《生活中的數(shù)學(xué)》

生活中的數(shù)學(xué)》校本課程王云壽目錄第一講：讓數(shù)學(xué)幫你理財(cái)?shù)诙v：導(dǎo)航的雙曲線第三講：電冰箱溫控器的調(diào)節(jié)——如何使電冰箱使用時(shí)間更長第四講：賭馬中的數(shù)學(xué)問題第五講：對稱——自然美的基礎(chǔ)第六講：對數(shù)螺線與蜘蛛網(wǎng)第七講：斐波那契數(shù)列第八講：蜂房中的數(shù)學(xué)第九講：龜背上的學(xué)問第十講：音樂與數(shù)學(xué)第十一講：e和銀行業(yè)第十二講：“壓歲錢”與“賑災(zāi)小銀行”第十三講：建議班級購買一臺(tái)飲水機(jī)第十四講：巧用數(shù)學(xué)看現(xiàn)實(shí)第十五講：商品調(diào)價(jià)中的數(shù)學(xué)問題第十六講：煤商怎樣進(jìn)煤利潤高第一講：讓數(shù)學(xué)幫你理財(cái)某銀行為鼓勵(lì)小朋友養(yǎng)成儲(chǔ)蓄習(xí)慣，提供一個(gè)頗有心思的儲(chǔ)蓄計(jì)劃。參加者除可有較高年息優(yōu)惠外（見附表），更可以特價(jià)換取手表一只。先不論以低價(jià)換表是否真的超值，但這種宣傳方法頗具心思。手表與戶口連在一起，正好意味著利息隨時(shí)間遞增的關(guān)系。儲(chǔ)蓄計(jì)劃優(yōu)惠年息一覽表每壬月存款（港幣）$1,000存期（月）每年復(fù)息利率到期存款（港幣）利息（港幣）到期本息金額（港幣）96.625%9,0002529,252127.125%12,00047312,473157.375%15,00075915,759187.75%1&0001,14619,146248.00%24,0002,10626,106銀行的宣傳小冊子更注明十一歲至十七歲小朋友已可開個(gè)人戶口。這群“準(zhǔn)客戶”大致是接受中學(xué)教育的適齡兒童。無論有興趣參加與否，總希望他們或早或遲懂得儲(chǔ)蓄計(jì)劃背后的數(shù)學(xué)原理。這個(gè)儲(chǔ)蓄計(jì)劃是以每月存入定額存款來計(jì)算利息，而存款期限愈長，利率則愈高。為了更有效理解表中“到期本息金額”如何計(jì)算出來，且讓我們設(shè)衛(wèi)為每月存款的金額，而廠％則為月息利率。月息利率是由“每年復(fù)息利率”除以12而來的。譬如說，存款期限為9個(gè)月，從表中得知每年復(fù)息利率是6.625%，因此月息利率為6.625%F12,即約是0.5521%。存款1個(gè)月后，至U期本息金額：二曲+f陶=國存款2個(gè)月后，到期本息金額：=（/+掛）（1+廠懷）=月[（1+廣陶+（1+廣陶=4存款3個(gè)月后，到期本息金額=僅+4）（1+廠％■）=4C+尸％）+（1+尸+（1+r%）3]余此類推，存款用個(gè)月后，到期本息金額〔兒）應(yīng)為:

此二現(xiàn)(1+廣％)+(1+r%)2+(1+r +…+([+尸％門為了簡化這數(shù)式，設(shè)1+r%o因此，妁二如中"+F+…十工括號內(nèi)的數(shù)式在數(shù)學(xué)上稱為等比級數(shù)：首項(xiàng)是I公比亦是龍。利用公式，我們便可把4的數(shù)式寫成:現(xiàn)在就讓我們運(yùn)用這公式找出表中第一行的“到期本息金額”：.4=1000,現(xiàn)在就讓我們運(yùn)用這公式找出表中第一行的“到期本息金額”：.4=1000,用二1+尸％代入數(shù)式“血=10001.005521(1.0055219代入數(shù)式“血=10001.005521(1.0055219-1)1.005521-1=^52（準(zhǔn)確至最接近的整數(shù)）表中其余的“到期本息金額”不如留給你算算，看看表中列的數(shù)字是否有錯(cuò)誤吧。第二講：導(dǎo)航的雙曲線我們小時(shí)侯都曾夢想，長大以后要當(dāng)上船長就好了。在茫茫的大海上，驚濤駭浪，你能順利地指揮著船隊(duì)駛向前方嗎?好，讓我們的雙曲線來幫助你吧。它是大海的導(dǎo)航員。先來看一看原理。假如你站在廣場上，廣場的東西兩側(cè)各裝有一只喇叭并且放著歡快的音樂：北京的京山上光芒照四方，毛主席就是那金色的太陽，多么溫暖……我站在廣場上，聽見第一只喇叭把“金色的太陽”傳到耳朵后的半秒鐘，又聽到了第二聲“金色的太陽”。由于兩個(gè)喇叭離耳朵的遠(yuǎn)近不同，所以產(chǎn)生了聽覺上的時(shí)間差。再換一個(gè)地方，是否還有這樣歌聲相差半秒的情形呢?實(shí)際上只要人站的位置與兩只喇叭的距離差與第一次一樣就可以了。因此可以找到很多這樣的點(diǎn)。這些點(diǎn)就構(gòu)成了雙曲線的一支。輪船航行在海上時(shí)，它就處于人的位置。岸上有兩個(gè)無線電發(fā)射臺(tái)，用電波代替了喇叭里傳出的音樂。輪船行駛在某一位置時(shí)，就可以從接收的電波的相位差，測出輪船與電臺(tái)的距離差，由此確定了一條以兩個(gè)電臺(tái)為焦點(diǎn)的雙曲線。若再和另一對電臺(tái)聯(lián)系，可以確定出另一條雙曲線，兩條雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，船就處于這一點(diǎn)上。這一切都是在一瞬間完成的，因?yàn)橛泻芏喱F(xiàn)代化的工具來幫助我們，你明白了嗎?船長們就是這樣來導(dǎo)航的。第三講：電冰箱溫控器的調(diào)節(jié)——如何使電冰箱使用時(shí)間更長中國自從1978年改革開放之后，人民生活水平日益提高，許多家庭都購買了電冰箱等家用電器。但是有許多家庭并不了解電冰箱的工作原理，更不了解電冰箱溫控器的工作原理及其調(diào)節(jié)方法。人民生活水平固然提高了許多，但是現(xiàn)在也并不是都十分富裕。不正確的使用電冰箱勢必會(huì)縮短其使用壽命，帶來了不必要的麻煩，同時(shí)也浪費(fèi)了自然資源和財(cái)力。有一次，我們家中的一臺(tái)電冰箱工作了很長時(shí)間，卻一直不停機(jī)。我們嚇了一跳，以為電冰箱壞了。我們給維修單位打電話咨詢，但是上上下下仔細(xì)查看了整個(gè)電冰箱后，才發(fā)現(xiàn)只是溫控器調(diào)節(jié)的不正確。這使我們認(rèn)識到了冰箱溫控器對于電冰箱的重要性。因此，我們來研究一下電冰箱溫控器的正確使用方法，即如何使電冰箱的使用壽命更長。問題：如何正確調(diào)節(jié)電冰箱溫控器，使電冰箱使用壽命更長。電冰箱制冷是靠中溫低壓的液態(tài)制冷劑進(jìn)入蒸發(fā)器吸收熱量汽化為低溫低壓的氣態(tài)制冷劑，達(dá)到蒸發(fā)器周圍降溫使冰箱內(nèi)部冷卻的目的。壓縮機(jī)、冷凝器、干燥過濾器、毛細(xì)管則是幫助并保證在蒸發(fā)器中已使用過的制冷劑回復(fù)到中溫低壓的液體，能再一次送回蒸發(fā)器吸熱汽化，實(shí)現(xiàn)單向連續(xù)循環(huán)制冷。