橢圓(雙曲線)方程可設為Ax2+Bx2＝1;共漸近線的雙曲線標準方程可設為為參數,≠0);拋物線y2=2px上點可設為(,y0);直線的另一種假設為x=my+a;⑤解焦點三角形常用正余弦定理及圓錐曲線定義.87、解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容：（1）給出直線的方向向量或．等于已知