函數(shù)同構(gòu)專題（二）教師版

第頁碼82頁/總NUMPAGES總頁數(shù)82頁函數(shù)同構(gòu)專題（二）一．選擇題（共5小題）1．（2019?岳麓區(qū)校級模擬）已知，函數(shù)的最小值為0，則實數(shù)的取值范圍是A．， B． C． D．2．（2020?蚌埠三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，3．（2021春?昆明期末）已知函數(shù)，若對任意，使，則的最大值為A．0 B． C．1 D．4．（2021春?西湖區(qū)校級期中）已知函數(shù)，，若，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．5．（2021?三模擬）已知函數(shù)，當時，恒有，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，二．多選題（共1小題）6．（2021春?濠江區(qū)校級期中）已知函數(shù)，，若，，則的取值可能是A． B． C． D．三．填空題（共9小題）7．（2021春?淇濱區(qū)校級月考）已知，若對于任意的，，不等式恒成立，則的最小值為．8．（2020?福建二模）已知對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍為．9．（2020?重慶模擬）若直線與曲線相切，則的最大值為．10．（2021春?赤峰期末）已知函數(shù)，若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．11．（2020秋?湖北月考）若時，關于不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是．12．（2020秋?上月考）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．13．（2020秋?河北月考）已知函數(shù)在定義域內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是．14．（2020秋?成都期末）已知關于的方程在區(qū)間，上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為．15．（2020秋?連云港月考）已知，若恒成立，則的值是．四．解答題（共29小題）16．（2021春?西湖區(qū)校級期中）設函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的圖象在，處的切線方程；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．17．（2019春?城關區(qū)校級月考）已知函數(shù)，．（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）令，討論的單調(diào)性；（3）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．為自然對數(shù)的底數(shù)，．18．（2014?新課標Ⅰ）設函數(shù)，曲線在點，（1）處得切線方程為．（Ⅰ）求、；（Ⅱ）證明：．19．（2019?黃山一模）已知函數(shù)．（Ⅰ）設是的極值點，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，在定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）當時，證明：20．（2015?新課標Ⅰ）設函數(shù)．（Ⅰ）討論的導函數(shù)零點的個數(shù)；（Ⅱ）證明：當時，．21．（2020秋?潤州區(qū)校級月考）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在，（1）處的切線方程；（2）若，求的取值范圍．22．（2019?漢中二模）已知函數(shù)的圖象在處與軸相切．（1）求的解析式，并討論其單調(diào)性．（2）若，證明：．23．（2020春?岳麓區(qū)校級月考）已知，，為實數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設，求所有的實數(shù)值，使得對任意的，不等式恒成立．24．（2020春?昆明期末）已知函數(shù)．（1）若是的極值點，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：．25．（2020春?昆明期末）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若是的極值點，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：．26．（2020春?安徽期末）已知函數(shù)，．（1）設，是的極值點，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當時，．27．（2019?重慶模擬）已知函數(shù)，．（1）若存在極大值，證明：；（2）若關于的不等式在區(qū)間，上恒成立，求的取值范圍．28．（2019春?雅安期末）已知函數(shù)，（1）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．29．（2020秋?遼寧月考）已知函數(shù)有兩個極值點，，設的導函數(shù)為．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）證明：．30．（2015?長沙校級一模）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，過原點分別作曲線與的切線，，已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：；（3）設，當，時，求實數(shù)的取值范圍．31．（2021?湖北模擬）已知，為常數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．32．（2017?夏邑縣校級模擬）已知函數(shù)，，其中，，為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）若和在區(qū)間內(nèi)具有相同的單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若，且函數(shù)的最小值為，求的最小值．33．（2021?讓胡路區(qū)校級三模）已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求的取值范圍．34．（2020秋?一月考）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）已知實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．35．（2019?深圳二模）已知函數(shù)．（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對任意的，當時，．36．（2020秋?眉山期末）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)），函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．37．（2020?濟寧模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線，在處的切線方程為，求，的值；（Ⅱ）求函數(shù)的極值點；（Ⅲ）設，若當時，不等式恒成立，求的最小值．38．（2020秋?四川月考）已知函數(shù)，．（1）當時，若在點，切線垂直于軸，求證：；（2）若，求的取值范圍．39．（2021?涼州區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，，．（Ⅰ）若在點，的切線傾斜角為，求的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對于任意，，恒成立，求的取值范圍．40．（2021春?渝中區(qū)校級期中）函數(shù)，是的導函數(shù)．（1）若，，證明：；（2）若，且對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．41．（2020秋?常州期末）已知函數(shù)．（1）當函數(shù)在處的切線斜率為時，求的單調(diào)減區(qū)間；（2）當時，，求的取值范圍．42．（2020秋?壽光市校級月考）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）對任意，恒成立，求實數(shù)的最大值．43．（2020?浙江模擬）函數(shù)，（Ⅰ）對任意，，恒成立，求的取值范圍；（Ⅱ）若，對任意，恒成立，求的取值范圍．44．（2021春?鯉城區(qū)校級期末）已知，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．