蒸發(fā)器是電冰箱中唯一制冷的器件。壓縮機(jī)把蒸發(fā)器出來的低溫低壓的汽態(tài)制冷劑經(jīng)回氣管由壓縮機(jī)吸入氣缸，被壓縮為高溫高壓的氣態(tài)進(jìn)入冷凝器，把蒸發(fā)器中吸收的熱量和壓縮機(jī)在壓縮做功時(shí)轉(zhuǎn)換的熱量，利用制冷劑與周圍介質(zhì)之間有較大的溫差，通過冷凝器全部散發(fā)到空氣中。制冷劑在冷凝器中因放熱而被液化。這高壓中溫液態(tài)制冷劑經(jīng)干燥過濾器吸收其中的水分，濾除其中的雜質(zhì)，進(jìn)入毛細(xì)管節(jié)流降壓，使高壓液態(tài)制冷劑降為低壓而能回到蒸發(fā)器重復(fù)使用。電冰箱就是這樣由各種制冷劑作工質(zhì)，在封閉系統(tǒng)中作單向連續(xù)循環(huán)，把冰箱內(nèi)熱量不斷的轉(zhuǎn)移到箱外而達(dá)到制冷目的。電冰箱壓縮機(jī)是開開停停間歇工作的。電冰箱達(dá)到箱內(nèi)的設(shè)定溫度是通過溫度控制器控制壓縮機(jī)的開、停機(jī)來完成的。壓縮機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間長，即制冷時(shí)間長，則箱內(nèi)溫低；反之箱溫就高。溫度控制器二個(gè)觸點(diǎn)串聯(lián)在壓縮機(jī)電路中，當(dāng)箱內(nèi)溫度低到某一設(shè)定溫度時(shí)則溫控器觸點(diǎn)跳開，壓縮機(jī)停轉(zhuǎn)，暫停制冷，隨后箱內(nèi)溫度逐漸提高，在箱內(nèi)溫度高到另一設(shè)定溫度時(shí)則溫控器觸點(diǎn)閉合，壓縮機(jī)又運(yùn)轉(zhuǎn)制冷……如此循環(huán)。使箱內(nèi)溫度保持在一定范圍內(nèi)。電冰箱溫控器中的感溫包感受蒸發(fā)器的溫度，當(dāng)溫度升高或降低時(shí)，感溫元件中感溫劑膨脹或收縮，使非剛性元件感溫腔（波紋管或膜盒）推進(jìn)或退縮，從而改變感溫元件與彈簧片之間的作用力通過溫控器中機(jī)械傳力放大，使感溫腔微小形變產(chǎn)生的微小位移放大，控制電觸點(diǎn)，使其閉合或斷開電路。溫控器指向的數(shù)字，并不表示確切的溫度，而是表示控制溫度高低的程度趨向，數(shù)字小表示控制在較高溫度，數(shù)字大則表示控制在較低溫度。我們認(rèn)為，壓縮機(jī)的使用壽命在很大程度上決定了電冰箱的使用壽命。而影響壓縮機(jī)工作時(shí)間的因素主要有：外界溫度、溫控器檔位、冷凍室食品量、開關(guān)冰箱門習(xí)慣。當(dāng)電冰箱工作穩(wěn)定后，冷凍室食品量對其影響十分微小，但不可以忽略不計(jì)。無論是在寒冷的冬季，還是在炎熱的夏季，冰箱中的食品都是在不斷的吸熱和放熱。當(dāng)冰箱內(nèi)冷汽散失時(shí)，食品吸熱；當(dāng)電冰箱制冷吸熱時(shí)，食品放熱。這在夏季時(shí)最為明顯：當(dāng)電冰箱停機(jī)時(shí)，冰箱內(nèi)食品越多其停機(jī)時(shí)間越長，因?yàn)槿绻僭O(shè)食品的平均比熱容不變，那么根據(jù)物理學(xué)關(guān)于熱能的公式Q=MXCXAT可知食品量與停機(jī)時(shí)間成反比。其中Q為食品熱量變化，C為食品平均比熱，AT食品溫度變化量。因此，冰箱內(nèi)食品量的多少也是十分重要的。實(shí)際上，外界溫度隨季節(jié)變化而變化，溫控器檔位靠人工調(diào)節(jié)，冰箱內(nèi)的食品量和如何開關(guān)門對于一個(gè)家庭來講變化不會(huì)很大，因?yàn)橐呀?jīng)形成了習(xí)慣。但是，使用時(shí)如果壓縮機(jī)長時(shí)間連續(xù)工作，壓縮機(jī)溫度就會(huì)升高，就會(huì)造成熱沖擊。過多的熱沖擊會(huì)縮短壓縮機(jī)的使用壽命。因此，我們只要調(diào)節(jié)溫控器檔位，使電冰箱冷凍室溫度不低于某一溫度，而且壓縮機(jī)在非長時(shí)間連續(xù)工作的條件下（不超過一個(gè)小時(shí)），工作時(shí)間與工作、停機(jī)的時(shí)間和的比值最小（如工作10分鐘，停機(jī)10分鐘，則比值為0.5），即壓縮機(jī)的使用壽命更長，就可以使電冰箱的使用壽命更長。同時(shí)，電冰箱的耗電量也降低了。這樣，一臺(tái)電冰箱在使用過程中既省電，又可以延長使用壽命，當(dāng)然十分經(jīng)濟(jì)。通過電冰箱生產(chǎn)廠家的電話咨詢，專業(yè)技術(shù)人員肯定了我們的上述看法。于是我們就此進(jìn)行了一些實(shí)驗(yàn)，并通過電話咨詢得到了一些準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。在北京等中國北方城市，冬季的供暖由市區(qū)縣的各供暖單位負(fù)責(zé)保證。政府規(guī)定，冬季居民室內(nèi)的溫度不得低于16攝氏度。北京市的供暖單位現(xiàn)在一般能夠保證這個(gè)溫度在18攝氏度左右，最高溫可達(dá)20攝氏度，最低溫絕不低于16攝氏度。因此，可以認(rèn)為我國北方冬季家庭室內(nèi)溫度在18攝氏度左右。又因?yàn)?，我國北方春秋季?jié)家庭室內(nèi)溫度也在18攝氏度左右，偏冷的地區(qū)依然有暖汽等供暖，甚至常年不斷。所以，可以認(rèn)為，我國北方春秋冬三季的家庭室內(nèi)溫度均在18攝氏度左右。就一般家庭而言，熟食一般現(xiàn)吃現(xiàn)買，生食一般只放幾個(gè)星期。電冰箱冷凍室的食品量一般占冷凍室容積的五分之三左右，且一般變化不是很大。就是說，一般家庭的食品量對冰箱的影響基本相同。綜上所述，我們理想化的實(shí)驗(yàn)條件是我國北方春秋冬三季一般家庭的電冰箱。在研究這個(gè)問題時(shí)可以把食品量和室內(nèi)溫度作為常數(shù)來考慮。由于每次開冰箱門時(shí)都會(huì)使冰箱內(nèi)食品吸熱升溫，所以不同人的開門習(xí)慣和速度會(huì)影響到冰箱的制冷效果。比如說：老人可能手腳不是很利落，而且拿一件東西要想一下；年輕人可能一只手開門，另一只手就把東西拿出來了。為了簡便計(jì)算，我們可以認(rèn)為，在一個(gè)家庭中不考慮老人與青年人的分別，只考慮平均到每個(gè)家庭成員的使用效果，那么各個(gè)家庭的情況基本相同。結(jié)果是，我們在計(jì)算過程中可以忽略這一因素的影響。我們想利用家用電冰箱來進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)。于是我們選用了長嶺阿里斯頓——BCD208型電冰箱，在保持室溫為18攝氏度且食品量始終占冷凍室有效容積五分之三不變的情況下，測定了一些數(shù)據(jù)。這種電冰箱屬于中等檔次的家用電器，制冷效果屬于一般水平。