2023屆新高考數(shù)學真題解析幾何專題講義第3講 拋物線的定義及其應用

第1講拋物線的定義及其應用一、問題綜述本講梳理拋物線的定義及其應用．拋物線的考題中，對拋物線定義的考查一直都是熱點．對于拋物線有關問題的求解，若能巧妙地應用定義思考，常能化繁為簡，優(yōu)化解題過程．（一）拋物線的定義平面內(nèi)到定點和定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(點不在上)．定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．以開口向右的拋物線為例，設拋物線的焦點為F，準線為，點為拋物線上的動點．則有:焦半徑；過焦點的弦長為．（二）拋物線定義的應用與拋物線焦點、準線有關的問題一般情況下都與拋物線的定義有關，解決這類問題一定要注意點到點的距離與點到直線的距離的轉化：（1）將拋線上的點到準線距離轉化為該點到焦點的距離；（2）將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，使問題得到解決．二、典例分析類型一：利用定義求拋物線的標準方程【例1】已知動圓過定點，且與直線相切，其中．求動圓圓心的軌跡的方程．【解析】如圖，設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以軌跡方程為．【方法小結】涉及拋物線上的點到焦點的距離時，常利用定義轉化為拋物線上的點到準線的距離．【變式訓練】1．點與點的距離比它到直線的距離小1,求點的軌跡方程．【答案】【解析】如圖，設點的坐標為．由可知可得：點與點的距離等于它到直線的距離．根據(jù)拋物線的定義，點的軌跡是以為焦點的拋物線，所以，得．又因為焦點在軸的正半軸上，所以點的軌跡方程為：．2．平面上動點到定點的距離比到軸的距離大1，求動點的軌跡方程．【答案】或．3．若動圓與定圓相外切，且與直線相切，求動圓圓心的軌跡方程．【答案】．類型二：利用拋物線定義證明焦點弦或焦半徑的相關性質【例2】為拋物線上任一點，為焦點，則以為直徑的圓與軸（）A．相交B．相切C．相離D．位置由確定【解析】如圖，拋物線的焦點為，準線是．作于，交軸于，那么，且．作軸于，則是梯形的中位線，．故以為直徑的圓與軸相切，選B．【方法小結】類似的問題：對于橢圓和雙曲線來說，結論分別是相離或相交．【例2】在拋物線上有兩點和，且滿足，求證：（1）、和這拋物線的焦點三點共線；（2）為定值．【證明】（1）∵拋物線的焦點為，準線方程為．∴、到準線的距離分別，．由拋物線的定義：，．∴，即、、三點共線．（2）如圖，設．∵，∴，又，∴，∴（定值）．【變式訓練】求證：以拋物線過焦點的弦為直徑的圓，必與此拋物線的準線相切．【證明】如圖，設拋物線的準線為，過、兩點分別作、垂直于，垂足分別為、．取線段中點，作垂直于．由拋物線的定義有：，，所以．∵是直角梯形，即為圓的半徑，而準線過半徑的外端且與半徑垂直，故圓必與準線相切．類型三：利用拋物線的定義求解最值問題【例1】設是拋物線上的一個動點．（1）求點到點的距離與點到直線的距離之和的最小值；（2）若，求的最小值．【解析】（1）如下圖，拋物線的焦點為，準線是，由拋物線的定義知：點到直線的距離等于點到焦點的距離．于是，問題轉化為：在曲線上求一點，使點到點的距離與點P到的距離之和最小．顯然，連結交曲線于點，則所求最小值為，即為．（2）如下圖，過點作垂直準線于交拋物線于點，則，則有，即的最小值為4．【方法小結】本題利用拋物線的定義，將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，從而構造出“兩點間線段距離最短”，使問題獲解．【變式訓練】已知是拋物線的焦點，點的坐標為，點是上的任意一點，當在點時，取得最大值，當在點時，取得最小值，則，兩點間的距離是．