函數(shù)同構(gòu)專題（二）參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．（2019?岳麓區(qū)校級模擬）已知，函數(shù)的最小值為0，則實數(shù)的取值范圍是A．， B． C． D．【解答】解：由題意知（a），即．由于當時，不等式；當時，不等式，因此①當時，不符合題意，舍去；②當時，（當時取等號）則，故選：．2．（2020?蚌埠三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：方法一：由可得，設，，，則，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故（1）．①當時，令，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，（1），此時在區(qū)間內(nèi)無零點；②當時，（1），此時在區(qū)間內(nèi)有零點；③當時，令，解得或1或，且，此時在單減，，單增，單減，，單增，當或時，，此時在區(qū)間內(nèi)有兩個零點；綜合①②③知在區(qū)間內(nèi)有零點．方法二：由題意可得，即，因為當時等號成立，所以，即，，令，，易知在單減，在上單增，所以（1），又趨近于0和正無窮時，趨近于正無窮，所以．故選：．3．（2021春?昆明期末）已知函數(shù)，若對任意，使，則的最大值為A．0 B． C．1 D．【解答】解：令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，故，即，，當時取“”，所以的最小值為0，所以，所以的最大值為0，故選：．4．（2021春?西湖區(qū)校級期中）已知函數(shù)，，若，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．【解答】解：由題意，，，則，作函數(shù)的草圖如下，由圖可知，當時，有唯一解，故，且，，設，，則，令，解得，易得當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故（e），即的最大值是．故選：．5．（2021?三模擬）已知函數(shù)，當時，恒有，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解當時,恒有,恒有,即恒有．構(gòu)造函數(shù),,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增．,,,,,,兩邊取自然對數(shù)得,,令,則,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當時,,,的取值范圍為,．故選：．二．多選題（共1小題）6．（2021春?濠江區(qū)校級期中）已知函數(shù)，，若，，則的取值可能是A． B． C． D．【解答】解：，即，①，，②，又在，上單調(diào)遞增，故由①②得，故，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增，故，故選：．三．填空題（共9小題）7．（2021春?淇濱區(qū)校級月考）已知，若對于任意的，，不等式恒成立，則的最小值為．【解答】解：恒成立，令，，故在，上單調(diào)遞增，，，，，，，故恒成立，令，只需，由，故時，的最大值是，故，故的最小值是，故答案為：．8．（2020?福建二模）已知對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍為，．【解答】解：對任意，都有，可得，即，可設，可得上式即為，由，，當時，，遞增；當時，，遞減，則在處取得極小值，且為最小值2，則恒成立，可得在遞增，則恒成立，即有恒成立，可設，，當時，，遞減；當時，，遞增，可得在處取得極大值，且為最大值，則，即的取值范圍是，．故答案為：，．9．（2020?重慶模擬）若直線與曲線相切，則的最大值為．【解答】解：設切點為，，則切線為，所以，，則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即的最大值為，故答案為：．10．（2021春?赤峰期末）已知函數(shù)，若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【解答】解：【方法一：隱零點】的定義域為，顯然在上單調(diào)遞增，當時，，當時，所以函數(shù)在上存在唯一零點，，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在，上單調(diào)遞增，所以，由題意可得，即，因為，所以，因為是增函數(shù)，所以，令，，所以在上單調(diào)遞增，所以（1），故的取值范圍為．【方法二：反函數(shù)】，因為函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，因為互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關于直線對稱，所以恒成立，等價于，令，，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，所以（1），所以，故的取值范圍為．【方法三：同構(gòu)】，令，所以，由因為是增函數(shù)，所以，下同方法一．故答案為．11．（2020秋?湖北月考）若時，關于不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是．【解答】解：令，，當時，在上，，單調(diào)遞增，所以，若時，關于不等式恒成立，則，令，則，即，所以，設為增函數(shù)，所以，即，所以，當時，，，所以，滿足題意，綜上，實數(shù)的取值范圍為，，所以的最大值為．另解：原命題等價于，，令，故原命題等價于，由在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，故，令，則，在上，，單調(diào)遞增，則，所以，所以．故答案為：．12．（2020秋?上月考）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．【解答】解：，函數(shù)的定義域是，若恒成立，則，兩邊加上得到：，單調(diào)遞增，，即，令，，則，時，，遞增，時，，遞減，故，故，故答案為：．13．（2020秋?河北月考）已知函數(shù)在定義域內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是．【解答】解：，定義域是，，令，，當時，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，故存在，使得，即，即①，兩邊取對數(shù)得②，而在遞減，在，遞增，故，故，將①②代入上式得：，化簡得，當且僅當時“”成立，，故，故的取值范圍是，故答案為：．法二：問題轉(zhuǎn)化為無解，即無解，令，單調(diào)遞增，故無解，故無解，即無解，令，則，在遞減，在，遞增，故，又時，，時，，故，，故答案為：．14．（2020秋?成都期末）已知關于的方程在區(qū)間，上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為．【解答】解：因為方程，所以變形為，令，則有，因為在上單調(diào)遞增，所以即為，故當時，有兩個不相等的實數(shù)根，在中，則有，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．15．（2020秋?連云港月考）已知，若恒成立，則的值是．【解答】解：方法一：因為，若恒成立，所以，，，問題轉(zhuǎn)化為，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，，所以，即，令（a），所以問題轉(zhuǎn)化為（a），（a），當時，（a），（a）單調(diào)遞增，當時，（a），（a）單調(diào)遞減，所以當時，（a）（e），方法二：，令，則（a），即（a）為的最大值，又，易知在上單增，在上單減，所以（e），所以．