目前許多家庭使用的電冰箱的制冷效果和保溫能力都與其相差無幾。這些滿足了本論文前面交代的實(shí)驗(yàn)條件，可以作為該條件下的一個(gè)例子，來解決這個(gè)問題。于是我們開始了實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了一個(gè)多星期，每組數(shù)據(jù)（既一個(gè)檔位）間間隔二個(gè)小時(shí)，讓電冰箱進(jìn)行調(diào)節(jié)，以保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。這臺(tái)冰箱的溫控器旋鈕有六個(gè)檔位，分別是從零到五。第零檔為停機(jī)檔，既電冰箱壓縮機(jī)停止工作，不會(huì)啟動(dòng)；第五檔為速凍檔，即壓縮機(jī)一直啟動(dòng)，不會(huì)停機(jī)。因此，我們不能選第零檔，因?yàn)楸洳粫?huì)制冷；不能選第五檔，因?yàn)楸涑掷m(xù)工作，即浪費(fèi)電能，又會(huì)造成熱沖擊，還有可能凍壞食品。我們設(shè)工作時(shí)間與工作、停機(jī)的時(shí)間和的比值為y,設(shè)電冰箱溫控器檔位為x。則自變量x的取值范圍為（0，5）。在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)作圖，為了便于計(jì)算，且不影響結(jié)果的正確，我們在計(jì)算時(shí)把原y值擴(kuò)大了100倍。這樣可以方便計(jì)算，也能方便作圖。觀察散點(diǎn)的分布,我們認(rèn)為這些點(diǎn)極有可能是在一條拋物線上,因此設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)為廠了㈤=川+虹+已。我們在后面附有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表和用繪圖工具《幾何畫板》作出的函數(shù)圖象。其中，表格包含五組數(shù)據(jù)，在測定時(shí)每組數(shù)據(jù)之間至少間隔兩個(gè)小時(shí)，因?yàn)殡姳湫枰s一個(gè)小時(shí)來調(diào)整。函數(shù)圖象有一個(gè)大致的輪廓。圖中的空心圓點(diǎn)表示描點(diǎn)，實(shí)心圓點(diǎn)表示當(dāng)x為4.5時(shí)函數(shù)圖象上的點(diǎn)。我們分別以三組數(shù)據(jù)為一組，把五組數(shù)據(jù)分成了十組。設(shè)五組數(shù)據(jù)對應(yīng)函數(shù)圖象上的點(diǎn)從左至右依次為A、B、C、D、E,則將五組數(shù)據(jù)分組為：ABC、ABD、ABE、ACD……BDE、CDE。每組可分別解出一個(gè)函數(shù)，但都有一定誤差。其中，凡是包含數(shù)據(jù)組E的組誤差都十分大，且不太正常。我們認(rèn)為是由于壓縮機(jī)升溫且冷凝器溫度升高散熱變慢，導(dǎo)致電冰箱工作異常。這種可能性十分大，屬于正常現(xiàn)象。通過電話咨詢，冰箱廠家的技術(shù)人員肯定了我們的想法，并告訴我們：目前一些高級的冷凝管可以大大提高散熱效率，但造價(jià)頗高，且調(diào)節(jié)溫控器就可解決問題，沒必要多花錢去生產(chǎn)。于是把數(shù)據(jù)組E舍去，只計(jì)算前四組，又可以分為四組：ABC、ABD、ACD、BCD。以這四組數(shù)據(jù)分別解出一個(gè)函數(shù)，這四組函數(shù)中也存在誤差，但是應(yīng)該保留數(shù)據(jù)組A存在誤差的那一分組。因?yàn)?，溫控器調(diào)得過低后也會(huì)造成冰箱本身的問題。由于檔位越低，要求達(dá)到的溫度越高（不一定始終在設(shè)定溫度以下），所以要工作的時(shí)間就比較短，但停機(jī)時(shí)間縮短得更多。就是說，冰箱內(nèi)的食品在較長時(shí)間內(nèi)放出了熱量，在較短的時(shí)間內(nèi)又吸入了大致相同的熱量。冰箱在這時(shí)需要適度調(diào)低要求達(dá)到的溫度。這就是為什么要注意溫控器的調(diào)節(jié)。就是說，由BCD解得的函數(shù)對于點(diǎn)A、D的誤差屬于合理誤差。最后，只有BCD這一組的不合理誤差最?。ù藭r(shí)A點(diǎn)誤差為-0.36）,最后解得的函數(shù)即為所求的函數(shù)y=f（x）。由數(shù)據(jù)組BCD解函數(shù)：

2.25ls+A.5b+c=36.63(6.2^十2.25ls+A.5b+c=36.63(6.2^十2.兄十以二巧.笳=>i12.25^+3.5^+c=3^.43c；=0.68b=~3.5即丿=0.6E^2-3.5x+40.35c=40.35當(dāng)x=2.574時(shí)，函數(shù)有最小值y=35.846；所以,溫控器旋鈕應(yīng)指在2.574的位置。可是由于實(shí)驗(yàn)中不可能消除誤差，所以應(yīng)指在2、3之間的一個(gè)位置，室溫稍低時(shí)就調(diào)低一點(diǎn)兒，反之就高一點(diǎn)兒，一般家庭不用經(jīng)常調(diào)，溫度差2到3度不會(huì)有大影響。但是不同的電冰箱性能不同，具體的食品量在變化，外界溫度也會(huì)上下浮動(dòng)，每個(gè)人每一次開門造成的影響都不相同，不同品牌電冰箱溫控器控制面板也不相同。所以忽略絕大多數(shù)家庭相同的因素，只須再考慮不同的電冰箱性能不同、電冰箱溫控器控制面板也不相同。盡管不同的電冰箱性能不同，但是它們的工作原理相同，都是在不斷的吸熱、放熱。就是說，它們在那個(gè)檔位基本上都是最佳的。雖然電冰箱溫控器控制面板不相同，但是內(nèi)部旋轉(zhuǎn)多少角度能調(diào)節(jié)多少溫度，卻是同樣基本相同的。目前市場上比較多的樣式主要有：“0”到“5”，“1”到“7”和“弱”、“中”、“強(qiáng)”。由于我們實(shí)驗(yàn)用的電冰箱配備的是第一種樣式的溫控器，所以對應(yīng)到其它兩種樣式分別是“3”、“4”檔之間和“中”略偏“弱”。問題解決了，是在中國北方春秋冬三季，一般家庭家用電冰箱溫控器的調(diào)節(jié)。目的是如何更經(jīng)濟(jì)的使用好電冰箱。答案就是上一段最后的幾句話。問題雖然很小，而且用的就是解方程的方法，但卻能培養(yǎng)我們從生活中尋找數(shù)學(xué)問題、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的好習(xí)慣。這對于推行素質(zhì)教育是一個(gè)極佳的方法，它使學(xué)生因?yàn)樽约旱呐d趣而學(xué)習(xí)，知識也就更加牢固。另外，這個(gè)問題可以擴(kuò)展到其它方面。