【解析】依題意，一方面：，當平行于軸時，取得最大值，此時；另一方面：，當，，，三點共線，且在，之間時，取得最小值，此時，故．類型四：拋物線定義的綜合應用【例1】如圖所示，直線和相交于點，，點，以、為端點的曲線段上任一點到的距離與到點的距離相等，若是銳角三角形，，且，建立適當?shù)淖鴺讼担笄€的方程．【解析】（利用拋物線定義求標準方程）以為軸，線段的垂直平分線為軸建立直角坐標系如圖所示，依題意知：曲線段是以點為焦點，為準線的拋物線的一段，過作、垂線，垂足分別為、，由拋物線定義可知，則，，，所以，即，故拋物線方程為．由，，結合拋物線定義，得，，所以，．綜上，得曲線段的方程為．【例2】己知橢圓的左右焦點分別為，拋物線的焦點與重合，若點為橢圓和拋物線的一個公共點，且，則橢圓的離心率為．【解析】【解法1】如圖所示兩種情況：情形1：情形2：故橢圓的離心率為或．【解法2】設，則，由，結合拋物線定義得，所以，由，得，化簡得，解得或．三、鞏固練習1．已知動點的坐標滿足方程，則動點的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．以上都不對2．拋物線上的一點到焦點的距離為1，則點的縱坐標是（）A．B．C．D．03．已知動圓的圓心在拋物線上，又與直線相切，那么必過定點__________．4．已知動圓P與定圓C：相外切，又與定直線相切，那么動圓的圓心P的軌跡方程是______________．5．過拋物線焦點的直線與拋物線交于、兩點，若、在拋物線準線上的射影分別為、，則（）A．45°B．60°C．90°D．120°6．已知點是拋物線上的一點，為拋物線的焦點，在圓上，則的最小值為．7．過拋物線焦點的直線與該拋物線交于、兩點，若，則弦的中點到直線的距離等于（）A．B．C．4D．28．過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，則．9．經(jīng)過拋物線的焦點的直線與相交于、兩點，與的準線交于點．若點位于第一象限，且是的中點，則直線的斜率等于．10．設拋物線的焦點為，過的直線與拋物線交于、兩點，為拋物線的準線與軸的交點，若，則．四、鞏固練習參考答案1．已知動點的坐標滿足方程，則動點的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．以上都不對【答案】C．【解析】由題意得：，即動點到直線的距離等于它到原點的距離，由拋物線定義可知：動點的軌跡是以原點為焦點，以直線為準線的拋物線．故選C．2．拋物線上的一點到焦點的距離為1，則點的縱坐標是（）A．B．C．D．0【答案】B．【解析】拋物線方程化為，，所以，準線方程為，則，得．故選B．3．已知動圓的圓心在拋物線上，又與直線相切，那么必過定點__________．【答案】．【解析】該圓必過拋物線的焦點．4．已知動圓P與定圓C：相外切，又與定直線相切，那么動圓的圓心P的軌跡方程是______________．【答案】．5．過拋物線焦點的直線與拋物線交于、兩點，若、在拋物線準線上的射影分別為、，則（）A．45°B．60°C．90°D．120°【答案】C．【解析】如圖，由拋物線的定義知：，，則，，則由題意知：，，所以，即．故選C．6．已知點是拋物線上的一點，為拋物線的焦點，在圓上，則的最小值為．【答案】5【解析】的最小值即為圓上的點到準線的最小距離．又準線方程為，所以最小值為．7．過拋物線焦點的直線與該拋物線交于、兩點，若，則弦的中點到直線的距離等于（）A．B．C．4D．2【解析】如圖所示，過弦中點作準線的垂線，即作直線的垂線，過點作準線的垂線，由梯形中位線的性質結合拋物線的定義可得：，則弦的中點到直線的距離等于．故選B．8．過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，則．【答案】1【解析】由可得焦點坐標為，準線方程為，設過點直線方程為代入拋物線方程，化簡得