故答案為：．四．解答題（共29小題）16．（2021春?西湖區(qū)校級期中）設函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的圖象在，處的切線方程；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）當時，，，（2分）又，，，（3分）即函數(shù)的圖象在，處的切線方程為．（4分）（2）當時，，．當時，令，（6分）則．令，則，又，（1），所以存在，，使得當，時，，所以當，時，即在，上單調(diào)遞減，所以，這與題意矛盾．（8分）當時，“不等式在區(qū)間上恒成立”等價于：“不等式在區(qū)間上恒成立．”令，即“不等式在區(qū)間上恒成立”．，令，則．（9分）因為當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上最多有一個零點．又因為．所以存在唯一的，使得（c）．（10分）當時，；當時，，即當時，；當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而（c）．（11分）由（c），得，即，兩邊取對數(shù)得，所以（c），所以（c），即，所以不等式在區(qū)間上恒成立．所以的取值范圍為．（12分）17．（2019春?城關區(qū)校級月考）已知函數(shù)，．（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）令，討論的單調(diào)性；（3）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．為自然對數(shù)的底數(shù)，．【解答】解析：（1）函數(shù)，．當時，曲線在點，（1）處有：，（1），（1），所以曲線在點，（1）處的切線方程由點斜式可得：；（2），定義域為：，，①當時，當時，，在單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減；②當時，當或時，，在，上單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減；③當時，在單調(diào)遞增；④當時，當或時，，在，上單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減．綜上：當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（3）當時，，即：恒成立，設，，顯然在上單調(diào)遞增，且（1），所以當時，；當時，．即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（1），所以：，所以的取值范圍為，．18．（2014?新課標Ⅰ）設函數(shù)，曲線在點，（1）處得切線方程為．（Ⅰ）求、；（Ⅱ）證明：．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，，由題意可得（1），（1），故，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，要證，即，，等價于，設函數(shù)，則，當時，；當，時，．故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為．設函數(shù)，則．當時，；當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上的最大值為（1）．綜上，當時，，即．19．（2019?黃山一模）已知函數(shù)．（Ⅰ）設是的極值點，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，在定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）當時，證明：【解答】解：（Ⅰ），是的極值點，，解得：．經(jīng)檢驗符合題意（2分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函數(shù)，其定義域為．（4分）設，則，所以在上為增函數(shù)，又，所以當時，，即；當時，，．所以在上為減函數(shù)；在上為增函數(shù)；因此，的最小值為在定義域內(nèi)恒成立，即（7分）（Ⅲ）證明：要證，即，設，即證，當，時，，故只需證明當時，，當時，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，，故在上有唯一實數(shù)根，且．當時，，當，時，，從而當時，取得最小值．（10分）由，得，，故，綜上，當時，即．（12分）20．（2015?新課標Ⅰ）設函數(shù)．（Ⅰ）討論的導函數(shù)零點的個數(shù)；（Ⅱ）證明：當時，．【解答】解：（Ⅰ）的定義域為，．當時，恒成立，故沒有零點，當時，為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又（a），假設存在滿足時，且，（b），故當時，導函數(shù)存在唯一的零點，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可設導函數(shù)在上的唯一零點為，當時，，當，時，，故在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，最小值為，由于，所以．故當時，．21．（2020秋?潤州區(qū)校級月考）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在，（1）處的切線方程；（2）若，求的取值范圍．【解答】解：（1）當時，，，（1），（1），曲線在點，（1）處的切線方程為，即；（2）方法一：由，可得，即，即，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，（1），，，故的范圍為，．方法二：由可得，，，即，設，恒成立，在單調(diào)遞增，，，即，再設，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），，即，則，此時只需要證，即證，當時，恒成立，當時，，此時不成立，綜上所述的取值范圍為，．方法三：由題意可得，，，易知在上為增函數(shù)，①當時，（1），，存在使得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，（1），不滿足題意，②當時，，，，令，，易知在上為增函數(shù)，（1），當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），即，綜上所述的取值范圍為，．方法四：，，，，易知在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在0，上為減函數(shù)，與在0，上有交點，存在，使得，則，則，即，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，，設，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且（1），當，時，，，時，，設，，，恒成立，在，上單調(diào)遞減，（1），當時，，，．方法五：等價于，該不等式恒成立．當時，有，其中．設（a），則（a），則（a）單調(diào)增，且（1）．所以若成立，則必有．下面證明當時，成立．，把換成得到，，．．方法六：由題意得：，若，則，則，故，令，則，顯然在遞增，故，綜上，．22．（2019?漢中二模）已知函數(shù)的圖象在處與軸相切．（1）求的解析式，并討論其單調(diào)性．（2）若，證明：．【解答】（1）解：由，得切點為，，即，．求導得，當時，，則，即為上的減函數(shù)，當時，，，則，即為上的增函數(shù)．（2）證明：要證原不等式，即證，構(gòu)造函數(shù)，，即證，．，即，，則，．，即為，上的增函數(shù)．當時，，又，，即，故原不等式得證．23．（2020春?岳麓區(qū)校級月考）已知，，為實數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設，求所有的實數(shù)值，使得對任意的，不等式恒成立．【解答】解：（1）．若，則，即在上單調(diào)遞減；若，當時，；當時，．即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）．