如下水道的清理問題，你必須知道什么時(shí)候清理最合理：時(shí)間早了浪費(fèi)物資，晚了又極難工作。當(dāng)然牽扯的量也是相當(dāng)多的。我們相信，通過我們不斷的學(xué)習(xí)，我們將解決更多的生活中的問題。第四講：賭馬中的數(shù)學(xué)問題隨著中國的改革開放，境外許多事物漸漸被生活在大陸的人知曉諸如賭馬、六合彩等常在媒體中提及。對我們來說，了解一些原來不熟悉的東西也是必要的。其實(shí)，一些博彩游戲和古老的賭博有許多相似之處，我們可以用初等概率知識對其中的現(xiàn)象作一定的分析。我們以賭馬問題為例。為簡便起見，假設(shè)只有兩匹馬參加比賽。通過對決定馬匹勝負(fù)的各因素的研究以及對以往賽事勝負(fù)情況的統(tǒng)計(jì)分析，我們可得出兩匹馬各自勝出的實(shí)際概率。不失一般性，設(shè)其中一匹馬勝出的實(shí)際概率為則另一匹馬勝出的實(shí)際概率為1一0。那么，參賭者該如何下注以最大的限度確保他們能贏得錢呢？要解決這個(gè)問題必須先弄明白莊家的賠率是如何設(shè)定的。所謂賠率，是指押注一元錢于勝方所獲得的總金額。舉例來說，若賠率為1.65元，則如押注一元的一方恰好勝出，可得收益0.65元，加上本金，一共可得1.65元。若押注負(fù)方，則會(huì)失去所押注的1元，但不須另外再輸錢?，F(xiàn)在，我們知道了馬匹勝出的實(shí)際概率，知道了莊家設(shè)定的賠率，就可以分析參賭者該如何下注。這里，設(shè)總金額為1元，并設(shè)在第一匹馬上押注也元，則在第二匹馬上押注1-a。至于具體押注多少，參賭者可以將總金額按該比例分配給這兩匹馬。于是，可得下表：馬匹第一匹第二匹勝出的實(shí)際概率P1-歹莊家設(shè)定賠率(元)q押注(元)a1-a如果第一匹馬贏，參賭者可得到廣0元，再減去付出的1元，參賭者的收益為(2-1)元；同理，如果第二匹馬贏，參賭者收益為也(1-4-1)元。考慮到兩匹馬勝出的實(shí)際概率分別為E和1—胃，參賭者的期望收益為D二尸（Fp-1）+（1-尹）（乜（1-^-1）二口（戸廠］-（1-對倉）+（1-戶尢-1 ,其中氓亡（0,1）。另外，若參賭者把所有錢都押注于第一匹馬時(shí)期望收益為p（D；若參賭者把所有的錢都押注于第二匹馬時(shí)，期望收益為1-勸也一1）。自然，參賭者希望收益D>0,這樣，他們才能以一個(gè)正的概率贏利。所以要求：口二武尹尸1-（1-尹）乜）十（1-戸溝-1^°衛(wèi)e（Q1）。1） 當(dāng)戸％-（1一尹尢>°，且（1-刀）^-1>°，即當(dāng)戸％-（1一尹尢>°且1弓、 —F時(shí)，不論吃取何值，D恒大于0,且當(dāng)吃趨向1時(shí)，衛(wèi)趨向于極大值眄-1。實(shí)際上，當(dāng)^=1，即參賭者把錢全押注于第一匹馬上時(shí)，有收益所以參賭者應(yīng)當(dāng)把錢全部押注于第一匹馬上。2） 當(dāng)尹廠1_（1_尹）乜且（1—?jiǎng)褙縚1〉0，即當(dāng)P^-^-P）^2<0且廣> 11一0時(shí)，收益門隨著◎的變大而變小，且當(dāng)◎趨于0時(shí)，門趨于極大值（Dg-1。實(shí)際上，當(dāng)?=0，即參賭者把錢全押注于第二匹馬上時(shí)，有收益（KDn0_肌_〔。所以參賭者應(yīng)當(dāng)把錢全押在第二匹馬上。3） 當(dāng)阿_（1_肌沁，（1_肌十。時(shí)，為使口沁,應(yīng)滿足：1—（1—勿心 1 1a> ri>— ri>~坷-（1-0）弓。又?.?03cl，.??門"，即戸。即當(dāng)P，1 1—（1—勿心廣2€ 住A 且1—0時(shí)，參賭者按 分配賭注可期望贏利。且當(dāng)左趨向于1時(shí)，收益。趨于極大值刃1-1。同1）情況可知，這時(shí)，參賭者應(yīng)把錢全押注于第一匹馬上，有收益p（D?！猺2c—!—4）當(dāng)0,且 1—尸時(shí)。這時(shí)不論賭注如何分配，參賭者的期望收益恒為負(fù)。在這情況下，參賭者介入其中是不理智的行為。以上是參賭者在已知?jiǎng)俪龈怕始百r率時(shí)選擇的策略。同樣，莊家在設(shè)置賠率時(shí)，一定會(huì)對實(shí)際各匹馬勝出的概率作一番認(rèn)真研究，由此設(shè)定相應(yīng)賠率。這樣，他才有可能不賠本。由此當(dāng)莊家設(shè)置一個(gè)賠率時(shí)，我們也可以反推莊家所估計(jì)的各匹馬勝出的概率。例如，莊家賠率設(shè)定為15，則我們大致可以知道該丄馬匹勝出概率大致應(yīng)小于話。其實(shí)，在其它涉及賠率、押注的簡單模型中，我們也可以用相應(yīng)的方法進(jìn)行分析。當(dāng)然，這只是對實(shí)際情況的一種簡化?，F(xiàn)實(shí)生活中的賭馬不會(huì)僅有兩匹，并且要求出各馬匹實(shí)際勝出的概率是件非常困難的事，在一般情況下，只能求得近似解。第五講：對稱——自然美的基礎(chǔ)在豐富多彩的物質(zhì)世界中，對于各式各樣的物體的外形，我們經(jīng)常可以碰到完美勻稱的例子。它們引起人們的注意，令人賞心悅目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚貝殼都使人著迷；蜂房的建筑藝術(shù)，向日葵上種子的排列，以及植物莖上葉子的螺旋狀頒都令我們驚訝。仔細(xì)的觀察表明，對稱性蘊(yùn)含在上述各種事例之中，它從最簡單到最復(fù)雜的表現(xiàn)形式，是大自然形式的基礎(chǔ)?；ǘ渚哂行D(zhuǎn)對稱的性征?；ǘ淅@花心旋轉(zhuǎn)適當(dāng)位置，每一花瓣會(huì)占據(jù)它相鄰花瓣原來的位置，花朵就自相重合。旋轉(zhuǎn)時(shí)達(dá)到自相重合的最小角稱為元角。不同的花這個(gè)角不一樣。例如梅花為72°，水仙花為60°?！皩ΨQ”在生物學(xué)上指生物體在對應(yīng)的部位上有相同的構(gòu)造，分兩側(cè)對稱（如蝴蝶），輻射對稱（放射蟲，太陽蟲等）。我國最早記載了雪花是六角星形。其實(shí)，雪花形狀千奇百怪，但又萬變不離其宗（六角星）。既是中心對稱，又是軸對稱。很多植物是螺旋對稱的，即旋轉(zhuǎn)某一個(gè)角度后，沿軸平移可以和自己的初始位置重合。例如樹葉沿莖桿呈螺旋狀排列，向四面八方伸展，不致彼此遮擋為生存所必需的陽光。這種有趣的現(xiàn)象叫葉序。向日葵的花序或者松球鱗片的螺線形排列是葉序的另一種表現(xiàn)形式。“晶體閃爍對稱的光輝”，這是俄國學(xué)者費(fèi)多洛夫的名言。無怪乎在古典童話故事中，奇妙的寶石交織著溫馨的幻境，精美絕倫，雍容華貴。在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。第六講：對數(shù)螺線與蜘蛛網(wǎng)曾看過這樣一則謎語:“小小諸葛亮，穩(wěn)坐軍中帳。擺下八卦陣，只等飛來將。”