若，由于，，不符合題意；若，，，不符合題意若，由于單調(diào)遞減且值域為，則存在唯一的正實數(shù)，使得，當時，，當，時，，則，由題設知，一定有：，令．則，（1），且是單調(diào)增函數(shù)，當時，；當時，．所以，（1），②由①②知，故．24．（2020春?昆明期末）已知函數(shù)．（1）若是的極值點，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為，，若是的極值點，則（1），得，即，所以，令，，在上，單調(diào)遞增，又因為（1），所以當時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，即，單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：當時，，定義域為，所以，設，所以在為單調(diào)遞增，又，故，使，即，所以①，可得②，因為在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，將①②代入得：，由均值不等式，因為，故等號不成立，所以，．25．（2020春?昆明期末）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若是的極值點，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：．【解答】解：（1），，是的極值點，（1），解得．此時，，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）證明：當時，，，令，則，即在上單調(diào)遞增，又（1），（2），存在，使得，即，也就是，當時，，，單調(diào)遞減；當，時，，，單調(diào)遞增．，故．26．（2020春?安徽期末）已知函數(shù)，．（1）設，是的極值點，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當時，．【解答】解：（1），則，是的極值點，．，在上單調(diào)遞增．又（3），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）要證，即．，則，故只需證，令，則，在上單調(diào)遞增，且（2），時，，遞減；時，，遞增．（2），即原命題得證．27．（2019?重慶模擬）已知函數(shù)，．（1）若存在極大值，證明：；（2）若關于的不等式在區(qū)間，上恒成立，求的取值范圍．【解答】（1）證明：．．時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值．時，，當時，可得函數(shù)取得極大值．令（a）．．（a），可得當時，函數(shù)（a）取得極小值（1）．（a），．即存在極大值，．（2）解：令，，，（1）．，，在，單調(diào)遞增，（1）．，（1），時，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，（1）．（1），滿足題意．時，存在，使得，時，，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，（1），不滿足題意，舍去．綜上可得：．的取值范圍是，．28．（2019春?雅安期末）已知函數(shù)，（1）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）①當時，恒成立，故在上遞增，最多一個零點，不合題意②當時，，，在上遞增，在上遞減，且時，，時，故要有兩個零點，只需，解得：，綜合①、②可知，的范圍是：．（2）令，①當，恒成立，在上遞增，（1），符合題意；②當時，在上遞增，（1）在上遞增，又（1），若（1），即時，恒成立，同①，符合題意，若（1），即時，存在，使，時，，時，，在遞減，在，上遞增，而（1），故不滿足恒成立，綜上所述，的范圍是：．29．（2020秋?遼寧月考）已知函數(shù)有兩個極值點，，設的導函數(shù)為．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）證明：．【解答】解：（1）當時，，則，（1），（1），切線方程為；（2）證明：的導函數(shù)為，，則，單調(diào)遞增，，，存在，使得，易知，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，有兩個極值點，，，即．30．（2015?長沙校級一模）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，過原點分別作曲線與的切線，，已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：；（3）設，當，時，求實數(shù)的取值范圍．【解答】（1）解：依題意，函數(shù)的定義域為，對求導，得．①若，對一切有，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．②若，當時，；當時，．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）解：設切線的方程為，切點為，，則，，所以，，則．由題意知，切線的斜率為，的方程為．設與曲線的切點為，，則，所以，．又因為，消去和后，整理得．令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．若，因為，，所以，而在上單調(diào)遞減，所以．若，因為在上單調(diào)遞增，且（e），則，所以（舍去）．綜上可知，．（3）證明：，．①當時，因為，所以，在，上遞增，恒成立，符合題意．②當時，因為，所以在，上遞增，且，則存在，使得．所以在上遞減，在，上遞增，又，所以不恒成立，不合題意．（13分）綜合①②可知，所求實數(shù)的取值范圍是，．（14分）31．（2021?湖北模擬）已知，為常數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），當時，在上單調(diào)遞減，當時，由，得，由，得，所以在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）由得，，所以，①當時，由（1）知在，上單調(diào)遞增，所以，②當時，令，則，，，③當時，，由，得，所以時，，從而，由零點存在定理知，存在，，使得，當時，，此時，不合題意，④當時，，由，得，所以，，從而由零點存在定理知，存在，，使得，當時，，此時，不合題意，綜上，，所以的取值范圍為，．32．（2017?夏邑縣校級模擬）已知函數(shù)，，其中，，為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）若和在區(qū)間內(nèi)具有相同的單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若，且函數(shù)的最小值為，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）求導，，，，，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，當時，，即在上單調(diào)遞增，不合題意當時，由，得，由，得，的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為，和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，，解得：，綜上，的取值范圍是，；（Ⅱ）方法一：，由，解得：，設，則，當時，，當，，從而在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，當，即，在上，，，單調(diào)遞減，在上，，，單調(diào)遞增，，設，，，，在，上單調(diào)遞減，，的最小值為0．方法二：，令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，由，可得，設，則，當時，，當，，從而在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，又，故能成立，故，故，的最小值為0．33．（2021?讓胡路區(qū)校級三模）已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），，，①當時，令，得，故在上單調(diào)遞減，令，得，故在上單調(diào)遞增；②當時，令，得，在上單調(diào)遞減，令，得或，故在，上單調(diào)遞增；③當時，在時恒成立，故在單調(diào)遞增；④當時，令，得，故在單調(diào)遞減，令，得或，故在和上單調(diào)遞增；綜上：當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．