動(dòng)一動(dòng)腦筋，這說的是什么呢?原來是蜘蛛，后兩句講的正是蜘蛛結(jié)網(wǎng)捕蟲的生動(dòng)情形。我們知道，蜘蛛網(wǎng)既是它棲息的地方，也是它賴以謀生的工具。而且，結(jié)網(wǎng)是它的本能，并不需要學(xué)習(xí)。你觀察過蜘蛛網(wǎng)嗎?它是用什么工具編織出這么精致的網(wǎng)來的呢?你心中是不是有一連串的疑問，好，下面就讓我來慢慢告訴你吧。在結(jié)網(wǎng)的過程中，功勛最卓著的要屬它的腿了。首先，它用腿從吐絲器中抽出一些絲，把它固定在墻角的一側(cè)或者樹枝上。然后，再吐出一些絲，把整個(gè)蜘蛛網(wǎng)的輪廓勾勒出來，用一根特別的絲把這個(gè)輪廓固定住。為繼續(xù)穿針引線搭好了腳手架。它每抽一根絲，沿著腳手架，小心翼翼地向前走，走到中心時(shí)，把絲拉緊，多余的部分就讓它聚到中心。從中心往邊上爬的過程中，在合適的地方加幾根輻線，為了保持蜘蛛網(wǎng)的平衡，再到對面去加幾根對稱的輻線。一般來說，不同種類的蜘蛛引出的輻線數(shù)目不相同。絲蛛最多，42條；有帶的蜘蛛次之，也有32條；角蛛最少，也達(dá)到21條。同一種蜘蛛一般不會(huì)改變輻線數(shù)。到目前為止，蜘蛛已經(jīng)用輻線把圓周分成了幾部分，相臨的輻線間的圓周角也是大體相同的?，F(xiàn)在，整個(gè)蜘蛛網(wǎng)看起來是一些半徑等分的圓周，畫曲線的工作就要開始了。蜘蛛從中心開始，用一條極細(xì)的絲在那些半徑上作出一條螺旋狀的絲。這是一條輔助的絲。然后，它又從外圈盤旋著走向中心，同時(shí)在半徑上安上最后成網(wǎng)的螺旋線。在這個(gè)過程中，它的腳就落在輔助線上，每到一處，就用腳把輔助線抓起來，聚成一個(gè)小球，放在半徑上。這樣半徑上就有許多小球。從外面看上去，就是許多個(gè)小點(diǎn)。好了，一個(gè)完美的蜘蛛網(wǎng)就結(jié)成了。讓我們再來好好觀察一下這個(gè)小精靈的杰作:從外圈走向中心的那根螺旋線，越接近中心，每周間的距離越密，直到中斷。只有中心部分的輔助線一圈密似一圈，向中心繞去。小精靈所畫出的曲線，在幾何中稱之為對數(shù)螺線。對數(shù)螺線又叫等角螺線，因?yàn)榍€上任意一點(diǎn)和中心的連線與曲線上這點(diǎn)的切線所形成的角是一個(gè)定角。大家可別小看了對數(shù)螺線:在工業(yè)生產(chǎn)中，把抽水機(jī)的渦輪葉片的曲面作成對數(shù)；螺線的形狀，抽水就均勻；在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，把軋刀的刀口彎曲成對數(shù)螺線的形狀，它就會(huì)按特定的角度來切割草料，又快又好。第七講：斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列在自然界中的出現(xiàn)是如此地頻繁，人們深信這不是偶然的。（1）細(xì)察下列各種花，它們的花瓣的數(shù)目具有斐波那契數(shù)：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花。（2）細(xì)察以下花的類似花瓣部分，它們也具有斐波那契數(shù)：紫宛、大波斯菊、雛菊。斐波那契數(shù)經(jīng)常與花瓣的數(shù)目相結(jié)合：百合和蝴蝶花5 藍(lán)花樓斗菜、金鳳花、飛燕草8 翠雀花13 金盞草21 紫宛34, 55,84 雛菊（3）斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如，在樹木的枝干上選一片葉子,記其為數(shù)0,然后依序點(diǎn)數(shù)葉子（假定沒有折損）,直到到達(dá)與那息葉子正對的位置,則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。葉子從一個(gè)位置到達(dá)下一個(gè)正對的位置稱為一個(gè)循回。葉子在一個(gè)循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)。在一個(gè)循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞,意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。

（4）斐波那契數(shù)有時(shí)也稱松果數(shù)，因?yàn)檫B續(xù)的斐波那契數(shù)會(huì)出現(xiàn)在松果的左和右的兩種螺旋形走向的數(shù)目之中。這種情況在向日葵的種子盤中也會(huì)看到此外，你能發(fā)現(xiàn)一些連續(xù)的魯卡斯數(shù)嗎？

（5）菠蘿是又一種可以檢驗(yàn)斐波那契數(shù)的植物。對于菠蘿，我們可以去數(shù)一下它表面上六角形鱗片所形成的螺旋線數(shù)。斐波那契數(shù)列與黃金比值相繼的斐波那契數(shù)的比的數(shù)列12358陥「Fn7121.5L&L6,1.625,1.61兄丄$1*…它們交錯(cuò)地或大于或小于黃金比於的值。該數(shù)列的極限為@。這種聯(lián)系暗示了無論（尤其在自然現(xiàn)象中）在哪里出現(xiàn)黃金比、黃金矩形或等角螺線，那里也就會(huì)出現(xiàn)斐波那契數(shù)，反之亦然。第八講：蜂房中的數(shù)學(xué)蜜蜂是勤勞的,它們釀造出了最甜的蜜;蜜蜂是聰明的,它們會(huì)分工合作,還會(huì)用舞蹈的形式告訴同伴:哪里有花源,數(shù)量怎么樣。實(shí)際上,不僅如此,蜜蜂還是出色的建筑師。它們建筑的蜂房就是自然界諸多奇跡中的一個(gè)。蜂房是正六棱柱的形狀,它的底是由三個(gè)全等的菱形組成的。達(dá)爾文稱贊蜜蜂的建筑藝術(shù),說它是:天才的工程師。法國的學(xué)者馬拉爾狄曾經(jīng)觀察過蜂房的結(jié)構(gòu),在1712年,他寫出了一篇關(guān)于蜂房結(jié)構(gòu)的論文。他測量后發(fā)現(xiàn),每個(gè)蜂房的體積幾乎都是0。25立方厘米。底部菱形的銳角是70度32分,鈍角是109度28分,蜜蜂的工作竟然是這樣的精細(xì)。物理學(xué)家列奧繆拉也曾研究了這個(gè)問題,它想推導(dǎo)出:底部的菱形的兩個(gè)互補(bǔ)的角是多大時(shí),才能使得蜂房的容量達(dá)到最大,他沒有把這項(xiàng)工作進(jìn)行下去。蘇格蘭的數(shù)學(xué)家馬克勞林通過計(jì)算得出了與前面觀察完全吻合的數(shù)據(jù)。

公元4世紀(jì),數(shù)學(xué)家巴普士就告訴我們:正六棱柱的蜂房是一種最經(jīng)濟(jì)的形狀,在其他條件相同的情況下,這種結(jié)構(gòu)的容積最大,所用的材料最少。他給出了嚴(yán)格的證明?？磥?我們不得不為蜜蜂的高超的建筑藝術(shù)所折服了。馬克思也高度地評價(jià)它:蜜蜂建筑蜂房的本領(lǐng)使人間的許多建筑師感到慚愧?，F(xiàn)在,許多建筑師開始模仿蜂房的結(jié)構(gòu),并把它們應(yīng)用到建筑的實(shí)踐中去。第九講：龜背上的學(xué)問傳說大禹治水時(shí)，在一次疏通河道中，挖出了一只大龜，人們很是驚訝，爭相觀看，只見龜背上清晰刻著圖1所示的一個(gè)數(shù)字方陣。這個(gè)方陣，按《孫子算經(jīng)》中籌算記數(shù)的縱橫相間制：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)。六不積算，五不單張。”可譯成現(xiàn)代的數(shù)字，如圖2所示。方陣包括了九個(gè)數(shù)字，每一行一與列的數(shù)字和均為15，兩條對角線上的數(shù)也有相同的性質(zhì)。當(dāng)時(shí)，人們以為是天神相助，治水有望了。后來，人們稱刻在龜背上的方陣為“幻方”（國外稱為“拉丁方”），屬于組合數(shù)學(xué)范疇。使用整數(shù)1—9構(gòu)成的3X3階“拉丁方”唯一可能的和數(shù)是15,這一點(diǎn)只要把這“拉丁方”中所有數(shù)加起來便可證明，1十2十3十4十5十6十7十8十9=45,要把這幾個(gè)數(shù)分配到三行（或列）使得每行（或列）有同樣的和,那么,每行（或列）的和應(yīng)為45／3=150組合數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)分支，在實(shí)際生活中應(yīng)用很廣泛，請看下面的例子。5名待業(yè)青年，有7項(xiàng)可供他們挑選的工作，他們是否能找到自己合適的工作呢?由于每個(gè)人的文化水平、興趣愛好及性別等原因，每個(gè)人只能從七項(xiàng)工作中挑選某些工種，也就是說每個(gè)人都有一張志愿表，最后根據(jù)需求和志愿找到一個(gè)合適的工作。組合數(shù)學(xué)把每一種分配方案叫一種安排。當(dāng)然第一個(gè)問題是考慮安排的存在性，這就是存在問題；第二個(gè)問題是有多少種安排方法，這就是計(jì)數(shù)問題。接下去要考慮在眾多的安排中選擇一種最好的方案，這就是所謂的“最優(yōu)化問題”。存在問題、構(gòu)造問題、計(jì)數(shù)問題和最優(yōu)化問題就構(gòu)成了全部組合數(shù)學(xué)的內(nèi)容。如果你想了解更多的組合數(shù)學(xué)問題，那就要博覽有關(guān)書籍，你會(huì)得到許多非常有趣的知識，會(huì)給你許多的啟發(fā)和教益。第十講：音樂與數(shù)學(xué)動(dòng)人的音樂常給人以美妙的感受。古人云：余音繞梁，三日不絕，這說的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成調(diào)，這就是唱得不好了。同樣是唱歌，甚至是唱同樣的歌，給人的感覺卻是迥然不同。其重要原因在于歌唱者發(fā)聲振動(dòng)頻率不同。人類很早就在實(shí)踐中對聲音是否和諧有了感受，但對諧和音的比較深入的了解只是在弦樂器出現(xiàn)以后，這是因?yàn)橄艺駝?dòng)頻率和弦的長度存在著簡單的比例關(guān)系。近代數(shù)學(xué)已經(jīng)得出弦振動(dòng)的頻率公式是W=，這里，P是弦的材料的線密度；T是弦的張力，也就是張緊程度；L是弦長；W是頻率，通常以每秒一次即赫茲為單位。那么，決定音樂和諧的因素又是什么呢？人類經(jīng)過長期的研究，發(fā)現(xiàn)它決定于兩音的頻率之比。兩音頻率之比越簡單，兩音的感覺效果越純凈、愉快與和諧。首先，最簡單之比是2：1。例如，一個(gè)音的頻率是160、7赫茲，那么,與它相鄰的協(xié)和音的頻率應(yīng)該是2X260、7赫茲，這就是高八度音。而與頻率為2X260、7赫茲的音和諧的次一個(gè)音是4X260、7赫茲。這樣推導(dǎo)下去，我們可以得到下面一列和諧的音樂：260、7，2X260、7，22X260、7我們把它簡記為Co,Ci,C2,……，稱為音名。由于我們討論的是音的比較，可暫時(shí)不管音的絕對高度（頻率），因此又可將音樂簡寫為：CoCiC2C3202i2223需要說明的是，在上面的音列中，不僅相鄰的音是和諧的，而且C與C2,C與C3等等也都是和諧的。一般說來這些協(xié)和音頻率之比是2m。（其中M是自然數(shù)）第十一講：e和銀行業(yè)跟我們?nèi)粘５氖虑橛惺裁搓P(guān)系呢？事實(shí)上它在我們?nèi)粘Ｉ钪?，跟任何一個(gè)特定的整數(shù)一樣，盡管人們并不總能察覺到它的出現(xiàn)。只有人知道呂是一個(gè)實(shí)際的數(shù)，如果問大家，可能多數(shù)人會(huì)說總是英語字母表里的第5個(gè)字母。大家知道它是一個(gè)奇怪的數(shù)，這是我們通過數(shù)學(xué)課了解到的。只有少數(shù)人知道它是一個(gè)無理數(shù)和一個(gè)超越數(shù)。2.71W182845904523殛於汐47135266249775724709369995 在今天的銀行業(yè)里，總是對銀行家最有幫助的一個(gè)數(shù)。人們可能會(huì)問，像呂這樣的數(shù)是怎樣又以何種方式與銀行業(yè)發(fā)生關(guān)系呢？要知道后者是專門跟“元”和“分”打交道的!假如沒有舀的發(fā)現(xiàn)，銀行家要計(jì)算今天的利息就要花費(fèi)極其大量的時(shí)間，無論是逐日逐日地算復(fù)利，還是持續(xù)地算復(fù)利都無法避免。有幸的是，呂的出現(xiàn)助了一臂之力。a=(1+—e—lim(1+—應(yīng)的定義是作為數(shù)列 的極限。我們通常寫為 。在利息計(jì)算中怎樣借助于這個(gè)公式呢？實(shí)際的計(jì)算公式是：本利和蟲，這里尸二本金，廣二年利率，川=一年之內(nèi)計(jì)算利息的次數(shù)，“存錢的年數(shù)。上述公式可以變形為對于舀的公式。當(dāng)人們投資1美元年利率為100%時(shí)，一年的本利和可達(dá)呂美元。開頭可能會(huì)有人以為總計(jì)會(huì)是一個(gè)天文數(shù)字，但看了下面的估計(jì)后就會(huì)知道它接近于白的值。(]*[)w惟n] n=2 tt=3 fl=1(X) Jl-=HttK)(”+)'(M⑴刃'(V)%謐秤1 2,25 2.370■- 2.7WSU-2弄1劇…于是，我們看到：如果我們投資1美元，年利率為100％，那么收益決不會(huì)超過2.72美元。事實(shí)上呂的小數(shù)點(diǎn)后頭22位數(shù)是舀=2.7182818284590452353602。/=代1+分下一個(gè)問題是怎樣對 進(jìn)行工作。最好先通過嘗試來確定看。