（Ⅱ）不等式恒成立等價于恒成立，①當時，，則，②當時，，設函數(shù)，則，當時，，此時單調(diào)遞減，當，時，，此時單調(diào)遞增，故，故；③當時，，設函數(shù)，則，當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，故，故，綜上，的取值范圍是，．34．（2020秋?一月考）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）已知實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）因為，故，令，得，令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為（1）．（2）由題意知，即，兩邊同時加上，得，即，設，則，故在上單調(diào)遞增，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，設，則，則當時，，故在上單調(diào)遞增；當時，，故在上單調(diào)遞減，故，故，故實數(shù)的取值范圍為．35．（2019?深圳二模）已知函數(shù)．（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對任意的，當時，．【解答】（1）解：由，得．①當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，由，解得，由，解得，故在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）證明：．令，則．當時，．令，則當時，．當時，單調(diào)遞增，．當時，；當時，；當時，．（1）．即，故．36．（2020秋?眉山期末）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)），函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)定義域為，，，，令，則10減減極小值增所以的減區(qū)間為，；增區(qū)間為所以，函數(shù)有最小值，（Ⅱ）不等式在上恒成立等價于，不等式在上恒成立，故不等式在上恒成立，令，，則當時，，所以在上為增函數(shù)；當時，，所以在上為減函數(shù)；所以，所以．37．（2020?濟寧模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線，在處的切線方程為，求，的值；（Ⅱ）求函數(shù)的極值點；（Ⅲ）設，若當時，不等式恒成立，求的最小值．【解答】解：由得：，，由已知可得：，，，，，所以：當，即時，，在上為增函數(shù)，無極值點，當，即時，則有：當時，，當時，，在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，是的極小值點，無極大值點；綜上可知：當時，函數(shù)無極值點，當時，函數(shù)的極小值點是，無極大值點．，由題意知：當時，恒成立又不等式等價于：即①①式等價于，由令，則原不等式即為：又在上為增函數(shù)，所以，原不等式等價于：，②又②式等價于，即：，設，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，又，當時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，要使原不等式恒成立，須使，當時，則在上為減函數(shù)，要使原不等式恒成立，須使，時，原不等式恒成立，綜上可知：的取值范圍是．所以，的最小值為．38．（2020秋?四川月考）已知函數(shù)，．（1）當時，若在點，切線垂直于軸，求證：；（2）若，求的取值范圍．【解答】（1）證明：由題意可知，則，設切點為，，則由，解得，則，即，故等式得證；（2）解：方法一：因為，其中，所以對恒成立，令，則，即，令，則，其中，則為上的增函數(shù)，又因為（1），，所以存在，使得，即，即，又因為在上單調(diào)遞增，故，即，又當時，，所以為減函數(shù)，當時，，所以為增函數(shù)，所以，所以的取值范圍為，．方法二：等價于，即，易知當時等號成立，所以，當時等號成立，所以，解得39．（2021?涼州區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，，．（Ⅰ）若在點，的切線傾斜角為，求的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對于任意，，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），，若在點，的切線傾斜角為，則切線斜率，解得：；（Ⅱ），，①當時，，在遞增，②當時，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，綜上：當時，在遞增，當時，在遞減，在遞增；（Ⅲ）若對于任意，，恒成立，即在，上恒成立，設，，問題轉(zhuǎn)化為，則，下面先證明：，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故，故，故，①時，，，在，遞增，，成立，②時，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故，令，則，則，，，故在遞增，而（1），（2），故存在使得，故，故在遞減，在，遞增，故，下面證明，令，則，故在遞減，故（1），故，故，而，故，故時，存在實數(shù)使得，原命題不成立，綜上：，故的取值范圍是，．40．（2021春?渝中區(qū)校級期中）函數(shù)，是的導函數(shù)．（1）若，，證明：；（2）若，且對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】（1）證明：，，令，則，所以在，單調(diào)遞增，所以，所以在，單調(diào)遞增，所以，時，，即時，，（2）解：，，①令，則①式等價于，，當時，，所以為增函數(shù)，又因為，，所以，，所以，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以（e），故，綜上，．41．（2020秋?常州期末）已知函數(shù)．（1）當函數(shù)在處的切線斜率為時，求的單調(diào)減區(qū)間；（2）當時，，求的取值范圍．【解答】解：（1）定義域為，，，因為，所以在處的切線斜率為，所以，所以，，令，則，0極小值由表可知：的單調(diào)減區(qū)間為和．（2）由題對任意恒成立，所以對任意恒成立，方法一：所以對任意恒成立，所以對任意恒成立，令，則對任意恒成立，因為，所以在上單調(diào)增，所以對任意恒成立，所以，令，因為，所以在上單調(diào)減，所以（1），所以，即，所以的取值范圍是，．方法二：設，則，所以在單調(diào)遞增，又（1），若，則（1），所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，又（1），所以恒成立，符合題意．若，則（1），不符合題意，舍去．綜上所述，，所以的取值范圍是，．42．（2020秋?壽光市校級月考）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）對任意，恒成立，求實數(shù)的最大值．【解答】解：（1）當時，，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，，所以在上單調(diào)遞增；，，所以在上單調(diào)遞減；綜上：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）任意，，即恒成立，即恒成立；，易證時等號成立），等號成立），而函數(shù)與函數(shù)在上有交點，故能成立，所以即．所以實數(shù)的最大值為2．43．（2020?浙江模擬）函數(shù)，（Ⅰ）對任意，，恒成立，求的取值范圍；（Ⅱ）若，對任意，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）令，又，，要讓在，上恒成立，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，故在，上恒成立，則，即，當時，符合題意．故實數(shù)的取值范圍為，；（Ⅱ），即，，，由恒等式，可得，，，，，令，則在上恒成立，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需，即，令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，綜上，實數(shù)的取值范圍為．44．（2021春?鯉城區(qū)校級期末）已知，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），．在上單調(diào)遞增．當，，在上單調(diào)遞增；當時，，，，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）定義域是，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增的充要條件是恒成立，恒成立，，令，則，在單調(diào)遞增，，（a），，當時，記，，，，所以在上單調(diào)遞增，因為時，，當時，，所以存在唯一的，使得，事實上，取，，，，，又，，，當，；當，；在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，，所以，所以．綜上的取值范圍為，．回歸課本:高考數(shù)學考前100個提醒一、集合與簡易邏輯1、區(qū)分集合中元素的形式，如，，.解題時要利用數(shù)形結(jié)合思想盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標系或韋恩圖等工具；2、已知集合A、B，當時，切記要注意到“極端”情況：或；求集合的子集時別忘記；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、含n個元素的有限集合的子集個數(shù)為,真子集為其非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為4、反演律(摩根律)：.容斥原理:card（）=card（A）+card（B）-card（）.5、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U.6、補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題(正難則反)。7、原命題:;逆命題:;否命題:；逆否命題:；要注意利用“互為逆否的兩個命題是等價的”來解題.8、若且，則p是q的充分非必要條件（或q是p的必要非充分條件）;9、注意命題的否定與它的否命題的區(qū)別:命題的否定只否定結(jié)論；否命題是條件和結(jié)論都否定.命題的否定是；否命題是.10、要熟記真值表噢！常見結(jié)論的否定形式如下：原結(jié)論否定原結(jié)論否定是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有個至多有個小于不小于至多有個至少有個對所有,成立存在某,不成立或且對任何,不成立存在某,成立且或二、函數(shù)與導數(shù)11、函數(shù):是特殊的對應關系．特殊在定義域和值域都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個．函數(shù)的三要素：定義域,值域,對應法則．研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則．12、一次函數(shù):(k≠0),b=0時是奇函數(shù);依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題.二次函數(shù)：①三種形式:一般式(軸-b/2a,頂點?);b=0為偶函數(shù);頂點式(軸?);零點式;②區(qū)間最值:配方后一看開口方向,二討論對稱軸與區(qū)間的相對位置關系;③實根分布:先畫圖再研究△>0、軸與區(qū)間關系、區(qū)間端點函數(shù)值符號;反比例函數(shù):平移的對稱中心為(a,b).13、指數(shù)式、對數(shù)式：，，，，，，，，(對數(shù)恒等式).要特別注意真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1，字母底數(shù)還需討論的呀.對數(shù)的換底公式及它的變形，.14、你知道函數(shù)嗎？該函數(shù)在或上單調(diào)遞增；在或上單調(diào)遞減，求導易證，這可是一個應用廣泛的函數(shù)！對號函數(shù)是奇函數(shù),;,.要熟悉其圖像噢.15、確定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、導數(shù)法、圖像法和特值法(用于小題)等．注意：①.能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。②.單調(diào)區(qū)間是最大范圍，注意一定不能寫成“并”.③.復合函數(shù)由同增異減判定、圖像判定.作用:比大小,解證不等式.16、奇偶性：f(x)是偶函數(shù)，脫號性，避免討論;f(x)是奇函數(shù)f(-x)=-f(x);定義域含零的奇函數(shù)必定過原點(f(0)=0);定義域關于原點對稱是為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要而不充分條件。奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)則為相反的單調(diào)性；注意：既奇又偶的函數(shù)有無數(shù)個(如，只要定義域關于原點對稱即可)．17、周期性:①函數(shù)滿足，則是周期為2的周期函數(shù)；②若恒成立，則；③滿足條件的函數(shù)的周期.18、圖象變換:“左加右減”（注意是針對而言）、“上加下減”(注意是針對而言).①函數(shù)的圖象是把的圖象沿軸向左或向右平移個單位得到的；②函數(shù)+的圖象是把的圖象沿軸向上或向下平移個單位得到的；③函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的；④函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的.19、函數(shù)的對稱性:①滿足條件的函數(shù)的圖象關于直線對稱；②點關于軸的對稱點為；③點關于軸的對稱點為；④函數(shù)關于原點的對稱曲線方程為；⑤點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為；點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為.區(qū)別:若,則圖像關于直線對稱（自對稱）;函數(shù)與的圖像關于直線互對稱；兩函數(shù)與關于直線互對稱.(由確定).⑥如果函數(shù)對于一切，都有，⑦形如的圖像是雙曲線，對稱中心是點.⑧的圖象、的圖象你會畫嗎？20、幾類常見的抽象函數(shù)模型：借鑒模型函數(shù)進行類比探究。①正比例函數(shù)型：；②冪函數(shù)型：，；③指數(shù)函數(shù)型：，；④對數(shù)函數(shù)型：，；⑤三角函數(shù)型：。21、反函數(shù):求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，你別忘記注明該函數(shù)的定義域喲！①函數(shù)存在反函數(shù)的條件是一一映射；②奇函數(shù)若有反函數(shù)則反函數(shù)是奇函數(shù)；③周期函數(shù)、定義域為非單元素集的偶函數(shù)無反函數(shù)；④互為反函數(shù)的兩函數(shù)具有相同的單調(diào)性；⑤f(x)定義域為A,值域為B,則有還原性：,；⑥單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，但反之不然，如.原函數(shù)與反函數(shù)圖象的交點不全在y=x上（如：單調(diào)遞減函數(shù)），但單調(diào)遞增函數(shù)則交點都在y=x上；只能理解為在x+a處的函數(shù)值。22、題型方法總結(jié)Ⅰ判定相同函數(shù):定義域相同且對應法則相同.Ⅱ求函數(shù)解析式的常用方法：（1）待定系數(shù)法――已知所求函數(shù)的類型.（2）代換（配湊）法――已知形如的表達式，求的表達式。這里值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應是的值域。（3）方程的思想――對已知等式進行賦值，得到關于及另外一個函數(shù)的方程組。Ⅲ求定義域:使函數(shù)解析式有意義(如:分母?偶次根式被開方數(shù)?