比如說我們從1000美元開始以年利8％存入銀行，讓我們看看當(dāng)按一年期計(jì)算，然后按每半年期計(jì)算，再按每三個(gè)月期計(jì)算復(fù)利時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么。一年期每半年期每三個(gè)月期1000(i+SMfr)^L>劇(i普冒品壟)絶^IOOO+RO(M)呂1000(1+004)1iOCTXl+0.02}<=1000(1十口ft4Ul+0.CM)“oax!+002)(1*0.(K2)=tuKu(lTO,K)C1*0.02}-PLCl血04)Pi(l4-0.02X1+0.02)(10.02J趣】t002)(1沁血〉珈I*O.-G2J1血0[1+豈嚴(yán)如果逐日計(jì)算復(fù)利，可用公式 。這個(gè)公式如果用手算則要花好多時(shí)間，但今天用電子計(jì)算器和專門的計(jì)算機(jī)頃刻間便能得出結(jié)果。第十二講：“壓歲錢”與“賑災(zāi)小銀行”在正月里，長輩們每年都會(huì)給我們壓歲錢。而大多數(shù)同學(xué)都把壓歲錢存入了銀行。為了能幫助失學(xué)獐，我建議我們景山中學(xué)辦一個(gè)“賑災(zāi)小銀行”，要求同學(xué)們有多少錢存多少錢，存入學(xué)校里“賑災(zāi)小銀行”，學(xué)校統(tǒng)一將同學(xué)們的壓歲錢存入銀行。畢業(yè)時(shí)本金還給同學(xué)們，利息捐給經(jīng)濟(jì)有困難的同學(xué)或?yàn)?zāi)區(qū)。從小到現(xiàn)在，我們收了十來年的壓歲錢大概有2000元，假如平均每年按照200元存入銀行，初中三年每個(gè)學(xué)生總共存入600元計(jì)算，我們景山中學(xué)高中不算，初中24個(gè)班級，初一、初二、初三各8個(gè)班，每班按60人計(jì)算，初三的存一年，初二的存兩年，初一的存三年，年利率分別按2.25%、2.40%、2.60%（人民銀行利率）計(jì)算，則：初一段學(xué)生存三年的利息和：（200X2.60%X3）X（60X8）=7488（元）；初二段學(xué)生存二年的利息和：（200X2.40%X2）X（60X8）=4688（元）；初二段學(xué)生存二年的利息和：（200X2.25%Xl）X（60X8）=2700（元）；一年全校利息合計(jì)：7488+4608+2700=14796（元）。假設(shè)學(xué)校第年招生班級以及人數(shù)都不變，則學(xué)校每年都有14796元利息，溫州市有那么多所中學(xué)，假如每所中學(xué)都建立小銀行，或許他們利息和還會(huì)超過我校，假如小學(xué)也建立小銀行，那么，每個(gè)學(xué)生五六年下來，每年全校利息和將比中學(xué)利息和要高上好幾倍。所以在小學(xué)成立“賑災(zāi)小銀行”更有意義與必要。為了災(zāi)區(qū)兒童有良好的讀書環(huán)境，為了國家更繁榮，昌盛，同學(xué)們行動(dòng)起來吧，拿出你們的壓歲錢，奉獻(xiàn)我們的一片愛心。第十三講：建議班級購買一臺(tái)飲水機(jī)在炎炎夏日里，同學(xué)們遇到的難事就是飲水問題，為了使同學(xué)們過一個(gè)衛(wèi)生清潔的夏季，班級決定出錢買一臺(tái)飲水機(jī)，而每人又應(yīng)出多少錢呢？即使買了飲水機(jī)，是否比過去每個(gè)學(xué)生每天買礦泉水更節(jié)省、更實(shí)惠？下面就來解答這個(gè)問題。一、學(xué)生礦泉水費(fèi)用支出金昌市一中學(xué)共有37個(gè)班級，假設(shè)每班學(xué)生平均為60人，那么全校就有60X37=2220（人）。一年中，學(xué)生在校的時(shí)間（除去寒暑假雙休日）大約為240天，設(shè)春季、夏季、秋季、冬季、各為60天，在班級沒有購買飲水機(jī)時(shí)，學(xué)生解渴一般買礦泉水，設(shè)礦泉水每瓶為一元，學(xué)生春秋季每人二天1瓶礦泉水，則總共為60瓶。夏季每人每天1瓶，則總共也為60瓶，冬季每人每4天1瓶，總共為15瓶，則全年平均每名學(xué)生礦泉水費(fèi)支出：60+60+（60F4）X1=135（元）；全班學(xué)生礦泉水費(fèi)用135X60=8100（元）；全校學(xué)生礦泉水費(fèi)用8100X37=299700（元）；二、使用飲水機(jī)費(fèi)用一臺(tái)冷熱飲水機(jī)的價(jià)格約為750元，1字牌大桶礦泉水為每桶10元，現(xiàn)每班都配備飲水機(jī)。設(shè)每班春、季兩季、每2天1桶，則需60桶，夏季每天2桶，則需120桶，冬季每6天1桶，則每班需20桶，則一學(xué)年每班需要“60+120+20=200（桶），一學(xué)生每班水費(fèi)為200X10=2000元。電費(fèi)折合為每學(xué)年每班為300元。則一學(xué)年配置飲水機(jī)每班水電費(fèi)2300元。所以，一學(xué)年每班飲水機(jī)等合計(jì)約為2300+750^3=2550元；每個(gè)學(xué)生平均一學(xué)年的水電費(fèi)為2500^60=42.5元；景山中學(xué)全校全年飲水機(jī)等費(fèi)用約為37X2550=94350元；顯然，通過計(jì)算，比較兩項(xiàng)開支費(fèi)用，各班購買一臺(tái)飲水機(jī)要經(jīng)濟(jì)實(shí)惠得多，一學(xué)年每個(gè)學(xué)生可以節(jié)省：135-42.5=92.5元；每個(gè)班一學(xué)年可節(jié)?。?2.5X60=5550元；全校一學(xué)年可節(jié)省：5550X37=205350元。205350元，一個(gè)了不起的數(shù)據(jù)，而我們每天又可以喝上衛(wèi)生清潔、冷暖皆宜的飲水機(jī)的礦泉水，等我們畢業(yè)時(shí)還可以把飲水機(jī)贈(zèng)給下屆同學(xué)，何樂而不為呢？我向金昌市的小學(xué)提出倡議：在每個(gè)教室里配一臺(tái)飲水機(jī)。第十四講：巧用數(shù)學(xué)看現(xiàn)實(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中，人們的生活越來越趨向于經(jīng)濟(jì)化，合理化．但怎樣才能達(dá)到這樣的目的呢？在數(shù)學(xué)活動(dòng)組里，我就遇到了這樣一道實(shí)際生活中的問題：某報(bào)紙上報(bào)道了兩則廣告，甲商廈實(shí)行有獎(jiǎng)銷售：特等獎(jiǎng)10000元1名，一等獎(jiǎng)1000元2名，二等獎(jiǎng)100元10名，三等獎(jiǎng)5元200名，乙商廈則實(shí)行九五折優(yōu)惠銷售。請你想一想；哪一種銷售方式更吸引人？哪一家商廈提供給銷費(fèi)者的實(shí)惠大？面對問題我們并不能一目了然。于是我們首先作了一個(gè)隨機(jī)調(diào)查。把全組的16名學(xué)員作為調(diào)查對象，其中8人愿意去甲家，6人喜歡去乙家，還有兩人則認(rèn)為去兩家都可以。調(diào)查結(jié)果表明：甲商廈的銷售方式更吸引人，但事實(shí)是否如此呢？在實(shí)際問題中，甲商厚每組設(shè)獎(jiǎng)銷售的營業(yè)額和參加抽獎(jiǎng)的人數(shù)都沒有限制。所以我們認(rèn)為這個(gè)問題應(yīng)該有幾種答案。一、 苦甲商廈確定每組設(shè)獎(jiǎng)，當(dāng)參加人數(shù)較少時(shí)，少于213(1十2＋10＋200=213人)人，人們會(huì)認(rèn)為獲獎(jiǎng)機(jī)率較大，則甲商廈的銷售方式更吸引顧客。二、 若甲商廈的每組營業(yè)額較多時(shí)，它給顧客的優(yōu)惠幅度就相應(yīng)的小。因?yàn)榧咨虖B提供的優(yōu)惠金額是固定的，共14000元(10000＋2000＋1000＋1000=14000)。假設(shè)兩商廈提供的優(yōu)惠都是14000元，則可求乙商廈的營業(yè)額為280000元(14000-F5%=280000)。所以由此可得：當(dāng)兩商廈的營業(yè)額都為280000元時(shí)，兩家商廈所提供的優(yōu)惠同樣多。當(dāng)兩商廈的營業(yè)額都不足280000元時(shí)，乙商廈的優(yōu)惠則小于14000元，所以這時(shí)甲商廈提供的優(yōu)惠仍是14000元，優(yōu)惠較大。當(dāng)兩家的營業(yè)額都超過280000元時(shí)，乙商廈的優(yōu)惠則大于14000元，

而甲商廈的優(yōu)惠仍保持14000元時(shí)，乙商廈所提供的實(shí)惠大。像這樣的問題，我們在日常生活中隨處可見。例如，有兩家液化氣站，已知每瓶液化氣的質(zhì)和量相同，開始定的價(jià)也相同。為了爭取更多的用戶，兩站分別推出優(yōu)惠政策。甲站的辦法是實(shí)行七五折錯(cuò)售，乙站的辦法是對客戶自第二次換氣以后以7折銷售。兩站的優(yōu)惠期限都是一年。你作為用戶，應(yīng)該選哪家好？這個(gè)問題與前面的問題有很大相同之處。只要通過你所需要的罐數(shù)來分析討論，這樣，問題便可迎刃而解了。隨著市場經(jīng)濟(jì)的逐步完善，人們?nèi)粘Ｉ钪械慕?jīng)濟(jì)活動(dòng)越來越豐富多彩。買與賣，存款與保險(xiǎn)，股票與債券，……都已進(jìn)入我們的生活.同時(shí)與這一系列經(jīng)濟(jì)活動(dòng)相關(guān)的數(shù)學(xué)，利比和比例，利息與利率，統(tǒng)計(jì)與概率。運(yùn)籌與優(yōu)化，以及系統(tǒng)分析和決策，都將成為數(shù)學(xué)課程中的“座上客”。作為跨世紀(jì)的中學(xué)生，我們不僅要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識，而且要會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去分析、解決生活中遇到的問題．這樣才能更好地適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展和需要。第十五七講：商品調(diào)價(jià)中的數(shù)學(xué)問題若將某商品先漲價(jià)10％后再降價(jià)10％，所得的價(jià)格與原先的價(jià)格相比有無變化？不少同學(xué)會(huì)不加思索脫口而出：那還用問嗎？肯定不變。果真如此嗎？比如設(shè)這種商品原價(jià)為100元，則漲價(jià)10％后價(jià)格為100＋10=110元，再降價(jià)10％就是110-11=99元，可見比原先的價(jià)格便宜了。所以很多事情不能想當(dāng)然貿(mào)然下結(jié)論，還是動(dòng)筆算一算為好，才能做到心中有“數(shù)”。請研究下例：某商品擬作兩次調(diào)價(jià)，設(shè)p>q>0,有下列六種方案供選擇：選漲價(jià)p%，再降價(jià)q%；選漲價(jià)q%，再降價(jià)P%；選漲價(jià)％,再降價(jià)丁%;選漲價(jià)%，再降價(jià)%;選漲價(jià)〒%，選漲價(jià)〒%，再降價(jià)J幽％；選漲價(jià)』幽％,再降價(jià)丁%;若規(guī)定兩次調(diào)價(jià)后該商品的價(jià)格最高的方案稱為好方案。請判斷其中哪一個(gè)是好方案？分析設(shè)某商品原價(jià)為1,采用方案（A）、（B）、（C）、（D）、（E）、（F）調(diào)價(jià)后的商品價(jià)格分別為a,b,c,d,e,f,則a=（1十pW）（\~q^=1十邑二a=（1十pW）（\~q^=1十邑二?100b=〔1+獅）（1-尹％）=1+邑二亙?100廠（1十宇％）（1—苛邑％）=1規(guī)鞏1斗后％XI-=莎％1冷的.2 7 200%）=1應(yīng)1001002?.PQ1003J亠A+小4'100:pq#=（1斗的砸1_￥「7=二一二=100100屈_（.P+狄殛Too-尹+專2002-1002：O十Q）莎2'10021001002 4'1002P-QQ十g），一4陽1004'1002P-QJ切我I1004'lQO2Q100p-^PQ_P十？丄?lao1003200P~^Q十+4^。a~d=品+9十①‘J77my2'1003◎十q_2、應(yīng)）2002'1003_⑦-◎）十2暢Q用-r仃）丄屈點(diǎn)-打「、“

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2002'1002.'.ab,a>c,ayd,a>e,a>/.所以，方案（A）是好方案。第十六講：煤商怎樣進(jìn)煤利潤高日常生活中，有許多事情可采取多種方法來完成．哪種方法最好呢？比如：哪種方法最省時(shí)，或者最省錢等．如果開辦加工廠，加工某種東西，又怎樣獲得利潤最高？這都需要精打細(xì)算．比如開辦一個(gè)煤廠吧！也就是把煤沫加工成蜂窩煤，它需要以下幾個(gè)步驟：1.購買煤沫；2．摻好煤土；3．加工成品；4．銷售．雖然僅有這么簡單的四步，但也要仔細(xì)計(jì)算一下，然后再?zèng)Q定怎樣使煤廠利潤更高．然而，使煤廠利潤更高，會(huì)受到多種因素的影響，這里我們重點(diǎn)研究購買哪種煤沫利潤更高，但還要注意成品的銷售情況。煤廠現(xiàn)在可以進(jìn)購兩種煤沫，一種好些，價(jià)錢當(dāng)然貴了，可多摻黃土；另一種次些，價(jià)錢也就便宜，但摻黃土不能過多。煤廠進(jìn)哪一種煤沫利潤更高呢？這就要通過計(jì)算了，這里有三種方法。第一種，進(jìn)購好煤沫，好煤沫的進(jìn)價(jià)是每噸105元，摻上占煤沫的40％，