對數(shù)真數(shù)?底數(shù)?零指數(shù)冪的底數(shù)?)實際問題有意義;若f(x)定義域為[a,b],復合函數(shù)f[g(x)]定義域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定義域為[a,b],則f(x)定義域相當于x∈[a,b]時g(x)的值域；Ⅳ求值域:①配方法；②逆求法（反求法）；③三角有界法；④單調(diào)性法；⑤數(shù)形結(jié)合；⑥換元法：運用換元法時，要特別注意新元的取值范圍；⑦分離參數(shù)法;⑧不等式法――利用基本不等式求函數(shù)的最值。⑨判別式法；=10\*GB3⑩導數(shù)法.Ⅴ解應用題:審題(理順數(shù)量關系)、建模、求模、驗證.Ⅵ恒成立問題:分離參數(shù)法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問題.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;Ⅶ利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。如：若，滿足，則的奇偶性是______（答：奇函數(shù)）；23、函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義是指：曲線在點處切線的斜率,即,切線方程為.24、常見函數(shù)的導數(shù)公式:(為常數(shù))；．25、導數(shù)應用:⑴過某點的切線不一定只有一條;⑵研究單調(diào)性步驟:分析y=f(x)定義域;求導數(shù);解不等式f/(x)≥0得增區(qū)間;解不等式f/(x)≤0得減區(qū)間;注意f/(x)=0的點;⑶求極值、最值步驟:求導數(shù);求的根;檢驗在根左右兩側(cè)符號,若左正右負,則f(x)在該根處取極大值;若左負右正,則f(x)在該根處取極小值;把極值與區(qū)間端點函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的是最小值.特別提醒：（1）是極值點的充要條件是點兩側(cè)導數(shù)異號，而不僅是＝0，＝0是為極值點的必要而不充分條件。（2）給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！千萬別上當噢.三、數(shù)列26、,注意一定要驗證a1是否包含在an中,從而考慮要不要分段.27、;在等差數(shù)列中;仍成等差數(shù)列；28、首項為正的遞減(或首項為負的遞增)等差數(shù)列前n項和最大(或最小)問題,轉(zhuǎn)化為解不等式組,或用二次函數(shù)處理;(等比前n項積?……).29、等差數(shù)列;;等比數(shù)列中;當q=1,Sn=na1；當q≠1,Sn==.30、常用性質(zhì)：等差數(shù)列中：；若，則；等比數(shù)列中：；若，則；31、常見數(shù)列：{an}、{bn}等差則{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比則{kan}(k≠0)、、{anbn}、等比;{an}等差,則(c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,則{logcbn}(c>0且c1)等差.32、三數(shù)等差可設為;四數(shù);等比三數(shù)可設；四個數(shù)成等比的錯誤設法：(為什么？q2>0)33、等差數(shù)列的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等差數(shù)列,公差為；等比數(shù)列的任意連續(xù)m項的和（且不為零時）構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等比數(shù)列,公比為.注：公比為-1，n為偶數(shù)時就不對，此時、-、-、…不成等比數(shù)列？34、等差數(shù)列,①項數(shù)2n時,S偶-S奇＝nd;項數(shù)2n-1時,S奇-S偶＝an;②項數(shù)為時，則;項數(shù)為奇數(shù)時，.35、求和常法:公式、分組、裂項相消、錯位相減法、倒序相加法.關鍵是要找準通項結(jié)構(gòu).在等差數(shù)列中求；在應用等比數(shù)列求前n項和時，需要分類討論：時，；時，.在等比數(shù)列中你還要時刻注意到.常見和：，，；.你還記得常用裂項形式(拆項消去法)嗎？如：；；；;；;;常見放縮公式：．36、求通項常法:（1）已知數(shù)列的前n項和,你現(xiàn)在會求通項了嗎？（2）先猜后證;（3）疊加法(迭加法)：；疊乘法(迭乘法)：.（4）構(gòu)造法(待定系數(shù)法):形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列。（5）涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決.高中數(shù)學資料共享群（734924357）（6）倒數(shù)法形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。37、“分期付款”中的單利問題、復利問題你熟悉嗎？四、三角38、一般說來，周期函數(shù)加絕對值或平方，其周期減半．（如的周期都是,但的周期為，的周期為）．弧長公式,扇形面積公式,1弧度.39、函數(shù)y=b（）①五點法作圖;②振幅?相位?初相?周期T=,頻率?=kπ時奇函數(shù);=kπ+時偶函數(shù).③對稱軸處y取最值,對稱中心處y為0;（問問自己：正弦曲線、余弦曲線、正切曲線的對稱軸、對稱中心你熟記了嗎？）求單調(diào)區(qū)間：①確保x系數(shù)為正；②讓角進入單調(diào)區(qū)間;④變換:正左移負右移；b正上移負下移;;.40、解斜三角形,易得：,①;;;②銳角中,,;類比得鈍角結(jié)論．③,射影定理；④正弦定理:;內(nèi)切圓半徑r=;⑤余弦定理：;=6\*GB3⑥,=7\*GB3⑦術語:坡度、仰角、俯角、方位角、方向角.41、在三角中，這些統(tǒng)稱為1的代換，常數(shù)“1”的代換有著廣泛的應用．42、誘導公式簡記:奇變偶不變,符號看象限．(注意：公式中始終視a為銳角)記住奇,偶,象限指什么？三角函數(shù)“正號”記憶口訣：“一全正二正弦,三兩切四余弦”．43、重要公式：如；；;;.巧變角(角的拆拼)：如，，，，等.高中數(shù)學資料共享群（734924357）44、輔助角公式：(其中角所在的象限由a,b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩向量的夾角、兩條異面直線所成的角等時，你要注意到它們各自的取值范圍及意義：=1\*GB3①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次是；②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是；③向量的夾角的取值范圍是.五、平面向量45、向量定義、向量模、零向量、單位向量、逆向量、共線向量、相等向量、平行向量.注意:不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）46、加、減法的平行四邊形與三角形法則:;.47、,向量數(shù)量積的性質(zhì)：設兩個非零向量，,其夾角為,則：①;若，,則,的充要條件要熟記.②；.48、想一想如何求向量的模？在方向上的投影是什么？(是個實數(shù),可正可負可為零!).49、若和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一).特別：＝則是三點P、A、B共線的充要條件。50、三角形中向量性質(zhì)：①過邊的中點：；②為的重心；;③為的垂心,；④為的內(nèi)心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；外心;⑤向量面積公式你記住了嗎？設,．．51、定比分點公式中P分的比為,則=,＞0內(nèi)分;＜0且外分.＝;若λ＝1則＝(+);設P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)則;中點；重心;52、平移公式你記住了嗎?（這可是平移問題最基本的方法）.六、不等式53、如果不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，如果正負號未定，要注意分類討論噢!54、比較大小的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法；(8)圖象法。55、常用不等式：;.利用重要不等式以及變式等求函數(shù)的最值時，你要注意到a，b，且“等號成立”時的條件？積ab或和a＋b其中之一應是定值。注意：①一正二定三等；②積定和最小,和定積最大。常用的方法為：拆、湊、平方.56、(何時取等號？)；|a|≥a；|a|≥－a.57、證法:①比較法:差比:作差--變形(分解或通分配方)--定號.另:商比、平方差比；②綜合法—由因?qū)Ч?③分析法--執(zhí)果索因．基本步驟：要證…需證…,只需證…；④反證法--正難則反。⑤放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的：⑴添加或舍去一些項，如：；.⑵將分子或分母放大（或縮小），如：.⑶利用基本不等式，如：；.⑷利用常用結(jié)論：，Ⅰ、；Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度?。迵Q元法：常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：已知，可設；已知，可設()；⑦最值法,如：方程有解(為的值域)；恒成立,恒成立．58、解絕對值不等式:①幾何法(圖像法)②定義法(零點分段法);③兩邊平方;④公式法.不等式的解集的規(guī)范書寫格式是一般要寫成集合的表達式!解指對不等式應該注意指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)的真數(shù)大于零.59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根軸法（穿線法）.注意偶次式與奇次式符號.奇穿偶回。在解含有參數(shù)的不等式時，是要進行討論的（特別是指數(shù)和對數(shù)的底或）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解是…．七、立幾60、位置：①空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定義或反證法;②直線與平面呢?③平面與平面呢?61、你知道三垂線定理的關鍵是一面四直線，垂線是關鍵，垂直三處見，故曰三垂線.62、求空間角：①異面直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：平移以及補形法、向量法。用“平移法”時要注意平移后所得角是所求角或其補角。②直線和平面所成的角：（1）范圍；（2）斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。（3）求法：作垂線找射影或求點線距離（向量法）；③二面角的求法：定義法、三垂線法、垂面法、面積射影法、法向量法。63、平行六面體→直平行六面體→長方體→正四棱柱→正方體間有什么聯(lián)系?三棱錐中:側(cè)棱長相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點在底面射影為底面外心;側(cè)棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底面射影為底面垂心;斜高相等(側(cè)面與底面所成相等)頂點在底面射影為底面內(nèi)心;正棱錐各側(cè)面與底面所成角相等為θ,則:S側(cè)cosθ=S底;正三角形四心?內(nèi)切外接圓半徑?64、空間距離:①異面直線間距離:找公垂線;②平行線與面間距離(兩平行面間距離)→點到面距離:直接法、等體積、轉(zhuǎn)移法、垂面法、向量法.③點到線距離:用三垂線定理作垂線后再求;正四面體(設棱長為)的性質(zhì)：高，全面積，體積；相鄰面所成二面角；外接球半徑；內(nèi)切球半徑.直角四面體的性質(zhì)：(直角四面體—三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體)．在直角四面體中,兩兩垂直,令,則⑴底面三角形為銳角三角形；⑵直角頂點在底面的射影為三角形的垂心；⑶；⑷；⑸；⑹外接球半徑．65、求球面兩點A、B距離:關鍵是求出球心角。①求|AB|;②算球心角∠AOB弧度數(shù);③用公式L球面距離=球心角×R;緯線半徑r＝Rcos緯度.球內(nèi)接長方體;;.66、平面圖形翻折(展開):注意翻折(展開)后在同一平面圖形中角度、長度不變;67、立平斜三角余弦公式,你熟練掌握了嗎?68、常用轉(zhuǎn)化思想:①構(gòu)造四邊形、三角形把問題化為平面問題;②將空間圖展開為平面圖;③割補法;④等體積轉(zhuǎn)化;⑤線線平行線面平行面面平行;⑥線線垂直線面垂直面面垂直;⑦有中點等特殊點線,用“中位線、重心”轉(zhuǎn)化.69、長方體:對角線長;正方體和長方體外接球直徑=體對角線長;已知長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有或；若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為,則有高中數(shù)學資料共享群（734924357）或．八、解析70、解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)。要注意，但誰也別忘了它還是幾何，要注意畫圖。71、傾斜角,.斜率.當，但是直線是存在的.直線在坐標軸上的截矩可正，可負，也可為0。（截距不是距離”！）直線方程:點斜式;斜截式;一般式:;兩點式:;截距式:(a≠0,b≠0);求直線方程時要防止由于零截距和無斜率造成丟解,(由局限性，所以設方程的點斜式或斜截式時，就應該先考慮斜率不存在的情形）。直線Ax+By+C=0的方向向量為=(B,-A)=(1,k).72、兩直線平行和垂直你記住了嗎?點線距呢?是什么?到的角;夾角;73、線性規(guī)劃：利用特殊點來判斷.求最值?求范圍?整點問題?（文科）74、圓:⑴圓的標準方程?⑵圓的一般方程圓心為,半徑為;⑶圓的參數(shù)方程：;⑷圓的直徑式方程你會寫嗎?75、若，則P(x0,y0)在內(nèi)(上、外).在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形。圓的幾何性質(zhì)別忘了。76、處理直線與圓的位置關系有兩種方法：（1）點到直線的距離；（2）直線方程與圓的方程聯(lián)立，判別式法。一般來說，前者更簡捷。弦長公式.77、圓與圓的位置關系,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關系．設兩圓的圓心距為,兩圓的半徑分別為：相離公切線有4條；外切公切線有3條；相交公切線有2條；內(nèi)切公切線有1條；內(nèi)含沒有公切線；兩圓同心．78、直線系方程系：過定點、平行、垂直的直線系方程你會設嗎？推廣:橢圓、雙曲線、拋物線?過曲線f1(x,y)=0與曲線f2(x,y)=0交點的曲線系方程為:f1(x,y)+λf2(x,y)=0.過圓：,：交點的圓(相交弦)系方程為．時為兩圓相交弦所在直線方程，即兩圓方程相減可得相交弦所在直線方程；79、圓上動點到某條直線(或某點)的距離的最大、最小值的求法(過圓心).圓上一點,則過點的切線方程為：；圓上點切線方程為.過圓x2+y2=r2外點P(x0,y0)作切線后切點弦方程:x0x+y0y=r2;過圓外點作圓切線有兩條.若只求出一條,則另一條垂直ｘ軸.80、橢圓:①方程;參數(shù)方程;②定義:;注意：當軌跡為線段F1F2;軌跡為;③e=,，橢圓有何特性？④長軸長為2a，短軸長為2b;⑤焦半徑：(“左加右減”);左焦點弦,右焦點弦;⑥通徑(最短焦點弦),焦準距p=;⑦=,當P為短軸端點時∠PF1F2最大,近地點a-c,遠地點a+c;=8\*GB3⑧點在橢圓.高中數(shù)學資料共享群（734924357）81、雙曲線:①方程;等軸雙曲線a=b,.②定義:,注意：是兩射線;無軌跡.③e=,;④四點坐標？x,y范圍?實虛軸、漸近線交點為中心;在不含焦點的區(qū)域.共軛雙曲線有何結(jié)論？⑤焦半徑;、焦點弦用第二定義推(注意左右支及左右焦點不同);到焦點距離常化為到準線距離;⑥通徑(最短焦點弦),焦準距p;⑦=;⑧漸近線或,令“1”為0即可;焦點到漸近線距離為;82、拋物線:①方程;②定義:;③頂點為焦點到準線垂線段中點;范圍?軸？焦點,準線;④焦半徑，，焦點弦;，；⑤通徑2p(最短的弦),焦準距p.點P在內(nèi)部；⑥已知A、B是拋物線y2=2px上的兩點，且則直線AB過定點M（2p，0）.83、你會用相關點法來求有關的對稱問題嗎？如：求對稱點:關于直線？84、相交弦問題:在